PEMBANDINGAN MODEL ARIMA DAN BOOTSTRAP MODEL ARIMA PADA PERAMALAN HARGA SAHAM DI INDONESIA
( Skripsi )
Oleh
CANDRA MUSTOFA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRACT
COMPARISON ARIMA MODEL AND BOOTSTRAP ARIMA MODEL FOR FORECASTING STOCK PRICE IN INDONESIA
By
CANDRA MUSTOFA
This research aimed to forcast the stock price in Indonesia using ARIMA model and bootstrap ARIMA model. The result showed that bootstrap ARIMA model had smaller standar error than ARIMA model which indicated that the bootstrap ARIMA model is better than ARIMA model.
ABSTRAK
PEMBANDINGAN MODEL ARIMA DAN BOOTSTRAP MODEL ARIMA PADA PERAMALAN HARGA SAHAM DI INDONESIA
Oleh
CANDRA MUSTOFA
Penelitian ini bertujuan untuk meramalkan harga saham di Indonesia dengan menggunakan model ARIMA dan bootstrap model ARIMA. Hasil ini menunjukkan bahwa bootstrap model ARIMA memiliki galat baku lebih kecil dibanding model ARIMA yang menunjukkan bahwa bootstrap model ARIMA lebih baik daripada model ARIMA.
PEMBANDINGAN MODEL ARIMA DAN BOOTSTRAP MODEL ARIMA PADA PERAMALAN HARGA SAHAM DI INDONESIA
Oleh
CANDRA MUSTOFA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bumi Harapan, pada tanggal 17 September 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Rohmad dan Ibu Siti Amanah. Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Dharma wanita Mesuji tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 01 Bumi Harapan tamat pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 01 Way Serdang tamat pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Al-Kautsar Bandar Lampung tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, melalui jalur UM (Ujian Mandiri).
Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus. Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai Anggota Bidang Kaderisasi (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Bidang Eksternal (tahun 2013/2014
Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015.
Selanjutnya bulan Juli-September 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Tiyuh Marga Jaya Indah, Kecamatan Pagar Dewa, Kabupaten Tulang Bawang Barat, Lampung.
PERSEMBAHAN
Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil ini sebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada:
Orang Tua Tercinta
Papa Rohmad dan Mama Siti Amanah
atas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringatdalam merawat dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku
Adik Tercinta
Sigit Dewantoro dan Citra Ayu Anisa yang selalu memberikan semangat dan dukungan
Serta Keluarga Besarku.
Para Pendidikku, dosen dan guru-guruku yang telah memberikan Ilmu kepadaku teman-teman seperjuangan angkatan 2012
MOTTO
“
Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan
kesanggupannya”
(Al-Baqarah:286)
“Manusia tidak merancang untuk gagal, mereka gagal untuk merancang”
(william J. Siegel)
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Pembandingan Model ARIMA danBootstrap Model ARIMA pada Peramalan Harga Saham di Indonesia”sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Drs. Nusyirwan, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Agus Sutrisno, S,Si., M.Si., selaku Pembimbing Akademik sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D,. selaku Dosen Pembahas yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung 5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
6. Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.
7. Papa dan Mama yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.
8. Adik Sigit, Citra dan keluarga besarku yang telah memberikan dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.
9. Desti Restiana, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis menyelesaikan studi.
10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika:Pras, Anggar, Danar, Topik, Anwar, Rendi, Geri, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama, Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini.
11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus.
Bandar Lampung, November 2016 Penulis
xiii DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvi
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2. Tujuan Penelitian... 2
1.3. Manfaat Penelitian... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Deret Waktu ... 4
2.2 Stasioneritas ... 4
2.3 Differencing... 5
2.4 Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF)... 6
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF) ... 7
2.6 Uji Augmented Dicky -Fuller (ADF) ... 8
2.7 White Noise ... 8
2.8 Model Autoregressive (AR) ... 9
2.9 Model Moving Average (MA) ... 10
2.10 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ... 10
2.11 Identifikasi Model ARIMA ... 10
2.12 Estimasi Model ARIMA Terbaik ... 11
2.12.1 Uji Signifikansi Parameter ... 11
2.12.2 Nilai AIC(Akaike’s Information Criterion)dan SBC (Schwarz Bayesian Criteria) ... 12
2.13 Pendugaan Parameter ... 13
2.14 Metode Bootstrap ... 13
2.15 Metode Bootstrap pada Model ARIMA ... 15
xiv III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 17
3.2 Metode Penelitian ... 17
A. Model ARIMA ... 17
B. Metode Bootstrap ... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data ... 19
4.2 Uji Stasioneritas ... 19
4.3 Identifikasi Model ARIMA... 24
4.4 Estimasi Model ARIMA ... 24
4.5 Pendugaan Parameter ... 28
4.6 Evaluasi Model ARIMA ... 28
4.7 Metode Bootstrap pada Model ARIMA... 31
4.8 Perbandingan Model ARIMA dan Bootstrap Model ARIMA pada Peramalan Harga Saham PT. Unilever ... 33
V. KESIMPULAN ... 35 DAFTAR PUSTAKA
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Plot data saham PT. Unilever... 19
2. Plot ACF data saham PT. Unilever ... 20
3. Plot PACF data saham PT. Unilever... 20
4. Plot data Saham PT. Unilever setelah di Differencing... 22
5. Plot ACF data saham PT. Unilever setelah di differencing ... 22
6. Plot PACF data saham PT. Unilever setelah di differencing ... 23
7. Plot Hasil uji Ljung-Box dari residual model ARIMA (1,1,0) ... 29
8. Plot Normal Quantil Quantil Plot dengan selang kepercayaan 95% untuk ARIMA (1,1,0) ... 30
9. Plot Perbandingan peramalan antara ARIMA (1,1,0) dan Bootstrap model ARIMA (1,1,0) ... 34
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Estimasi Parameter ARIMA (1,1,1) ... 25
2. Estimasi Parameter ARIMA (1,1,0) ... 26
3. Estimasi Parameter ARIMA (0,1,1) ... 27
4. Estimasi Parameter ARIMA (1,1,0) dan ARIMA (0,1,1) ... 27
5. Hasil Pendugaan Parameter Model ARIMA (1,1,0) ... 28
6. Peramalan Harga Saham PT. Unilever menggunakan Model ARIMA (1,1,0) ... 31
7. Peramalan Harga Saham PT. Unilever menggunakan Bootstrap Model ARIMA (1,1,0) ... 32
8. Hasil Perbandingan antara Model ARIMA (1,1,0) dan Bootstrap Model ARIMA (1,1,0) pada Peramalan Harga Saham PT. Unilever ... 33
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Harga saham merupakan harga jual beli yang sedang berlaku dipasar efek yang ditentukan oleh kekuatan pasar dalam arti tergantung pada kekuatan permintaan dan penawaran. Harga pasar saham juga menunjukkan nilai dari perusahaan itu sendiri. Semakin tinggi nilai dari harga pasar saham suatu perusahaan, maka investor akan tertarik untuk menjual sahamnya.Selama sepuluh tahunsejak krisis multidimensi tahun 1998, kondisiperdagangan saham di Bursa Efek
Indonesia(BEI) semakin membaik, sehingga mampumenarik kembali para investor untukmeramaikan perdagangan saham bahkan mampu menarik masyarakat umumuntuk menginvestasikan kelebihan dananya dipasar saham.
Dalam memperkirakan harga saham untuk waktu yang akan datang, salah satu cara yang digunakan adalah peramalan.Peramalan merupakan kegiatan
memperkirakan peristiwa yang akan terjadi pada masa yang akan datang.Untuk mendapatkan hasil proyeksi ramalan yang optimal di masa yang akan datang dilakukan perhitungan dengan menggunakan data di masa yang lalu.
Salah satu metode yang sering digunakan untukperamalan pada pemodelan runtun waktu adalah Autoregressive Integrate Moving Average (ARIMA).Agar model
2
ARIMA menghasilkan ramalan yang optimal, model tersebut harus memenuhi asumsi residual white noise dan berdistribusi normal. Namun, kadangkala
dijumpai data yang tidak memenuhi asumsi-asumsi dalam analisis statistik klasik (residual white noise dan berdistribusi normal). Sebagai akibatnya inferensi statistik tidak dapat dilakukan terhadap parameter model. Untuk mengatasi masalah tersebut diperlukan suatu pendekatan nonparametrik yang bebas asumsi, salah satunya adalah metode bootstrap yang pertama kali diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979.
Metode bootstrap merupakan metode resampling untuk mengestimasi probabilitas suatu statistik dengan mendapatkan sampel baru yang berasal dari data awal. Resampling yang dilakukan bertujuan untuk memperkecil galat baku parameter yang diduga. Penelitian tentang bootstrap pada model deret waktu sebelumnya telah dilakukan oleh Yulianti (2014) tetapi model yang digunakan adalah model ARMA. Pada skripsi ini, penulis akan mengkaji bagaimana estimasi parameter pada model ARIMA dengan estimasi parameter bootstrap pada model ARIMA dan kemudian dibandingkan untuk mendapatkan peramalan harga saham yang lebih baik.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Memperoleh nilai estimasi parameter model ARIMA dan bootstrap model ARIMA pada data harga saham PT. Unilever periode 3 Mei 2010 sampai 19 Oktober 2015menggunakan program R.
3
2. Membandingkan peramalan harga saham PT. Unilever dengan menggunakan model ARIMA dan bootstrap model ARIMA.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Menambah wawasan penulis dan pembaca tentang estimasi parameter bootstrap model ARIMA.
2. Mendapatkan hasil peramalan harga saham menggunakan model ARIMA dan bootstrap model ARIMA.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu
Deret waktu merupakan serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Rangkaian data pengamatan deret waktu dinyatakan dengan variabel Ztdimana t adalah indeks waktu dari urutan pengamatan. (Wei, 2006)
2.2 Stasioneritas
Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada kesetimbangan disekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi disekitar rata-rata tersebut konstan selama waktu tertentu.
Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu: 1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat di ketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner. Apabila dilihat dari plot ACF, maka nilai-nilai
5
autokorelasi dari data stasioner akan turun menuju nol sesudah time lag (selisih waktu) kelima atau keenam.
2. Stasioner dalan variansi
Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu. (Wei, 2006)
2.3 Differencing
Menurut Wei (2006), Differencing dalam deret waktu sangat penting, karena berfungsi untuk mengatasi persoalan pemodelan jika terdapat proses yang tidak stasioner dalam rata-rata (terdapat kecenderungan). Ide dasar differencing adalah mengurangkan antara pengamatan dengan pengamatan sebelumnya yaitu . Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut,
∆ =
-∆ = - 2 +
Dengan :
∆ = Differencing
∆ = Differencing dua kali = pengamatan saat waktu ke-t
6
2.4 Fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF)
Menurut Makridakis (1999), Autokorelasi merupakan korelasi atau hubungan antar data pengamatan suatu data deret waktu. Dari proses stasioner suatu data deret waktu (Zt) diperoleh E(Zt)=µ dan variansi (Zt) = E (Zt- µ)2= σ2, yang konstan dan kovarian (Zt, Zt+k), yang fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t-(t - k)│. Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara Ztdan Zt+ksebagai berikut :
= Cov (Zt, Zt+k) = E (Zt- µ)( Zt+k- µ) dan korelasi antara Ztdan Zt+kdidefinisikan sebagai
= ( , ) ( ) ( ) = ( − μ)( − μ) ( − μ) ( − μ) = Dengan : µ = rata–rata
= autokovariansi pada lag-k = autokorelasi pada lag- k
t = waktu pengamatan, t = 1,2,3,... Var( ) = Var(Zt+k) =
Karena merupakan fungsi atas k, maka hubungan koefisien autokorelasi dengan lag nya disebut dengan fungsi autokorelasi. Koefisien korelasi diduga dengan koefisien autokorelasi sampel.
= ∑ ∑ ( − ̅)( − ̅)( − ̅)
Dengan :
7
k = selisih waktu n = jumlah observasi
̅= rata-rata dari pengamatan (zt) = pengamatan pada waktu ke-t
= pengamatan pada waktu ke t+k , dengan k=1,2,3,...
Menurut Pankratz (1991), Pengujian koefisien autokorelasi sebagai berikut: H0: = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan) H1: ≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan) Statistik uji :t =
dengan :
= ∑ ∑ ( ( ̅)(̅) ̅) dan SE ( ) = ∑ ≈
√
dengan :
SE ( ) : standarderror autokorelasi pada saat lag k : autokorelasi pada saat lag j
k : time lag
T : banyak observasi dalam data time series
Kriteria keputusan : tolak H0jika nilai│thitung│> tα/2,df dengan derajat bebas df = T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang diuji.
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF) Menurut Wei (2006), Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Ztdan Zt+k, apabila pengaruh dari waktu lag 1, 2, 3, . . . , dan
8
seterusnya sampai k-i dianggap terpisah. Fungsi autokorelasi parsial adalah suatu fungsi yang menunjukan besarnya korelasi parsial (hubungan linear secara terpisah) antara pengamatan pada waktu t saat sekarang dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya
∅ , = ∑∑ ∅∅ dimana j = 1, 2, ..., k
2.6 Uji Augmented Dickey-Fuller(ADF)
Menurut Gujarati & Porter (2009), kestasioneran data selain dengan melihat plot dari ACF dan PACF, dapat juga mengujinya dengan menggunakan uji
Augmented Dickey-Fuller (ADF). Misalkan kita punya persamaan regresi
∆ = + ∗∆ +
dimana = − (1)dan ∗ = −( + ⋯ + ). Uji statistik pada
AugmentedDickey-Fuller (ADF) berdasarkan pada t-statistic koefisien dari estimasi metode kuadrat terkecil biasa. Pada model ini hipotesis yang diuji adalah
∶ = 0 (terdapat akar unit atau deret waktu tidak stationer)
∶ < 0 (tidak terdapat akar unit atau deret waktu stationer)
2.7 White Noise
Menurut Wei (2006),Suatu proses {εt} disebut proses white noise jika data terdiri dari variabel acak yang tidak berkorelasi dan berdistribusi normal dengan rata-rata
9
konstan E (εt) = 0, variansi konstan Var (εt) = σ2dan = Cov (εt,εt+k) = 0 untuk k ≠ 0.
Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis galat-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah pengujian korelasi residual yaitu :
H0: = = = ⋯ = 0 (residual tidak terdapat korelasi) H1:∃ ≠ 0, k= 1, 2, …, K (residual terdapat autokorelasi) Taraf signifikansi α = 5%
Statistik uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce :
= ( + 2) −
Dengan :
T : banyaknya data
K : banyaknya lag yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
2.8 Model Autoregressive (AR)
Model Autogressive (AR) dengan order p dinotasikan dengan AR(p). Bentuk umum model AR(p) adalah:
Zt= ∅ Zt-1+…+∅ Zt-p+et Dengan :
Zt= nilai variabel pada waktu ke-t
∅ = koefisien autoregressive, i :1,2,3,…….,p et= nilai galat pada waktu ke-t
10
2.9 Model Moving Average (MA)
Menurut Wei (2006), Moving Average (MA) merupakan nilai deret waktu pada waktu t yang dipengaruhi oleh unsur kesalahan pada saat ini dan unsur kesalahan terbobot pada masa lalu.
Model Moving Average (MA) order q, dinotasikan menjadi MA(q). Secara umum, model MA(q) adalah:
Zt=et− et-1−…− et-q Dengan :
Zt = nilai variable pada waktu ke-t
= parameter model moving average (MA) et = nilai galat pada waktu ke-t
et-q = nilai kesalahan pada saat t-q q = Orde MA
2.10 Model Autoregresive Moving Average (ARMA)
Menurut Wei (2006), Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) diberikan sebagai berikut :
= + ∅ + ∅ + ⋯ + ∅ + − − − ⋯ −
= + ∅ +
2.11 Identifikasi Model ARIMA
Langkah pertama dalam pembentukan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) adalah pembentukan plot data deret waktu. Pembuatan plot data
11
deret waktu bertujuan untuk mendeteksi stasioneritas data deret waktu. Data dikatakan stasioner jika pola data tersebut berada disekitar nilai rata-rata dan variansi yang konstan selama waktu tertentu. Selain itu, stasioneritas dapat dilihat dari plot Autocorrelation Function (ACF).
Setelah data terbukti stasioner, langkah selanjutnya adalah menentukan orde Autoregressive (AR) dan Average (MA) yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan dengan cara melihat plot ACF dan PACF dari data tersebut. Plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autoregressive Function (PACF) akan cut off setelah proses pada orde ke-p atau lag-p. Proses ini disebut dengan identifikasi model tentatif.
Pemilihan model yang tepat dilakukan dengan mengidentifikasi orde Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA).
2.12 Estimasi Model ARIMA Terbaik
Estimasi model ARIMA terbaik berdasarkan program R dilakukan dengan berbagai langkah yaitu sebagai berikut.
2.12.1 Uji signifikansi parameter
Menurut Rosadi (2005), Setelah melakukan perhitungan estimasi parameter dilakukan uji signifikansi parameter. Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah parameter AR (p), differencing (d), MA (q), signifikan atau tidak. Jika parameter parameter tersebut signifikan maka model layak digunakan.
Uji signifikansi parameter∅1 Hipotesis:
12
H0:∅1= 0 (parameter tidak signifikan) H1:∅1≠0 (parameter signifikan) Tingkat signifikan ( )= 0,025 Ujia statistik : thitung= ∅ ∅ Kriteria pengujian :
H0ditolak jika >
t
tabelartinya parameter signifikan. H0diterima jika <t
tabelartinya parameter tidak signifikan.2.12.2 Nilai AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Schwarz Bayesian Criteria)
Menurut Suhartono (2009), Nilai AIC dan SBC dari data dapat diestimasi dengan rumus sebagai berikut:
AIC = ln( ) + 2 SBC = T ln (MSE) + k ln (T) Dengan:
MSE = ( ) = ∑ ( − )
k = banyaknya parameter yang diduga T = banyaknya data (pengamatan)
13
2.13 Pendugaan Parameter
Menurut Wei (2006), Maximum likelihood estimation merupakan salah satu metode dalam pendugaan parameter. Metode ini menggunakan prinsip
memaksimumkan fungsi likelihooduntuk menduga parameter θ dan pada model ARIMA. Diberikan bentuk umum model ARMA (p,q) sebagai berikut :
= + ∅ + ∅ +⋯+ ∅ + − − −⋯−
atau
= + +⋯+ − − − ∅ − ∅ −⋯− ∅
dimana ∼ (0, ),fungsi kepekatan peluang dari = ( , , … . , ) didefinisikan sebagai berikut :
P( │∅, , , ) = (2 ) exp[ − ∑ ]
Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari parameter (∅, , , ). ln (∅, , , 2) = − ln 2 2− (∅, , )
2 2 , (2.15)
Dimana :
S(∅, , ) =∑ ,adalah sum square function. Nilai pendugaan
∅, , diperoleh ketika memaksimumkan persamaan (2.15) yang kemudian kita menyebut sebagai pendugaan maximum likelihood.
2.14 Metode Bootstrap
Pertama kali bootstrap diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979 untuk mengetahui sebaran statistik sampel yang tidak diketahui pengamatan-pengamatan bebas menyebar secara identik. Boostrap merupakan metode resampling untuk inferensia statistik yang biasanya digunakan untuk menduga
14
selang kepercayaan, tetapi juga digunakan untuk menduga ragam atau menentukan hipotesis.
Definisi 2.7.1
Jika Z= (z1, z2, ..., zn) sampel acak dari suatu populasi maka variabel Z*=(z*1, z*2, ..., z*n) adalah sampel acak bootstrap yaitu sampel yang diperoleh dari X secara acak dengan pengembalian. Variabel z*1, z*2, ..., z*nbebas dan berdistribusi
bersyarat terhadap Z. Tanda * mengindikasikan bahwa Z* bukan himpunan data Z tetapi hasil resampel, berarti titik data z*1, z*2, ..., z*nadalah sampel acak
berukuran n dengan pengembalian dari populasi n (z1, z2, ..., zn), z*1= z7, z*2= z3, ..., z*n= zn.
Dalam kasus nonparametrik, distribusi sampel fndiambil dari distribusi populasi yang tidak diketahui, fndisebut distribusi empiris dari Z yaitu distribusi yang
mempunyai peluang untuk setiap titik pada Z. Sedangkan untuk kasus
parametrik distribusi fndiketahui. Dalam kedua kasus tersebut Z*diambil dengan resampling dari distribusi asli. (Efron dan Tibshirani, 1993)
prinsip dasar dalam pembentukan sampel dengan metode bootstrap nonparametrik adalah sebagai berikut:
1. Konstruksi distribusi peluang sampel, yaitu fndengan setiap unsur dalam populasi memiliki kesempatan yang sama untuk diikutsertakan ke dalam sampel sehingga setiap titik z1, z2, ..., znmemiliki peluang untuk terpilih sebesar 1/n, dengan kata lain anggota sampel diambil dengan pengembalian.
15
2. Dengan fntetap, ambil sampel acak berukuran n dari populasi dengan pengambilan sebut z*i, dengan zi= z*i, sehingga ziakan menyebar identik i = 1, 2, ..., nsampel ini disebut sampel bootstrap Z* = ( ∗, ∗, … , ∗). 3. Rnmerupakan himpunan pasangan terurut (Z, fn) atau disebut distribusi
sampling Rn(Z, fn). Aproksimasi Rn(Z, fn) dengan distribusi sampling bootstrap Rn* (Z*i, f*n). (Efron dan Tibshirani, 1993)
2.15 Metode Bootstrap pada Model ARIMA
Pada metode bootstrap untuk deret waktu digunakan dua pendekatan yaitu residual resampling dan blocks bootstrap. Pendekatan residual resampling pada dasarnya adalah melakukan pengambilan sampel (resampling) dengan
pengembalian dari sampel residual dengan replikasi B kali( ≪ ≪ )dengan n adalah ukuran sampel. Jika diketahui model ARIMA (1,1,2) sebagai berikut:
= (1 − ∅ ) + ∅ + − −
Dengan :
= nilai pada periode ke-t-1 = pada periode ke-t-2 = error random ke-t
= error random pada periode ke- t-1 = error random pada periode ke- t-2
∅ = parameter AR yang tidak diketahui(−1 < ∅ < 1) = parameter MA yang tidak diketahui(−1 < ∅ < 1) = parameter MA yang tidak diketahui(−1 < ∅ < 1)
16
2.16 Penduga galat baku
Dalam pemilihan hasil model peramalan yang terbaik dapat digunakan penduga galat baku sebagai berikut:
SE = = ∑ ( )
Dengan :
=nilai sebenarnya pada waktu ke-t =nilai prediksi pada waktu ke-t = banyaknya data sebenarnya
=banyaknya data prediksi
Model peramalan terbaik adalah model yang memiliki nilai penduga galat baku yang paling kecil.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2015/2016, bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung, Lampung.
3.2. Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Data yang digunakan dalam analisis adalah data harga saham PT. Unilever periode 3 Mei 2010 sampai 19 Oktober 2015. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
A. Model ARIMA
1. Menguji kestasioneran data dengan grafik dan Augmented Dickey Fuller. 2. Identifikasi model ARIMA.
3. Estimasi model dan pengujian signifikansi parameter ARIMA. 4. Pendugaan parameter.
18
5. Evaluasi model yang telah diestimasi (residual model memenuhi proses white noise dan berdistribusi normal atau tidak).
6. Meramalkan data berdasarkan model ARIMA(1,1,0).
B. Metode Bootstrap
1. Mendapatkan model terbaik ARIMA berdasarkan uji signifikansi parameter, nilai AIC, dan nilai BIC.
2. Mengestimasi parameter∅dan berdasarkan model ARIMA. 3. Mencari nilai residual berdasarkan model ARIMA.
4. Meresampling residual dengan cara sampling acak dengan pengembalian sehingga diperoleh εt*, t = 1,2,3, ..., n
5. Menduga parameter model ARIMA berdasarkan data resampling bootstrap 6. Menentukan persamaan model bootstrap pada proses ARIMA
7. Meramalkan data berdasarkan model bootstrap pada model ARIMA. 8. Membandingkan peramalan harga saham model ARIMA dan bootstrap
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pembandingan metode ARIMA dan bootsrap model ARIMA pada data saham PT. Unilever periode 3 Mei 2010 sampai 19 Oktober 2015, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Berdasarkan analisis dengan metode ARIMA, diperoleh model terbaik yaitu model ARIMA(1,1,0). Berikut persamaan model ARIMA(1,1,0)
= −0,1355 +
Berdasarkan analisis dengan metode bootstrap dalam proses ARIMA (1,1,0) diperoleh persamaan
∗ = −0,0239 +
2. Berdasarkan peramalan Harga saham, dengan membandingkan nilai penduga galat baku yang lebih kecil, maka metode bootstrap pada model ARIMA menghasilkan ramalan yang lebih baik dibandingkan model ARIMA. Nilai galat baku model ARIMA adalah 502,513 dan nilai galat baku metode bootstrap pada model ARIMA adalah 382,3675.
DAFTAR PUSTAKA
Gujarati, D.N. dan Porter, D.C. 2009. Basic Econometrics. 5th ed. McGraw-Hill Irwin, New York.
Karomah, Y. dan Hendikawati, P. 2014. Estimasi Parameter Bootstrap Pada Proses ARMA dan Aplikasinya Pada Harga Saham. UNNES Journal of Matematics, 2, 126-135.
Makridakis, W. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Bina Rupa Aksara, Jakarta.
Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models.Willey Intersciences Publication, Canada.
Primadiya, V. I. dan Iriawan, N. 2015. Pemodelan Box-Jenkins (Arima) Untuk Peramalan Indeks Harga Saham Gabungan. Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi XXII. Program studi MMT-ITS, Surabaya.
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. 2nded. Pearson Education Inc., Canada.
Efron, B & R.j. Tibshirani. 1998. An introduction to the Bootstrap. CRC pres LCC, United States of America.
