Invers dari matriks 2X2

Ca ta ta n Ku lia h 2

Ma te m a tika Eko n o m i

Me m a h a m i d a n Me n ga n a lis a Alja ba r Ma triks ( 2 )

1. Vektor dan Akar Karakteristik

Apabila A adalah matriks berordo n n× dan X adalah vector n×1, akan dicari skalar λ∈ℜ yang memenuhi persamaan :

AX =λX atau

(

A−λI X

)

=0

Agar X ≠0 (solusinya bukan trivial) maka haruslah A−λI =0.

Selanjutnya λ disebut akar karakteristik. Sedangkan X yang memenuhi persamaan di atas dikatakan sebagai vektor karakteristik yang bersesuaian dengan akar karakteristik apabila juga memenuhi X12+X22+ +... Xn2=1

Akar karakteristik digunakan untuk menguji sign-definiteness.

Misalkan suatu matriks A berdimensi 2 2× , 11 12

21 22

a a

A

a a

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) 0

AX =λX → A−λI X =

11 12

21 22

1 0

0 0 1

a a

X

a a λ

⎡⎛ ⎞₋ ⎛ ⎞⎤ ₌

⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎣ ⎦

11 12 1

21 22 2

0

a a x

a a x

λ

λ −

⎛ ⎞⎛ ⎞

=

⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

11 1 12 2

21 1 22 2

( )

0

( )

a x a x

a x a x

λ

λ −

⎛ ⎞₌

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Maka determinan dari matriks di atas adalah :

11 12 21 22

0

a a

a a

λ

λ −

= −

(a₁₁−λ)(a₂₂−λ)−a a_{21 22} =0 a a_{11 22}−a₁₁λ−a₂₂λ λλ+ −a a_{21 22}=0

2

11 22 11 22 12 21

(a a ) (a a a a ) 0

Kesimpulan hasil akar karakteristik :

ƒ Jika seluruh akar karakteristik (λ) positive, A adalah positive definite

ƒ Jika seluruh λ negative, A adalah negative definite

ƒ Jika seluruh λ nonnegative dan minimal salah satu λ=0, A positive semidefinite

ƒ Jika seluruh λ nonpositive dan minimal salah satu λ=0, A negative semi definite.

ƒ Jika λ ada yang positif dan negative, A adalah indefinite.

Contoh :

6 3

3 6

A= ⎢⎡− ⎤_⎥

−

⎣ ⎦

Tentukan akar dan vektor karakteristiknya.

¾ Untuk menemukan akar karakteristik dari A, determinan dari matriks karakteristik A−λI harus sama dengan nol.

6 3

0

3 6

A λI λ

λ − −

− = =

− −

( 6− −λ)( 6− −λ) (3)(3) 0− = λ2₊₁₂λ_{+27 0=}

(λ+9)(λ+ =3) 0 λ₁= −9 dan λ₂= −3

Karena kedua akar karakteristik memiliki tanda negative, matriks A

merupakan negative definite.

¾ Vektor karakteristik ?

2. Matriks Inverse

• Analoginya sama dengan kebalikan dari suatu bilangan. Misal kebalikan

(inverse) dari 4 adalah 1

4 dimana 1

4 1

4 × =

• Sedangkan untuk matriks, hasil perkalian matriks inverse dengan matriks asalnya adalah matriks identitas.

• _AA−1_{= A A}−1 _=I

• Matriks yang mungkin memiliki invers adalah matriks bujur sangkar (square matrix) tapi tidak setiap matriks bujur sangkar memiliki invers.

• Matriks bujur sangkar yang memiliki inverse adalah matriks yang bersifat non-singular matrix.

• Sifat Inverse :

a. Inverse dari suatu inverse matriks adalah matriks asalnya.

( )

₁ 1

A− − = A

b. Hasil perkalian suatu matriks adalah perkalian dari suatu inverse matriks dalam urutan yang terbalik.

( )

_AB −1_{=B A}−1 −1

c. Inverse dari suatu transpose adalah transpose dari inverse matriks tersebut.

( )

1

( )

₁

' '

A − = A−

• Invers matriks dapat dirumuskan sebagai berikut:

A adj A A−1= 1

Invers dari matriks 2X2

⎥

Invers untuk matriks 3X3

• Untuk mencari invers matriks 3X3 perlu diketahui matriks adjoint terlebih dahulu

• Matriks adjoint adalah transpose dari sebuah matriks yang terbentuk dari kofaktor-kofaktor matriks asalnya (transpose dari “matriks kofaktor”).

Misalkan matriks

11 12 13

Matriks kofaktor :

11 12 13

Matriks Adjoint :

11 21 31

Invers matriks A diperoleh dengan cara :

11 21 31

Jawab :

Matriks kofaktor dari A adalah :

2 1 1 1 1 2

3 2 0 2 0 3

1 2 3

1 8 10 8 10 1

22 20 30

3 2 0 2 0 3

15 2 19

1 8 10 8 10 1

2 1 1 1 1 2

C

⎡ ⎤

−

⎢ ⎥

⎢ ⎥ _{⎡ − ⎤}

⎢ _{⎥ ⎢ ⎥}

⎢ ⎥

= − − =_⎢ − _⎥

⎢ _{⎥ ⎢− − ⎥}

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎢ ₋ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 22 15

(A) 2 20 2

3 30 19

T

Adj C

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= = −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

15

1 22

32 32 32

1 _{2 20 2}

32 32 32

3 30 19

32 32 32

1 22 15

1

2 20 2

32

3 30 19

A

−

− _{− −}

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= _⎢− − _{⎥ ⎢}= _⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. Sistem Persamaan Linear

0

d ≠

Non-homogen

0

d =

Homogen 0

A ≠ AX =d I 1

* X = A d−

Unique solution

0

AX = II

1

* 0 0

X = A− =

Unique, Trivial solution 0

A = AX =d III

0

A =

Tidak unique atau banyak solusi Tidak termasuk

( )

0, 0

0

AX = IV 0

A =

Contoh SPL I :

*

1 2 1

*

1 2 2

2 5 3

2 5 1

x x x

x x x

+ = ⎫ = ⎬ − = _⎭ =

Contoh SPL II :

*

1 2 1

*

1 2 2

2 0 0

2 0 0

x x x

x x x

+ = ⎫ = ⎬

− = _⎭ =

Contoh SPL III :

1 2

1 2

2 5

2 4 10

x x

solusi tidak unique

x x

+ = ⎫

⎬

+ _{= ⎭}

Contoh SPL IV :

1 2

1 2

2 0

2 4 0

x x

solusi tidak unique

x x

+ = ⎫

⎬ + _{= ⎭}

(3,1)

5 2 2

1+ x =

x

5 2x₁−x₂ = 2

x

1 x

5 2 ₂

1+ x =

x 2

x

1 x 1 x 2

x

1 2

2x −x =0

1 2 2 0

x + x =

1 x 2

x

1 2 2 0

4. Cramer’s Rule

Solusi persamaan linear bisa dihitung dengan Cramer’s rule.

A A

xj = j ; A ≠0

dimana Aj adalah matriks yang kolom ke-j nya diganti vektor B.

Misalkan suatu SPL :

11 1 12 2 1

a x +a x =d

21 1 22 2 2

a x +a x =d

Jika kedua persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks AX =B maka :

11 12 1 1

21 22 2 2

A X B

a a x d

a a x d

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞₌

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 12

11 22 21 12

21 22

( )

a a

A a a a a

a a

= = −

1 12

1 1 22 2 12

2 22

( )

d a

A d a d a

d a

= = −

11 1

2 11 2 21 1

21 2

( )

a d

A a d a d

a d

= = −

1 1

A x

A

−

= dan 2 2

A x

A

−

=

Contoh :

Carilah solusi dari sistem persamaan berikut : a. − +x₁ 3x₂= −3

5. Aplikasi Dalam Model Ekonomi a. Market Model

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari 2 komoditi :

1 10 2 1 2

d

Q = − P+P Qd₂ =15+ −P₁ P₂

1 2 3 1

s

Q = − + P Qs₂= − +1 2P₂ Tentukan solusi equilibrium.

Jawab :

Syarat equilibrium : Qd =Qs

1 1 10 2 1 2 2 3 1

d s

Q =Q → − P+P = − + P

5P1−P2=12 …(i)

1 1 15 1 2 1 2 2

d s

Q =Q → + −P P = − + P

P₁−3P₂= −16 …(ii)

Persamaan (i) dan (ii) diubah ke dalam bentuk matriks AX =B :

1

2

5 1 12

1 3 16

A X B

P P

− ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ₌⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ₋ ⎟ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai P1* dan P2*

Kemudian substitusi nilai P₁* dan P₂* ke fungsi permintaan atau penawaran komoditi 1 dan 2, sehingga diperoleh nilai Q₁* dan Q₂*

b. Model Pendapatan Nasional

0 0

Y = + +C I G

C= +a bY

(

a>0;0< <b 1

)

Tentukan solusi Y* dan *C

Jawab :

Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen : Y − = +C I₀ G₀

bY C a

− + =

0 0

1 1

1

A X B

Y I G

b C a

− +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛₌ ⎞

⎜₋ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai *Y dan *C

c. Model IS-LM : Closed Economy IS : Y = + +C I G

C= +a b

(

1−t Y

)

I = −d ei

G=G0

LM : Md =Ms

Md =kY−li

Ms =M₀

Tentukan solusi Y* Jawab :

Jika disederhanakan persamaan LM menjadi : M0 =kY−li

Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen dari persamaan IS dan LM : Y− − =C I G₀

b

(

1−t Y

)

− = −C a

I+ =ei d

kY− =li M₀

Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX =B :

(

)

0

0

1 1 1 0

1 1 0 0

0 0 1

0 0

A X B

G Y

a

b t C

d

e I

M

k l i

− − ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ _{− −} ⎟⎜ ⎟ ₋

⎜ ⎟

⎜ _{⎟⎜ ⎟ =}

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠