MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN REPOSITORY OLEH AFIFATUL YULIANA FAUZI NIM

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRIANGULAR

REPOSITORY

OLEH

AFIFATUL YULIANA FAUZI NIM. 1503112861

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2020

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRIANGULAR

Afifatul Yuliana Fauzi

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

afifatul.yuliana@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the determination of the eigenvalues and eigenvectors of a triangular fuzzy number matrices. The negative-positive definition triangular fuzzy number is expressed based on its geometrical area. The goal is to determine the arithmetic operation constructed on the result of multiplication of the triangular fuzzy numbers. Then the negative-positive triangular fuzzy numbers can be used to determine eigenvalues and eigenvectors of triangular fuzzy number matrices which refer to eigenvalues and eigenvectors of real matrix.

Kata kunci: Fuzzy number, eigenvalues of fuzzy matrix, eigenvectors of fuzzy matrix, triangular fuzzy number

ABSTRAK

Artikel ini membahas untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks bilangan fuzzy triangular. Definisi positif-negatif bilangan fuzzy triangular dikemukakan berdasarkan luas daerahnya. Tujuannya untuk menentukan operasi aritmatika yang dikonstruksi pada hasil perkalian bilangan fuzzy triangular.

Kemudian positif-negatif bilangan fuzzy triangular tersebut dapat digunakan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks bilangan fuzzy triangular yang merujuk pada nilai eigen dan vektor eigen matriks real.

Kata kunci: Bilangan fuzzy, nilai eigen matriks fuzzy, vektor eigen matriks fuzzy, bilangan fuzzy triangular

1. PENDAHULUAN

Konsep logika fuzzy juga telah mengalami banyak perkembangan, baik dari segi definisi maupun aplikasi. Saat ini berbagai definisi bilangan fuzzy telah dikemukakan oleh banyak penulis dengan beragam cara dan pendekatan. Salah satunya definisi positif-negatif bilangan fuzzy, definisi positif-negatif bilangan fuzzy

khususnya bilangan fuzzy triangular, telah dikemukakan oleh banyak penulis dengan berbagai cara pada [3] dan [8]. Misalnya untuk ˜u = (a, α, β) dikatakan bilangan fuzzy triangular positif dengan ˜u ≥ 0 jika dan hanya jika a − α ≥ 0 dan

˜

u > 0 jika dan hanya jika a − α > 0, dan dikatakan bilangan fuzzy triangular negatif dengan ˜u ≤ 0, jika dan hanya jika a + β ≤ 0 dan ˜u < 0 jika dan hanya jika a + β < 0. Kemudian, bilangan fuzzy ˜u dikatakan positif jika (˜u > 0) maka fungsi keanggotan µu˜(x) = 0, untuk semua x≤ 0 dan dikatakan negatif jika (˜u < 0) maka fungsi keanggotaan µ_u˜(x) = 0, untuk semua x≥ 0.

Pendefinisian positif-negatif dari bilangan fuzzy khususnya bilangan fuzzy triangular sangat penting terutama pada pengoperasian bilangannya. Hal ini dikarenakan pendefinisian positif-negatif yang beragam juga mengakibatkan keragaman pada hasil perkalian antara bilangan-bilangan fuzzy. Disisi lain, konsep logika fuzzy juga dikembangkan dalam aljabar linear. Konsep logika fuzzy salah satunya dibahas pada [13]. Dilain sisi, konsep bilangan fuzzy juga telah meluas ke sistem persamaan linear atau disebut juga sistem persamaan linear fuzzy. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu konsep matriks fuzzy untuk menyelesaikan ini.

Selanjutnya, konsep matriks fuzzy terus dikembangkan, juga ke permasalahan nilai eigen dan vektor eigen. Sebelumnya, cara mencari nilai eigen dan vektor eigen telah dibahas pada [2]. Selanjutnya, permasalahan nilai eigen dan vektor eigen dikembangkan menjadi nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy. Kemudian, permasalahan tentang nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy telah dibahas oleh banyak penulis. Contohnya pada [1] dibahas tentang nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks fuzzy. Kemudian, pada [10] dihitung nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks fuzzy. Selanjutnya pada [11] ditentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks fuzzy.

Pembahasan pada artikel ini dimulai dengan mendefinisikan himpunan fuzzy dan bilangan fuzzy triangular pada bagian kedua. Pada bagian ketiga disajikan definisi fuzzy positif dan negatif bilangan fuzzy triangular beserta operasi aritmatika bilangan fuzzy triangular. Lalu, dilanjutkan dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy triangular beserta contoh. Artikel ini diakhiri dengan kesimpulan.

2. BILANGAN FUZZY TRIANGULAR

Pada [13] diperkenalkan bahwa fungsi keanggotaan (membership function) yaitu suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik data ke dalam nilai keanggotaanya yang disebut dengan derajat keanggotaan, yang memiliki interval antara 0 sampai 1.

Definisi 1 [6] Misalkan R sebarang himpunan tak kosong, himpunan bilangan fuzzy

˜

u dalam x ditandai oleh fungsi keanggotaannya µ_u˜ : R → [0, 1], ˜u didefinisikan sebagai,

˜

u ={(x, µu˜(x))| x ∈ R, 0 ≤ µu˜(x)≤ 1} .

Definisi 2 [7],[8] Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy ˜u : R → [0, 1] yang memenuhi ketentuan sebagai berikut:

a. ˜u adalah semikontinu atas.

b. ˜u(x) = 0 di luar interval [a− α, a + β].

c. Terdapat x di interval [a− α, a + β], sehingga (i) ˜u(x) monoton naik pada [a− α, a];

(ii) ˜u(x) monoton turun pada [a, a + β];

(iii) ˜u(x) = 1, untuk a≤ x ≤ b.

Definisi 3 [4],[6] Bilangan fuzzy triangular ˜u = (a, α, β), dengan a adalah titik pusat, α jarak titik ujung kiri dari titik pusat a, dan β jarak dari titik ujung kanan ke titik pusat a. Dikatakan bilangan fuzzy triangular apabila memenuhi fungsi keanggotaan sebagai berikut:

µu˜(x) = µ˜u(a, α, β) =















1− a− x

α , a− α ≤ x ≤ a;

1− x− a

β , a≤ x ≤ a + β;

0, lainnya.

Definisi 4 [3] Bilangan fuzzy triangular eu = (a, α, β) dikatakan positif (eu ≥ 0) jika dan hanya jika a− α ≥ 0 dan dikatakan negatif (eu ≤ 0) jika dan hanya jika a + β ≤ 0. Bilangan fuzzy triangular eu = (a, α, β) dan ev = (b, γ, δ) dikatakan sama apabila a = b, α = γ, β = δ.

Positif-Negatif Bilangan Fuzzy Triangular

Penjelasan tentang definisi positif-negatif bilangan fuzzy triangular dijelaskan pada [5]

Kasus pertama dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk a− α ≥ 0 dan a + β ≤ 0.

(i) Untuk a − α ≥ 0, bilangan fuzzy triangular ˜u dikatakan positif karena triangular seluruhnya berada dikanan sumbu r.

(ii) Untuk a + β ≤ 0, bilangan fuzzy triangular ˜u dikatakan negatif karena berada dikiri sumbu r.

Kasus kedua untuk a > 0. Ditentukan sifat positif-negatifnya berdasarkan nilai P dan Q dengan P = L1 + L2 dan Q = L3.

(i) Bilangan fuzzy triangular ˜u dengan a− α < 0 dan a > 0 dikatakan positif apabila P > Q

P = β

2 + a + a² 2β > α

2 − a − a² 2β = Q.

(ii) Bilangan fuzzy triangular ˜u dengan a − α ≤ 0 dan a > 0 dikatakan bernilai negatif apabila P < Q

P = β

2 + a + a² 2β < α

2 − a − a² 2β = Q.

Kasus ketiga untuk a < 0. Ditentukan sifat positif-negatifnya berdasarkan nilai P dan Q dengan P = L1 dan Q = L2 + L3.

(i) Bilangan fuzzy triangular ˜u dengan a + β > 0 dan a > 0 dikatakan positif apabila P > Q

P = β

2 + a− a² 2α > α

2 − a + a² 2α = Q.

(ii) Bilangan fuzzy triangular ˜u dengan a + β > 0 dan a > 0 dikatakan negatif apabila P < Q

P = β

2 + a− a² 2α < α

2 − a + a² 2α = Q.

Kasus keempat Untuk a = 0.

(i) ˜u dikatakan positif apabila β > α.

(ii) ˜u dikatakan negatif apabila β < α.

Operasi Aritmatika Bilangan Fuzzy Triangular

Artikel ini membahas mengenai operasi-operasi yang akan digunakan untuk bilangan fuzzy triangular yang telah dikemukakan oleh beberapa penulis.

Berikut operasi bilangan fuzzy triangular yang diberikan pada [3],[8],[12].

Selanjutnya, dibahas operasi bilangan fuzzy triangular yang tertera pada Definisi 5.

Definisi 5 [12] Untuk bilangan fuzzy triangular ˜u = (a, α, β) dan ˜v = (b, γ, δ), berlaku operasi sebagai berikut:

(a) ˜u = ˜v jika dan hanya jika a = b, α = γ, β = δ.

(b) ˜u⊕ ˜v = (a + b, α + γ, β + δ).

(c) ˜u⊖ ˜v = (a − b, α + δ, β + γ).

(d) Negatif dari bilangan fuzzy triangular −˜u = (−a, β, α).

(e) Untuk perkalian sebarang skalar

k ˜u(r) = {

(ka, kα, kβ), k ≥ 0, (ka,−kβ, −kα), k < 0,

3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRIANGULAR

Sebelum menentukan nilai eigen dan vektor eigen bilangan fuzzy triangular, terlebih dahulu definisikan determinan fuzzy dengan operasi aritmatika yang telah dimodifikasi. Selanjutnya akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen bilangan fuzzy triangular. Berikut ini diberikan definisi determinan matriks fuzzy seperti yang tertera pada Definisi 6 dikemukakan pada [9]

Definisi 6 Determinan eA dari suatu matriks fuzzy eA didefinisikan sebagai

det( eA) =∑ (±)

( _n

∏

i=1

eai, ji

) ,

Dengan tanda + dan tanda - dipilih untuk setiap suku berdasarkan genap atau ganjil permutasi dari (j₁, j₂,· · · jn).

Berikut ini diberikan contoh untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy triangular Nilai eigen adalah solusi dari sistem persamaan linier (˜λI− A)˜˜ x. Misalnya ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks fuzzy triangular berikut.

A =˜

[(2, 2, 4) (0, 1, 5) (3, 4, 4) (4, 3, 3) ]

Langkah pertama yaitu dibentuk persamaan karakteristik untuk matriks ˜A tersebut adalah det(˜λI− ˜A). Misalkan ˜λ = (x, y, z).

det(˜λI − ˜A)

= det (

(x, y, z)

[(1, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (1, 0, 0) ]

−

[(2, 2, 4) (0, 1, 5) (3, 4, 4) (4, 3, 3)

])

= det

([(x, y, z) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (x, y, z) ]

−

[(2, 2, 4) (0, 1, 5) (3, 4, 4) (4, 3, 3)

])

= det

[(x− 2, y + 4, z + 2) (0, 5, 1) (−3, 4, 4) (x− 4, y + 3, z + 3)

]

= (x− 2, y + 4, z + 2) ⊗ (x − 4, y + 3, z + 3) ⊖ (0, 5, 1) ⊗ (−3, 4, 4)

= (x− 2, y + 4, z + 2) ⊗ (x − 4, y + 3, z + 3) ⊖ (0, 3, 15)

Kemudian untuk menentukan perkalian (x− 2, y + 4, z + 2) ⊗ (x − 4, y + 3, z + 3), harus dibagi atas empat kasus berdasarkan positif-negatif yang merujuk pada definisi positif-negatif bilangan fuzzy triangular pada [5], yaitu Jika (x−2, y+4, z+2) positif

dan (x− 4, y + 3, z + 3) positif, maka

(x− 2, y + 4, z + 2) ⊗ (x − 4, y + 3, z + 3) ⊖ (0, 5, 1) ⊗ (−3, 4, 4)

= ((x− 2)(x − 4), (x − 2)(y + 3) + (x − 4)(y + 4), (x− 2)(z + 3) + (x − 4)(z + 2)) ⊖ (0, 3, 15)

= ((x− 2)(x − 4), (x − 2)(y + 3) + (x − 4)(y + 4) + 15,

(x− 2)(z + 3) + (x − 4)(z + 2) + 3) = (0, 0, 0) (1) Selanjutnya ditentukan akar untuk pusat dari persamaan karakteristik (2) karena untuk mencari nilai eigen adalah akar dari persamaan karakteristik. Untuk pusat dari persamaan karakteristik diperoleh

(x− 2)(x − 4) = 0 −→ x1 = 2, x₂ = 4

Jika x₁ = 2 disubstitusikan pada lebar kiri dan lebar kanan dari persamaan karakteristik (2) maka diperoleh nilai y = 7/2 dan z =−1/2. Sedangkan jika x2 = 4 disubstitusikan pada lebar kiri dan lebar kanan dari persamaan karakteristik (2) maka diperoleh nilai y =−21/2 dan z = −9/2,

Langkah selanjutnya yaitu mensubstitusikan nilai x, y, z yang ditemukan untuk memeriksa apakah betul (x− 2, y + 4, z + 2) positif dan (x − 4, y + 3, z + 3) positif. Jika kedua syarat itu terpenuhi, maka ˜λ = (x, y, z) adalah nilai eigen.

Pertama jika disubstitusikan x1, y1, z1 = 2, 7/2,−1/2 maka diperoleh (

2− 2,7

2 + 4,−1 2 + 2

)

= (

0,15 2 ,3

2 )

(2) (

2− 4,7

2 + 3,−1 2 + 3

)

= (

−2,13 2 ,5

2 )

(3) Setelah diperiksa, diperoleh bilangan fuzzy triangular (3) negatif dan bilangan fuzzy triangular (4) juga negatif. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ˜λ = (x₁, y₁, z₁) bukan nilai eigen matriks ˜A.

Kemudian jika disubstitusikan x₂, y₂, z₂ = 4,−21/2, −9/2 maka diperoleh (

4− 2, −21

2 + 4,−9 2 + 2

)

= (

2,−13 2 ,−5

2 )

(4) (

4− 4, −21

2 + 3,−9 2 + 3

)

= (

0,−15 2 ,−3

2 )

(5) Setelah diperiksa, diperoleh bahwa bilangan fuzzy triangular (5) adalah positif dan bilangan fuzzy triangular (6) juga positif. Jadi, dapat disimpulkan λ = (x˜ 2, y2, z2) = (4,−21/2, −9/2) adalah nilai eigen matriks ˜A.

Ketiga kasus lainnya kemudian dikerjakan dengan cara yang sama dan diperoleh hasil seperti pada Tabel 1. Misalkan u = (x−2, y+4, z+2) dan v = (x−4, y+3, z+3).

Tabel 1: Tabel Nilai Eigen

u v (x₁, y₁, z₁) (x₂, y₂, z₂) Nilai Eigen ˜λ

Positif Positif

( 2,7

2,−1 2

) (

4,−21 2,−9

2

) ( 4,−21

2 ,−9 2

)

Positif Negatif (

2,−11 2 ,−19

2

) ( 4,−21

2,−9 2

)

Tidak ada

Negatif Positif

( 2,7

2,−1 2

) (

4,−3 2,9

2 )

Tidak ada

Negatif Negatif (

2,−11 2 ,−19

2

) (

4,−3 2,9

2

) (

2,−11 2 ,−19

2 )

Jadi, terlihat bahwa matriks ˜A memiliki dua nilai eigen berbeda. Selanjutnya, misalkan vektor eigennya yaitu

˜ x =

[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

Untuk menentukan vektor eigen ˜x, vektor ˜x dibagi menjadi empat kasus berdasarkan definisi positif-negatif bilangan fuzzy triangular pada [5] dari (a, α, β) dan (b, γ, δ). Sebagai kasus pertama, misalkan (a, α, β) positif dan (b, γ, δ) positif.

Kasus tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara sebagai berikut.

Pertama ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen pertama λ˜₁ = (4,−21/2, −9/2) yang adalah solusi dari sistem persamaan linier ( ˜λ₁I− ˜A)˜x = 0.

( ˜λ₁I − ˜A)˜x =





 (

4− 2, −21

2 + 4,−9 2+ 2

)

(0, 5, 1) (−3, 4, 4)

(

4− 4, −21

2 + 3,−9 2+ 3

)







[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=





 (

2,−13 2 ,−5

2 )

(0, 5, 1) (−3, 4, 4)

(

0,−15 2 ,−3

2 )







[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=





 (

2a, 2α− 13

2 a, 2β− 5 2a

)

⊕ (0, 5b, b) (−3a, 3β + 4a, 3α + 4a) ⊕

(

0,−15 2 b,−3

2b )







[(0, 0, 0) (0, 0, 0) ]

=





 (

2a, 2α− 13

2 a + 5b, 2β− 5 2a + b

) (

−3a, 3β + 4a − 15

2 b, 3α + 4a− 3 2b

)







Dari 2a = 0 diperoleh a = 0. Setelah nilai a disubstitusikan ke persamaan lainnya kemudian diselesaikan dengan metode Eliminasi Gauss, maka diperoleh solusi α, β, b = 0.

Jadi, diperoleh vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen ˜x = (4,−21/2, −9/2) adalah

˜ x₁ =

[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=

[(0, 0, 0) (0, γ, δ) ]

Vektor ˜x₁ ini menjadi vektor eigen jika memenuhi syarat yang diberikan di awal yaitu (a, α, β) positif dan (b, γ, δ) positif. Agar syarat terpenuhi, maka haruslah dipilih nilai γ dan δ sedemikian hingga bilangan fuzzy triangular (0, γ, δ) positif.

Jadi, ruang eigen yang bersesuaian dengan ˜λ₁ = (4,−21/2, −9/2) dapat dituliskan sebagai

S1 =

{[(0, 0, 0) (0, γ, δ) ]

(0, γ, δ) positif }

Kedua ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen kedua ˜λ2 = (2,−11/2, −19/2) yang adalah solusi dari sistem persamaan linier ( ˜λ₂I − ˜A)˜x = 0.

( ˜λ2I− ˜A)˜x =





 (

2− 2, −11

2 + 4,−19 2 + 2

)

(0, 5, 1) (−3, 4, 4)

(

2− 4, −11

2 + 3,−19 2 + 3

)







[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=





 (

0,−3 2,−15

2 )

(0, 5, 1) (−3, 4, 4)

(

−2, −5 2,−13

2 )







[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=







( 0,−3

2a,−15 2 a

)

⊕ (0, 5b, b) (−3a, 3β + 4a, 3α + 4a) ⊕

(

−2b, 2δ − 5

2b, 2γ− 13 2 b

)







[(0, 0, 0) (0, 0, 0) ]

=







( 0,−3

2a + 5b,−15 2 a + b

) (

−3a − 2b, 3β + 4a + 2δ − 5

2b, 3α + 4a + 2γ− 13 2 b

)







Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah b = 0, a = 0.

Selanjutnya misalkan γ = s dan δ = t, sehingga diperoleh α =−2

3s β =−2 3t

Vektor ˜λ₁ yang bersesuaian dengan nilai eigen ˜λ₂ = (2, 19/2, 11/2) adalah

˜ x₂ =

[(a, α, β) (b, γ, δ)

]

=



 (

0,−2 3s,−2

3t )

(0, s, t)





Vektor ˜x₂ ini menjadi vektor eigen jika memenuhi syarat yang diberikan di awal yaitu (a, α, β) positif dan (b, γ, δ) positif. Bilangan fuzzy triangular (0,−²₃s,−²₃t)

positif jika t < s, sedangkan bilangan fuzzy triangular (0, s, t) positif jika s < t. Kedua syarat tersebut tidak mungkin terpenuhi secara bersamaan, maka tidak ada nilai s dan t yang memenuhi. Jadi, dapat disimpulkan tidak ada vektor ˜x₂ yang merupakan vektor eigen untuk ˜λ₂.

Setelah hasil dari ketiga kasus lainnya dikerjakan, diperoleh bahwa ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ˜λ₁ = (4,−21/2, −9/2) adalah

{[(0, 0, 0) (0, γ, δ) ]

(0, γ, δ)̸= (0, 0, 0) }

Sedangkan untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan ˜λ₂ = (2,−11/2, −19/2) adalah gabungan dari S3 dan S4 atau dapat ditulis S3∪ S4.

S3 = { 

 (

−2 3r, 1

18r− 2

3s,−23 18r− 2

3t )

(r, s, t)



 (r, s, t) negatif

dan (

−2 3r, 1

18r− 2

3s,−23 18r− 2

3t )

positif }

S₄ = { 

 (

−2 3r,23

18r− 2 3s,− 1

18r− 2 3t

)

(r, s, t)



 (r, s, t) positif

dan (

−2 3r, 23

18r− 2 3s,− 1

18r− 2 3t

)

negatif }

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan merujuk pada definisi nilai eigen dan vektor eigen pada

matriks bilangan real dan definisi determinan real, dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks fuzzy. Selain itu, dengan menggunakan definisi positif dan negatif pada matriks fuzzy triangular, tidak hanya matriks dengan seluruh entrinya bilangan fuzzy triangular positif, namun juga matriks dengan entri bilangan fuzzy triangular negatif, dan juga dengan menggunakan operasi aritmatika bilangan fuzzy dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy triangular, kemudian setelah diperiksa syaratnya apakah benar hasilnya nilai eigen atau bukan kemudian didapatkanlah nilai eigen.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr.

Mashadi, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] M. C. J. Anand dan M. E. Anand, Eigenvalues and eigenvectors for fuzzy matrix, International Journal of Engineering Research and General Science, 3(2015), 2091-2730.

[2] H. Anton dan C. Rorres, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi, Edisi Kedelapan, Jilid 1, Terj. dari Elementer Linear Algebra, Eight Edition, oleh R. Indriasari dan I. Harmein, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004.

[3] N. Babbar, A. Kumar dan A. Bansal, Solving fully fuzzy linear system with arbitrary triangular fuzzy number (m, α, β), Soft Computing, 17(2013), 691-702.

[4] M. Bhowmik, M. Pal dan A. Pal, Circulant triangular fuzzy number matrices, Journal of Physical Sciences, 12(2008), 141-154.

[5] Z. Desmita dan Mashadi, Alternative multiplying triangular fuzzy number and applied in fully fuzzy linear system, American Scientific Research Journal for Engineering,Technology, and Sciences, 56(2019), 113-123.

[6] C. Jaisankar dan R. Selvakumar, Solving fully fuzzy linear system with triangular fuzzy number matrices by partitioning, International Journal of Scientific Research Engineering and Technology, 6(2017), 319-322.

[7] S. I. Marni, Mashadi dan S. Gemawati, Solving dual fully fuzzy linear system by use factorizations of the coefficient matrix for trapezodial fuzzy number, Bulletin Mathematics, 2(2018), 145-156.

[8] Mashadi, A new method for dual fully fuzzy linear system by use LU factorizations of the coefficient matrix, Jurnal Matematika dan Sains, 15(2010), 100-106.

[9] M. Z. Ragab dan E. G. Emam, The determinant and adjoint of a square fuzzy matrix, Information Sciences, 84(1995), 209-220.

[10] S. Salahshour, R.Rodriguez-Lopez, F. Karimi dan A. Kumar, Computing the eigenvalues and eigenvectors of a fuzzy matrix, Journal of Fuzzy Set Valued Analysis, 2012(2012), 1-18.

[11] H. D. V. A. Sanskrit, Fuzzy eigenvalues and fuzzy eigenvectors for fuzzy matrix, AE International Journal of Multidisciplinary Research, 5(2017),1-6.

[12] A.K. Shyamal dan M. Pal, Triangular fuzzy matrices, Iranian Journal of Fuzzy Systems, 4(2007), 75-87.

[13] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 8 (1965), 338-353.