PEMBAHASAN DAN KUNCI JAWABAN
UN MATEMATIKA SMA 2011 PAKET 12
PLUS TRIK SUPERKILAT DAN LOGIKA PRAKTIS
(By Pak Anang http://www.facebook.com/pak.anang )
1. Bentuk sederhana dari
A.
B.
C.
D.
E.
KONSEP: RASIONALISASI BENTUK AKAR
Pertama: Tentukan bentuk akar sekawan dari penyebut.
Kedua: Kalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan bentuk akar sekawan tersebut.
PENYELESAIAN:
JAWABAN: E
2. Grafik memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai yang memenuhi adalah
A. a au
B. a au
C. a au
D. E.
KONSEP: SIFAT DISKRIMINAN FUNGSI KUADRAT
Pertama: Tentukan nilai koefisien a, b, c pada fungsi . Kedua: Tentukan nilai Diskriminan .
Ketiga: Syarat agar fungsi memotong sumbu X di dua titik adalah . Keempat: Tentukan daerah penyelesaian menggunakan garis bilangan.
PENYELESAIAN:
Fungsi kuadrat e a i dan
Nilai Diskriminan
Syarat agar grafik memotong sumbu X di dua titik adalah .
Jadi agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik maka batas adalah a au JAWABAN: B
LOGIKA PRAKTIS:
Pembilang : , Penyebut : , Sekawan penyebut : .
Pertama! Perhatikan bentuk akar pada soal!
Suku-suku sekawan penyebut dan pembilang semuanya positif, maka semua suku-suku pembilang pada jawaban pasti positif. Jawaban B dan C pasti salah.
Kedua! Penyebut hasilnya negatif, maka nilai penyebut pada jawaban pasti negatif, sehingga hanya jawaban D, E yang memenuhi.
3. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, - Besa sudu ABC
KONSEP: SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
Pertama: Gambar segitiga ABC, sudut ABC dibentuk oleh vektor BA dan BC. Kedua: Tentukan vektor BA dan BC.
Ketiga: Hitung besar kosinus sudut ABC menggunakan rumus sudut antara dua vektor. Keempat: Tentukan besar sudut ABC.
PENYELESAIAN:
Sudut ABC yaitu sudut antara garis BA dengan garis BC, ditentukan dulu vektor dan vektor :
Jika adalah sudut ABC maka besar kosinus ditentukan oleh:
s
Jadi besarnya sudut ABC adalah JAWABAN: B
KONSEP: PROYEKSI VEKTOR
Pertama: Gunakan rumus proyeksi vektor pada vektor .
PENYELESAIAN:
Jika vektor adalah proyeksi vektor orthogonal vektor pada vektor Maka vektor ditentukan oleh:
Jadi proyeksi vektor orthogonal vektor pada vektor adalah JAWABAN: B
Untuk mencari sudut antara dua vektor cek dulu nilai perkalian titik dua vektor:
Jika hasilnya nol maka sudutnya pasti 90
Kalau hasilnya t idak nol, maka lanjutkan dengan menghitung perkalian panjang kedua vektor untuk mencari kosinus sudut tersebut.
TRIK SUPERKILAT:
Proyeksi vektor orthogonal pada vektor sebanding dengan vektor . Cek pada pilihan jawaban mana yang sebanding dengan .
Hanya jawaban B yang benar! Jawaban B adalah setengah dari vektor , jawaban yang lain tidak ada yang sebanding dengan vektor .
TRIK SUPERKILAT:
Cek pilihan jawaban dengan mensubstitusikan sebuah angka pada fungsi. Yang paling mudah adalah menggunakan , karena
KONSEP: KOMPOSISI FUNGSI
KONSEP: AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Pertama: Tentukan koefisien dan pada persamaan kuadrat yang diketahui. Kedua: Tentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Kedua: Tentukan nilai variabel yang sesuai dengan syarat pada soal.
PENYELESAIAN:
Koefisien-koefisien dari adalah dan . Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dan , maka: Rumus jumlah akar-akar:
a i di e leh
Rumus hasil kali akar-akar:
Syarat agar nilai dan positif maka jumlah akar-akarnya juga harus positif.
n u
ena
n u
salah
Jadi agar akar-akar persamaan kuadrat memenuhi dan positif maka nilai JAWABAN: A
7. Diketahui persamaan matriks . Nilai
A.
Pertama: Selesaikan operasi perkalian matriks pada soal.
Kedua: Tentukan nilai variabel yang ditanyakan pada soal dengan melihat elemen matriks yang seletak. tiga Selesaikan operasi pengurangan variabel-variabel tersebut.
PENYELESAIAN:
Dari persamaan di atas diperoleh:
TRIK SUPERKILAT:
Akar-akar persamaan kuadrat dan , jika maka gunakan rumus cepat:
Karena dan positif, maka nilai yang memenuhi adalah .
LOGIKA PRAKTIS:
Lihat ternyata hasil perkalian matriks merupakan matriks Identitas, sehingga berlaku Sehingga hubungan antara matriks dan adalah saling invers.
Sehingga dengan intuisi dan logika praktis (tanpa harus menghitung perkalian matriks)
didapatkan dan .
Substitusi ke salah satu persamaan:
JAWABAN: E
8. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu
adalah g ma a hasil anen Pa Ahmad adalah
KONSEP: SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pertama: Tentukan permisalan terhadap variabel yang tersedia di soal.
Kedua: Tentukan persamaan yang dinyatakan dalam soal menggunakan variabel-variabel tersebut. Ketiga: Selesaikan sistem persamaan linear sehingga diperoleh nilai dari variabel yang ditanyakan.
PENYELESAIAN: Misal,
Hasil panen jeruk Pak Ahmad Hasil panen jeruk Pak Badrun Hasil panen jeruk Pak Yadi
g
g JAWABAN: A
9. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji,
engelua an minimum un u em elian a le e ha i adalah
KONSEP: PROGRAM LINEAR
Pertama: Tentukan fungsi kendala dan fungsi objektif yang ada pada soal dengan menggunakan bantuan tabel. Kedua: Buat sketsa grafik dari daerah penyelesaian fungsi kendala.
Ketiga: Tentukan titik-titik pojok dengan melihat grafik tersebut.
Keempat: Masukkan titik-titik pojok ke fungsi objektif dengan bantuan tabel. Kelima: Tentukan nilai optimum dengan melihat nilai objektif pada tabel.
PENYELESAIAN:
Ternyata soal ini bisa dikerjakan menggunakan konsep barisan bilangan aritmatika dengan beda 15. Pak Yadi < Pak Ahmad dan Pak Yadi > Pak Badrun.
Sehingga bisa disimpulkan Pak Badrun < Pak Yadi < Pak Ahmad.
Jadi hasil panen kebun jeruk Pak Ahmad = rata-rata ketiga panen + 15 = 75 + 15 = 90 kg.
LOGIKA PRAKTIS:
Tentukan perbandingan koefisien dan Urutkan dari kecil ke besar. X E Y
½ ½ 1
Fungsi objektif: inimum an
Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu dan . Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi:
Substitusi ke salah satu persamaan:
Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah dan
Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil.
Titik pojok Fungsi objektif (5, 0)
(1, 2) (0, 5)
Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.
JAWABAN: E
10. ilai lim
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16
KONSEP: LIMIT ALJABAR
Pertama: Substitusikan ke fungsi limit , ternyata nilai limit adalah (bentuk tak tentu). Kedua: Uraikan fungsi limit sehingga bisa diperoleh nilai limit bentuk tertentu.
Ketiga: Karena limit bentuk akar, maka kalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan sekawan bentuk akar.
Keempat: Hasil dari substitusi yang menghasilkan bentuk tertentuadalah nilai dari limit.
PENYELESAIAN:
lim lim
lim
lim
JAWABAN: B
5 X
Y
5
2,5
lim
TRIK SUPERKILAT:
11. ilai lim ssin
A.
B.
C.
D.
E. 1
KONSEP: LIMIT TRIGONOMETRI
Pertama: Substitusikan ke fungsi limit , ternyata nilai limit adalah (bentuk tak tentu) Kedua: Uraikan limit sehingga bisa diperoleh nilai limit bentuk tertentu.
Ketiga: Karena limit bentuk trigonometri, ubah bentuk trigonometri sinus dan tangen sehingga bisa diperoleh bentuk
Keempat: Ubah bentuk menjadi
Kelima: Gunakan sifat identitas trigonometri s sin untuk mengubah bentuk trigonometri kosinus s s s s menjadi bentuk sinus.
Kelima: Substitusikan ke bentuk lain, maka nilai limit pun diperoleh.
PENYELESAIAN:
lim sin s lim sinsin
lim sinsin
lim sinsin
lim sin sin sin
JAWABAN: D
12. Akar-akar persamaan adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah
A. B. C. D. E.
KONSEP: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU
Pertama: Tentukan koefisien dan pada persamaan kuadrat.
Kedua: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya persamaan kuadrat lama dan persamaan kuadrat yang baru. tiga Persamaan kuadrat yang baru dibentuk oleh umlah a a hasil ali a a
PENYELESAIAN:
Koefisien-koefisien adalah dan
Jika dan
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah:
JAWABAN: A
lim s
sin lim
TRIK SUPERKILAT:
Limit trigonometri SI TA CORET, UBAH COS . Artinya, coret SIN dan TAN jika ada bentuk SIN dan TAN. Ubah s men adi .
Sehingga:
TRIK SUPERKILAT:
13. Persamaan garis singgung lingkaran di i i adalah
KONSEP: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Pertama: Persamaan garis singgung lingkaran di titik adalah
PENYELESAIAN:
Persamaan garis singgung lingkaran di titik (7, 1) adalah:
Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah . JAWABAN: D
14. Diketahui premis-premis
(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. (2) Ibu tidak memakai payung.
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis- emis e se u adalah A. Hari tidak hujan
B. Hari hujan
C. Ibu memakai payung
D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung
KONSEP: LOGIKA MATEMATIKA
Pertama: Tentukan model penarikan kesimpulan apakah modus tollens, modus ponens, atau silogisme. Kedua: Jika ditemukan pernyataan yang tidak berbentuk implikasi maka ubah menjadi implikasi.
PENYELESAIAN:
Jadi kesimpulan yang sah dari dua premis tersebut adalah hari tidak hujan. JAWABAN: A
KONSEP: TEOREMA SISA
Pertama: Jika suku banyak dibagi maka sisanya adalah . Tentukan masing-masing definisi dari sisa pada pembagian suku banyak sehingga diperoleh dua persamaan yang mengandung variabel yang ditanyakan. Ketiga: Eliminasi dan substitusi untuk mendapatkan nilai variabel tersebut.
PENYELESAIAN:
Coret yang sama Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. Ibu tidak memakai payung.
Eliminasi dan substitusi kedua persamaan:
Substitusi ke
Jadi
JAWABAN: C
