model indeks tunggal

MODEL INDEKS

TUNGGAL

M.Andryzal Fajar

MODEL INDEKS TUNGGAL

Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga

dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar.

Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat dirumuskan:

Keterangan:

Ri = retrun sekuritas ke i

RM = tingkat retrun dari indeks pasar

ai = kompenen dari retrun sekuritas ke-i

i = beta (dibahas bab 11)

i = nilai ekspektasian dari return pasar yg independen thdp

return pasar

ei = kesalahan residu

Ri = ai + i . RM

Komponen Model Indeks

Tunggal

Model indeks tunggal membagi return sekuritas ke

dalam dua komponen utama, yaitu:

1.

Komponen return yang unik dan independen

terhadap return pasar ( i).



Model indeks tunggal juga dinyataka dalam

retrun ekspektasian, dirumuskan:



Contoh:



Diketahui return ekspektasian dari indeks pasar

adalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasian

suatu sekuritas yg independen thdp pasar ( i)

adalah 4% dan i sebesar 0,75. Ternyata return

realisasi sebesar 26%.

E(Ri) = E( i) + E( i . RM) +

E(ei)



Jawaban:

E(Ri) = i + i . E(RM)

E(Ri) = 4% + 0,75 . 25%

E(Ri) = 22,75%

Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks tunggal

adalah Ri = 22,75% + ei. Dan kesalahan estimasi (ei) adalah

sebesar 26% - 22,75% = 3,25%

Asumsi Model Indeks Tunggal



Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan

residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej untuk

semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan

sebagai:

Cov (ei,ej) = 0



Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk setiap sekuritas (ei)

merupakan variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovari

dengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secara

matematis sebagai:

Cov (ei,RM)

= 0

VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL

INDEKS TUNGGAL

Secara umum varians return dari suatu sekuritas sebagai berikut:

disubtitusikan

E(Ri) = i + i .

E(RM)

Ri = i + i . RM

+ ei

Maka rumus varian return sekuritas



Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitung

berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian:



Resiko yang berhubungan dengan pasar (market

related risk), yaitu:

Contoh A:



Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan

rata-rata aritmatikanya adalah sebagai berikut:

Diketahui i dan i adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan A untuk

sekuritas PT.A adalah 1,7.

Periode ke-t

Retrun saham PT.A

(RA)

Retrun Indeks Pasar

(RM)

1

2

3

4

5

6

7

0,060

0,077

0,095

0,193

0,047

0,113

0,112

0,040

0,041

0,050

0,055

0,015

0,065

0,055

Rata-rata

aritmatika

Hitunglah :

1.

Nilai ekspektasian PT.A ( A)

2.

Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)

3.

Varian dari kesalahan residu

4.

Varian dari retrun pasar

5.

Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian

retrun sekuritas.

Periode

ke-t

eA,t = RA,t - A

–

(

Β

A . RM,t)

1

2

3

4

5

6

7

eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296

eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143

eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116

eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779

eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001

eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=0,0191

eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=0,0031

2.

E(eA) =

(-0,0296-0,0143-0,0116+0,0779

+0,0001-0,0191-0,0031) /

(7-1)

= 0

.

�

_�

=

,

−

,

+

,

−

,

+ ( ,

,

) +

,

−

,

+

,

−

,

+

,

−

,

+

,

−

,

/(

−

)

= ,

/ = ,

3.

��

2

= [(

−

0,0296

−

0)

2

+ (

−

0,0143

−

0)

+(-0,0116-0)

2

+ (0,0779

−

0)

2

+(0,0001-0)

2

+ (

−

0,0191

−

0)

2

+(-0,0031-0)

2

]/(7

−

1)



5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal



b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas

�

2

=

�

2

.

�

�

2

+

��

2

=

1,7

2

. 0,00026 + 0,00128

= 0,002

�

2

= [(0,060

−

0,09957)

2

+

0,077

−

0,09957

2

+

0,095

−

0,09957

2

+

0,193

−

0,09957

2

+

0,047

−

0,09957

2

+

0,113

−

0,09957

2

+

0,112

−

0,09957

2

]/(7

−

1)

KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS

MODEL INDEKS TUNGGAL



Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas:



Contoh :



Dua buah sekuritas A dan B masing-masing

mempunyai Beta yaitu A=1,7 dan B=1,3. Varian

return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026.

Kovarian antara sekuritas A dan B adalah :



Jawab :



σij

= A . B .

σ

M²



= 1,7 . 1,3 . 0,00026



= 0,00057

�

=

� � − � �

.

� − � �

E(Ri,j) = i + i . E(RM)

Ri,j = i + i . RM + ei

disubtitusik an

PARAMETER

–

PARAMETER INPUT

UNTUK MODEL MARKOWITZ



Model indeks tunggal dapat digunakan untuk

menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians dari

Setelah perhitungan seperti contoh A :

Diketahui :

Contoh B:

Periode

Ke-t

Return

saham

PT ‘A’

(RA)

Return

saham PT

‘B’ (RB)

Return index Pasar

(RM)

1

2

3

4

5

6

7

0,060

0,077

0,095

0,193

0,047

0,113

0,112

0,15

0,25

0,30

0,40

0,27

0,15

0,55

0,040

0,041

0,050

0,055

0,015

0,065

0,055

Rata-rata

0,09957

0,2957

0,04586

Hitunglah



Kovarian antara return PT.A dan PT.B



Resiko portofolio berdasarkan model indeks tunggal

Jawab :

1.

�

.

=

.

.

��

= 1.7.1,3.0,00026

= 0,00057

2.

��

=

�

.

�

+

�

.

�

+ .

�

.

�

.

�

= ( , ) . ,

+ ( , ) . ,

+ . , . , . ,

ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN

MODEL INDEKS TUNGGAL

Return Ekspektasi Portofolio

Return realisasi merupakan rata-rata tertimbang dari

return-return realisasi tiap-tiap sekuritas tunggal,

� �� = � . �

=

+ � . .�(�_�) �

RESIKO PORTOFOLIO

Risiko adalah kemungkinan terjadinya perbedaan antara return aktual

dengan return yang diharapkan.

�

�

= (

�

.

�

=

) .

��

+ (

�

.

�

_�

�

=

Perbandingan jumlah parameter

model Makrowitz

model indeks tunggal

n + (n.(n-1)/2

(2.n+1)

1

1

3

2

3

5

3

6

7

4

10

9

5

15

11

6

21

13

7

28

15

8

36

17

9

45

19

10

55

21

20

210

41

50

1,275

101

100

5,050

201

200

20,100

401

500

125,250

1,001

1,000

500,500

2,001

5,000

12,502,500

10,001

10,000

50,005,000

20,001

Jumlah sekuritas (n)

SIMPULAN

Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yang

tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jika

jumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasi

dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja.

MODEL PASAR



Merupakan bentuk dari model indeks tunggal

dengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk model

pasar yang sama dengan bentuk model indeks

tunggal mempunyai return dan return ekspektasian

sebagai berikut :



dan

Ri = i + i . RM + ei

PORTOFOLIO OPTIMAL

BERDASARKAN MODEL INDEKS

TUNGGAL



Dimana :



ERBi =

excess return to beta securities



E(Ri) =

Ekspektasi return berdasarkan model indeks

tunggal untuk sekuritas i



RBR =

Return bebas resiko



Bi

=

Beta Sekuritas i

 

i

BR i

i

B

R

R

E

Langkah-langkah menentukan besarnya

titik pembatas :

1.

Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke

kecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untuk

dimasukkan ke dalam Portofolio Optimal

2.

Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke

i, sebagai berikut

 





2

.

ei

i

BR

i

i

B

R

R

E

A







2

ei

i

i

B

B





3. Menghitung nilai Ci



σ

m2 = varian dari return Indeks Pasar.



Nilai Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang

dihitung dari kuulasi nilai-nilai A1 sampai dengan Ai

dan nilai B1 sampai dengan Bi.



Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumus

Ci menjadi sepeti dibuku halaman 432. :D









i

2

m

i

2

m

i

B

σ

1

A

σ

C

1. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar





i

i

i

x

x

w

5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas

w

_i

= Proporsi Sekuritas

k = jumlah sekuritas di portofolio

= beta sekuritas ke-i

= varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i

ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i

C* =nilai Ci terbesar



*



2



C

Contoh D:

Nilai Saham

E(Ri)

Bi

σ

ei^2

ERBi

A

B

C

D

E

20

19

27

23

25

2,00

1,50

2,00

1,50

1,80

5,0

4,0

7,5

5,0

2,0

5

6

8,5

8,677

8,333

Diketahui:

1. Retrun aktiva bebas

resiko (RBR)=10%

2. Varian indeks pasar =

10%

Untuk masing

–

masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:

Nama

Saham

E(Ri) Bi

�

_� 2

ERBi Ai

Bi

Simpulan:

i

Nama

Saham

E(Ri)

Bi

�

_� 2

ERBi

Ci

Zi

Wi

1

2

3

D

C

E

23

27

25

1,50

2,00

1,80

5,0

7,5

2,0

8,677

8,5

8,333

7,091

7,787

8,114

0,159

0,103

0,197

0,346

0,224

0,429

Total 1,000

Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut:

Z1=(1,50/5,0)(8,677

–

8,114) = 0,159

Z2=(2,00/7,5)(8,5

–

8,114) = 0,103

Z3=(1,80/20)(8,333

–

8,114) = 0,197

Besarnya nilai

Σ

Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 + 0.197=0,459.

Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.a

W1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6%

W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5%

TERIMA

KASIH

IHSG ditutup naik 0,77% di awal pekan

JAKARTA. Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) melaju di awal pekan terakhir 2015, Senin (28/12). Mengacu data RTI menunjukkan, indeks berakhir naik 0,77% atau 34,707 poin ke level 4.557,255.

Tercatat, 182 saham naik, 94 saham turun 94 saham, dan 74 saham stagnan. Perdagangan hari ini melibatkan 8,76 miliar dengan nilai transaksi mencapai Rp 5,67 triliun.

Sembilan dari 10 indeks sektoral menghijau. Sektor agrikultur naik 2,67% dan sekaligus memimpin penguatan. Sementara, hanya sektor industri dasar yang memerah atau turun 0,46%.

Di sisi lain, aksi jual menyelimuti perdagangan terutama di pasar reguler sebesar Rp 58,601 miliar.

Sementara itu, secara keseluruhan perdagangan lebih diwarnai aksi beli, di mana net buy asing sebesar Rp 429,162 miliar.

Saham-saham yang masuk top gainers LQ45 antara lain: PT United Tractors Tbk (UNTR) naik 5,23% ke Rp 16.100, PT Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF) naik 3,94% ke Rp 5.150, dan PT PP London Sumtra Indonesia Tbk (LSIP) naik 3,67% ke Rp 1.305.

Sedangkan, saham-saham yang masuk top losers LQ45 antara lain: PT Perusahaan Gas Negara (PGAS) turun 3,85% ke Rp 2.745, PT Sawit Sumbermas Sarana Tbk (SSMS) turun 3,17% ke Rp 1.680, dan PT Matahari Putra Prima Tbk (MPPA) turun 2,17% ke Rp 1.575.

Di sisi lain, bursa Asia tergelincir hari ini. Terseret oleh penurunan terburuk bursa China dipicu menurunnya laba industri negeri tirai bambu itu.

Indeks MSCI Asia Pacific tergelincir kurang dari 0,1 % menjadi 131,14 pada 04:01 di Hong Kong, menghapus keuntungan sebanyak 0,3 % sebelumnya.

Indeks Shanghai Composite turun 2,6 % dan saham daratan di Hong Kong merosot karena kekhawatiran atas perlambatan pertumbuhan penyelidikan dan korupsi ekonomi.