i
POLA KESALAHAN PADA OPERASI PEMBAGIAN
BILANGAN PECAHAN: STUDI KASUS PADA 4 SISWA KELAS VII B SMP N 3 DEPOK SLEMAN TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh : ANIK YULIANI NIM : 041414051
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
! ! ! !
! ! ! !
""""
# ##
# $$$$
% &' ( % &' ( % &' ( % &' (
)))) ****
# +
# +
# +
# +
vi
ABSTRAK
Anik Yuliani, 041414051. 2009. Pola Kesalahan pada Operasi Pembagian Bilangan Pecahan: Studi Kasus pada 4 Siswa Kelas VII B SMP N 3 Depok Sleman Tahun Pelajaran 2008/2009. Skripsi Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pola kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan beberapa siswa kelas VII B SMP Negeri 3 Depok Tahun Pelajaran 2008/2009 serta faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan tersebut.
Penelitian ini dilakukan di SMP Negeri 3 Depok Sleman. Subyek penelitian diambil dari siswa kelas VII B yang terdiri dari 4 siswa.
Metode yang digunakan untuk mengumpulkan data adalah metode tes dan metode wawancara. Metode tes digunakan untuk memprediksikan pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan, sedangkan metode wawancara digunakan untuk menggali lebih lanjut pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan tersebut.
Dari hasil analisis dapat disimpulkan bahwa pola kesalahan yang ditemukan pada operasi pembagian bilangan pecahan dikelompokan dalam dua jenis kesalahan yaitu:
1. Kesalahan pada pemahaman algoritma dasar pembagian bilangan pecahan. Pola kesalahan yang diungkap yaitu:
a. Siswa menganggap bahwa pembagian bilangan pecahan dengan bilangan bulat, dimanapun letak bilangan pecahannya maka bilangan pecahan tersebutlah yang harus dibalik.
b. Siswa menganggap bahwa cara penyelesaian operasi pembagian bilangan pecahan sama dengan menyelesaikan operasi penjumlahan pada bilangan pecahan yaitu dengan menyamakan penyebut.
c. Siswa menyelesaikan operasi pembagian bilangan bulat dengan bilangan pecahan dengan cara langsung membagi bilangan-bilangan tersebut. 2. Kesalahan pada pemahaman algoritma dasar perkalian bilangan pecahan.
Pola kesalahan yang diungkap yaitu:
a. Siswa berasumsi bahwa perkalian antara bilangan bulat dengan bilangan pecahan atau sebaliknya sama dengan mengubah bentuk pecahan campuran ke dalam bentuk pecahan biasa.
b. Siswa berasumsi bahwa dalam menyelesaikan perkalian bilangan bulat dengan bilangan pecahan, siswa mengalikan bilangan bulat dengan pembilang dan juga bilangan bulat dengan penyebutnya.
vii
ABSTRACT
Anik Yuliani, 041414051. 2009. Design of Mistakes on the Operation of Division of the Fraction Number: Case Study on Four Students in Grade VII B of Junior High School 3 Depok Sleman Academic Year 2008/2009.
Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics Education and Natural Sciences, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata Dharma University.
The objective of this research is to know the design of mistakes of fraction division in some students in grade VII B of Junior High School 3 Depok Sleman Academic Year 2008/2009, also the cause factor of the mistake in that fraction division operation.
This research was done in Junior High School 3 Depok Sleman. The subject was taken from four VII B graders.
The methods that used to collect the data are test method and interview method. Test method is used to predict the design of mistakes and that cause factor in fraction division operation, whereas interview method is used to research the mistake and that cause factor in fraction division operation.
We can conclude from the result analysis that the mistakes in fraction division operation is categorized into two kind of mistake, that are:
1. The mistake in the understanding of basic algorithm of fraction division. The design of mistake are:
a. The students have the opinion that fraction division with round number, in everywhere the place of the fraction so the fraction must be reversed. b. The students have the opinion that the solution of fraction division is same
with the solution of sum operation in fraction by making the same of denominator.
c. The students finished the division of round number with the fraction by dividing the numbers directly.
2. The mistake in the understanding basic algorithm of fraction multiplication. The design of mistake are:
a. The students have the assumption that multiplication between round numbers with the fraction or vice versa is same with changing the form of mixed fraction into ordinary fraction.
b. The students have the assumption that to finish the multiplication of round number with the fraction, they must multiply the round number with the numerator and the denominator.
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya kepada penulis, sehingga dapat menyusun Skripsi dengan judul “Pola Kesalahan pada Operasi Pembagian Bilangan Pecahan: Studi Kasus pada 4 Siswa Kelas VII B SMP Negeri 3 Depok Sleman Tahun Pelajaran 2008/2009”.
Dalam Penyusunan Skripsi ini, penulis banyak menemukan hambatan dan kesulitan, namun berkat bantuan dan bimbingan semua pihak penulis dapat menyelesaikannya dengan baik. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada :
1. Ibu Wanty Widjaja, S.Pd., M.Ed., Ph.D, selaku dosen pembimbing yang penuh kesabaran dan penuh pengorbanan waktu dan tenaga, serta telah membimbing, mengarahkan, dan membantu penulis, sehingga karya tulis ini dapat selesai.
2. Bapak Dr. St. Suwarsono dan Bapak Drs. Th. Sugiarto, M.T. selaku dosen penguji.
3. Segenap dosen dan seluruh staf sekretariat Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma.
4. Ibu Lies yang telah membimbing dan membantu penulis selama melaksankan penelitian di SMP N 3 Depok Sleman.
x
6. Bapak, Ibu, adik-adikku Dina dan Tri. Terima kasih atas restu, dorongan, dan doa yang selalu mengiringi setiap langkahku dan membiayaiku selama ini. 7. Kakek, Nenek dan Saudara-saudaraku yang selalu mendoakan dan
memberikan dukungannya.
8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan kesalahan baik dalam hal isi maupun tata bahasa. Untuk itulah penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membuat karya ini menjadi lebih baik. Akhirnya semoga skripsi ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya.
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI... xi
DAFTAR TABEL... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR LAMPIRAN... xvi
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Tujuan Penelitian ... 3
D. Pembatasan Masalah ... 4
E. Pembatasan Istilah... 4
xii BAB II LANDASAN TEORI
A. Deskripsi Teori... 7
1. Konsep ... 7
a. Pemahaman Konsep ... 8
b. Konsep Dalam Matematika... 11
2. Kategori Kesalahan ... 12
a.Kesalahan-Kesalahan Pada Operasi Pembagian Bilangan Pecahan ... 13
b. Penelitian Relevan... 15
3. Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan... 18
4. Materi pecahan ... 19
B. Kerangka Berpikir... 28
BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian... 30
B. Subyek Penelitian... 30
C. Instrumen Pengumpulan Data ... 31
D. Keabsahan Data... 38
E. Teknik Analisis Data... 38
F. Prosedur Pelaksanaan Penelitian... 42
BAB IV DESKRIPSI PENELITIAN DAN ANALISA DATA A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian... 44
B. Analisis Uji Coba ... 45
xiii
D. Analisis Data Penelitian ... 60
E. Rangkuman Analisis Data Penelitian... 92
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ... 98
B. Kelebihan dan Keterbatasan Penelitian... 100
C. Saran... 101
DAFTAR PUSTAKA ... 103
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel Keterangan Halaman
2.1 Rangkuman Hasil Penelitian Dari Beberapa Peneliti 16
3.1 Hubungan Antara Rumusan Dengan Instrumen Penelitian
31
3.2 Kisi-kisi Soal Tes Uji Coba 33
3.3 Kisi-kisi Soal Tes Penelitian 35
3.4 Teknik Analisis Data 39
3.5 Rangkuman Pola Kesalahan Dalam Menyelesaikan Operasi Pembagian Pada Bilangan Pecahan
40
3.6 Rumusan Kategori Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan
42
3.7 Tabel Pelaksanaan Penelitian 42
4.1 Kegiatan Selama Penelitian 44
4.2 Contoh Jawaban Eci 46
4.3 Contoh Jawaban Risma 51
4.4 Contoh Jawaban Yuda 55
4.5 Ringkasan Hasil Uji Coba dan Kontribusi Bagi Penelitian
59
4.6 Tabel Siswa yang Banyak Melakukan Kesalahan 61
4.7 Data Siswa yang Dijadikan Subyek Penelitian dan Perkiraan Pola Kesalahan yang Mereka Lakukan
66
4.8 Contoh Jawaban Angga 67
4.9 Rangkuman Pola Kesalahan dan Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan yang Dilakukan Oleh Angga
74
4.10 Contoh Jawaban Dewi 75
4.11 Rangkuman Pola Kesalahan dan Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan yang Dilakukan Oleh Dewi
80
4.12 Contoh Jawaban Hagi 80
4.13 Rangkuman Pola Kesalahan dan Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan yang Dilakukan Oleh Hagi
86
4.14 Contoh Jawaban Gani 87
4.15 Rangkuman Pola Kesalahan dan Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan yang Dilakukan Oleh Gani
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar Keterangan Halaman
4.1 Jawaban Eci No. 4 47
4.2 Jawaban Eci No. 5 47
4.3 Jawaban Eci No. 6 48
4.4 Jawaban Risma No. 2 52
4.5 Jawaban Risma No. 5 52
4.6 Jawaban Yuda No. 5 55
4.7 Jawaban Yuda No. 6 56
4.8 Jawaban Angga Pada Soal No. 3 68
4.9 Jawaban Angga Pada Soal No. 4 71
4.10 Jawaban Dewi Pada Soal No. 4 76
4.11 Jawaban Dewi Pada Soal No. 5 76
4.12 Jawaban Hagi Pada Soal No. 3 81
4.13 Jawaban Hagi Pada Soal No. 4 84
4.14 Jawaban Gani Pada Soal No. 1 88
xvi
LAMPIRAN
Lampiran Keterangan
Lampiran Uji Coba
Lampiran 1 Soal Uji Coba
Lampiran 2 Kunci Jawaban Soal Uji Coba Lampiran 3 Tabel Daftar Nilai Uji Coba Lampiran 4 Validitas dan Reliabilitas Uji Coba Lampiran 5 Transkripsi Hasil Wawancara Eci Lampiran 6 Transkripsi Hasil Wawancara Risma Lampiran 7 Transkripsi hasil Wawancara Yuda Lampiran 8 Scanner Hasil Uji Coba
Lampiran 9 Tabel Analisis Jawaban Eci Lampiran 10 Tabel Analisis Jawaban Risma Lampiran 11 Tabel Analisis Jawaban Yuda Lampiran penelitian
Lampiran 12 Soal Tes Penelitian
Lampiran 13 Kunci Jawaban Tes Penelitian Lampiran 14 Tabel Nilai Siswa
Lampiran 15 Tabel Uji Validitas
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Pecahan merupakan materi dasar dalam matematika, oleh karena itu sangat penting bagi semua siswa untuk dapat menguasai materi tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari pecahan digunakan dalam konteks anak yang belum sekolah misalnya mengambil setengah bagian makanan sering dipandang tidak mempunyai arti jika dibandingkan dengan mengambil seluruh bagian. Pembahasan materi pecahan secara formal dipelajari di sekolah dasar sejak kelas III semester 2 dengan penekanan pada pengembangan konsep dasar bilangan pecahan melalui benda-benda konkret kemudian dengan model-model atau gambar. Sementara di sekolah menengah, materi pecahan kembali dibahas pada kelas VII semester 1 dengan penekanan pada melatih cara berfikir dan bernalar serta mengembangkan kemampuan memecahkan masalah mengenai bilangan pecahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Mengingat bilangan pecahan sangat dekat sekali dengan kehidupan kita maka diharapkan siswa mampu memahami dan menerapkan pecahan dalam kehidupan sehari-hari. Hasil wawancara penulis dengan guru matematika yang mengajar di kelas VII SMP N 3 Depok memberikan indikasi bahwa penguasaan konsep pecahan masih tergolong rendah, serta masih banyak siswa yang melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal-soal cerita yang
bilangan pecahan.
Dalam Teaching and Learning Mathematics, Bergeson (2000) menemukan beberapa kesalahan konsep, salah satu kesalahan konsep yang ditemukan adalah menggunakan konsep perkalian dalam pembagian bilangan pecahan. Misalnya pada pembagian bilangan bulat dengan bilangan pecahan siswa langsung mengalikan bilangan bulat dengan bilangan pecahan kemudian siswa membaginya.
Sejalan dengan Bergeson (2000), Newstead & Murray (1998) juga menemukan adanya kesalahan pada pembagian bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Kesalahan ini terjadi dari kesalahan siswa yang tidak disengaja serta kesalahan berdasar pada pengetahuan formal yang dimiliki oleh siswa.
Ketidakmampuan siswa untuk menginterpretasikan soal 2 1
2÷ sebagai ”berapa
banyak 2 1
yang ada dalam 2”.
Pengetahuan dasar mengenai bilangan pecahan yang dimiliki siswa akan
bermanfaat dalam pemahaman dan penguasaan konsep pecahan pada jenjang
pendidikan berikutnya. Konsep pecahan yang telah dipelajari sebelumnya
akan digunakan sebagai modal untuk mempelajari konsep selanjutnya. Jika
konsep awal yang dipelajari oleh siswa salah maka untuk penerapan konsep
itu pada pengetahuan selanjutnya akan salah juga. Hal tersebut akan
menimbulkan berbagai kesalahan.
Penting bagi seorang guru untuk mengetahui pola kesalahan yang sering
dapat membantu siswa untuk memperbaiki kesalahan yang mereka alami.
Berdasarkan uraian di atas, penulis ingin lebih mengetahui pola kesalahan
yang terkait dengan operasi pembagian bilangan pecahan serta faktor
penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan dari
beberapa siswa kelas VII B SMP Negeri 3 Depok Sleman Tahun pelajaran
2008 / 2009.
B. Rumusan Masalah
Masalah yang diajukan dalam penelitian ini, adalah sebagai berikut:
1. Apa saja pola kesalahan yang terkait dengan operasi pembagian bilangan
pecahan dari beberapa siswa kelas VII B SMP Negeri 3 Depok Sleman
Tahun pelajaran 2008/2009?
2. Apa faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian
bilangan pecahan dari beberapa siswa kelas VII B SMP Negeri 3 Depok
Sleman Tahun pelajaran 2008/2009?
C. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalahuntuk mengetahui :
1. Pola kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan pada beberapa
siswa kelas VII B SMP Negeri 3 Depok Sleman Tahun Pelajaran
2008/2009.
2. Faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan
Tahun Pelajaran 2008/2009.
D. Pembatasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini, masalah akan dibatasi pada pola kesalahan yang
terkait dengan operasi pembagian bilangan pecahan serta faktor penyebab
terjadinya kesalahan tersebut. Subyek penelitian adalah beberapa siswa SMP
N 3 Depok Sleman kelas VII B yang melakukan pola kesalahan secara
konsisten, terus-menerus dan menunjukkan pola tertentu dalam menyelesaikan
soal-soal operasi pembagian pada bilangan pecahan.
E. Pembatasan Istilah
Dalam penelitian ini dibatasi istilah:
1. Pola kesalahan
Pola kesalahan yang dimaksud dalam penelitian ini hanya dibatasi pada
pola kesalahan yang terjadi secara konsisten, terus-menerus dan
menunjukkan pola tertentu yang dapat dilihat secara langsung dari hasil
jawaban yang diberikan oleh siswa.
2. Pecahan
Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai b a
, dengan a, b ∈
B, dimana b ≠ 0. B merupakan semua bilangan bulat dan a disebut
3. Pembagian
Karena pembagian diperoleh dari perkalian, maka pembagian dapat pula
disebut sebagai kebalikan dari perkalian. Selain itu, pembagian juga bisa
disebut sebagai pengurangan berulang.
4. Faktor penyebab terjadinya kesalahan
Faktor penyebab terjadinya kesalahan dalam penelitian ini merujuk pada
faktor yang diduga oleh penulis menjadi penyebab atau terkait erat dengan
kesalahan tentang operasi pembagian bilangan pecahan.
F. Manfaat Penelitian
1. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi bagi siswa
mengenai pola kesalahan yang mereka miliki selama ini dan mampu
mengatasi kesalahan tersebut, sehingga siswa terdorong untuk
mempelajari kembali konsep-konsep yang benar mengenai bilangan
pecahan.
2. Hasil penelitian akan memberikan informasi tentang pola kesalahan terkait
dengan operasi pembagian bilangan pecahan sehingga dapat dijadikan
sebagai masukan bagi calon guru matematika untuk merancang
pembelajaran yang dapat mengatasi kesalahan khususnya pada materi
pokok pecahan.
3. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan gambaran kepada guru
tentang pola kesalahan terkait dengan operasi pembagian bilangan
sehingga tidak terjadi kesalahan-kesalahan lagi.
4. Hasil penelitian dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan dan
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Deskripsi Teori
Pada bab ini akan dikaji teori-teori yang berhubungan dan mendukung
pembahasan-pembahasan yang terdapat dalam penelitian. Materi yang akan
dikaji pada bab ini meliputi teori-teori tentang pengertian konsep, pemahaman
konsep, konsep dalam matematika, kategori kesalahan, penelitian relevan,
faktor penyebab terjadinya kesalahan, serta pembahasan materi bilangan
pecahan.
1. Konsep
Sebagian besar siswa hanya menghafalkan definisi konsep tanpa
mengetahui hubungan antara konsep satu dengan konsep-konsep yang
lainnya. Akibatnya konsep yang baru menjadi tidak berhubungan dengan
konsep sebelumnya. Ausubel et al (1978, dalam Berg, 1991: 8)
mendefinisikan ”konsep adalah benda-benda, kejadian-kejadian,
situasi-situasi, atau ciri-ciri yang memiliki ciri-ciri khas dan yang terwakili dalam
setiap budaya oleh suatu tanda atau simbol”. Sementara itu menurut
Gagne (dalam Ruseffendi, 1980) konsep adalah ide abstrak yang
memungkinkan kita mengelompokkan benda-benda (objek) ke dalam
contoh dan non contoh.
Dari pengertian konsep yang telah diuraikan di atas, maka dapat
objek-objek biasanya dinyatakan dalam suatu istilah yang kemudian
dituangkan ke dalam contoh dan bukan contoh. Penguasaan akan suatu
konsep sangatlah penting, karena konsep merupakan alat dalam belajar
untuk penguasaan materi. Dengan adanya pengusaan konsep yang baik,
diharapkan siswa akan dapat memperoleh ilmu pengetahuan yang tidak
terbatas.
a. Pemahaman konsep
Menurut Berg (1991: 11) seseorang dikatakan memahami suatu
konsep dengan baik bila memenuhi kriteria sebagai berikut:
1) Dapat mendefinisikan konsep yang bersangkutan;
2) Menjelaskan perbedaan antara konsep yang bersangkutan dengan konsep-konsep yang lain;
3) Menjelaskan dengan konsep-konsep yang lain;
4) Menjelaskan arti konsep dalam kehidupan sehari-hari dan menerapkannya dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari,
Konsep lain yang dimaksudkan dalam butir 2 dan 3 tersebut adalah konsep-konsep yang diprioritaskan oleh pengajar, tidak semua konsep yang berhubungan dengan konsep baru yang akan diajarkan.
Sedangkan menurut Kuhnelt (1989) seseorang dikatakan telah
memahami suatu konsep apabila: 1) dapat menghubungkan
pemahaman yang baru dengan pemahaman yang telah diketahui, 2)
dapat menghubungkan konsep yang tidak dikenal dengan konsep yang
dikenal, 3) dapat menyatukan pemahaman baru yang tidak dikenal
Sejalan dengan pendapat kedua ahli tersebut Dahar (1989) juga
mengelompokkan tingkat pemahaman konsep menjadi empat kriteria
yaitu tingkat konkret, tingkat identitas, tingkat klasifikatori, dan
tingkat formal. Penjelasan mengenai tingkat pemahaman konsep
tersebut yaitu sebagai berikut:
1) Tingkat konkret,
Seseorang dikatakan telah mencapai konsep pada tingkat konkret,
apabila orang itu mengenal suatu benda yang telah dihadapinya
sebelumnya. Misalnya seorang anak kecil yang pernah
memperoleh kesempatan bermain dengan mainan, dan ia dapat
membuat respons yang sama waktu ia melihat mainan itu kembali
maka ia telah mencapai konsep tingkat konkret.
2) Tingkat identitas,
Seseorang dikatakan telah mencapai konsep pada tingkat identitas,
apabila orang tersebut mengenal suatu objek sesudah selang suatu
waktu, mempunyai orientasi yang berbeda terhadap objek tersebut,
dan mengenal suatu objek dengan melalui suatu cara indera yang
berbeda.
Contoh: mengenal suatu bola dengan cara menyentuh bola itu
bukan dengan melihatnya.
3) Tingkat klasifikatori,
Seseorang dikatakan telah mencapai konsep pada tingkat
contoh dan noncontoh dari suatu konsep.
4) Tingkat formal
Siswa dikatakan telah mencapai konsep pada tingkat formal,
apabila siswa itu dapat memberi nama dan mendefinisikan konsep
itu dalam atribut-atribut kriterianya, mendeskriminasi dan memberi
nama atribut-atribut yang membatasi, serta mengevaluasi atau
memberikan secara verbal contoh-contoh dan noncontoh dari
konsep.
Dari ketiga pendapat para ahli tersebut dapat disimpulkan bahwa
seseorang dikatakan memahami suatu konsep jika orang tersebut
memiliki pemahaman yang mencakup tingkat konkret, tingkat
identitas, tingkat klasifikatori, dan tingkat formal serta memberikan
gambaran bahwa suatu konsep biasanya digunakan secara
berkesinambungan untuk menjelaskan konsep-konsep yang lain dalam
matematika. Berdasarkan pendapat ketiga para ahli tersebut penulis
juga dapat mengambil kesimpulan bahwa jika dalam memahami
konsep tidak dilakukan secara sepenuhnya, maka bisa berakibat fatal
dalam mempelajari konsep-konsep berikutnya yang berkaitan dengan
konsep tersebut, atau dengan kata lain bisa menyebabkan terjadinya
kesalahan. Untuk menghindari terjadinya kesalahan tersebut maka
dalam memahami konsep tidak hanya mampu mendefinisikan konsep
tersebut tetapi juga harus dapat menghubungkan konsep yang baru
adanya pemahaman dalam menjelaskan arti konsep dalam kehidupan
sehari-hari dan menerapkannya dalam memecahkan masalah dalam
kehidupan sehari-hari.
b. Konsep dalam Matematika
Menurut Frederick (dalam Suradi, 2002: 588) konsep dalam
matematika adalah:
”suatu ide abstrak yang memungkinkan kita untuk dapat mengklasifikasikan (mengelompokkan) objek atau kejadian, dan menerangkan apakah objek atau kejadian itu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide tersebut”.
1) Macam–macam konsep
Dienes (dalam Suradi, 2002: 588) mengungkapkan bahwa
konsep itu adalah struktur matematika yang terdiri dari tiga
macam, yaitu:
a) Konsep Murni (Pure Mathematical Concept).
Konsep murni berkenaan dengan mengelompokkan bilangan dan hubungan antara bilangan tanpa mempertimbangkan bagaimana bilangan itu disajikan.
Contoh: Himpunan bilangan real (R) adalah gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irasional.
b) Konsep Notasi (Notational Concept)
Konsep notasi berkenaan dengan sifat-sifat bilangan sebagai akibat dari bilangan itu disajikan.
Dalam Soewito (1992/1993), contoh sistem numerasi Arab-Hindu: angka 3 terdapat pada tiap lambang 123, 231, dan 321. Karena posisinya, maka angka tiga tersebut mempunyai nilai yang berbeda-beda. Pada lambang ”123”; 3 berarti 3 satuan (3). Pada lambang ”231”; 3 berarti 3 puluhan (30). Pada lambang ”321”; 3 berarti 3 ratusan (300).
c) Konsep Terapan (Applied Concept)
Konsep terapan berkenaan dengan aplikasi konsep murni dan konsep notasi dalam pemecahan soal-soal matematika, dan dalam bidang studi lain yang berhubungan.
menyelesaikan soal yang berhubungan dengan program linear.
Dapat disimpulkan bahwa dalam mempelajari matematika
dapat dilakukan melalui pendekatan pengalaman peserta didik atau
melalui benda-benda konkret yang ada dalam kehidupan
sehari-hari. Oleh karena itu, untuk mempelajari matematika perlu dilatih
dan dikembangkan dengan menggunakan penalaran dari
konsep-konsep sederhana ke kompleks.
2) Kegunaan konsep dalam Matematika
Menurut Suradi (2002: 589) konsep dalam matematika
berguna untuk :
a) Menarik deduksi atau konklusi, karena matematika bersifat deduktif maka dengan konsep kita dapat mengetahui bahwa klasifikasi yang kita lakukan adalah benar. Misal, jika sesuatu objek mempunyai sifat s1,s2,s3,…,sn maka objek itu adalah G.
Objek ini mempunyai sifat s1,s2,s3,…,sn oleh karena itu objek
ini adalah G.
b) Generalisasi. Konsep yang sudah diketahui dapat digunakan untuk membuat generalisasi. Misalnya konsep lingkaran jika dipelajari lebih lanjut, akan ditemukan beberapa sifat lain. Seperti diameter, tali busur, busur lingkaran, luas dan lain-lain. c) Memperoleh pengetahuan baru, misalnya dalam bidang fisika,
dengan bantuan konsep sinus, dapat didefinisikan indeks bias suatu zat yang tembus cahaya.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa konsep dalam
matematika dapat berguna dalam membantu siswa untuk
memperoleh keakuratan akan pemahaman konsep matematika.
2. Kategori Kesalahan
Berg (1991:101) mengemukakan bahwa kesalahan siswa dalam
1) Ralat yang terjadi secara acak tanpa pola tertentu, 2) Salah ingat atau hafal,
3) Kesalahan yang terjadi secara konsisten, terus-menerus dan menunjukkan pola tertentu.
Pada penelitian ini penulis hanya akan memfokuskan pada kesalahan
siswa menurut Berg (1991) yaitu kesalahan yang terjadi secara konsisten,
terus-menerus dan menunjukkan pola tertentu. Untuk menentukan subyek
penelitian, penulis akan memilih beberapa siswa yang memenuhi kriteria
melakukan kesalahan secara konsisten, terus-menerus dan menunjukkan
pola tertentu tersebut.
a. Kesalahan-kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan.
Tirosh (2000) dalam tulisannya yang berjudul ”Enhancing
Prospective Teachers’ Knowledge of Children’s Conceptions: The
Case of Division of Fractions” meneliti tiga puluh calon guru sekolah
dasar tentang konsepsi anak pada pembagian pecahan. Tirosh (2000),
mengklasifikasikan kesalahan yang dibuat oleh partisipan ketika
membagi pecahan dalam tiga kategori yaitu
1) Algoritma berbasis kesalahan
Berbagai cara dalam menghitung pembagian termasuk dalam
kategori ini. Hal umum prosedur yang termasuk membalikkan
pembagian sebagai ganti pembagi atau pembalikan sebelum
perkalian pembilang dan penyebut (see, e.g.,Ashlock, 1990; Barash
& Klein, 1996). Kesalahan ini biasanya menjelaskan hasil dari
hafalan algoritma. Ketika algoritma memaparkan sebuah langkah
tersebut atau merubah caranya yang justru bisa menjadi suatu
kesalahan.
2) Kesalahan yang tidak disengaja
Penelitian tentang cara operasi pembagian menunjukkan bahwa
siswa dalam menyeimbangkan operasi dengan bilangan bulat pada
pecahan dan untuk menjelaskan pembagian primer menggunakan
cara lama, dalam keseluruhan model pembagian. Dalam model
pembagian ini sebuah obyek membagi ke dalam angka terpisah
atau kumpulan terkecil (e.g., Lima anak membeli 15 buah roti dan
membaginya sama rata. Berapa nilai roti yang masing-masing anak
dapatkan?). Cara lama, keseluruhan model pembagian
memaksakan tiga batasan dalam operasi pembagian: a). Pembagi
harus angka genap; b). Pembagi harus lebih kecil dari bilangan
yang dibagi; c). Hasil bagi harus lebih kecil dari bilangan yang
dibagi. Keunggulan cara lama, keseluruhan model menunjukkan
dengan sungguh batas kemampuan anak dan tingkat kemampuan
calon guru dalam mengoreksi jawaban pada masalah pembagian
yang menyertakan pecahan (e.g., Fischbein, Deri, Nello, & Marino,
1985; Greber, Tirosh, dan Glover, 1989 dalam Journal for
Research in Mathematics Education 2000, Vol 31, No. 1, 5-25).
Data juga menyarankan bahwa respon anak dalam menyertakan
3) Kesalahan berdasar pada pengetahuan formal
Kesalahan pada pemikiran yang terbatas tentang dugaan pecahan
dan kurangnya pengetahuan dalam menghubungkan operasi
termasuk dalam kategori ini. Kurangnya pengetahuan mungkin
adalah sumber dari hasil buruk responsi pada berbagai tugas
termasuk pembagian pecahan. Hart (1981) mengemukakan siswa
berpikir bahwa pembagian pecahan merupakan komutatif bahwa
2 1 2 1
1÷ = karena
2 1 1 2 1 2 1
1÷ = ÷ = . Sebagai contoh siswa percaya
bahwa 2
2 1 4
1÷ =
seperti dalam algoritma (e.g.,
2 2 1 1 4 2 1 4 1
= × =
÷ ), atau kurangnya pengetahuan formal (e.g.,
pembagian komutatif dan berikut 2
4 1 2 1 2 1 4 1
= ÷ =
÷ ). Faktor lain
mungkin yang akan menjadi respon yang baik. Seorang guru yang
memperkenalkan dengan berbagai sumber pada kesalahan respon
siswa seharusnya membantu guru dalam mengidentifikasi sumber
spesifik kesalahan siswa dan yang sesuai intruksi.
b. Penelitian relevan
Untuk mendukung penelitian ini maka penulis akan membahas
pola kesalahan yang sering dilakukan oleh siswa dalam mengerjakan
soal-soal pembagian bilangan pecahan berdasarkan penelitian
Bergeson (2000), Tirosh (2000), Naiser (2004), Samson & Burghes
Bergeson (2000) dalam penelitiannya menemukan adanya
beberapa kesalahan konsep dalam matematika khususnya terkait
dengan operasi-operasi yang melibatkan bilangan pecahan, antara lain
terungkap dalam kesalahan operasi perkalian dan pembagian bilangan
bulat dengan pecahan. Siswa menyelesaikan pembagian pecahan sama
dengan menyelesaikan perkalian pecahan. Nilai dari
4 3 4 1
3÷ = , yang
ekuivalen dengan 0,75.
Penelitian mengenai kesalahan pada pembagian bilangan pecahan
(Tirosh, 2000; Naiser, 2004; Samson, & Burghes, tanpa tahun;
Newstead, & Murray, 1998) mengungkap bahwa adanya kesalahan
pada pembagian bilangan bulat dengan bilangan pecahan, kesalahan ini
menjelaskan bahwa siswa membuat kesalahan dalam menggunakan
algoritma yang tidak dipahami secara penuh oleh siswa.
Berikut ini disajikan tabel rangkuman mengenai hasil penelitian
tentang pembagian pecahan dari beberapa peneliti.
Tabel 2.1: Rangkuman hasil penelitian dari beberapa peneliti
No Peneliti Pola kesalahan Contoh
1. Bergeson (2000)
Menyelesaikan
pembagian pecahan sama dengan menyelesaikan
perkalian pecahan.
Nilai dari
4 3 4 1
3÷ = yang ekuivalen dengan 0,75.
2. Tirosh (2000)
• Menyelesaikan pembagian pecahan dengan membalik pecahan yang dibaginya.
• Menyamakan penyebut pada
• 4 16
1 4 4 4 1 = × = ÷ • 12 60 12 20 3 3 5 4 1 5 3 4
No Peneliti Pola kesalahan Contoh
operasi pembagian bilangan pecahan. 3. Naiser
(2004)
• Melakukan perkalian silang dalam menyelesaikan operasi pembagian bilangan pecahan.
• Menyelesaikan operasi pembagian pecahan dengan bilangan bulat dengan cara langsung membagi pembilang dengan bilangan bulat dan penyebut dengan bilangan tersebut juga. • 8 3 4 1 3 2 4 1 3 2 = × = ÷ • 3 1 5 15
5 ÷ =
4. Ilan Samson & David Burghes (tanpa tahun)
Menyelesaikan
pembagian pecahan sama dengan menyelesaikan perkalian pecahan • 4 3 4 1 3 4 1
3÷ = × =
• 2 5 2 1 5 2 1
5÷ = × =
5. Newstead & Murray (1998)
Menyelesaikan
pembagian pecahan sama dengan menyelesaikan perkalian pecahan. 1 2 1 2 2 1
2÷ = × =
Berdasarkan hasil penelitian tentang pembagian bilangan
pecahan di atas dapat disimpulkan bahwa masih banyak siswa dan para
calon guru yang melakukan kesalahan pada pecahan terutama pada
operasi pembagian bilangan pecahan. Pada penelitian ini penulis ingin
mengetahui lebih lanjut pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya
3. Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan.
Menurut Radatz, H. (1978, dalam Krismayanti, 2006) menemukan
beberapa faktor penyebab kesalahan yaitu:
1) Kesulitan Konsep
Ketika seorang siswa mengalami kesulitan bahasa maka siswa
tersebut akan mengalami kendala besar dalam pemahaman suatu
konsep. Kesulitan bahasa meliputi tidak bisa mengartikan kata-kata,
kalimat atau istilah tertentu yang digunakan dalam matematika.
Misalnya siswa tidak mengerti apa yang dimaksud dengan konstanta,
variabel, gradien dan lain-lain.
2) Kesulitan memahami informasi tentang ruang
Kesulitan memahami informasi tentang bangun ruang adalah
kesulitan yang disebabkan karena siswa mengalami kesulitan untuk
mengenali bentuk-bentuk visual dan memahami sifat-sifat keruangan
yang berkaitan dengan soal-soal matematika.
3) Kesulitan karena kurangnya penguasaan keterampilan prasyarat,
fakta-fakta dasar dan konsep (algoritma)
Untuk menguasai konsep yang mempunyai tingkat kesulitan
tinggi, terlebih dahulu siswa harus menguasai fakta-fakta dasar
(konsep-konsep yang lebih dasar), keterampilan prasyarat meliputi:
keterampilan menghitung, keterampilan mengintepretasikan data atau
4) Ketidaktepatan penggabungan
Kesulitan ini lebih melibatkan kemampuan kognitif siswa, karena
disini siswa harus bisa menemukan cara lain atau alternatif
penyelesaian masalah jika soal tersebut tidak bisa diselesaikan dengan
satu cara.
5) Penerapan hukum atau strategi yang tidak relevan
Dalam menyelesaikan soal-soal matematika biasanya kita
menggunakan hukum-hukum, dalil-dalil dan teorema-teorema. Karena
ketidaktepatan siswa dalam menerapkan hukum-hukum, dalil-dalil,
teorema-teorema atau definisi-definisi siswa pasti akan mengalami
kesulitan untuk menyelesaikan soal.
Penulis akan menggunakan pendapat dari Radatz (1978) sebagai
landasan teori untuk menganalisa faktor penyebab terjadinya kesalahan
pada operasi pembagian bilangan pecahan. Rumusan kategori faktor
penyebab terjadinya kesalahan dapat dilihat pada bab 3.
4. Materi Pecahan
Menurut Ma (1999), untuk menguasai pemahaman pembagian dalam
pecahan diperlukan pengetahuan yang mendukung, yaitu pengertian
tentang perkalian semua bilangan, konsep pembagian sebagai kebalikan
dari perkalian, memahami bentuk-bentuk pembagian semua bilangan,
memahami perkalian dengan pecahan, memahami konsep tentang pecahan,
hubungan penguasaan konsep dalam pembagian pecahan:
Menurut Robert (1982, dalam Rifai, 1998) mengatakan bahwa
pecahan mempunyai pengertian sebagai hasil bagi dari dua nilai, artinya
dalam pecahan ada bagian yang dibagi dan ada bagian yang membagi.
Apabila konsep ini diterapkan ke dalam konsep bilangan pecahan, maka
bagian yang dibagi selanjutnya disebut pembilang sedangkan bagian yang
membagi disebut penyebut.
Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai b a
, dengan a,
b ∈ B, dimana b ≠ 0 , B merupakan semua bilangan bulat dan a disebut
pembilang serta b disebut penyebut.
Pemahaman pembagian pada pecahan
Pemahaman perkalian pada pecahan Pemahaman pembagian
semua bilangan
Pemahaman perkalian semua bilangan
Pemahaman tentang penjumlahan Konsep operasi
kebalikan
Pemahaman konsep sebagai kesatuan
Menurut Kieren 1998, Behr et al. 1992 (dalam Chapin, 2000)
menjelaskan bahwa terdapat empat pengertian pecahan yaitu:
1) Pecahan sebagai bagian dari keseluruhan atau bagian dari kumpulan.
Pecahan adalah sebagai bagian dari kumpulan. Pada pengertian ini,
dijelaskan bahwa kesatuan dibagi ke dalam bagian yang sama
(contoh., 8 1
, 6 1
atau 2 1
) dan bilangan tersebut digunakan untuk
mewakili sejumlah pecahan (contoh.,
2 1 1 , 6 5 , 8 3
).
2) Pecahan sebagai hasil dari pembagian dua bilangan.
Pecahan dapat juga mewakili hasil ketika dua bilangan dibagi.
Contoh: terdapat 40 permen yang akan dibagikan kepada 5 anak, dapat
dinyatakan sebagai 5 40
atau 1 8
.
3) Pecahan sebagai perbandingan dua bagian yang jumlahnya besar.
Perbandingan adalah membandingkan antara kedua jumlah yang besar
dengan jumlah yang sama. Perbandingan dapat diklasifikasikan
sebagai bagian dari pecahan, karena perbandingan tersebut
membandingkan sebuah bagian dari keseluruhan (contoh.,
perbandingan 6 : 20, ketika membandingkan 6 perempuan dengan total
siswa 20 pada sebuah kelas, pecahan disajikan sebagai bagian dari
20 6
). Perbandingan bagian per bagian juga diartikan sebagai pecahan
dalam beberapa situasi yang sama, tetapi tidak dalam operasi lainnya.
pecahan. Pecahan tidak mempunyai penyebut nol, tetapi masih
dimungkinkan pada perbandingan mempunyai penyebut nol. Misalnya
perbandingan 2 : 0 dapat digunakan untuk membandingkan 2 kelereng
biru dengan 0 kelereng hijau tetapi itu bukan sebagai pecahan.
4) Pecahan sebagai operasi
Disini pecahan dipahami sebagai tindakan oleh satu angka untuk angka
yang lain dengan tujuan untuk menyederhanakan atau memperbesar
angka tersebut.
Contoh: jika panjang sayap pesawat 50 kaki dan modelnya memiliki
panjang 25
1
dari panjang sayap pesawat sebenarnya, untuk
menentukan panjang sayap dari model pesawat tersebut yaitu dengan
cara mengalikan
25 1
50× .
Menurut Cholik, dkk (2004), operasi dasar yang berlaku dalam operasi
pecahan meliputi:
1) Penjumlahan dan pengurangan pecahan
Hasil penjumlahan/pengurangan pecahan-pecahan yang memiliki
penyebut sama diperoleh dengan cara menjumlahkan/mengurangkan
pembilang-pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
Untuk sembarang pecahan b a
dan b c
dengan b ≠ 0,
maka berlaku:
b c a b c b
a+ = +
dan
b c a b c b
Contoh: a. 8 5 8 3 8 2 8 3 4 1 = + =
+ (KPK dari 4 dan 8 adalah 8)
b. 2 6 2 1 3 4 3 3 6 1 4 3 × × − × × =
− ( KPK dari 4 dan 6 adalah 12)
= 12 2 12 9 − = 12 7
Hasil penjumlahan bilangan pecahan yang dinyatakan oleh
pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama.
Untuk sembarang pecahan b a
dan d c
, dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0 maka
bd bc ad d c b
a+ = +
, (Soewito: 1992/1993).
2) Perkalian pecahan
Pada perkalian pecahan berlaku pengerjaan-pengerjaan berikut :
a.
b a b a×1 =
b. ab b a b a 1 1 1 1 = × = × c. b a m n b m a n × × = ×
Sifat-sifat perkalian pecahan.
a. Sifat komutatif perkalian pecahan
b. Sifat asosiatif perkalian pecahan = f g x d c x b a f g x d c x b a
c. Sifat distribusi perkalian pecahan terhadap penjumlahan
+ = + d g x b a d c x b a d g d c x b a
d. Sifat distribusi perkalian pecahan terhadap pengurangan
− = − d g x b a d c x b a d g d c x b a
e. Sifat perkalian pecahan dengan bilangan 1
b a x b a = 1
f. Sifat perkalian pecahan dengan 0
0 0
0= =
b a x x b a
g. Sifat urutan pecahan
Manakah yang lebih kecil di antara 4 2 dan 5 3 ? 20 12 5 3 , 20 10 4 2 = = Dengan demikian 20 10 20 12 > Jadi, 5 3 4 2 <
3) Pembagian pecahan
Pengertian pembagian pecahan memiliki arti yang berbeda dengan
pengertian pembagian pada umumnya, khususnya bagaimana
mengartikan pembagian yang diterapkan dalam pecahan.
Pembagian pada pecahan dapat diartikan sebagai:
a) Pengurangan berulang
Pengurangan berulang dapat digunakan pada pembagian. Misalnya
3 8 2 8
6÷ =
, 8 2
digunakan sebagai pengurang dari 8 6
.
b) Pada persamaan kedua
8 2 3 8 6
=
÷ dapat diartikan sebagai ”partitive
divition”. Pembagian meliputi membagi bilangan ke dalam bagian
yang sama. Pada diagram ditunjukkan 8 6
dibagi menjadi 3 grup,
maka masing-masing grup mendapat 8 2
bagian. 8
2
8 2
8 2
8 2
8 2
Untuk menyelesaikan operasi pembagian pada pecahan dapat
dilakukan dengan cara:
a) Mengalikan pernyataan dengan 1 dan tidak merubah pernyataan
tersebut. Contoh: 2 3 2 3 3 2 4 3 3 2 4 3 × = ÷ = 2 3 2 3 3 2 4 3 2 3 3 2 2 3 4 3 × × = 8 9 atau 1 8 9 atau 6 6 8 9 =
b) Mengalikan dengan kebalikan yang meliputi mencari faktor yang
belum diketahui dalam pembagian.
Ketika menyelesaian 3 2 4 3÷
, kita dapat menulis pernyataan ini
sebagai operasi perkalian untuk mencari sebuah faktor yang belum
diketahui: × 3 2
4 3
= . Untuk menemukan nilai dari kita dapat
× 3 2 4 3 = 3 2 2 3 × × = 2 3 4 3 6 6 8 9 = 8 9 = (Chapin: 2000)
Tirosh (2000), menjelaskan tiga argumen formal yang
menjelaskan pembagian pecahan:
a. Operasi yang dibalik.
Pembagian mempresentasi operasi membalik perkalian.
Contoh: ; ;
c d b a c d d c x b a d c x x d c b
a ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇔ = ÷ ; c d b a c d d c
x = ⋅
⋅ ⋅ c d d a x⋅1= ⋅
; bc ad x= Jadi bc ad c b b a = ÷
b. Pecahan yang komplex.
Definisi standar pembagian oleh pecahan disini dipresentasikan
perkalian pecahan dan beberapa prinsip matematika (e.g.,
a a÷1= );
bc ad bc ad c d c d d c b a d c b a d c b
a ÷ = = ⋅ = = 1
c. Dengan menyamakan penyebut
Pecahan yang pertama disebut sebagai pecahan, dan pembilang
pada pecahan pertama dibagi oleh pembilang pecahan lain, dan
penyebut pecahan adalah pembaginya.
bc ad bc ad bc ad bd bd bc ad bd bc bd ad bd bc bd ad d c b
a + = ÷ =
÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ 1 ; ;
B. Kerangka Berpikir
Berdasarkan kerangka teoritik yang telah dijabarkan maka diperoleh suatu
kerangka berpikir sebagai berikut :
1. Matematika merupakan konsep yang bersifat abstrak, sehingga
memerlukan metode tertentu untuk mempelajarinya. Dalam mempelajari
matematika diperlukan suatu pengetahuan awal tertentu sebagai syarat
awal.
2. Penekanan dalam belajar matematika bukanlah mengetahui deskripsi
konsep matematika, namun pada pengolahan kembali konsep matematika
menjadi suatu alat untuk menyelesaikan masalah.
3. Pengetahuan, pemahaman dan pengalaman belajar matematika seseorang
dilakukannya. Penyelesaian masalah ini merupakan hasil kemampuan
seseorang dalam mengolah kembali konsep-konsep matematika yang telah
dipelajarinya.
4. Selama belajar di Sekolah Menengah Pertama siswa yang mempelajari
matematika menggunakan pengetahuan, pemahaman dan pengalaman
belajar matematika selama di sekolah dasar. Penguasaan konsep
matematika akan mempengaruhi pemahaman belajar siswa selanjutnya.
Kurangnya pemahaman konsep akan menimbulkan kesalahan pada siswa.
5. Hasil penelitian dari peneliti-peneliti menyebutkan bahwa masih banyak
siswa dan calon guru yang melakukan kesalahan pada operasi pembagian
bilangan pecahan (Bergeson, 2000; Tirosh, 2000; Naiser, 2004; Ilan
Samson & David Burghes, tanpa tahun; Newstead & Murray, 1998).
Masih banyaknya kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh siswa dalam
menyelesaikan soal-soal pecahan menunjukkan bahwa tingkat pemahaman
dan penguasaan siswa terhadap materi pecahan masih rendah, demikian
juga dengan kemampuan berhitung siswa. Padahal, pengetahuan tentang
pecahan yang dimiliki siswa SD akan bermanfaat dalam pemahaman dan
penguasaan konsep pecahan pada jenjang pendidikan berikutnya. Dengan
demikian penulis tertarik untuk mengetahui pola kesalahan yang dilakukan
oleh beberapa siswa SMP N 3 Depok Sleman kelas VII B dan faktor
penyebab terjadinya kesalahan pada operasi pembagian bilangan pecahan
30
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Dalam penelitian ini penulis menggunakan penelitian kasus atau studi
kasus. Menurut Maxfield (1930, dalam Nazir, 1985) studi kasus adalah
penelitian tentang kasus subyek penelitian yang berkenaan dengan suatu fase
spesifik atau khas dari keseluruhan personalitas. Subyek penelitian dapat saja
individu, kelompok, lembaga, maupun masyarakat.
Penelitian kasus ini menggunakan penelitian deskriptif kualitatif.
Menurut Bogdan dan Taylor (dalam Moleong, 2006: 4) ”Penelitian deskripsi
kualitatif adalah prosedur penelitian yang menghasilkan data deskriptif berupa
kata-kata tertulis atau lisan dari orang-orang dan perilaku yang dapat diamati”.
Dalam penelitian ini penulis ingin mengetahui pola kesalahan yang terkait
dengan operasi pembagian pada bilangan pecahan serta faktor penyebab
terjadinya kesalahan pada.operasi pembagian bilangan pecahan khususnya
yang terjadi pada beberapa siswa kelas VII B SMP N 3 Depok Sleman pada
tahun pelajaran 2008/2009.
B. Subyek Penelitian
Subyek dalam penelitian ini adalah empat siswa kelas VII B SMP N 3
Depok Sleman tahun pelajaran 2008/2009, empat siswa tersebut dipilih dari
memiliki tingkat kecerdasan yang berbeda. Pengambilan empat siswa tersebut
dilakukan dengan cara yaitu:
1) Seluruh siswa kelas VII B SMP N 3 Depok Sleman tahun pelajaran
2008/2009 akan diberikan tes uraian.
2) Kemudian akan dipilih siswa yang melakukan kesalahan secara konsisten,
terus-menerus dan menunjukkan pola tertentu.
3) Setelah terpilih keempat siswa tersebut, keempat siswa akan diteliti lebih
lanjut.
C. Instrumen Pengumpulan Data
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes uraian dan
wawancara.
Tabel 3.1: Hubungan antara rumusan masalah dengan instrumen penelitian
Rumusan masalah Instrumen penelitian 1. Pola kesalahan yang terkait dengan operasi
pembagian bilangan pecahan.
•Soal-soal tes
•Wawancara 2. Faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi
pembagian bilangan pecahan.
•Soal-soal tes
•Wawancara
Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini adalah :
a. Data tentang pola kesalahan yang dilakukan oleh empat siswa SMP N 3
Depok kelas VII B yang terkait dengan operasi pembagian bilangan
pecahan. Data ini diperoleh dari pemilihan jawaban siswa yang melakukan
serta dari hasil analisa wawancara. Untuk proses analisa data akan
dijelaskan pada subbab lain pada bab ini.
b. Data tentang faktor penyebab terjadinya kesalahan pada operasi
pembagian bilangan pecahan empat siswa SMP N 3 Depok kelas VII B
yang dapat diperoleh dari hasil tes uraian serta hasil analisa wawancara.
Untuk memperoleh data-data tersebut maka penulis membuat instrumen yang
akan digunakan dalam penelitian yaitu sebagai berikut:
a. Tes uraian
Dalam penelitian ini tes uraian diberikan kepada siswa untuk
memperkirakan pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya kesalahan
yang dilakukan oleh siswa yang terkait dengan operasi pembagian
bilangan pecahan. Dengan demikian diharapkan informasi mengenai pola
kesalahan dan faktor penyebab kesalahan yang dilakukan siswa dapat
diungkap.
Sebelum soal tes diberikan kepada subyek yang akan digunakan
dalam penelitian maka soal diuji cobakan terlebih dahulu pada siswa yang
tidak termasuk dalam subyek yang akan digunakan dalam penelitian. Uji
coba dilakukan untuk mengetahui apakah waktu yang tersedia (80 menit)
cukup untuk menyelesaikan soal-soal tersebut serta untuk mengetahui nilai
validitas dan reliabilitas serta untuk mengetahui apakah dari instrumen
muncul adanya pola kesalahan dalam menyelesaikan operasi pembagian
bilangan pecahan. Soal-soal tes yang diberikan terdiri dari 13 soal,
tahun); Cholik & Sugijono &Subroto, (2004); Newstead & Murray (1998);
Miller, (tanpa tahun); Spector, (2008); Sukayati, (2003); Naiser, (2004).
Tabel 3.2: Kisi-kisi soal tes uji coba
No Konsep Soal Item
soal
Sumber /Dasar
Tentukan hasil pembagian pecahan berikut ini :
a. ÷ =
5 3 6
b. ÷ =
8 5 7
4 Samson & Burghes (tanpa tahun)
a. Berapa bagiankah 1 ¾ dari 2?
b.Berapa bagiankah 1 ¾ dari 7 ?
8 Cholik, Sugijono & Subroto (2004) Hasil kali dua bilangan adalah
12. Jika bilangan yang satu adalah 2 ¼, tentukan bilangan yang lain?
9 Cholik, Sugijono & Subroto (2004) 1. Pembagian bilangan
bulat dengan pecahan.
Kakak membutuhkan
2 1
m pita untuk membuat sebuah bunga. Berapa banyak bunga yang dapat dibuat oleh kakak jika kakak memiliki 2m pita ?
12 Newstead & Murray (1998)
Bagilah
5 4
dari kue ini untuk 2 orang dan warnailah tiap bagian dengan warna yang berbeda !
1 Miller (tanpa tahun) 2. Pembagian pecahan
dengan bilangan bulat
2/8 dari kotak ini akan dibagikan untuk 2 orang. Maka masing-masing orang akan mendapat berapa bagian ? Tunjukkan dalam gambar berikut !
No Konsep Soal Item soal
Sumber /Dasar
Selesaikanlah hasil pembagian berikut ini!
a. :2=
3 1
b. ÷3=
5 2
5 Spector (2008)
Ibu mempunyai ¾ roti yang akan diberikan kepada 2 anaknya sehingga masing-masing mendapat bagian yang sama. Berapa bagian roti yang diterima oleh masing-masing anak?
11 Sukayati (2003)
Selesaikanlah pembagian pecahan berikut ini :
a. = 4 1 : 3 2 b. = 8 1 : 9 2
6 Naiser (2004)
Ibu mempunyai gula
8 3
kg yang akan dibuat kue. Satu resep kue memerlukan
16 1
kg gula. Berapa resep yang dapat ibu buat ?
13
Sukayati (2003)
Selesaikanlah pembagian pecahan berikut ini :
a. = 3 1 2 : 3 1 3 b. = 9 7 1 : 3 1 9
7 Cholik, Sugijono & Subroto (2004) 3. Pembagian pecahan
dengan pecahan.
Pak ali memiliki sebidang tanah yang diketahui luasnya adalah 100 ½ m2. Jika telah diketahui bahwa lebar tanah tersebut adalah 12 ½ m, maka tentukanlah panjangnya ? jelaskan beserta caranya !
10 Cholik, Sugijono & Subroto (2004)
4. Pemahaman mengenai garis bilangan
Lengkapilah titik-titik pada garis bilangan berikut ini dengan menggunakan bilangan pecahan !
No Konsep Soal Item soal
Sumber /Dasar
Setelah hasil uji coba dianalisis dapat diketahui bahwa terdapat
satu soal yang tidak memenuhi validitas yaitu soal nomor 3. Karena soal
tersebut tidak memenuhi uji validitas maka soal nomor 3 tersebut tidak
akan digunakan dalam tes penelitian. Penulis merasa bahwa 12 soal
yang lain sudah cukup untuk digunakan dalam penelitian sehingga
penulis tidak akan menggantinya tetapi penulis menghapus soal nomor 3
tersebut. Hasil perhitungan validitas dan reliabilitas butir soal pada uji
coba dapat dilihat pada lampiran 4. Untuk memastikan bahwa soal tes
uraian juga memenuhi validitas maka penulis juga melakukan uji
validitas dan reliabilitas pada hasil penelitian. Hasil perhitungan dan
analisis validitas dan reliabilitas dapat dilihat pada lampiran 15.
Berdasarkan hasil analisis tersebut ternyata seluruh soal memenuhi uji
validitas dan reliabilitas.
Tabel 3.3: Kisi-kisi soal tes penelitian
No Konsep Soal Item
soal
Sumber/Dasar
Tentukan hasil pembagian pecahan berikut ini : a. ÷ =
5 3 6
b. ÷ =
8 5 7
3 Samson, I. &Burghes, D (tanpa tahun) 1. Pembagian bilangan
bulat dengan pecahan.
a. Berapa bagiankah 1 ¾ 7 Cholik,
0
6
3 1
No Konsep Soal Item soal
Sumber/Dasar
dari 2 ?
b. Berapa bagiankah 1 ¾ dari 7 ?
Sugijono & Subroto (2004)
Hasil kali dua bilangan adalah 12. Jika bilangan yang satu adalah 2 ¼, tentukan bilangan yang lain?
8 Cholik, Sugijono & Subroto. (2004)
Kakak membutuhkan
2 1
m pita untuk membuat sebuah bunga. Berapa banyak bunga yang dapat dibuat oleh kakak jika kakak memiliki 2m pita ?
11 Newstead & Murray (1998)
Bagilah
5 4
dari kue ini untuk 2 orang dan warnailah tiap bagian dengan warna yang berbeda !
1 Miller (tanpa tahun)
2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat
2/8 dari kotak ini akan dibagikan untuk 2 orang. Maka masing-masing orang akan mendapat berapa bagian ? Tunjukkan dalam gambar berikut !
2 Miller (tanpa tahun)
Selesaikanlah hasil pembagian berikut ini!
a. :2=
3 1
b. ÷3=
5 2
4 Spector (2008)
Ibu mempunyai ¾ roti yang akan diberikan kepada 2 anaknya sehingga
No Konsep Soal Item soal
Sumber/Dasar
masing-masing mendapat bagian yang sama. Berapa bagian roti yang diterima oleh masing-masing anak? Selesaikanlah pembagian pecahan berikut ini :
a. =
4 1 : 3 2
b. =
8 1 : 9 2
5 Naiser (2004)
Ibu mempunyai gula
8 3
kg yang akan dibuat kue. Satu resep kue memerlukan
16 1
kg gula. Berapa resep yang dapat ibu buat ?
12 Sukayati (2003)
Selesaikanlah pembagian pecahan berikut ini : a. = 3 1 2 : 3 1 3 b. = 9 7 1 : 3 1 9
6 Cholik Sugijono & Subroto. (2004) 3. Pembagian pecahan
dengan pecahan.
Pak ali memiliki sebidang tanah yang diketahui luasnya adalah 100 ½ m2. Jika telah diketahui bahwa lebar tanah tersebut adalah 12 ½ m, maka tentukanlah panjangnya ? jelaskan beserta caranya !
9 Cholik Sugijono & Subroto. (2004)
b. Wawancara
Berdasarkan jawaban dari subyek penelitian pada hasil tes uraian,
penulis menelusuri pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya
wawancara dilakukan untuk menggali secara lebih mendalam penelusuran
pola kesalahan dan faktor penyebab terjadinya kesalahan yang
diprediksikan berdasarkan hasil tes. Wawancara direkam dengan video
kamera dan recorder untuk membantu proses analisa. Hasil wawancara
pada uji coba digunakan untuk memberikan gambaran dalam memberikan
pertanyaan yang akan digunakan dalam penelitian, sehingga pertanyaan
yang digunakan dalam penelitian bisa lebih menggali pola kesalahan dan
faktor penyebab siswa melakukan kesalahan. Hasil transkripsi wawancara
uji coba dan pada penelitian dapat dilihat pada lampiran5-7 dan lampiran
16-19. Hasil analisis wawancara akan dijelaskan pada bab IV.
D. Keabsahan Data
Menurut Moleong (2006), triangulasi adalah teknik pemeriksaan
keabsahan data yang memanfaatkan sesuatu yang lain di luar data itu untuk
keperluan pengecekan atau pembanding terhadap data.
Untuk memeriksa kembali data yang sudah diperoleh maka penulis
melakukan proses triangulasi, yaitu dengan melihat perbandingan data hasil
wawancara dan isi pekerjaan siswa dalam tes tertulis.
E. Teknik Analisis Data
1) Tes uraian
Analisis data pada penelitian ini dilakukan dengan mendeskripsikan
masalah dan landasan teori.
Setelah data terkumpul, langkah selanjutnya adalah:
Tabel 3.4: Teknik analisis data
No Proses
1. Pemeriksaan jawaban seluruh siswa.
2. Mengklasifikasikan jawaban siswa yang mengerjakan dengan benar, salah maupun yang tidak mengerjakan.
3. Mengklasifikasikan siswa yang melakukan banyak kesalahan dengan pola tertentu.
4. Pemilihan sampel penelitian yaitu 4 siswa.
Pemilihan 4 siswa tersebut didasarkan pada kesalahan yang dilakukan secara konsisten, terus-menerus dan menunjukkan pola tertentu.
5. Menganalisis satu per satu dari 4 siswa yang melakukan kesalahan tersebut.
Dalam proses analisis data, penulis menggunakan pola kesalahan
berdasarkan penggabungan hasil penelitian yang dikemukakan oleh Tirosh
(2000), Bergeson (2000), Naiser (2004), Ilan Samson & David Burghes
(tanpa tahun), dan Newstead & Murray (1998). Rumusan pola kesalahan
tersebut yang akan digunakan penulis dalam menganalisis hasil uji coba
dan hasil penelitian.
Rumusan pola kesalahan yang akan digunakan, sebagai berikut:
1. Menyelesaikan pembagian pecahan sama dengan menyelesaikan
perkalian pecahan.
Contoh pola kesalahan tersebut yaitu nilai dari
4 3 4 1 3 4 1
2. Melakukan perkalian silang dalam menyelesaikan operasi pembagian
bilangan pecahan.
Contoh pola kesalahan tersebut yaitu
8 3 4 1 3 2 4 1 3
2÷ = × =
3. Menyamakan penyebut pada operasi pembagian bilangan pecahan.
Contoh pola kesalahan tersebut yaitu
12 60 12 20 3 3 5 4 1 5 3 4 1 = ⋅ = × = ÷
4. Membalik pecahan yang dibagi.
Contoh pola kesalahan tersebut yaitu, 4 16
1 4 4 4 1 = × = ÷
5. Menyelesaikan operasi pembagian pecahan dengan bilangan bulat
dengan cara langsung membagi pembilang dengan bilangan bulat dan
penyebut dengan bilangan bulat tersebut juga.
Contoh pola kesalahan tersebut yaitu,
3 1 5 15 5 = ÷ .
Berikut ini rangkuman pola kesalahan yang akan digunakan dalam analisis
penelitian:
Tabel 3.5: Rangkuman pola kesalahan dalam menyelesaikan operasi pembagian pada bilangan pecahan.
No Pola Kesalahan Contoh Sumber 1. Menyelesaikan
pembagian pecahan sama dengan menyelesaikan perkalian pecahan. 4 3 4 1 3 4 1
3÷ = × = Bergeson (2000), Ilan Samson & David Burghes (tanpa tahun), Newstead & Murray (1998) 2. Melakukan perkalian
silang dalam menyelesaikan operasi pembagian bilangan pecahan. 8 3 4 1 3 2 4 1 3 2 = × =
3. Menyamakan penyebut pada operasi pembagian bilangan pecahan.
12 60 12
20 3 3 5 4 1 5 3 4
1÷ = × = ⋅ = Tirosh (2000)
4. Membalik pecahan
yang dibagi. 4 16
1 4 4 4
1÷ = × = Tirosh (2000)
5. Menyelesaikan operasi pembagian pecahan dengan bilangan bulat dengan cara langsung membagi pembilang dengan bilangan bulat dan penyebut dengan bilangan tersebut juga.
3 1 5 15
5 ÷ = Naiser (2004)
2) Wawancara
Siswa-siswa yang dipilih sebagai subyek penelitian akan diteliti
lebih lanjut untuk menggali lebih lanjut pola kesalahan dan faktor
penyebab terjadinya kesalahan dalam mengerjakan soal-soal pada operasi
pembagian bilangan pecahan.
Rancangan pertanyaan setiap siswa berbeda, karena masing-masing
siswa memiliki jawaban yang berbeda-beda. Pertanyaan yang diberikan
kepada siswa dibuat berdasarkan jawaban yang dikerjakan oleh siswa.
Wawancara ini dilaksanakan pada jam pelajaran matematika, data hasil
rekaman kemudian ditulis pada kertas. Setelah itu data hasil wawancara
dianalisis untuk melengkapi data mengenai pola kesalahan yang dilakukan
oleh siswa serta faktor penyebab terjadinya kesalahan tersebut.
Data yang diperoleh merupakan data kualitatif sehingga dianalisis
dengan menarik kesimpulan secara kualitatif. Penulis mengadopsi
Radatz (1978, dalam Krismayanti, 2006) seperti dapat dilihat pada tabel
3.6 dibawah ini:
Tabel 3.6: Rumusan kategori faktor penyebab kesalahan.
No Kategori faktor penyebab kesalahan menurut Radatz (1978, dalam Krismayanti, 2006)
1. Kesulitan konsep
Kesulitan bahasa menjadi kendala besar bagi siswa yang tidak bisa mengartikan kata-kata, kalimat atau istilah.
2. Kesulitan memahami informasi tentang ruang.
Kesulitan yang disebabkan karena siswa mengalami kesulitan untuk mengenali bentuk-bentuk visual dan memahami sifat-sifat keruangan yang berkaitan dengan soal-soal matematika.
3. Kesulitan karena kurangnya penguasaan keterampilan prasyarat, fakta-fakta dasar dan konsep (algoritma).
Untuk menguasai konsep yang memiliki tingkat kesulitan tinggi, maka siswa harus menguasai fakta-fakta dasar terlebih dahulu.
4. Ketidaktepatan penggabungan
Kesulitan ini melibatkan kemampuan kognitif siswa. 5. Penerapan hukum atau strategi yang tidak relevan
Adanya ketidaktepatan siswa dalam menerapkan hukum-hukum, dalil-dalil, teorema-teorema atau definisi-definisi akan menyebabkan siswa mengalami kesulitan untuk menyelesaikan soal.
F. Prosedur Pelaksanaan Penelitian
Berikut ini disajikan prosedur penelitian yang dilaksanakan oleh penulis
dalam melakukan penelitian:
Tabel 3.7: Tabel pelaksanaan penelitian
No Waktu Kegiatan
1. April-Mei 2008 • Menyusun proposal.
• Meminta surat ijin dari kampus untuk diserahkan di sekolah .
• Menemui kepala sekolah yang bersangkutan untuk meminta ijin penelitian dan guru matematika untuk melakukan uji coba dan penelitian di kelas yang diampu oleh guru tersebut. 2. Juni-Juli 2008 Menyusun bab 2 dan 3
3. Senin/ 4 Agustus 2008
No Waktu Kegiatan
Agustus 2008 5. Minggu ke II
bulan Agustus
Mengoreksi jawaban siswa, memberikan skor, dan menghitung validitas dan reliabilitas butir soal.
6. Sabtu/ 16 Agustus 2008
Wawancara siswa hasil uji coba
7. Sabtu – selasa / 16–19 Agustus 2009.
Analisis hasil wawancara dan perbaikan instrumen.
8. Rabu/ 20 Agustus 2008
Observasi kelas VII B pada saat materi pecahan diberikan oleh guru kepada siswa.
9. Senin/ 25 Agustus 2008
Memberikan soal tes 10. Jumat/ 29
Agustus 2008
Wawancara dengan siswa yang mengalami miskonsepsi 11.
September-November
Revisi bab 2 dan 3 Analisis hasil penelitian 12. Desember-
Februari
•Melakukan analisis soal tes. Setelah soal esai dikerjakan siswa jawaban siswa dikoreksi, kemudian pola kesalahan siswa dicatat dan dikelompokka
