Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex

Landasan Teori

Salah satu hal yang menarik dari topik tugas akhir ini adalah penggunaan sebuah ilmu dari dunia insurance (teori comonotonic) ke dunia matematika keuangan. Oleh karena itu untuk memahaminya diperlukan pemahaman ter- lebih dahulu terhadap konsep - konsep dalam matematika keuangan dan teori comonotonic. Pada bab ini akan diperkenalkan dasar - dasar teori ukuran, teori peluang, dan matematika keuangan yang akan membantu pemahaman selanjutnya.

2.1 Fungsi Convex

Pada pembahasan di bab-bab selanjutnya penjelasan fungsi convex dan sifat- sifatnya akan sangat membantu pemahaman dan pembuktian beberapa teo- rema. Untuk lebih jelasnya, konsep fungsi convex dapat dilihat pada buku rujukan [3] dan [4] Goovaerts, M.J. Berikut ini adalah beberapa pengertian yang akan diperlukan selanjutnya.

4

De…nisi 1 Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk 0 1 berlaku

¹

f ( x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y):

Sifat-sifat fungsi convex yang penting antara lain

1. Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk setiap x

0

2 D

^f

(domain dari fungsi f) terdapat sebuah garis l(x) = a + bx dimana l(x

0

) = f (x

₀

) dan l(x) f (x) untuk setiap x:

2. Jensen Inequality, Jika f adalah suatu fungsi convex dan X adalah suatu peubah acak maka

f (E [X]) E [f (X)] :

2.2 Ruang Probabilitas

Pembahasan dalam tugas akhir ini akan banyak memakai sudut pandang dari ilmu teori peluang. Oleh karena itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai ruang probabilitas dan segala hal yang terkait dengannya sampai pada ukuran probabilitas. Pembahasan yang lebih lengkap mengenai ruang probabilitas sampai dengan konsep model pergerakan harga saham dapat ditemukan di buku rujukan [8] Shreve, Steven dan [9] Syamsuddin, Dr.M.

2.2.1 Aljabar dan - Aljabar

De…nisi 2 Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari :

²

Suatu aljabar pada adalah koleksi himpunan F yang memenuhi sifat - sifat berikut

1

De…nisi di atas dikutip dari buku [3] Insurance Premiums : Theory and Applications karangan Goovaerts halaman 240 dan 260 serta buku [4] E¤ective Actuarial Methods karangan Goovaerts halaman 14 - 15.

2

De…nisi 2 - 16, teorema 17, dan penjelasan pada sub - bab 2.2, 2.3, dan 2.4 dikutip dari

buku [9] Catatan Kuliah Matematika Keuangan karangan Dr. M. Syamsuddin, M.Com.

1. 2 F

2. Bila A 2 F maka A

^c

2 F

3. Bila A, B 2 F maka A [ B 2 F:

De…nisi 3 Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari : Koleksi himpunan F disebut dengan aljabar pada bila F adalah aljabar dan bila A

1

; A

₂

; ::: adalah barisan di F maka S

¹

k=1

A

_k

2 F:

Dalam teori peluang aljabar dapat diartikan sebagai informasi menge- nai hasil eksperimen acak.

Catatan : Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi him- punan yang terhingga (…nite) sedangkan sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhitung.

De…nisi 4 Apabila F

¹

; F

²

; ::: adalah keluarga sub aljabar dari F dengan sifat F

¹

F

²

F maka keluarga tersebut dinamakan …ltrasi.

De…nisi 5 Misal C adalah kelas dari sub-himpunan dari : Pengertian aljabar yang dibangkitkan oleh C, dinotasikan dengan (C); adalah aljabar terkecil pada dengan C (C):

De…nisi 6 Misal R adalah himpunan semua bilangan riil. Pengertian aljabar Borel pada R, dinotasikan dengan ß(R), adalah aljabar yang dibangkitkan oleh famili selang terbuka pada R.

Catatan : Setiap himpunan yang merupakan unsur dari ß (R) disebut de-

ngan himpunan Borel.

2.2.2 Ukuran, Ruang Probabilitas, dan Peubah Acak

De…nisi 7 ( ; F) disebut ruang terukur bila adalah suatu himpunan dan F adalah aljabar pada : Unsur F disebut dengan sub-himpunan dari yang F- terukur.

De…nisi 8 Misal adalah suatu himpunan dan F adalah suatu aljabar pada serta adalah fungsi himpunan yang non-negatif

: F ! (0; 1):

Fungsi disebut aditif apabila memenuhi sifat berikut

1. (?) = 0

2. Apabila A

1

; A

₂

2 F dan A

¹

\ A

²

= ? maka (A

¹

[ A

²

) = (A

₁

) + (A

₂

):

De…nisi 9 Fungsi disebut aditif terhitung bila memiliki sifat - sifat berikut

1. (?) = 0

2. Apabila A

1

; A

₂

; ::: adalah barisan di F dan A

ⁱ

\ A

^j

= ? untuk setiap i 6= j dan S

¹

k=1

A

_k

2 F maka S

¹

k=1

A

_k

= P

¹

k=1

(A

_k

):

De…nisi 10 Misal ( ; F) adalah suatu ruang terukur. Fungsi yang dide…- nisikan dengan

: F ! (0; 1)

disebut ukuran pada ( ; F) bila adalah aditif yang terhitung dan ( ; F; ) akan disebut dengan ruang ukuran.

De…nisi 11 Ukuran P disebut ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada ruang terukur ( ; F) dan P ( ) = 1:

Dengan kata lain P adalah ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada

ruang terukur ( ; F) yang mempunyai sifat

1. P ( ) = 1

2. Untuk barisan A

1

; A

₂

; ::: di F dengan A

ⁱ

\ A

^j

= ? untuk setiap i 6= j akan berlaku P S

¹

k=1

A

_k

= P

¹

k=1

P (A

_k

):

De…nisi 12 Suatu ruang probabilitas ( ; F; P ) terdiri dari 3 objek

1. Ruang sampel

2. Suatu aljabar F = himpunan kuasa( )

3. Suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur ( ; F), yaitu P(A) terde…nisi 8A 2 F:

Catatan : Himpunan kuasa ( ) adalah himpunan semua himpunan bagian dari :

De…nisi 13 Misal ( ; F; P ) adalah ruang probabilitas. Suatu fungsi X : ! R akan disebut dengan peubah acak jika dan hanya jika X

¹

(B) = f! j X (!) 2 B g 2 F untuk setiap himpunan Borel B.

2.3 Martingales

Pada tugas akhir ini semua pembahasan selanjutnya akan berada dalam suatu ruang probabilitas ( ; F; Q) dimana Q adalah suatu ukuran probabilitas.

De…nisi 14 Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah acak fX(t)g de- ngan t 2 T dan T R: Apabila T = f1; 2; :::g maka fX(t)g adalah proses stokastik dengan waktu diskrit dan apabila T = [0; 1) maka fX(t)g adalah proses stokastik dengan waktu kontinu.

De…nisi 15 Proses stokastik fX(t)g teradaptasi oleh …ltrasi fF(t)g apabila

X(t) adalah F(t) terukur untuk 8t 2 T:

De…nisi 16 Proses stokastik fX(t)g disebut martingales apabila memenuhi sifat-sifat berikut

1. X(t) dapat diintegralkan 8t 2 T:

2. fX(t)g teradaptasi oleh …ltrasi fF(t)g:

3. E [X(t) j F(s)] = X(s) untuk s < t:

Catatan : Bahasan mengenai ruang probabilitas dan …ltrasi dapat dite- mukan dalam buku -buku mengenai kalkulus stokastik.

Pada pembahasan selanjutnya suatu proses stokastik fe

^t

A(t); t 0 g adalah martingales di bawah ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham dan adalah suku bunga risk-free yang konstan sepanjang waktu.

2.4 Gerak Brownian

Pada model Black Scholes (1973), harga dari sebuah aset beresiko (dalam tugas akhir ini adalah saham) dijelaskan dengan suatu proses stokastik fA(t); t 0 g yang mengikuti gerak geometrik Brownian dengan koe…sien drift dan volatil- itas : Untuk itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai gerak geometrik Brownian.

Gerak Acak Simetris

Apabila hasil pelantunan suatu koin dinyatakan dalam suatu variabel acak X

j

dimana j = 1; 2; ::: dan dide…nisikan

X

_j

(!

_j

) = 8 <

: 1

1

apabila !

j

= M uka apabila !

j

= Belakang

:

Diasumsikan lantunan koin yang satu dengan yang lainnya bersifat saling be-

bas. Oleh karena itu X

1

; X

2

; ::: bersifat saling bebas. Dalam hal ini peluang

munculnya muka dan belakang pada pelantunan koin diasumsikan sama yaitu

Pr f!

^j

= M uka g = Prf!

^j

= Belakang g = 1 2 : Berikut ini adalah sifat-sifat dari variabel acak X

j

1. E[X

j

] = (1) Pr f!

^j

= M uka g + ( 1) Prf!

^j

= Belakang g = 0 2. V ar[X

j

] = (1)

²

Pr f!

^j

= M uka g + ( 1)

²

Pr f!

^j

= Belakang g = 1 3. Fungsi pembangkit momen dari X

j

adalah

M

_Xj

(t) = E[e

^tXj

]

= e

^t

Pr f!

^j

= M uka g + e

^t

Pr f!

^j

= Belakang g

= 1

2 (e

^t

+ e

^t

):

Berikutnya de…nisikan

M

_k

= X

k

j=1

X

_j

:

Proses fM

^k

g

¹k=0

inilah yang disebut dengan gerak acak simetris. Sifat- sifat dari gerak acak simetris adalah

4. E[M

k

] = E

"

P

k j=1

X

_j

#

= P

k j=1

E [X

_j

] = 0

5. V ar[M

k

] = P

k j=1

V ar [X

_j

] = k 6. Inkremen dari M

k

yaitu

M

_k

M

_{k 1}

= X

_k

bersifat saling bebas.

Gerak Acak Simetris Berskala

Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan misalkan k = tn: De…nisikan gerak acak simetris berskala W

⁽ⁿ⁾

(t) dengan

W

⁽ⁿ⁾

(t) = 1

p n M

_k

:

Teorema 17 Untuk t 0 dan n ! 1, distribusi dari W

⁽ⁿ⁾

(t) akan konvergen ke distribusi normal dengan mean 0 dan variansi t.

Dari teorema di atas, untuk n ! 1 proses W

⁽ⁿ⁾

(t) akan konvergen menjadi proses fW (t)g dengan sifat-sifat

1. W (0) = 0

2. W (t) adalah fungsi yang kontinu di t.

3. Misalkan 0 < s < t maka W (s) dan W (t) W (s) saling bebas dan berlaku

E[W (t)W (s)] = E[W (s) (W (t) W (s) + W (s))]

= E[W (s) (W (t) W (s))] + V ar[W (s)]

= s

= min fs; tg

4. Apabila 0 = t

0

< t

₁

< t

₂

< ::: < t

_n

dan dide…nisikan inkremen dari W (t) sebagai

Y

_n

= W (t

_n

) W (t

_{n 1}

) maka

(a) Y

1

; Y

2

; :::; Y

n

saling bebas dan berdistribusi normal.

(b) E[Y

j

] = 0 8j = 1; 2; :::; n

(c) V ar[Y

j

] = E[Y

_j²

] = E[(W (t

j

) W (t

j 1

))

²

] = t

j

2t

j 1

+ t

j 1

= t

_j

t

_{j 1}

:

Proses stokastik fW (t)g yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut gerak

Brownian atau proses Wiener. Jadi dalam hal ini gerak acak simetris berkala

akan menghasilkan gerak Brownian asalkan n ! 1:

2.5 Model Pergerakan Harga Saham

Saham adalah suatu aset yang beresiko. Oleh karena itu model pergerakan har- ga saham haruslah mempunyai bagian stokastik selain bagian deterministik.

Bagian deterministik dari model ini melambangkan return dari saham (seba- gai suatu aset keuangan) sedangkan bagian deterministiknya menggambarkan resiko dari saham. Pergerakan harga saham dapat dianalogikan sebagai suatu gerak acak. Model dari pergerakan harga saham, yang dinotasikan dengan A(t), adalah

A(t) = A(0) exp ( 1 2

2

)t + p tZ dengan

Z N (0; 1):

Dengan demikian

ln A(t)

A(0) N ( 1

2

2

)t;

²

t :

Catatan: Peubah menyatakan suku bunga tanpa resiko.

Kita asumsikan bahwa terdapat suatu ukuran probabilitas Q sehingga fe

^t

A(t); t 0 g adalah martingales dibawah ukuran probabilitas Q. Aki- batnya untuk t 0, ekspektasi bersyarat e

^t

A(t) apabila diberikan informasi pada saat t = 0 akan sama dengan harga saham saat t = 0. Apabila dituliskan ke dalam bahasa matematika maka

E

^Q

[e

^t

A(t) j F(0)] = A(0); t 0 atau dalam persamaan yang lebih "ringkas"

E

^Q

[e

^t

A(t)] = A(0); t 0:

2.6 Opsi

2.6.1 Konsep Umum

Opsi adalah perangkat keuangan yang memberikan hak bagi pemiliknya untuk membeli atau menjual saham dengan harga tertentu (yang tercantum di dalam opsi tersebut dan dinamakan dengan exercise price). Opsi memiliki waktu di- mana pemiliknya dapat menggunakannya / melakukan exercise (menjual atau membeli saham), yang dide…nisikan sebagai maturity time. Pada umumnya ada 2 jenis opsi yaitu opsi eropa dan opsi amerika. Yang membedakan kedu- anya adalah waktu exercise-nya. Opsi eropa hanya dapat di-exercise saat ma- turity time sedangkan opsi amerika dapat di-exercise sejak opsi mulai berlaku sampai maturity time. Untuk masing-masing kelompok opsi ini, terdapat 2 jenis kelompok lagi yaitu opsi call atau opsi put. Opsi call memberikan hak untuk membeli suatu saham sedangkan opsi put memberikan hak untuk men- jual saham. Dari masing -masing kelompok opsi ini dide…nisikan payo¤ -nya yaitu:

1. untuk opsi call eropa

EC(K; T ) = 8 <

:

A(T ) K 0

bila A(T ) > K bila A(T ) K

= max fS(T ) K; 0 g 2. untuk opsi put eropa

EP (K; T ) = 8 <

:

0 K A(T )

bila A(T ) K bila A(T ) < K

= max fK A(T ); 0 g 3. untuk opsi call amerika

A

_m

C(K; t) = 8 <

:

A(t) K 0

bila A(t) > K bila A(t) K

= max fA(t) K; 0 g

4. untuk opsi put amerika

A

_m

P (K; t) = 8 <

: 0 K A(t)

bila A(t) K bila A(t) < K

= max fK A(t); 0 g

dengan K adalah exercise price, T adalah maturity time, A(t) adalah harga saham pada saat t. Payo¤ dari suatu opsi dapat dideskripsikan sebagai nilai dari opsi saat akan dilakukan exercise.

2.6.2 Opsi Asia

Opsi yang akan dibahas di dalam tugas akhir ini adalah opsi asia. Opsi asia adalah jenis opsi yang mengandalkan harga-harga saham sebelum maturity time. Opsi asia dapat digolongkan ke dalam jenis opsi eropa karena wak- tu exercise-nya berada pada maturity time. Pada umumnya opsi asia dibagi menjadi 2 bagian yaitu opsi average value dan opsi average strike.

Misalkan terdapat suatu opsi call asia dengan maturity time T dan strike price K. Payo¤ dari opsi average price dide…nisikan sebagai

AC = max fB K; 0 g

sedangkan payo¤ dari opsi strike price dide…nisikan sebagai AC = max fA(T ) B; 0 g

dengan

B = 1 n

X

n i=1

A(t

_i

) untuk kasus aritmatik diskrit

B = 1

T

₂

T

₁

T2

Z

T1

A(t)dt untuk kasus aritmatik kontinu

B =

"

_n

Y

i=1

A(t

_i

)

# 1

n untuk kasus geometrik diskrit

B = exp 0

@ 1

T

₂

T

₁

T2

Z

T1

ln [A(t)] dt 1

A untuk kasus geometrik kontinu.

Perhatikan bahwa untuk kasus diskrit opsi asia bergantung pada n harga saham sebelum T sedangkan pada kasus kontinu opsi asia bergantung pada harga saham antara interval waktu T

2

dan T

1

:

Sebagai catatan, untuk kasus aritmatik bentuk dari fungsi padat peluang

B tidak mudah untuk diketahui sedangkan pada kasus geometrik fungsi padat

peluang dari B jelas adalah distribusi lognormal. Hal inilah yang mengaki-

batkan untuk kasus aritmatik, penentuan harga opsi asia dilakukan (salah

satunya) dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.Pembahasan selanjutnya

hanya akan difokuskan kepada opsi call asia aritmatik diskrit jenis average

value.

2.7 Formula Black Scholes

Persamaan Black Scholes digunakan untuk mempermudah pencarian harga suatu asset (dalam kasus di bawah ini adalah opsi call C(K; T ) dengan exer- cise price K dan maturity time T). Perlu diketahui sebelumnya bahwa dalam formula Black Scholes, asumsi yang digunakan adalah

1. Peubah acak ln

_A(0)^A(t)

berdistribusi normal

¹₂ ²

t;

²

t di bawah ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham pada waktu t.

2. A(0) = e

^t

E

^Q

[A(t)] :

Harga opsi call eropa dide…nisikan sebagai

C(K; T ) = e

^T

E

^Q

(A(T ) K)

₊

dan rumus Black Scholes untuk persamaan di atas adalah

C(K; T ) = A(0) (d

₁

) Ke

^T

(d

₂

) dengan

d

₁

=

ln

^A(0)_K

+ ( +

¹₂ ²

)T p T

dan

d

₂

=

ln

^A(0)_K

+ (

¹₂ ²

)T

p T :

2.8 Simulasi Monte Carlo

Pada pembahasan selanjutnya, harga dari opsi asia (sebagai pembanding) akan

ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo telah menjadi

alat umum untuk mencari harga dari opsi asia. Dengan simulasi ini batas

atas dan batas bawah harga opsi asia juga bisa didapatkan, yaitu dengan

memanfaatkan konsep selang kepercayaan dimana pada umumnya digunakan

selang kepercayaan 95%. Hasil dari simulasi ini akan dipakai nantinya sebagai

pembanding dengan hasil dari konsep comonotonic.

2.8.1 Konsep Dasar

Misalkan X adalah peubah acak dengan E[X] = a dan V ar[X] = b

²

: Misalkan pula X

1

; X

₂

; :::; X

_n

adalah barisan peubah acak yang berdistribusi identik de- ngan X. Dengan demikian

a

_n

= 1 n

X

n i=1

X

_i

adalah penaksir tak bias untuk a dan

b

²_n

= 1 n 1

X

n i=1

(X

_i

a

_n

)

²

adalah penaksir tak bias untuk b

²

: Menurut teorema limit pusat, untuk

n ! 1 berlaku

_n

P

i=1

X

_i

na b p

n N (0; 1):

Dengan memanfaatkan hasil ini maka didapatkan

Pr 0 B B

@ P

n i=1

X

_i

na b p

n 1:96

1 C C

A = 0:95

atau

Pr fa

ⁿ

1:96 b

p n a a

_n

+ 1:96 b

p n g = 0:95:

Dengan mengambil b b

_n

maka Pr fa

ⁿ

1:96 b

_n

p n a a

_n

+ 1:96 b

_n

p n g 0:95:

Dengan demikian selang kepercayaan untuk a adalah a

_n

1:96 b

_n

p n a; a

_n

+ 1:96 b

_n

p n :

2.8.2 Metode Antithetic

Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai metode Monte Carlo de-

ngan antithetic untuk kasus peubah acak normal. Hal ini dikarenakan pada

penaksiran harga dan selang harga opsi asia, metode Monte Carlo yang dibu- tuhkan adalah antithetic untuk kasus peubah acak normal. Misalkan

I = E [f (U )] ; dimana U N (0; 1)

adalah nilai yang akan ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Penaksir tak bias yang sesuai adalah

I

_n

= 1 n

X

n i=1

f (U

_i

); dimana U

i

N (0; 1) dan i.i.d.

Penaksir tak bias di atas hanya akan dipakai pada metode Monte Carlo stan- dard. Pada metode antithetic, penaksir tak bias yang akan digunakan adalah

I

_n

= 1 n

X

n i=1

f (U

_i

) + f ( U

_i

)

2 ; dimana U

i

N (0; 1) dan i.i.d.

2.8.3 Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Asia

Misalkan terdapat suatu opsi call asia (kasus aritmatik diskrit) dengan ma- turity time T dan jumlah saham yang terlibat di dalamnya adalah n saham yaitu fA(T n + 1); :::; A(T ) g dimana A(t) adalah harga saham pada saat t.

Harga dari opsi asia pada saat awal (t = 0) ditentukan oleh AC = e

^T

E [max fB K; 0 g]

dengan

B = 1 n

X

n i=1

A(t

_i

):

dan menyatakan suku bunga tanpa resiko.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa ln A(t)

A(0) N ( 1

2

2

)t;

²

t :

Prosedur dari Monte Carlo antithetic untuk kasus ini diberikan adalah sebagai berikut.

1. Kembangkan data acak Z

i

berditribusi normal baku.

2. Kembangkan data saham pertama yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana

A(1) = A(0) exp ( 1 2

2

)t + p tZ

₁

A(2) = A(1) exp ( 1

2

2

)t + p tZ

₂

dan seterusnya sampai dengan

A(T ) = A(T 1) exp ( 1 2

2

)t + p

tZ

_{T 1}

:

3. Hitunglah

C = e

^T

max ( 1

n X

T t=T n+1

A(t) K; 0 )

4. Kembangkan data saham kedua yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana

A(1) = A(0) exp ( 1 2

2

)t p

tZ

₁

A(2) = A(1) exp ( 1

2

2

)t p

tZ

₂

dan seterusnya sampai dengan

A(T ) = A(T 1) exp ( 1 2

2

)t p

tZ

_{T 1}

:

5. Hitunglah

D = e

^T

max ( 1

n X

T t=T n+1

A(t) K; 0 )

:

6. Ulangi proses di atas sebanyak m kali sehingga kita mendapatkan fC

¹

; C

₂

; :::; C

_m

g dan fD

¹

; D

₂

; :::; D

_m

g:

7. Hitung

E

_i

= C

_i

+ D

_i

2 ; 8i = 1; 2; :::; m:

8. Taksiran harga opsi asia AC(n; K; T ) dapat ditentukan dari

AC(n; K; T ) = 1 m

X

m i=1

E

_i

:

9. Hitung

V ar [AC(n; K; T )] = 1

m 1

X

m i=1

[E

_i

AC(n; K; T )]

²

:

10. Selang kepercayaan 95% untuk harga opsi asia AC(n; K; T ) diberikan oleh

"

AC(n; K; T ) 1:96

r V ar [AC(n; K; T )]

m ; AC(n; K; T ) + 1:96

r V ar [AC(n; K; T )]

m

# :

11. Standard error nya diberikan oleh

s:e =

r V ar [AC(n; K; T )]

m :