MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Sebagai contoh, jika f = f (t) menyatakan posisi suatu benda yang berubah terhadap waktu t, kita ingin mengetahui seberapa cepat f berubah pada saat t tertentu. Permasalahan ini merupakan permasalahan limit yang khas, yang dikenal sebagai turunan.

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di c apabila limit

x→clim

f (x) − f (c) x − c

ada. Nilai limit tersebut kemudian disebut turunan dari f di c, yang dilambangkan dengan f⁰(c) atau Df (c).

Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f⁰(c) = lim

x→c

f (x) − f (c) x − c . Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh

f⁰(c) = lim

h→0

f (c + h) − f (c)

h .

Catatan: f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat bilangan L = f⁰(c) sedemikian sehingga

f (c + h) − f (c) − Lh = (h) dengan ^(h)_h → 0 untuk h → 0.

Secara geometris, fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f (x) mempunyai garis singgung di titik (c, f (c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f⁰(c).

Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f (x) di titik (c, f (c)) dalam hal ini adalah

y = f (c) + f⁰(c)(x − c).

Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f (x). Jika x berubah dari c ke c + h, maka y akan bertambah kira-kira sebesar hf⁰(c). Jadi, dengan mengetahui f⁰, kita mengetahui bagaimana f berubah (bila x berubah).

Catatan: Masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.

Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c

Contoh 1. Misalkan f (x) = x² dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung

limx→1

f (x) − f (1) x − 1 = lim

x→1

x²− 1

x − 1 = lim

x→1(x + 1) = 2.

Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f⁰(1) = 2.

Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f (x) = x² mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, dengan f⁰(c) = 2c.

Fungsi f⁰ : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .

Contoh 2. Misalkan f (x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa lim

h→0

f (h) − f (0)

h = lim

h→0

|h|

h

tidak ada (mengapa?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.

Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c.

Bukti. [Diberikan di papan tulis.]

Catatan: Kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c.

Kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c.

Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] → R yang didefinisikan sebagai f (x) = 2x, 0 ≤ x < 1;

1, 1 ≤ x ≤ 2,

tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut.

SOAL

1 Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0.

2 Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik.

Dengan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat limit, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang.

Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, f g, dan f /g mempunyai turunan di c, dan

(i) (λf + µg)⁰(c) = λf⁰(c) + µf⁰(c);

(ii) (f g)⁰(c) = f⁰(c)g(c) + f (c)g⁰(c);

(iii)

f g

0

(c) = ^f0(c)g(c)−f (c)g⁰(c)

g²(c) asalkan g(c) 6= 0.

Bukti. (i) Latihan.

(ii) Perhatikan bahwa

1

hf (c + h)g(c + h) − f (c)g(c)

= g(c + h)h

f (c+h)−f (c) h

i

+ f (c)h

g(c+h)−g(c) h

i

→ g(c)f⁰(c) + f (c)g⁰(c), untuk h → 0.

(iii) Latihan.

Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xⁿ. Maka turunan dari f adalah

f⁰(x) = nxⁿ⁻¹.

Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f (x) = x, jelas bahwa f⁰(x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika f (x) = x^k, maka f⁰(x) = kx^k−1. Maka, untuk n = k + 1 atau f (x) = x^k+1, kita peroleh

f⁰(x) = D(x^k.x) = D(x^k).x + x^k.D(x) = kx^k−1.x + x^k = (k + 1)x^k. Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n ∈ N.

turunan di c dan

(f ◦ g)⁰(c) = f⁰(g(c))g⁰(c).

Bukti. Berdasarkan definisi turunan, (f ◦ g)⁰(c) = lim

x→c

(f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(c)

x − c = lim

x→c

f (g(x)) − f (g(c))

x − c .

Bila g(x) − g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c − δ, c + δ), maka (f ◦ g)⁰(c) = lim

x→c

f (g(x)) − f (g(c))

g(x) − g(c) · g(x) − g(c)

x − c = f⁰(g(c)) · g⁰(c).

Untuk mengatasinya, definisikan

h(y) :=

( f (y)−f (g(c))

y−g(c) , y 6= g(c), f⁰(g(c)), y = g(c).

Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c.

Akibatnya, kita peroleh

(f ◦ g)⁰(c) = lim

x→c

f (g(x)) − f (g(c)) x − c

= lim

x→ch(g(x)) · g(x) − g(c) x − c

= f⁰(g(c)) · g⁰(c), sebagaimana yang kita harapkan.

SOAL

1 Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku D(x^r) = rx^r−1

asalkan x > 0.

2 Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f⁻¹ : R → R dan f⁻¹ mempunyai turunan di y = f (x), maka

Df⁻¹(y) = 1 Df (x).

Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I.

Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f⁰, merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I.

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f⁰, yang nilainya di c adalah

f⁰⁰(c) = lim

x→c

f⁰(x) − f⁰(c) x − c , asalkan limit ini ada.

f (c + h) − f (c) − hf⁰(c) − h²

2 f⁰⁰(c) = (h), dengan ^(h)_h2 → 0 untuk h → 0.

Dengan mengetahui f⁰⁰, kita dapat mengetahui bagaimana f⁰ berubah.

Secara geometris, turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f .

Jika f⁰⁰ bernilai positif pada suatu interval, maka f⁰ membesar sehingga grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut.

Jika f⁰⁰ bernilai negatif pada suatu interval, maka f⁰ mengecil

Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa.

Secara umum, f⁽ⁿ⁾(x) menyatakan turunan ke-n, n ∈ N, dari f . Contoh 7. Jika f (x) = ¹_x, maka

f⁰(x) = − 1 x²; f⁰⁰(x) = 2

x³; f⁰⁰⁰(x) = − 6 x⁴;

dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f⁽ⁿ⁾(x) untuk n ∈ N?)

Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n − 1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.

SOAL

1 Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, dapat ditunjukkan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka

f⁰⁰(c) = lim

h→0

f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)

h² .

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada.

2 Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p^(m)(x) = 0 untuk m > n.