Amaludin et al (2016)

ISBN: 978-602-71798-1-3

ANALISIS KESTABILAN MODEL EPIDEMIK SIR

UNTUK PENYAKIT TUBERKULOSIS

Habib A’maludin, AlfensiFaruk, EndroSetyo Cahyono FMIPA, UniversitasSriwijaya, email: haybib@rocketmail.com, email: alfensifaruk@unsri.ac.id, email: endrocahyono@mipa.unsri.ac.id

Abstract

Tuberculosis is one of the infectious diseases that caused by Mycobacterium tuberculosis (Mtb). The aim of this research is to analyze the stability of the Susceptible InfectedRecovered (SIR) model for tuberculosis transmission. We firstly constructed the epidemic SIR model and afterwards derived disease-free equilibrium, endemic equilibrium, and the basic reproduction number. Based on the analysis, both disease-free equilibrium and endemic equilibrium for the developed SIR model were stable.Finally, a numerical example wasalso given in support of the result.

Keywords: Stability, SIR Model, Tuberculosis

1. PENDAHULUAN

Tuberkulosis (TB) adalah suatu penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis (Mtb). Penyakit TB menyebar melalui udara yang telah terkontaminasi Mtb yang kemudian terhirup dan masuk ke dalam paru–paru. Pada saat penderita TB batuk atau bersin serta mengeluarkan bakteri Mtb ke udara, maka orang-orang yang terhirup bakteri tersebut dapat terinfeksi bakteri TB.

Model matematika yang sering digunakan untuk menganalisa penyebaran suatu penyakit adalah model SIR (Susceptible Infected Recovered). Model SIR ini mengelompokkan individu-individu dalam suatu populasi menjadi tiga subpopulasi yaitu susceptible atau rentan (yaitu kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit), infected atau terinfeksi (yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit), recoveredatau sembuh (yaitu kelompok individu yang telah sembuh dari penyakit).

Fredlina, et al. (2012) telah mendapatkan bentuk bilanganreproduksidasar dari model SIR, akan tetapi belum melakukan analisis kestabilan lokal padatitikkeseimbangan dari model SIR, padahal Oktafiani (2013) telah memperlihatkan bahwa analisis kestabilan lokal sangat berpengaruh pada model penyebaran suatu penyakit. Hal ini dikarekan syarat agar suatu bilangan reproduksi dasar dapat digunakan dalam suatu model SIR adalah titik keseimbangan bebas penyakit dan

titik keseimbangan endemik dari model tersebut harus stabil.

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan analisis kestabilan lokal di sekitar titikkeseimbanganbebaspenyakitdantitik keseimbangan endemik pada model SIR penyakit TB. Sebelum dilakukan analisis kestabilan lokal tersebut, terlebih dahulu dicaribilanganreproduksidasar dari model SIR penyakit TB menggunakan matriks next generation.

2. KAJIAN LITERATUR Model SIR

Kebanyakan model matematika penyebaran penyakit menular dimulai dengan dasar pemikiran yang sama, yaitu dengan membagi populasi menjadi beberapa subpopulasi. Salah satu model yang cukup populer adalah adalah model Kermack-McKendrick atau juga disebut sebagai model SIR. Model SIR membagi populasi menjadi subpopulasi rentan (S), terinfeksi (I), dan sembuh (R). Jumlah individu rentan, terinfeksi, dan sembuh pada waktu secara berturut-turut dapat dituliskan dalam bentuk fungsi

( ), ( ), dan ( ). Titik Keseimbangan

Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk

    

 

). , (

) , (

y x g dt dy

y x f dt dx

Sebuahtitik ( 0, 0) dapat dikatakan sebagai

titik keseimbangan dari sistem (1), apabila dipenuhi syarat ₀, ₀ = 0dan ₀, ₀ = 0. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan = ₀dan = ₀ merupakan penyelesaian keseimbangan dari sistem(1) (Campbell danHaberman, 2008).

Teorema Titik Keseimbangan

Berikut diberikan teorema mengenai kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian.

Teorema 1(Olsder et al., 2011)

1. Apabila semua bagian real nilai eigen matriks Jacobiandari suatu sistem persamaan diferensial bernilai negatif, maka titik keseimbangan dari sistem tersebut stabil.

2. Jika terdapat satu nilai eigen matriks Jacobian dari suatu sistem persamaan diferensialbernilai positif, maka titik keseimbangan dari sistem tersebut tidak stabil.

Teorema Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar ℛ₀ dapat didefinisikan sebagai jumlah rata-rata individu terinfeksiaki battertular oleh individu terinfeksi lainnya di dalamsuatu populasi. Berikut adalah teorema mengenai kestabilan dari bilangan reproduksi dasar.

Teorema 2 (Rost dan Wu dalam Effendy, 2013)

1. Titik keseimbangan bebas penyakit dikatakan stabil asimtotik lokal jika ℛ₀< 1 dan tidak stabil jika ℛ0> 1,

2. Jika ℛ0< 1 maka semua solusi konvergen

ke titik keseimbangan bebas penyakit, 3. Titik keseimbangan endemik ada jika dan

hanya jika ℛ0> 1, dan juga jika titik

keseimbangan tersebut ada, maka titik keseimbangan tersebut stabil asimtotik lokal,

4. Jika ℛ₀> 1 maka penyakit tersebut adalah endemik.

Matriks Next Generation

Misalkan terdapat n kelas terinfeksi dan m kelas tidak terinfeksi. Selanjutnya, dimisalkan juga adalah subpopulasi terinfeksi dan menyatakan subpopulasi tidak terinfeksi (rentan atau sembuh), sehingga

), , ( ) ,

( x y

i y x i

x









dan

)

,

(

x

y

g

y



_j 

,

dengan= 1,2, . . . , , = 1,2, . . . ,

,

�adalah laju infeksi sekunder yang ada pada kelas terinfeksi, dan �adalah laju perkembangan penyakit, kematian, dan atau kesembuhan yang mengakibatkan berkurangnya populasi dari kelas terinfeksi.

Selanjutnya, didefinisikan matriks next generationKyang memiliki bentuk

�=��− , (2)

denganF dan V adalah matriks ukurannn yang dapatjugadituliskan sebagai

          

j i y



F dan

       

  

j i y



V .

Kriteria

Routh-Hurwitz

Kriteriakestabilan Routh-Hurwitz merupakan suatu kriteria yang digunakan untuk memperlihatkan kestabilan suatu sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akarnya secara langsung. Jika suatu persamaan polinomial adalah persamaan karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem. Adapun, prosedur dalam kriteria Routh-Hurwitz adalah:

1. Persamaan polinom orde ke- ditulis dalam bentuk

+ ₋₁ −1+ ₋₂ −2+ + 1 + 0= 0,

dengankoefisien-koefisiennyaadalah bilangan real dan ≠0.

2. Jika terdapat koefisien bernilai 0 atau negatif, maka terdapat satu akar atau akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif yang berarti sistem tersebut tidak stabil.

3. Jika seluruh koefisien bernilai positif, makadapat dibentuk suatu matriks yang sering disebutarrayRouthsebagai berikut

       

 

       

 

       

 

       

 

 



  



0 0

0 0

0

1 1

0

2 2 3 2

1 1 1

0 1 3 2 1

 

   

   



h g

c b a

c b a a

c b a

a

S S S S S S

k k m

m m

m

n n n n

. (3)

Koefisien ₁, ₂,…, dan ₁, ₂,…, dapat ditentukandengan formula-formula berikut:

1=−

1

−1

2 =−

1

−1

−4 −1 −5 ,

=− 1

−1

−2 −1 −2 +1

1=−

1

1

−1 −3

1 2 ,

2=−

1

1

−1 −5

1 3 ,

=− 1

1

−1 −2 +1

1 +1 .

4. Jumlah akar yang tidak stabil dapat terlihat pada banyaknya perubahan tanda di kolom pertama matriks (3).

5. Syarat perlu agar sistem dikatakan stabil adalah apabilakoefisien dari persamaan karakteristik bernilai positif, sedangkansyarat cukupnya adalah apabila setiap suku dari kolom pertama matriks (3)bernilai positif.

3. METODE PENELITIAN

Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah:

1. Membentuk model epidemik SIR untuk penyakit TB.

2. Menentukan titik kesetimbangan model SIR penyakit TB.

3. Menentukan bentuk bilangan reproduksi dasar (ℛ₀) menggunakan matriks next generation.

4. Melakukan analisis kestabilan dengan menguji titik keseimbangan dari model SIR menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. 5. Memberikan contoh numerik pada titik keseimbangan dari model SIR dengan cara dicari akar-akar dari persamaan karakteristiknya.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN Pembentukan Model SIR Penyakit TB

Berikut diberikan asumsi-asumsi yang digunakan dalam membangun model SIR dalam penelitian ini :

1. Setiap individu dalam populasi (pada waktu ) selalu berada di dalam salah satu subpopulasi, yaitu rentan ( ), terinfeksi ( ), atau sembuh ( ).

2. Individu yang pernah sembuh dari penyakit TB berada pada lingkungan tertutup, artinya tidak ada imigrasi

ataupun emigrasi, sehingga total populasi adalah konstan.

3. Setiap individu yang baru lahir dan yang masih hidup masuk ke dalam populasi rentan terhadap penyakit TB.

4. Penyakit TB menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita (individu terinfeksi).

5. Tidak ada masa inkubasi dari bakteri Mtb di dalam tubuh manusia.

6.

Setiap individu yang telah sembuh dari penyakit TB diasumsikan tidak akan terserang lagi atau dianggap telah memiliki kekebalan.

Menggunakan asumsi-asumsi di atas,selanjutnya dapat dibuat diagram model SIR penyebaran penyakit TB,seperti yang diperlihatkan dalam gambar 1.

Λ�

+

Gambar 1. Model SIR Penyebaran TB Berdasarkan asumsi-asumsi serta visualisasi dalam gambar 1, dapat diperoleh suatu sistem persaman diferensial





















 

   

   

, R pI dt dR

pI I S

dt dI

S S dt

dS

   

 

(4)

�= + + , dengan

N I

  

Λ=tingkat rekruitment manusia

�=kekuatan penularan (force of infection) =peluangterjadinyakontakantaraindividu

rentan denganindividu terinfeksi

�=jumlah total individu dalam populasi = tingkat kematian alami (kematian normal)

= tingkat kematian akibat penyakit TB =tingkat kesembuhan individu terinfeksi.

Sistem persamaan diferensial (4)merupakan representasi matematis dari

model epidemik SIR yang dikembangkan dalam penelitian ini.

AnalisisTitikKeseimbangan

Titikkeseimbangan dari sistem (4) terjadipadasaat 0

dt

dS _dan

0



dt dI

,

sedangkanuntuk titik keseimbangan bebas penyakit terjadi pada saat jumlah individu terinfeksi sama dengan nol atau dilambangkan dengan 0= 0. Dari sistem (4), maka diperoleh

0  dt dS



Λ −0− ₀= 0



_Λ= 0









0

S

, (5)

dan

0  dt dR



0− 0= 0,

0 0 0  _  



R , (6)

sehingga titik keseimbangan bebas penyakit untuk sistem (3) adalah

= 0, 0, 0 =











 

0

,

0

,



. (7)

Sementara itu, titik keseimbangan endemik terjadi pada saat I≠0, sehingga dari sistem (3) diperoleh

0  dt dS



Λ− � 1− 1= 0,



Λ= �+ ₁

) ( 1 _{ }

  

S , (8)

penentuan1 dan 1dari 0

dt dI

dan 0 dt dR

adalahsebagaiberikut 0

 dt dI

0 )

( ₁

1   

S   p I



p



S

I















₁

1





( )

1 _{   }



  

 



p

I , (9)

dan

0  dt dR

0

1

1 

 pI



R

 1 1

pI R  





( )

1 _{    } 

  

 



p p

R . (10)

Berdasarkan uraian di atas, maka diperolehtitik keseimbangan endemik dari sistem (3), yaitu

1= 1, 1, 1 , (11)

yang nilai-nilainya seperti yang diperlihatkanoleh persamaan (8), (9), dan (10). Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar �

Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar dari sistem (4), dapat digunakanmatriks next generation. Adapun, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan membentuk

   

 N

IS



 dan 









I pI



,

selanjutnyadenganmelinearisasi dan  dapt diperoleh matriks-matriksberikut

















_



N S

dI

d 

F ,



p



dI d

   









 _{ }

V ,

dan juga inversnya













   

p

 

1 1

V ,

sehingga diperoleh matriks next generationyang berbentuk

















  

 

p N

S

 

 1

FV

K , (12)

kemudian dengan mensubtitusikan nilai titik keseimbangan bebas penyakit (7) ke dalam persamaan (12), maka dapat diperoleh bilangan reproduksi dasar � dari sistem (4) yang berbentuk

�













    

)

(





p



1

FV

.

Analisis Kestabilan

Setelah diperoleh titik keseimbangan model maka langkah selanjutnya adalah melakukan analisis kestabilan untuk setiap titik keseimbangan (7) dan (11). Langkahpertama yang

erensial (4). Persamaan-persamaan yang dilinierisasiadalah

, , =







S





S

, (13) , , =



S



(







)

I



pI

, (14)

, , = − . (15)

Dengan melinearkan persamaan (13), (14), dan (15), dapat diperoleh



 



_{ }            S S S S f

,





N S I S S I

f   

        

,





0          R S S R

f  

,







  



_          S pI I S S g

,









I pI I S I g            p N S        ,









0          R pI I S R

g   

,





0        S R pI S

h 

,





p I R pI I h        

,







_         R R pI R h

.

Hasil linearisasi yang dilakukan di atas merupakan elemen-elemen dari matriksJacobianJ, yang bentuk umumnya adalah                                    R h I h S h R g I g S g R f I f S f J

,

(16)

sehinggadiperoleh matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial (4) yang berbentuk

































                p p N S N S 0 0 0 1

J

.

(17)

Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan Bebas Penyakit

Dengan mensubtitusikan nilai titik keseimbangan bebas penyakit (7) yang berbentuk = ₀, ₀, ₀ =













 0 , 0 ,  ke

dalam matriks Jacobian(7), makadiperoleh





















               p p 0 0 0 1

J

. (18)

Untuk mencari nilai eigen dari matriks (18), maka diperlukan solusitak nol dari persamaan

− J1 �= 0, (19)

dimana adalah nilai eigen. Persamaan (19) tersebut mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika − J₁ = 0.Jadi, persamaan karakteristik untuk matriks Jacobian (18) yang dievaluasi di sekitar titik keseimbangan bebas penyakit dapat dituliskan sebagai

0 0 0 ) 0           

















           p

p

.

(20)

Menggunakan ekspansi kofaktor matriks (20), diperoleh persamaan karakteristik yang berbentuk











 









3 2 3   _p  2



p p    



      

3 2 2 2 2 2



3222 2 2

 p



0 

 p

.

(21)

Untuk menunjukkan kestabilan dari persamaan karakteristik (21),dapat menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Langkah pertama adalah dengan memisalkan









   

 p

a 3

,











3 2 2 2 2

2  2   



 ȝ p

b p





  , dan

       

3 2  2  2  2 2

 p

c

   p



,

                                             a a c ab a a c ab c b a c ab a 0 1 0 1 2 3    

.

(22)

Berdasarkan teorema 1, matriks (22) telah memenuhi syarat cukup agar sistem tersebut dikatakan stabil karena semua suku pada kolom pertama matriks bertanda positif. Oleh sebab itu, karena syarat perlu dan syarat cukup sudah terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa persamaan (21) stabil, yang artinya titik keseimbangan bebas penyakit (7) dikatakan stabil.

Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan Endemik

Langkah awal yang dilakukan adalah denganmensubstitusikantitik keseimbangan endemik (11) kedalammatriksJacobian (17), sehingga didapatkan matriksJacobian









                                        p p N N 0 0 0 2

J

.

(23)

Untuk mencarinilaieigen (eigen value) darimatriks (23) diperlukan solusi tak nol dari persamaan karakteristik yang dibentuk dari matrikstersebut,

sehinggadiperolehbentukmatriksberikut









0

0 0 0              

































               p p N N

.

(24)

Persamaan karakteristik dari matriks (24) adalah







      













_{ }       p N 3 2 3











              

 2 3 2 2 2p 2

N











                         N p N 2 3 2 p 2 2_{ }

 

 2







      N 2



0

 

 p

.

(25)

Berikut ditunjukkan kestabilan dari persamaankarakteristik (25) menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Pertama-tama, dimisalkan



 



           p N

q 3

,



 



      2 2 2 3 2 ₂         p N r





p

N    

       2







     

3 2 _ 2 _ 2 _ 2    p N s



 



   N

2







p 



.

Berdasarkan persamaan karakteristik (25) dan permisalan , , dan yang diberikan di atas, dapat diperoleh matriks























































































    a q s qr q q s qr s r q s qr q 0 1 0 1 2 3









.

(26)

Matriks (26) telah memenuhi syarat perlu dan syarat cukup dalam teorema satu, sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan karakteristik (25) stabil dengan kata lain titik keseimbangan endemik (11) stabil.

ContohNumerik

Pada bagian ini diberikan contoh numerik dari model epidemikSIR TB yang diperlihatkan dalam sistem persamaan diferensial (4) dengan titik keseimbangan bebas penyakit (7) dan titik keseimbangan endemik (11). Nilai–nilai parameter yang digunakan dalam contoh inidiperoleh dari Nainggolan et al. (2013), yang secara lengkap ditampilkan dalam tabel 1.

Tabel1.NilaiEstimasiParameter Parameter NilaiEstimasi Parameter

Λ 3.500 per tahun

0,17 per tahun

α 0,05 per tahun 0,15 per tahun

Untuk titik keseimbangan bebas penyakit (7), pertama tama diberikan kondisi awal ₀= 350.000, 0= 0, dan 0= 0. Nilai-nilai

parameter dalam tabel 1 dimasukkan ke dalam matriks(20) sehingga diperoleh

0 01 , 0 15

, 0 0

0 04 , 0 0

0 17

, 0 01 , 0

 

   





















 



, (27)

selanjutnya

denganmenggunakanekspansikofaktordiperole hpersamaankarakteristik dari matriks (27) yang berbentuk

0 000004 ,

0 0009 , 0 06 ,

0 2

3_{    }

 , (28)

dan menggunakan software Maple 10 diperoleh akar-akar dari persamaan (28), yaitu

, 25

1

1 



100 1

3 2 







.

akar-akar yang diperoleh tersebut adalah nilai-nilai eigen dari persamaan karakteristik (28) yang semuanya bernilai negatif, sehingga berdasarkan teorema 1 dikatakan bahwa titik keseimbangan tersebut stabil.

Menggunakan proseduryang sama nilai-nilai parameter yang sama (tabel 1), selanjutnya diberikan contoh numerik untuk melihat kestabilan dari titik keseimbangan endemik (11). Dalam hal ini, kondisi awal saat endemik yang diberikan adalah ₁= 15000,

1= 7300, dan 1= 4500. Dengan

memasukkan nilai-nilai parameter pada tabel 1 ke dalam matriks (24),dapat diperoleh matriks

0 01 , 0 15

, 0 0

0 08 , 0 003

, 0

0 13

, 0 013 , 0

 

  























 



, (29)

selanjutnya menggunakan ekspansi kofaktor diperoleh persamaan karakteristik dari matriks (29) yang berbentuk

0 0000143 0

00236 0 103

0 2

3_{   }

, Ȝ , Ȝ ,

Ȝ , (30)

dan menggunakan softwareMaple 10 dapat diperoleh akar-akar daripersamaan (30), yaitu

100 1 1 



,

,

2929 2000

1 2000

93 2  



2929 2000

1 2000

93 3  



.

Semua nilai akar-akarnya bernilainegatif, sehingga dapat disimpulkan bahwa titik keseimbangan endemik tersebut stabil.

5. Kesimpulan

M

enggunakan asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini, telah diperoleh suatu model epidemik SIR yang memilikiduabuahtitikkeseimbangan,yaitutitikk eseimbanganbebas penyakit dan titik keseimbangan endemik. Menggunakan kriteria Routh-Hurwitztelah diperlihatkan pula bahwa kedua titik keseimbangan tersebut stabil. Oleh karena itu,bilangan reproduksi dasar (

ℛ

₀

)

yang dibentuk oleh kedua titik keseimbangan tersebut juga stabil. Hal ini berarti bahwa

ℛ

₀yang diperoleh dapat digunakan sebagai nilai acuan dalam menganalisa perkembangan penyebaran penyakit TB dalams uatu populasi.

6. Referensi

Campbell, S. L., &Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equations with Dynamical Systems. New Jersey: Princeton University Press.

Effendy. 2013. Analisis Stabilitas Pada Penyebaran Penyakit DBD di Kabupaten Jember Dengan Metode SIR Stokastik. Jember: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember

Fredlina, K. Q., Oka, T. B., &Dwipayana, I. M. E. 2012.Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) Untuk Penyebaran Penyakit Tuberkulosis. e-JurnalMatematika.Vol I:52-58 Oktafiani, L. D. 2013. Penentuan Bilangan

Reproduksi Dasar Dengan Menggunakan Matriks Next Generation Pada Model West Nile Virus. Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB