BAB III. dan menghamburkan

(1)

III.1. oleh daera arus, gelom shoal perub antar meng konse . Model Num Untuk da gelombang, ah model kita sebab stre mbang (Sxx(H STWAVE ling, refraks bahan kemir a gelomban ghamburkan G Spektrum ep, spektru MODE merik Meda apat mengga maka kita a. Nantinya ess radiasi H,θ), Sxy(H,θ E mampu me si dan shoa ringan panta ng dengan energi pada Gambar 3.1 m gelombang um adalah EL GELOM an Gelomba ambarkan ko harus dapat medan gelom gelombang θ), Syy(H,θ)). ensimulasika aling akiba ai, difraksi, p gelombang a medan pert Contoh spek g merupakan h superposi BAB III MBANG DA ang ondisi pola mengetahu mbang ini ak merupakan an pengaruh at arus, gel pertumbuhan g dan whit tumbuhan ge ktrum gelom n representas isi dari g AN MODEL arus di dae i kondisi m kan menjadi fungsi dar h perubahan lombang pe n gelombang tecapping y elombang. mbang satu d si statistik da gelombang ARUS rah pantai y edan gelomb i masukan da ri tinggi da kedalaman p ecah akibat g akibat ang yang mend dimensi (1-D ari medan ge monokrom yang diakiba bang (Hi,,j,θ alam perhitu an sudut da pada refraks kedalaman gin, dan inte

istribusikan D) elombang. S matik. Spek III-1 atkan θi,j) di ungan atang si dan n dan eraksi dan ecara ktrum

(2)

III-2 menggambarkan distribusi energi gelombang sebagai fungsi dari frekuensi (spektrum 1 dimensi) atau frekuensi dan arah (spektrum 2 dimensi). Contoh spektrum gelombang 1 dimensi dapat dilihat pada Gambar 3.1. Puncak perioda berhubungan dengan puncak

frekuensi dari spektrum. Tinggi gelombang (signifikan atau tinggi gelombang momen nol) sama dengan empat kali akar kuadrat luas area di bawah spektrum. Pada contoh yang diberikan pada Gambar 3.1, frekuensi puncaknya adalah 0.105 Hz, perioda puncaknya

adalah 9.5 detik, dan tinggi gelombangnya 2.8 m. Asumsi yang di gunakan pada STWAVE adalah fasa relatif dari spektrum adalah acak, dan informasi mengenai fasa tidak diperoleh (karena disini merupakan model perata-rataan fasa). Pada aplikasi praktis, informasi mengenai fasa gelombang pada seluruh domain model jarang di ketahui secara cukup akurat untuk memulai menghasilkan fasa model. Biasanya informasi mengenai fasa gelombang hanya diperlukan untuk memperoleh variasi tinggi gelombang dekat bangunan pantai secara detail, refleksi near-field, dan pola difraksi. Sehingga pada situasi ini, model yang menghitung fasa harus diaplikasikan.

III.1.1 Asumsi Model

Asumsi yang digunakan pada STWAVE versi 3.0 adalah: a. Mild bottom slope dan refleksi gelombang diabaikan.

STWAVE merupakan half plane model, hal ini berarti bahwa energi hanya dapat merambat dari perairan dalam menuju perairan dangkal (87.5 derajat dari sumbu x pada grid, di mana biasanya mendekati arah normal pantai). Gelombang yang memantul dari garis pantai atau daerah yang curam bergerak ke arah luar dari half plane ini, dan hal ini di abaikan. Scater gelombang, akibat struktur tapi bergerak pada arah +x juga di abaikan.

b. Kondisi gelombang di laut dalam homogen secara spasial.

Variasi spektrtum gelombang di batas laut dalam dari domain model jarang diketahui, dan untuk domain dengan orde puluhan kilometer, di duga cukup kecil. Sehingga, input spektrum pada STWAVE adalah konstan sepanjang batas model.

(3)

III-3 c. Gelombang, arus dan angin steady state.

Perumusan STWAVE adalah steady state. Perumusan steady state mengurangi waktu komputasi dan hal ini lebih sesuai untuk kondisi gelombang yang variasi kecil dibandingkan dengan waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk menjalar pada grid perhitungan. Untuk pembangkitan gelombang, asumsi steady state berarti bahwa angin tetap steady pada waktu yang cukup lama untuk gelombang mencapai kondisi fetch-limited atau kondisi fully develop (gelombang tidak dibatasi oleh durasi angin).

d. Refraksi dan shoaling linier.

STWAVE hanya menggabungkan refraksi gelombang linier dan shoaling, sehingga tidak representatif untuk gelombang yang tidak simetris. Sehingga akurasi model dalam hal ini berkurang (tinggi gelombang underestimate) untuk bilangan Ursell yang besar.

e. Arus seragam terhadap kedalaman

Interaksi arus-gelombang pada model didasarkan pada kondisi arus yang konstan terhadap kedalaman. Jika terdapat gradien kecepatan vertikal yang besar, akan menyebabkan refraksi dan shoaling tidak representatif untuk model.

f. Gesekan dasar diabaikan

Pengaruh gesekan dasar pada disipasi gelombang masih merupakan topik yang diperdebatkan dalam literatur model gelombang. Gesekan dasar selalu diaplikasikan sebagai koefisien yang dimasukkan dalam model untuk mendekati hasil pengukuran. Meskipun gesekan dasar sangat mudah untuk diterapkan dalam model gelombang, tetapi menentukan koefisien gesek yang sesuai sangatlah sulit. Selain itu, jarak penjalaran pada model dekat pantai relatif pendek (puluhan kilometer), sehingga disipasi akibat akumulasi gesekan dasar sangatlah kecil.

g. Stress radiasi linier

(4)

III.1. dalam stead Berda mode yang meng gelom III.2. denga beda berda .2 Diskritisa Sebagaim m Tugas Akh dy-state. Mo asarkan sist el numerik in Pada mod spesifikasin gurangi pertu mbang dapat . Model Me Persamaa an pendekata pusat, kecua asarkan pend asi Model G mana yang te hir ini, ST-W odel ini difo

tem koordin ni sesuai den Ga del ST-Wav nya beruruta umbuhan ge t mejalar me dan Arus an pembangu an perhitung ali untuk ben dekatan fluks

Gelombang

elah diuraika Wave, adalah ormulasikan nat lokal yan

ngan Gamba ambar 3.2 S (S ve ini didefi an negatif da elombang di laluinya. un dipecahka gan finite diff ntuk adveksi s. an pada Ba h model num pada grid k ng dioperas ar 3.2 . Skema Grid p Sumber : Sm inisikan dua an positif. Da i dekat bata an secara num fference. Sem i. Metoda pe b 2, model merik beda hi kartesian dim ikan dalam pada Model ith, 2001) a batas later aratan berni as. Lautan b merik pada g mua penurun enyelesaian y gelombang ingga (finite mana selnya ST-Wave m ST-Wave

ral yaitu dar lai negatif k bernilai posi

grid yang be nan ruang dib

yang digunak yang digun e difference) a adalah per maka diskri ratan dan la karena batas tif karena e erupa garis lu berikan deng kan adalah III-4 nakan yang rsegi. itisasi autan, akan energi urus gan

(5)

III-5

III.2.1. Penyelesaian Numerik Persamaan Pengatur M2D

Persamaan pengatur diselesaikan pada daerah diskritisasi, dimana setiap selnya didefinisikan sebagai grid yang rektilinear, seperti ditunjukan pada Gambar 3.3

Masing-masing sel memiliki indeks i dan j sesuai dengan posisinya sepanjang sumbu x dan y pada domain grid. Elevasi muka air dihitung pada bagian tengah sel, sedangkan komponen x dan y kecepatan dihitung pada bagian sisi kiri tengah dan sisi bawah tengah sel. Nilai dari laju aliran (flowrate), qx dan qy dhitung pada posisi yang sama dengan posisi perhitungan u dan v. Setiap sel yang terdapat dalam grid didefinisikan dalam sistem koordinat lokal. Sistem koordinat lokal ini menunjukan atau mewakili sistem koordinat geografis, hal ini dapat dilihat dari spesifikasi sudut antara sumbu y dengan arah utara. Nilai positif dari sudut ini searah dengan jarum jam dan sudut rotasi maksimumnya tidak boleh melebihi 45o, agar orientasi koordinat lokal tersebut tetap mendekati koordinat geografis.

Gambar 3.3. Definisi grid dan variabel untuk M2D

III.2.2. Persamaan Momentum

Skema beda hingga (finite-difference) untuk persamaan momentum dalam arah x dilakukan terlebih dahulu, kemudian diikuti dengan arah y. Perhitungan koefisien stress dasar, stress angin, dan koefisien viskositas Eddy pada perairan dangkal mengikuti

(6)

III-6 pendekatan beda hingga persamaan momentum dalam arah y, karena baik itu dalam arah x maupun y keduanya menghasilkan deskripsi yang sama.

Solusi dari persamaan momentum dihubungkan untuk menghitung komponen kecepatan u dan v. Dalam M2D perhitungan dilakukan secara ekplisit, flowrate _,1

i j k x q + dan _,1 i j k y q + pada langkah waktu k+1 dihitung dari nilai pada langkah waktu k. Komponen kecepatan

, 1 i j k x u + _dan , 1 i j k x

v + _{dihitung dari nilai}

, 1 i j k x q + _dan , 1 i j k y q + _. a. Arah x

Persamaan momentum dalam arah x diselesaikan secara eksplisit dengan pendekatan beda hingga untuk volume kontrol yang ditunjukan pada Gambar 3.4 Volume kontrol pada

gambar tersebut diperlihatkan dengan garis yang berwarna biru.

(7)

III-7 Persamaan momentum dalam arah-x :

(

)

(

)

(

) (

)

, 1/ 2, 1/ 2 , 1 , , , , , 2 2 , , 1, 1, , 1 2 i j i j i j i j i j x _k _k _k _k i j i j x x i j y y i j k k i j i j i j i j i j q x y F F y G G x t g h η h η y + − + − − Δ Δ Δ + − Δ + − Δ Δ ⎡ ⎤ + _⎢ + − + _⎥Δ = ⎣ ⎦

(

)

(

)

( )

1/ 2, 1, , 1/ 2, , 1, , , 1, , . , , , , , , i j i j i j i j i j i j k k k k k k x x x x x x i j i j i j k _k _k _k b _{i j} i j i j i j i j wi j i j i j D q q D q q y x x C u U x y τ x y + + − − − ⎡ ₋ ₋ ⎤ ⎢ ₋ ⎥_Δ ⎢ Δ Δ ⎥ ⎣ ⎦ − Δ Δ + Δ Δ (3.1) dimana : , , , 1 i j i j i j k k x x x q q + q Δ = −

i,j = lokasi sel pada grid k = langkah waktu

Δxi,j = panjang sel dalam arah x

Δyi,j = panjang sel dalam arah y

(8)

III-8

(

)

(

)

, 1, 1/ 2, , , , 1, 1/ 2, 1 ' 1/ 2, 1/ 2, , , ' 1, ' 1, ' 1/ 2, 1/ 2, 1, 1, ' , , 2 if > 0 if < 0 , 2 i j i j i j i j i j i j i j i j i k k k k x x k i j i j x x _k i j i j k k i j x x k k i j x x k k k k x x k i j i j x x _k i j i j x x q q F u q u h q q u q q u q q F u q u h q q η η + + − − − + + + + − − − − + = = + = = − = = + =

(

)

(

)

, , i,j+1 , 1 1, 1 , 1, ' 1, k ' , 1 y , 1 , , , 1 , 1 1, 1, 1, 1 1, 1 ' if > 0 if < 0 G , + j i j i j i j i j k k i j k k i j x x k i j _x k k y i j i j i j i j i j k y i j i j i j i j k x x u q q u v q q v h h q h h q q η η η η + − + − − + + + + − − − + − + = = = + + + + + + = , 2 , 1 ' , 1 if > 0 if > 0 i j k i j k k i j x x v q q ₊ v + + = (3.2)

(

)

(

)

, , 1, , 1 , ' , , , , , 1 , 1 1, 1, 1, 1 1, 1 ' , 1 ' , 1 , if 0 if 0 i j i j i j i j i j k k i j y x k k y i j i j i j i j i j k y i j i j i j i j k k i j x x k k i j x x G v q q v h h q h h q q v q q v η η η η − − − − − − − − − − − − = = + + + + + + + = > = >

(9)

III-9 Kecepatan arus dalam arah-x, diberikan sbb :

(

,

)

, , , 1, 1, 2 i j k x k i j k k i j i j i j i j q u h η h₋ η₋ = + + + (3.3)

Kecepatan arus total pada persamaan momentum arah-x :

( ) ( )

2 2 , , * k k k i j i j U = u + v (3.4) dimana _*

(

, 1, , 1 1, 1

)

4 k k k k i j i j i j i j k v v v v v = + − + + + − + b. Arah-y

Persamaan momentum dalam arah-y diselesaikan secara eksplisit dengan pendekatan beda hingga untuk volume kontrol yang ditunjukan pada Gambar 3.5

(10)

III-10 Persamaan momentum dalam arah-y :

(

)

(

)

(

) (

)

, 1 1 1, , , ₂ , ₂ , , , , 2 2 , , , 1 , 1 , 1 2 i j i j i j i j i j y _k _k _k _k i j i j y y i j x x i j k k i j i j i j i j i j q x y F F x G G y t g h η h η x + + − − − Δ Δ Δ + − Δ + − Δ Δ ⎡ ⎤ + _⎢ + − + _⎥Δ = ⎣ ⎦

(

)

(

)

( )

, 1/ 2 , 1 , , 1/ 2 , , 1 , , , , 1 , , , , , , , i j i j i j i j i j i j i j k k k k k k y y y y y y i j i j i j k _k _k _k b _{i j} i j i j i j i j wy i j i j D q q D q q x y y C v V x y τ x y + + − − − ⎡ ₋ ₋ ⎤ ⎢ ₋ ⎥_Δ ⎢ Δ Δ ⎥ ⎣ ⎦ − Δ Δ + Δ Δ (3.5) dimana : , , , 1 i j i j i j k k y y y q q + q Δ = − dan

(

, , 1

)

1 1 2 2 1 , ₂ , , 1 ' , , , , ' , 1 ' , 1 , , 2 η if > 0 if < 0 i j i j i j i j i j k k k k y y k i j i j y y _k i j i j k k i j y y k k i j y y q q F v q v h q q v q q v F + + + + + + + + = = + = =

(

, , 1

)

1 1 2 2 1 , ₂ , 1 , ' , , , 1 , 1 ' , 1 ' , 1 , = , 2 η if > 0 if < 0 i j i j i j i j i j k k k k y y k i j i j y y k i j i j k k i j y y k k i j y y q q v q v h q q v q q v − − − − − − − − − + = + = =

(11)

III-11

(

)

(

)

1, 1, 1, 1 , ' 1, 1, , , 1, 1, , 1 , 1 1, 1 1, 1 ' 1, , η η + η η if i j i j i j i j k k i j x y k k x i j i j i j i j i j k x i j i j i j i j k k i j y y G u q q u h h q h h q q u + + + − + + + + − − + − + − + = = + + + + + + = 1, ' 1, > 0 if > 0 i j k k i j y y q =q ₊ u+ (3.6)

(

)

(

)

, , , 1 ' , , , , 1, 1, , 1 , 1 1, 1 1, 1 , η η + η η i j i j i j k k i j x y k k x i j i j i j i j i j k x i j i j i j i j G u q q u h h q h h − − − − − − − + − = = + + + + + + 1, , ' 1, ' 1, if > 0 if > 0 i j i j k k i j y y k k i j y y q q u q q u − − − = =

Kecepatan arus dalam arah-y, diberikan sbb :

(

,

)

, _k _k , , , 1 , 1 2 η η i j k k x i j i j i j i j i j q v h h ₋ ₋ = + + + (3.7)

Kecepatan arus pada persamaan momentum arah-y :

( ) ( )

2 2 , , k k k i j i j V = u_• + v (3.8) dimana k

(

, 1, , 1 1, 1

)

4 k k k k i j i j i j i j u u u u u_• = + + + − + + −

(12)

III-12

III.2.3. Koefisien gesekan dasar

Koefisien gesekan dasar

( )

C_{b i j}k_, diberikan oleh :

( )

2 , , k b i j _k i j g C C = (3.9)

dimana Ci,j adalah koefisien Chezy, yang dihitung sbb :

( )

1/ 6 , , , k i j k i j i j R C n = (3.10)

dimana Ri,j adalah radius hidrolik yang bergantung terhadap dimensi sel dalam penunjukan arah aliran. Radius hidrolik untuk sebuah sel dihitung sbb :

(

, ,

)

, , , η i j k i j i j k i j k i j h s R P + Δ = (3.11)

dimana Pi,j adalah wetted perimeter dari sel, dan ΔS menunjukan Δx atau Δy sesuai dengan persamaan momentum arah x dan y. Wetted perimeter akan sama dengan ΔS , jika sel tidak memiliki dinding batas (impermeable walls). Namun jika terdapat dinding batas, maka wetted perimeter dihitung sbb :

(

)

, , i j , η, k k i j i j i j P = Δs +m h + (3.12)

dimana m adalah jumlah dari batas tertutup (walls boundaries) yang sejajar dengan komponen kecepatan dan berhubungan dengan ΔS.

III.2.4. Stress Angin

Stress angin dihitung sbb :

(

)

( )

(

) ( )

2 1 1 a 10 w 2 1 1 a 10 w ρ cos θ ρ ρ sin θ ρ k k wx d k k wy d C W C W τ τ + + + + = = (3.13)

(13)

III-13 dimana Cd telah dihitung sebelumnya dan W10 dihitung dari W. Ketinggian anemometer dimasukan dalam file input. Gaya pembangkit angin dalam M2D dapat bervariasi terhadap waktu, namun seragam terhadap ruang.

III.2.5. Koefisien viskositas Eddy

Formulasi perhitungan koefisien viskositas Eddy dalam M2D dihitung sbb:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

, , , 2 1/ 2, , 1, 1, 1, 2 1/ 2, 1, , , , 2 , 1/ 2 , 1 1.156 η 2 1 1.156 η 2 1 1.156 η 2 k i j k k o i j i j i j k i j k i j k _k o i j i j i j k i j k i j k _k o i j i j i j k i j U D g h C U D g h C U D g h C + − − − − − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.14)

( )

, 1/ 2

(

, 1 , 1

)

, 1 2 , 1 1 1.156 η 2 k i j k _k o i j i j i j k i j U D g h C − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dimana

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 , 1, , , 1 , 2 2 , 1, 1, 1, 1 1, 2 2 , 1 1, , 1, 1 , 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k i j i j i j i j i j k k k k k i j i j i j i j i j k k k k k i j i j i j i j i j u u v v U u u v v U u u v v U + + − − − + − − + − − − ⎡ ₊ ⎤ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ₊ ⎤ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.15)

formulasi ini dihitung, untuk bilangan Manning n > 0. Pada sel yang tidak terdapat gesekan n = 0, D0 = 0,0 m2/s.

(14)

III-14

III.2.6. Persamaan kontinuitas

Persamaan kontinuitas diselesaikan secara eksplisit, dengan pendekatan beda hingga seperti yang digambarkan pada Gambar 3.6. Pendekatan beda hingga untuk

persamaan kontinuitas :

(

1 1

)

(

1 1

)

, , , , 1, , _, _, ₁ , 0 k k k k i j i j i j xi j xi j i j y_{i j} y_{i j} i j x y q q y q q x t η + + + + + + Δ Δ Δ + − Δ + − Δ = Δ (3.16) dimana 1 , , , k k i j i j i j η η + η

Δ = − sedangkan variabel-variabel lain sudah terlebih dahulu didefinisikan.

Gambar 3.6. Definisi kontrol volume untuk persamaan kontinuitas

III.2.7. Kondisi Courant

Pada metoda penyelesaian eksplisit, estimasi awal nilai maksimum langkah waktu untuk sebuah grid dihitung dari bilangan Courant ξ , yang diberikan oleh (Richtmeyer dan Morton 1967 ) t u s ξ ≡ Δ Δ (2.17)

(15)

mend terjad bisa d kecep bilan III.2. Syara diman dan s diman matem Teori pe dapatkan kes Pada kon di dari super didapat dari patan dengan gan Courant

(

utide ξ ≡ + .8. Syarat B at batas yang na elavasi m setdown gel na tidak ter matis, menja enentuan ni stabilan sebu ndisi umum, rposisi sumb angin, gelo n setiap jen t akan lebih wind waves u +u Batas g digunakan muka air diten

lombang. Se dapat aliran adi : ilai maksim uah persamaa gaya pemba ber atau pen ombang perm nis gaya pem akurat bila d

)

tributary u Δ + Δ n dalam Tug ntukan dari h edangkan un n yang tegak mum dari b an linier dar angkit yang nambahan te mukaan, dan mbangkit, dit diberikan sbb t s Δ Δ gas Akhir in hasil model ntuk batas klurus garis bilangan C i model hidr g lebih dari s erhadap pas n debit sunga tuliskan den b: ni adalah sya gelombang pantai digun pantai atau Courant dip rodinamika b satu (multip ut. Kontribu ai. Penghubu ngan menggu

arat batas ter yang memb nakan syara dapat diform I erlukan u beda hingga. ple forcing) d usi terhadap ungan komp unakan subs (3.18) rbuka untuk erikan nilai s at batas tert mulasikan s (3.19) III-15 untuk . dapat p arus ponen skrip, k laut, setup tutup, ecara