17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR
EBTANAS2000
1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10
2x + y ≤8
y ≥2
ditunjukkan oleh daerah
A. I B. II C. III D. IV E. V
jawab:
1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10
titik potong dengan sumbu x jika y = 0
x = 2 Æ titik (2,0)
titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 Æ titik (0,10)
daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a)
2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 Æ (0,8)
daerah 2x + y ≤8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b)
3. C adalah garis y = 2
daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)
dari (a) , (b) dan (c) :
1. I II III V 2. III V 3. I II III IV
Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III
Jawabannya adalah C
SIPENMARU1985
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan 2x+y≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat
digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut :
Jawab :
2x+y≥ 4 ;
2x + y = 4
titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 Æ (2,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 Æ (0,4)
3x + 4y ≤ 12
3x + 4y = 12
titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 Æ (4,0)
titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 Æ (0,3)
gambar sbb:
Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis 2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12
Jawabannya adalah E
UN2005 SMK
3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear…
Jawab :
persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah:
(0,a) (b,0)
Persaman garis = b x
+ a y
= 1 ⇔ ax + by = a.b
6x+4y = 24 ⇔3x + 2y = 12
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 2y ≤ 12 …(1)
persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah:
(0,a) (b,0)
Persaman garis = b x
+ a y
= 1 ⇔ ax + by = a.b
4x+8y = 32 ⇔x + 2y = 8
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2)
Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥0 dan y≥0 ….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4)
3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x≥0, y≥0
jawabannya adalah A
EBTANAS2001 SMK Teknologi
4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…
A. 5x + 3y≤30, x - 2y≥4, x≥0, y≥0 B. 5x + 3y≤30, x - 2y≤4, x≥0, y≥0 C. 3x + 5y ≤30, 2x - y≥4, x≥0, y≥0 D. 3x + 5y≤30, 2x - y≤4, x≥0, y≥0 E. 3x + 5y≥30, 2x - y≤4, x≥0, y≥0
Jawab:
1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah:
(0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60
3x + 5y = 30
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ….(1)
2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah:
(0,a) (b,0)
ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8 -2x + y = -4
karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan garisnya :
ingat untuk a < 0 dan b > 0
-ax + by ≥ -ab
(b,0)
x
(0,-a) -ax + by≤ -ab
y
3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥0 dan y≥0 ….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4)
3x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 4 ; x≥0 dan y≥0
jawabannya adalah D
SIPENMARU1985
5. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu ….
A. x≥0, y≥0, 2x + 3y≤12, - x + y≥ 2 B. x≥0, y≥0, 2x + 3y≥12, -x + y≥ 2 C. x≥0, y≥0, 2x + 3y ≤12, -x + y≤ 2 D. x≥0, y≥0, 2x + 3y≥12, -x + y≤ 2 E. x≥0, y≥0, 2x + 3y≤12, -x + y≤ 2
jawab:
1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah:
(0,a) (b,0)
ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4 x - y = -2
karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis maka
x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1)
untuk a > 0 dan b <0
y
ax - by ≤ -ab (0,a)
ax - by ≥ -ab
x
(-b,0)
2. persamaan garis melalui titik (0, 4) dan (6,0) adalah:
(0,a) (b,0)
ax + by = a.b ⇒ 4x + 6y = 24 2x + 3y = 12
karena daerah arsiran di bawah persamaan garis maka :
2x + 3y ≤ 12 …(2)
3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥0 dan y≥0 ….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4)
-x + y ≤2 ; 2x +3y ≤ 12 ; x≥0 dan y≥0
EBTANAS1998
6. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan…
daerah yang diarsir berada di kanan sehingga 2x – 3y ≥ -12 atau -2x+3y ≤ 12 ….(1)
Jawab:
daerah yang diarsir berada di atas sehingga 3x + y ≥ 6 ….(1)
daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 5x + y ≤ 20 ….(2)
daerah yang diarsir berada di kanan grafik sehingga x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 ….(3)
Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di atas adalah ...
Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain.
Tentukan persamaan garis:
1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) (b,0)
ax + by = ab
24x + 36y = 864 Æ : 6 4x + 6y = 144
2x + 3y = 72 … (1)
2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) (b,0)
ax + by = ab
32x + 16y = 512 Æ : 16 2x + y = 32 …..(2)
3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0) ( 0,a) (b,0)
ax + by = ab
16x + 48y = 768 Æ : 16 x + 3y = 48 …..(3)
titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2)
2x + 3y = 72 2x + y = 32 - 2 y = 40 Æ y = 20
2x + 3y = 72 2x = 72 – 3y 2x = 72 – 3.20
x = 12/2 = 6 Æ titik b = (6,20)
Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3)
2x + 3y = 72 x + 3y = 48 - x = 24
x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24
y = 24/3 = 8 Æ titik c = (24,8)
Buat tabel:
(0,32) ( 6,20) (24,8) (48,0) 5x + 10y 320 230 200 240
Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200.
Jawabannya adalah D
UAN2006
9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg.
Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C
Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C
Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah…
A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,- B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-
Jawab:
Buat persamaan :
Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb:
2x + y ≤ 160 …..(1) x + 2y ≤ 110 …..(2)
x + 3y ≤ 150 ….(3)
“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim,
dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian”
Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B
perpotongan (1) dan (2) Æ titik B
2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160 x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 -
- 3y = -60 y = 20
2x + y = 160 2x = 160 – 20 x = 140/2 = 70
titik B = (70,20)
perpotongan (2) dan (3) Æ titik A
x + 2y = 110
x + 3y = 150 - - y = -40
y = 40
x + 2y = 110 x = 110 – 2.40 x = 30
titik A = (30,40)
yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari : 30.000 x + 50.000 y
buat tabelnya:
(0,50) (30,40) (70,20) (80,0) 30.000x+50.000y 2500.000 2900.000 3100.000 2400.000
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000
Jawabannya adalah D
UN2007
10. Luas daerah parkir 1.760 m2
. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasiul maksimum tempat parkir itu adalah:
A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,- B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-
Jawab:
Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y
4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1)
x + y ≤ 200 ….(2)
nilai maksimum 1000x + 2000y = ?
buat sketsa grafiknya:
(0,200)
Titik potong (A) (0,88)
(200,0) (440,0)
Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A
Titik A adalah perpotongan dari dua grafik:
x + 5y = 440
x + y = 200 -
x + y = 200 x = 200 – y = 200 – 60 = 140
titik A = (140, 60)
Buat tabel :
(0,88) (200,0) (140,60)
1000x + 2000y 176.000 200.000 260.000
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000
