Notes : nilai kebenaran implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran kontrapositifnya.

Nama : Ismayani Setyaningrum NIM : 10119265

Kelas : IF-7

RANGKUMAN MATERI

1. Pertemuan 9 (Metode Pembuktian)

• Metode Pembuktian Langsung

• Metode Pembuktian tak langsung 1. Metode Kontradiksi

2. Metode Kontrapositif

Misal terdapat implikasi 𝑝 → 𝑞 diasumsikan bahwa p benar.

Jika q benar, maka implikasi 𝑝 → 𝑞 benar.

Untuk 𝑝 → 𝑞 bernilai benar, tentukan ekuivalensi terlebih dahulu, yaitu :

Jadi, untuk membuktikan bahwa implikasi 𝑝 → 𝑞 benar, maka tunjukan bahwa (𝑝 ∧ ¬𝑞) adalah salah.

Notes : nilai kebenaran implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran kontrapositifnya.

Jika nilai kebenaran dari implikasi 𝑝 → 𝑞 benar, maka nilai kebenaran kontrapositifnya ¬𝑞 → ¬𝑝 benar.

Simbol : (𝑝 → 𝑞) ≡ ¬𝑞 → ¬𝑝

Maka, untuk membuktikan nilai kebenaran suatu implikasi, kita dapat buktikan melalui kontrapositifnya.

3. Metode Vacuous

4. Metode Trivial

5. Pembuktian tak langsung berdasarkan Kasus

6. Pembuktian tak langsung Equivalensi

Jika ingin menunjukan bahwa implikasi 𝑝 → 𝑞 benar, maka tunjukan bahwa p bernilai salah.

Jika ingin menunjukan implikasi 𝑝 → 𝑞, maka tunjukan bahwa q bernilai benar.

Jika ingin menunjukan implikasi 𝑝 → 𝑞, bentuk p menjadi disjungsi, yaitu :

Untuk membuktikan proposisi berbentuk bi-implikasi 𝑝 ↔ 𝑞, maka tinjau ekuivalensi 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞)⋀(𝑞 → 𝑝).

Jika (𝑝 → 𝑞)𝑑𝑎𝑛 (𝑞 → 𝑝) terbukti, maka 𝑝 ↔ 𝑞 terbukti.

2. Pertemuan 10 (Induksi Matematika)

• Definisi :

• Langkah-langkah melakukan pembuktian

Contoh Soal :

Teorema :

Tunjukkan bahwa n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika Hipotesa :

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)= (n+1)((n+1)+1)/2 Bukti :

Langkah 1(basis) :

Untuk n = 1, maka 1 = 1(1+1)/2 adalah benar.

1 = 1 (1+1)/2 = 1 (2)/2 = 2/2 = 1

Induksi Matematika merupakan suatu Teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan (yang menyangkut bilangan bulat). Induksi matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu, dengan menggunkan induksi matematika, akan mengurangi pembuktian bahwa semua bilangan bulat positif termasuk kedalam suatu himpunan kebenaran dengan jumlah Langkah terbatas.

1. Tulis TEOREMA yang akan dibuktikan.

2. Tulis HIPOTESA AWAL

3. Tandai permulaan pembuktian dengan kata BUKTI, sebagai pemisah antara teorema dan pembuktian yang dilakukan.

4. Buktikan secara lengkap dan menyeluruh

5. Lengkapi pembuktian dengan keterangan yang memudahkan untuk digunakan

Langkah 2 : Misalkan untuk n ≥ 1

1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2 adalah benar (hipotesis induksi) maka 1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (n +1) ((n + 1) + 1)/ 2 adalah benar juga.

1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n +1) = ( n(n+1)/2) ) + (n+1) = ( (n² + n)/2 ) + (2n+2)/2 = (n² + 3n + 2)/2

= (n+1)(n+2)/2 = (n+1) ((n+1) + 1) / 2

Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, TERBUKTI bahwa

1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2 adalah benar.

3. Pertemuan 11 (Teori Himpunan)

• Definisi

• Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi

2. Simbol-simbol Baku

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Contoh : HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Setiap Anggota Himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh : Himpunan empat bilangan asli pertama : A = {1, 2, 3, 4}.

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal : semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh : U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Notasi : { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh : M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn

• Kardinalitas

• Himpunan Kosong (null set)

Catatan :

- Himpunan { { } } dapat juga ditulis sebagai {⊘}

- Himpunan { { }, { { } } } dapat juga ditulis sebagai {⊘, {⊘} }

- {⊘} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Contoh : Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn :

U

1 2

3 5 6

8 4 A B 7

Jumlah elemen didalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi : n(A) atau |A|

Contoh : T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi :  atau {}

Contoh : E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

• Himpunan Bagian (subset)

Catatan :

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut : (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ⊘  A).

(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi : A ⊆ B Diagram Venn :

Contoh : {1,2,3} ⊆ {1,2,3,4,5}

Contoh : { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}

⊘  A dan A  A, maka ⊘ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh : A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ⊘ adalah improper subset dari A.

A ⊆ B berbeda dengan A ⊂B

- A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh : {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

- A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

• Himpunan yang sama

Catatan :

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut : (a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

• Himpunan yang Ekivalen

• Himpunan yang saling lepas

- A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

- A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

- Notasi : A = B  A  B dan B  A

Contoh : Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B  A = B

Contoh :

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B Diagram Venn :

Contoh :

Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

• Himpunan Kuasa

• Operasi Terhadap Himpunan

1. Irisan (intersection)

Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

Contoh : Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A  B = {4, 10}

2. Gabungan (union)

Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }

Contoh : Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A  B = { 2, 5, 7, 8, 22 } Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2^A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh : Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x  x  U, x  A }

Contoh : Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

4. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B

Contoh : Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 } maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = 

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi : A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)

Contoh : Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }

Catatan :

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut :

(a) A  B = B  A (hukum komutatif) (b) (A  B )  C = A  (B  C ) (hukum asosiatif)

6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi : A  B = {(a, b)  a  A dan b  B } Contoh : Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, Maka, C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A  B = A . B.

2. (a, b)  (b, a).

3. A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh diatas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D  C  C  D.

4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 

ⁿ

i i

n A

A A

A

1 2

1 ...

=

=







ⁿ

i i

n A

A A

A

1 2

1 ...

=

=







i n

n i A

A A

A1 2 ... 1

=

=







i n

n i A

A A

A

2 1

1 ...

=

=







• Perampatan Operasi Himpunan

• Hukum -Hukum Himpunan

Disebut juga Sifat-sifat (Properties) Himpunan dan Hukum Aljabar HImpunan.

1. Hukum identitas:

• 𝐴   = 𝐴

• 𝐴  𝑈 = 𝐴

2. Hukum null/dominasi:

• 𝐴   = 

• 𝐴  𝑈 = 𝑈 3. Hukum komplemen:

• 𝐴  A = 𝑈

• 𝐴  A = 

4. Hukum idempoten:

• 𝐴  𝐴 = 𝐴

• 𝐴  𝐴 = 𝐴 5. Hukum involusi:

• ( A) _{= 𝐴}

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

• 𝐴  (𝐴  𝐵) = 𝐴

• 𝐴  (𝐴  𝐵) = 𝐴

7. Hukum komutatif:

• 𝐴  𝐵 = 𝐵  𝐴

• 𝐴  𝐵 = 𝐵  𝐴

8. Hukum asosiatif:

• 𝐴  (𝐵  𝐶) = (𝐴  𝐵)  𝐶

• 𝐴  (𝐵  𝐶) = (𝐴  𝐵)  𝐶

9. Hukum distributif:

• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

10. Hukum De Morgan:

• A B ₌ A B

• A B ₌ A B

11. Hukum 0/1

•  _{= 𝑈}

• U _{= }

4. Pertemuan 12 ( Prinsip Dualitas Himpunan)

• Definisi

• Prinsip Dualitas pada Himpunan

1. Hukum identitas:

𝐴   = 𝐴

Dualnya:

𝐴  𝑈 = 𝐴 2. Hukum null/dominasi:

𝐴   = 

Dualnya:

𝐴  𝑈 = 𝑈

3. Hukum komplemen:

𝐴  ^A = 𝑈

Dualnya:

𝐴  ^A= 

4. Hukum idempoten:

𝐴  𝐴 = 𝐴

Dualnya:

𝐴  𝐴 = 𝐴

Dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi- operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti

∪→∩,

∩→∪,

⊘→ 𝑈 𝑈 →⊘

Sedangkan Komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

5. Hukum penyerapan:

𝐴  (𝐴  𝐵) = 𝐴

Dualnya:

𝐴  (𝐴  𝐵) = 𝐴

6. Hukum komutatif:

𝐴  𝐵 = 𝐵  𝐴

Dualnya:

𝐴  𝐵 = 𝐵  𝐴

7. Hukum asosiatif:

A  (B  C) = (A  B)  C

Dualnya:

𝐴  (𝐵  𝐶) = (𝐴  𝐵)  𝐶

8. Hukum distributif:

𝐴  (𝐵  𝐶) = (𝐴  𝐵)  (𝐴  𝐶)

Dualnya:

𝐴  (𝐵  𝐶) = (𝐴  𝐵)  (𝐴  𝐶)

9. Hukum De Morgan:

^{A B} = ^A  ^B

Dualnya:

^{A B} = ^A  ^B

10. Hukum 0/1 ^ = 𝑈

Dualnya:

^U = 

• Prinsip-Prinsip Eksklusi

• Partisi

• Himpunan Ganda (Multiset) Untuk dua himpunan A dan B :

|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|

|𝐴 ⊕ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − 2|𝐴 ∩ 𝐵|

Untuk tiga buah Himpunan A,B dan C, berlaku :

|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐶| − |𝐵 ∩ 𝐶| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|

Untuk Himpunan A1,A2,…,Ar, Berlaku :

A1  A2  …  Ar = 

i

Ai – 





i j r 1

Ai  Aj + 







i j k r 1

Ai  Aj  Ak + … + (-1)^r-1 A1  A2 …Ar|

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga :

(a) A1  A2  … = A, dan (b) Ai  Aj =  untuk i  j

Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset

• Pembuktian Proposisi Himpunan

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A  (B  C) (A  B)  (A  C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Contoh : Misalkan P dan Q adalah multiset

1. P  Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P  Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

Proposisi Himpunan adalah argument yang menggunakan notasi himpunan.

Proposisi dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh : Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)”

2. Implikasi

Contoh : Buktikan bahwa “Jika A  B =  dan A  (B  C) maka selalu berlaku bahwa A  C”.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Bukti:

Karena kolom A  (B  C) dan kolom (A  B)  (A  C) sama, maka A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh : Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A  B)  (A  B) = A Bukti:

(A  B)  (A  B) = A  (B  B) (Hukum distributif) = A  U (Hukum komplemen) = A (Hukum identitas) 4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

A B C B  C A  (B  C) A  B A  C (A  B)  (A  C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).

Contoh : Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta (U). Tuliskan hasil dari operasi beda-setangkup berikut.

(a) A  U

Penyelesaian:

(a) A  U = (A – U)  (U – A) (Definisi operasi beda setangkup) = ()  (A) (Definisi opearsi selisih)

= A (Hukum Identitas)