Keterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey

Vol. 3, No. 1, May 2006, 27–40

Keterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey

Gani Gunawan

∗

_{, Hendra Gunawan}

Departemen Matematika

FMIPA ITB

Abstrak

Dengan menggunakan transformasi Fourier, didefinisikan operator (−∆)−α_{2,0 < α < n, yang dikenal sebagai operator Riesz atau operator}

integral fraksional Iα , yaitu Iα := (−∆)−

α

2,0 < α < n. Dalam makalah ini akan diperlihatkan bahwa aksi dari operator tersebut bersifat terbatas dari ruangLp_(Rn_{) ke ruangL}q_(Rn_{) jika dan hanya jika dengan} 1

p− 1 q =

α n

dengan 1 < p < q < ∞. Selanjutnya diperlihatkan juga bahwa operator tersebut terbatas di ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey.

Kata Kunci: Operator Riesz, ruang Lebesgue, ruang Morrey

1. Pendahuluan

Diasumsikanf ∈ S, denganS adalah himpunan fungsi yang terdiferensialkan tak hingga kali diRn_{. Transformasi Fourier dari fungsif dinotasikan denganf}∧_{, dan} didefinisikan oleh

f∧(ξ) := Z

Rn

f(x)e−2πiξxdx, ∀ξ∈Rn ∗_{Jur. Mat. UNISBA, Mhs S2 Jur. Mat. ITB}

Jika ∆f menotasikan Laplacian dari f yang didefinisikan oleh ∆f := n X j=1 ∂2_f ∂x2, maka untuk suatuξ∈Rn_{, berlaku (−∆f)}∧_{(ξ) = 4π}2_|ξ|2_f∧_{(ξ), lihat ([5], halaman} 308). Oleh karena itu melalui persamaan ini didefinisikan untuk 0 < α < n, ((−∆)−α

2f)∧(ξ) = (2π|ξ|)−αf∧(ξ), untuk setiap ξ∈Rn.

Karena (−∆)−α

2f = ((−∆)−α2f)∧∨ = ((2π|ξ|)−αf∧)∨ dimana (−∆)−α2f)∧∨

adalah invers transformasi Fourier dari ((−∆)−α

2f)∧, maka untuk suatux∈Rn, ¡ (2π|ξ|)−αf∧¢∨(x) = Γ( n−α 2 ) 2α_πn 2Γ(α 2) Z Rn f(y) |x−y|n−αdy

Uraian dari invers transformasi tersebut dapat dilihat pada ([5], halaman 367) atau ([7], halaman 123). Menurut Stein (lihat [2], halaman 117), dituliskan bahwa

Iαf := (−∆)−α 2f,0< α < n Jadi Iαf(x) := 1 Γ(α) Z Rn f(y) |x−y|n−αdy (1) dengan Γ(α) = π n 22αΓ(α 2) Γ((n−α₂ ))

Iαpada Persamaan 1 selanjutnya dinamakan sebagaioperator Riesz atauoperator integral fraksional.

Dalam makalah ini akan dilihat bagaimana aksi dari operator tersebut jika dikenakan di ruangLp_=Lp_(Rn_{) dan ruang perumumannya, khususnya di ruang} Morrey. Adapun notasiLp _=Lp_(Rn_{), 1 ≤p <∞ disebut juga ruang Lebesgue,} yaitu himpunan kelas-kelas ekuivalen fungsi sedemikian sehinggakfkLp_(Rn₎<∞,

atau dapat ditulis Lp_(Rn_{) := {f : kfk}

Lp_(Rn₎ < ∞} dengan kfk_Lp_(Rn₎ = kfk_p

adalah norm dari f dan didefinisikan oleh kfkp := ( R

Rn|f(x)|pdx)1/p , untuk

setiapx∈Rn_{. Sedangkan norm darif untukp=∞ didefinisikan olehkfk} ∞:= esssup{|f(x)| :x∈ Rn_{} dengan esssup{|f(x)|: x∈R}n_{} merupakan batas atas} terkecil esensial dari|f|.

Diawali dari suatu proposisi mengenai operator Iα di ruang Lp_(Rn_{), dapat} diperlihatkan bahwa melalui operator dilasi yang dikenakan pada opertorIα diper-oleh suatu syarat perlu dari keterbatasan operator Iα di ruang Lp_(Rn_). Kemu-dian dengan menggunakan fakta keterbatasan fungsi maksimal atauketaksamaan Hardy-Littlewooddi ruangLp_(Rn_{) dapat ditunjukan juga bahwa operatorIα} meru-pakan operator yang terbatas dariLp_(Rn_{) ke L}q_(Rn_{) asalkan} 1

p −1q = αn dengan 1< p < q <∞. Selanjutnya dengan menggunakanketaksamaan Fefferman-Stein,

dapat ditunjukan bahwa operator maksimal juga terbatas di ruang perumuman-nya, khususnya di ruang Morrey. Berdasar pada fakta ini, akhirnya diperoleh hasil bahwa operatorIαjuga terbatas di ruang perumumannya, yakni terbatas di ruang Morrey.

2. Keterbatasan Operator

I

α

di Ruang Lebesgue

Pertama-tama akan kita lihat aksi dari operator Iα ini di ruang Lp(Rn) yang mempunyai sifat bahwa operator tersebut terbatas dariLp_(Rn_{) keL}q_(Rn_{) hanya} jika 1

p−1q = αn. Untuk melihat sifat ini kita pandang suatu operator dilasiτδyang didefinisikan untuk δ > 0 oleh τδf(x) := f(δx). Maka dapat dinyatakan suatu lemma berikut, Lemma 2.1 (a) kτδfkp=δ−n/pkfkp (b) τδ−1Iαf =δ−αIατ_δ−1f Bukti: (a). kτδfkp = µZ <n (τδf(x))pdx ¶1/p = µZ <n (f(δx))pdx ¶1/p = µZ <n (f(x0))pδ−ndx0 ¶1/p = δ−n/p µZ <n (f(x0)pdx0 ¶1/p = δ−n/pkfkp

(b). τδ−1Iαf(x) = τ_δ−1 · 1 Γ(α) Z <n |x−y|−n+α_f(y)dy ¸ = 1 Γ(α) Z <n |x δ −y| −n+α_f(y)dy = 1 Γ(α) Z <n |x−δy|−n+α_δn−α_f(y)dy = 1 Γ(α) Z <n |x−y0_|−n+α_δn_δ−α_f(y0 δ)dy = δ−α 1 Γ(α) Z <n |x−y0|−n+αf(y 0 δ)dy 0 = δ−α 1 Γ(α) Z <n |x−y0_|−n+α_τ δ−1f(y0)dy0 = δ−αIατδ−1f(x) ¥

Akibat dari Lemma 2.1 tersebut diperoleh syarat perlu keterbatasan fungsi mak-simal di ruangLp_(Rn_{) yang dinyatakan dalam proposisi berikut.}

Proposisi 2.2 Jika ketaksamaan

kIαfkq ≤Akfkp, 0< α < n (2)

dipenuhi untuk setiapf dan untuk suatu konstantaA, maka 1

p− 1 q = α n . Bukti:

Akibat dari Lemma 2.1 bagian (a), dapat dituliskτδ−1Iαfkq=δn/qkIαfkq bahwa sehingga diperoleh

kIαfkq=δ−

n

qkτδ₋₁Iαfk_q

Menurut Lemma 2.1 bagian (b),τδ−1Iαf(x) =δ−αIατδ−1f(x), maka diperoleh

kIαfkq=δ−

n

qkτ_δ−1Iαfk_q=δ−nqkδ−αIατ_δ−1fk_q=δ−nq−αkIατ_δ−1fk_q

Karena Ketaksamaan 2 dipenuhi, maka diperoleh untuk suatu konstanta A (dalam hal iniAdapat diasumsikan sebagai konstanta terkecil yang memenuhi 2)

kIαfkq ≤Aδ−

n

q−αkτδ₋₁fk_q (3)

Menurut Lemma 2.1 bagian (a), kτδ−1fk_q = δ n qkfkq. Jadi Ketaksamaan 3 dapat ditulis kIαfkq ≤Aδ− n p−nq−αkfk_q (4)

Ini mungkin hanya jika n p −

n

q −α= 0.

Diamati lebih lanjut, syarat cukup untuk proposisi tersebut juga dapat dipenuhi. Namun untuk kasusp= 1, (makaq= _n−αn ) dan q= 8, (makap= n_α) gagal untuk dapat dipenuhi, lihat ([2], halaman 119). Oleh karena itu, setelah melalui pengamatan ini dapat diformulasikan teorema positifnya, yang disebut teo-remaHardy-Littlewood-Sobolev. Persisnya kita mempunyai suatu teorema berikut. Teorema 2.3 (Hardy-Littlewood-Sobolev) Jika 1

p = 1 q − α n dan 1 < p < q <∞ dengan0< α < n, maka kf∗| · |α−nkLq_(Rn₎≤Ap,qkfk_Lq_(Rn₎

Sebelum membuktikan Teorema 2.3 tersebut, pertama-tama perhatikan bebe-rapa definisi, sifat dan fakta yang ada sebagai konsep yang mendasarinya. Se-belumnya, didefinisikanfungsi maksimal Hardy-Littlewood,

M f(x) := sup 0<R<∞ 1 µ(B(x, R)) Z B(x,R) |f(y)|dy, ∀x∈Rn dengan f ∈ L1

loc(Rn), yaitu fungsi terintegralkan secara lokal di Rn, dan µ(B(x, R)) adalah ukuran LebesgueB(x, R) diRn_{. Dalam hal iniB(R) =B(x, R)} adalah bola buka diRn _{yang berpusat di titikx∈R}n _{dengan radiusR >0, yaitu} B(x, R) :={y∈Rn_{:|x−y|< R}, untuk setiap x∈R}n _{danR >0. Selanjutnya} teoremaHardy-Littlewood berikut, yang menyatakan bahwa operator maksimal M tersebut terbatas di ruangLp_(Rn_{), lihat [8].}

Teorema 2.4 (Hardy-Littlewood) Jika 1 < p <∞ dan f ∈Lp_{, maka M f ∈L}p

dankM fkp≤Cp,nkfkp.

Definisi 2.5 Fungsif diRn_{disebut fungsi radial jika nilaif(x)hanya bergantung}

pada|x|untuk x∈Rn_.

Lemma 2.6 Misalkan ψ fungsi non negatif di Rn_{. Jika ψ fungsi radial yang}

turun, maka

sup{|f∗ψt(x)|:t >0} ≤M f(x) Z

Rnψ dy

denganM f merupakan fungsi maksimal dan ψt=t−n_ψ(x t)

Bukti:

Lihat ([3], halaman 57)

Lemma 2.7 Jikaf fungsi radial, maka

Z Rn f(x)dx=ωn−1 ∞ Z 0 f(r)rn−1 _{dr, x∈R}n denganωn−1= 2πn/2 Γ(n 2) Lihat ([5], halaman 407).

Lemma 2.8 Misalkan φ(y) = |y|−k_χB

(R)(y), y ∈ Rn dan y 6= 0. Maka untuk

setiapR >0 dan0< k < n,

(i). φ adalah fungsi turun secara radial (ii). φ terintegralkan

Bukti:

(i). Ambil y1, y2 dengan 0<|y1|<|y2| ≤ R, maka|y1|−k >|y2|−k. Karena χB(R)(y) = 1 untuk setiap y ∈ B(R), sehingga diperoleh χB(R)(y1) = χB(R)(y2) = 1. Jadi φ(y1) = |y1|−kχB(R)(y1)≥ |y2|−kχB(R)(y2) =φ(y2). Ini berartiφ(y) adalah fungsi turun secara radial untuk setiapy∈Rn_. (ii). Z Rn φ(y)dy = Z Rn |y|−k_χ B(R)(y)dy= Z |y|<R |y|−k _dy = Z θ∈Sn−1   R Z 0 |r|−k_rn−1 _dr   _dθ = Z θ∈Sn−1 µ 1 n−k|r| n−k ¶r=R r=0 dθ = Z θ∈Sn−1 Rn−k n−k dθ= Rn−k n−k Z θ∈Sn−1 dθ = Rn−k n−kωn−1= Rn−k n−k 2πn/2 Γ(n 2) <∞ ¥

Lemma 2.9 Misalkan ψ(y) =|y|−k_χC

B(R)(y) dengany ∈R

n_{, y 6= 0 dan R >0.}

Jika0< k < ndann−kp0_{<0, makaψ∈L}p0

Bukti Z <n |ψ(y)|p0dy = Z <n | |y|−kχCB(R)(y)| p0 dy = Z <n |y|−kp0χCB(R)(y)dy = Z |y|≥< |y|−kp0dy = Z θ∈sn−1 µZ _∞ < |r|−kp0 rn−1_dr ¶ dθ = Z θ∈sn−1 µ 1 n−kp0r n−kp0 ¶r=∞ r=< dθ, n−kp0_<0 = Rn−kp 0 kp0_−n Z θ∈sn−1 dθ= Rn−kp 0 kp0_−nωn−1 = R n−kp0 kp0_−n 2πn/2 Γ(n/2) <∞ Jadiψ∈Lp0 .

Selanjutnya kita lihat pembuktian Teorema 2.3 sebagai berikut, UntukR >0 dapat dituliskan bahwa

(f∗_{| · |}α−n_{)(x) =} Z Rn f(x−y)|y|α−n_dy = Z |y|<R f(x−y)|y|α−n_dy+ Z |y|≥R f(x−y)|y|α−n_{dy (5)} Perhatikan suku pertama Persamaan 5, dapat ditulis menjadi

Z |y|<R f(x−y)|y|α−n_dy=¡_f∗_{| · |}α−n_χ B(R)(y) ¢ (x) dengan χB(R)(y) =    1, jika y∈B(R) 0, jika y /∈B(R) Dan menurut Definisi 2.5, jika dimisalkanφ(y) =|y|α−n_χ

B(R)(y) makaφ meru-pakan fungsi radial. Berdasarkan Lemma 2.8 diperoleh bahwa φ adalah fungsi

turun yang terintegralkan. Akibatnya menurut Lemma 2.6, jikaφt =t−n_φ(x/t), maka |f∗φ(x)|=|f∗φ1(x)| ≤ sup{|f∗φt(x)|:t >0} ≤ M f(x) Z Rn φ(y)dy = C1RαM f(x),(φ terintegralkan) (6) untuk suatu bilangan realC1.

Suku kedua dari Persamaan 5 dapat dituliskan menjadi Z |y|≥R f(x−y)|y|α−n_dy=¡_f∗_{| · |}α−n_χC B(R)(y) ¢ (x) = Z f(x−y)|y|α−n_χC B(R)(y)dy dengan χCB(R)(y) =    1, jika y∈CB(R) 0, jika y /∈CB(R) Oleh karena itu dapat ditulis

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |y|≥< f(x−y)|y|α−ndy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ Z f(x−y)|y|α−nχCB(R)(y)dy ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z |f(x−y)|y|α−nχCB(R)(y)|dy

Misalkanu=−y, maka dapat ditulis Z

f(x−y)|y|α−nχCB(R)(y)dy= Z

f(u+x)|u|α−nχCB(R)(u)du.

Jadi menurut ketaksamaan Holder diperoleh ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |y|≥R f(x−y)|y|α−n_dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z ¯ ¯_f(u+x)|u|α−n_χC B(R)(u) ¯ ¯_du = kf+x|u|α−nχCB(R)(u)k1 ≤ kf+xkpk|u|α−nχCB(R)(u)kp0 = kfkpk|y|α−nχCB(R)(y)kp0 = kfkpkψkp0 (7) denganψ=| · |α−n_χC B(R).

Perhatikan Lemma 2.9 jika k=n−α, maka kp0_{−n= (}n q − n p +n)p 0_−n=n µ p0 q ¶ >0.

Akibatnya diperolehn−kp0 _{<0. Sehingga menurut Lemma 2.9, dapat dikatakan} bahwaψ∈Lp0

. Oleh karenanya dapat dipandang untuk suatu bilangan realC2

kψkp0 =C₂R−n/q (8)

Dengan demikian Ketaksamaan 7 menjadi ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |y|≥R f(x−y)|y|α−n_dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤C2R −n/q_kfk p (9)

untuk suatu bilangan realC2. Dari Persamaan 5, 6 dan 9 diperoleh ¯

¯_(f∗_{| · |}α−n_)(x)¯_¯≤C

1RαM f(x) +C2kfkpR−n/q≤A[RαM f(x) +kfkpR−n/q] dimanaA= max{C1, C2}.

Selanjutnya pilih R sehingga Rα_{M f(x) = kfkpR}−n/q _{atau R}−n/p ₌ M f(x) kfkp .

Jadi jika dipilihR−n/p₌ M f(x) kfkp , maka ¯ ¯_(f∗_{| · |}α−n_)(x)¯_{¯≤A[M f(x)]}p/q_kfk1−p/q p Sehingga diperoleh kf∗_{| · k}α−n_k q = ( Z |(f∗_{| · |}α−n_)(x)|q_dx)1/q ≤ [ Z (A[M f(x)]p/qkfk1p−p/q)qdx]1/q ≤ Akfk1p−p/q[ Z (M f(x))p]1/q ≤ Akfk1p−p/qkM fkp/qp ≤ Akfk1−p/q p kfkp/qp =Ckfkp untuk suatu konstantaC yang tergantung padap, q. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

kf∗_{| · k}α−n_k

Lq_(Rn₎≤Ap,qkfk_Lq_(Rn₎

3. Keterbatasan Operator I di Ruang Morrey

Ruang MorreyLp,λ_(Rn_{) pertama kali diperkenalkan oleh C.B. Morrey pada tahun} 1938 dalam suatu jurnal matematika dengan judulon the solutions of quasi linear elliptic partial differential equations. Selanjutnya ruang Morrey banyak ditemukan

pada saat mempelajari perilaku operator Schrodinger dan teori potensial. Tujuan utama kita dalam pembahasan pada bagian ini, akan menunjukan bahwa operator Iα juga terbatas di ruang Morrey Lp,λ_(Rn_{) ke L}q,λ_(Rn_{) asalkan} 1

p −1q = n−λα dan 0 ≤ λ < n−αp. Adapun ruang Morrey itu sendiri didefinisikan sebagai himpunan semua fungsif yang terintegralkan secara lokal padaRn_{, yaitu seperti} yang dinyatakan dalam definisi berikut,

Definisi 3.1 Untuk 1 ≤p <∞ dan0 ≤λ≤n, ruang Morrey Lp,λ_(Rn₎

didefin-isikan oleh Lp,λ_(Rn_{) :={f ∈L}p loc(Rn) :kfkLp,λ_(Rn₎<+∞} dengan kfkLp,λ(Rn) := sup B=B(x,R) µ 1 Rλ Z B |f(x)|p_dx ¶1/p

Dalam hal ini notasiB=B(x, R) merupakan bola buka berdimensindengan pusatx∈ Rn _{dan berjari-jari R > 0, yaituB(x, R) := {y ∈ <}n _{:|x−y| < R}.} Untuk setiap bolaB=B(x, R) berdimensi n ini dipunyai suatu fakta bahwa

|B| ≤CRn ₍₁₀₎

dimananadalah suatu bilangan dimensi yang tetap danCadalah konstanta yang tidak bergantung pada x dan R, dengan |B| menyatakan ukuran Lebesgue dari B, lihat ([5], halaman 3). Dari fakta 10 tersebut dapat dinyatakan suatu lemma berikut.

Lemma 3.2 Untuk setiapα >0, maka berlakuR_B(x,R) 1

|x−y|n−αdy ≤CRα untuk

suatu konstanta realC.

Bukti:

Jika n ≤ α , maka jelas bahwa menurut fakta (*), R_B(x,R) 1

|x−y|n−αdy = |B| ≤

CRα_{. Sekarang jikan < α, maka} Z B(x,R) 1 |x−y|n−αdy ≤ ∞ X j=0 Z 2−j−1_{R≤|x−y|<2}−j_R 1 |x−y|n−αdy ≤ ∞ X j=0 1 (2−j−1_R)n−α|B(x,2 −j_R)| ≤ ∞ X j=0 (2(j+1)(n−α) Rn−α C(2 −j_R)n = C ∞ X j=0 2−αj_Rα _{= CR}α

Selanjutnya sebelum diperlihatkan suatu fakta yang menyatakan bahwa oper-atorIαjuga terbatas di ruang Morrey, yakni dariLp,λ_(Rn_{), keL}q,λ_(Rn_{), terlebih} dahulu disajikan suatu ketaksamaan Fefferman-Stein yang buktinya dapat dilihat di ([3], halaman 53).

Teorema 3.3 (Fefferman-Stein) Misalkan ω adalah fungsi tak negatif dan f

adalah fungsi terintegralkan secara lokal diRn_{. Maka terdapatCp>0sedemikian}

sehingga _Z Rn |M f(x)|p_ω(x)dx≤C p Z Rn |f(x)|p_{M ω(x) dx}

Dengan menggunakan ketaksamaan Fefferman-Stein ini diperoleh suatu fak-ta bahwa operator maksimal juga terbafak-tas di ruang Morrey. Seperti dinyafak-takan dalam teorema berikut,

Teorema 3.4 (Chiarenza-Frasca) Misal 1 < p < ∞ dan 0 ≤ λ < n. Maka

kM fkLp,λ ≤Ckfk_Lp,λ, untuk suatu konstanta C yang tidak bergantung pada f. Bukti:

Menurut ketaksamaan yang dinyatakan dalam Teorema 3.3, maka Z Rn |M f(x)|pχ(x)dx≤C Z Rn |f(x)|p(M χ(x))dx (11) untuk suatu fungsif danχyang tak negatif. Ambilf ∈Lp,λ_{, danχadalah fungsi} karakteristik pada bola BR =B(x0, R). Maka menurut Ketaksamaan 11 di atas diperoleh Z BR |M f(x)|p dx≤Ckfkp_Lp,λ ( (2R)λ+ ∞ X k=1 1 (2k−1_R)n(2 k+1_R)λ ) ⊆Ckfkp_Lp,λRλ Jadi didapat 1 Rλp µZ BR |M f(x)|p ¶1 p ≤Ckfkp_Lp,λ

untuk suatu konstanta C ¥.

Berdasarkan pada fakta keterbatasan fungsi maksimal M f di ruang Morrey, maka dapat dibuktikan suatu pernyataan teorema berikut, bahwa operator integral fraksionalIα juga terbatas di ruang Morrey.

Teorema 3.5 (Chiarenza-Frasca) Jika 1

q = 1 p− α n−λ, 0< α < n, 1< p < n α

dan0≤λ < n−αp. Maka terdapat Cp,q>0 sedemikian sehingga

Bukti:

Misalkanf ∈Lp,λ_{, danf 6= 0, maka untukx∈R}n _{danr >0 tuliskan Iαf(x) :=} I1(x) +I2(x), dengan I1(x) := Z |x−y|<R f(y) |x−y|n−α dy, dan I2(x) := Z |x−y|≥R f(y) |x−y|n−α dy UntukI1(x) diperoleh |I1(x)| ≤ Z |x−y|<R |f(y)| |x−y|n−α dy≤C −1 X k=−∞ (2k_R)α_{M f(x)dy≤CR}α_{M f(x)}

Sementara itu, untukI2(x) diperoleh

|I2(x)| ≤ Z |x−y|≥R |f(y)| |x−y|n−α dy≤CR α−n p+λpkfk_p,λ≤CRα+λ−pnkfk Lp,λ

Sehingga untuk setiapx∈Rn _{danR >0 diperoleh}

|Iαf(x)| ≤C³Rα_{M f(x) +R}α+λ−_pn_kfk Lp,λ

´

(12)

Selanjutnya dengan memilihR0= µ M f(x) kfkLp,λ ¶ p n−λ >0 dan mensubstitusikan-nya ke dalam Ketaksamaan 12, sehingga didapat

|Iαf(x)| ≤C(M f(x))n−nλ−−λpαkfk pα n−λ Lp,λ≤C(M f(x)) p q kfk q−p q Lp,λ

Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal terbatas di Lp,λ_{, maka} diperoleh ketaksamaan

kIαfkLq,λ≤Ckfk_Lp,λ

untuk suatu konstantaC yang hanya tergantung padapdanq. ¥

Perhatikan bahwa jika λ = 0 maka Lp,0_(Rn_{) = L}p_(Rn_{). Ini berarti akan} diperoleh kembali keterbatasanIαdariLp_(Rn_{) keL}q_(Rn_{). Sedangkan jikaλ=n,} maka diperolehLp,λ_(Rn_{) =L}∞_(Rn_{). Dalam hal λ=nini, keterbatasan operator} Iα dariLp_(Rn_{) keL}q_(Rn_{) menjadi tidak berlaku, seperti yang ditunjukan dalam} ([2], halaman 119).

4. Kesimpulan

Melalui operator dilasi yang dikenakan terhadap operator integral fraksional, dan dengan adanya fakta keterbatasan fungsi maksimal di ruang Lp_(Rn_{), diperoleh} fakta bahwa untuk 0< α < n, operator integral fraksionalIα yang didefinisikan sebagai Iαf(x) := 1 Γ(α) Z Rn f(y) |x−y|n−α dy

merupakan operator terbatas dari Lp_(Rn_{) ke L}q_(Rn_{) dengan} 1

p − 1q = αn dan 1< p < q <∞. Persisnya kita mempunyai ketaksamaan

kIαfk ≤Cp,qkfkp jika dan hanya jika 1

p−1q =αn dan 1< p < q <∞.

Selanjutnya di ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey Lp,λ_,(Rn_), dengan menggunakanketaksamaan Fefferman-Stein diperoleh fakta bahwa opera-tor maksimal juga terbatas di ruang perumumannya. Akibatnya dengan meman-faatkan fakta ini diperoleh hasil bahwa operator integral fraksional Iα juga ter-batas di ruang perumumannya, yaituIαterbatas dari ruangLp,λ_(Rn_{) keL}q,λ_(Rn₎ dengan 1

p−1q =n−αα dan 0≤λ < n−αp.

Ucapan Terima Kasih.

Kedua penulis berterima kasih kepada LPPM-ITB untuk dana Riset ITB Tahun 2006 No. 0004/K01.03.2/PL2.1.5/I/2006.

Pustaka

[1] E. Nakai, Recent topics of fractional integrals, Departemen of Mathematics, Osaka Kyoiku University Kashiwara, Osaka 582-8582, Japan.

[2] E.M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princenton University Press, Princenton, N.J, 1970.

[3] E.M. Stein, Harmonic Analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princenton University Press, Princenton, New Jersey, 1993.

[4] F. Chiarenza and M.Frasca, Morrey spaces and Hardy Littlewood maximal function, rend. Mat. 7, 273-279, 1987.

[5] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1992.

[6] J.G. Cuerva and A.E. Gatto, Boundedness properties of fractional integral operators associated to non doubling measures, Mathematics Subject Classi-fication, DePaul University, Spain, 1991.

[7] M. Loss and H. Elliot, Analysis, Graduate student in mathematics, volume 4, 2001.

[8] R. Fefferman, Maximal functions in analysis, The University of Chicago REU, 2005.