Lecture 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat

(1)

Peluang Bersama Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Pustaka

Pengantar Proses Stokastik

Bab 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Peluang Bersama Distribusi Diskrit

MisalkanX danY adalah peubah acak-peubah acak diskrit yang

terdefinisi di ruang sampel yang sama. Maka fungsi peluang

bersama dariX danY

(3)

Peluang Bersama Distribusi Diskrit

Peluang Bersama Distribusi Kontinu Kebebasan

Sifat-sifat fungsi peluang bersamapX,Y(x,y):

1 p_X

,Y(x,y)≥0, ∀(x,y) 2 P P

(4)

Fungsi Peluang Marginal

Fungsi peluang marginal dariX danY masing-masing adalah:

pX(x) =

X

y

pX,Y(x,y), x ∈R

dan

pY(y) =

X

x

(5)

Peluang Bersama Distribusi Kontinu Kebebasan

Contoh 1

Berikut adalah data tentang jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual:

X\Y 2 3 4 5 Total

2 3 0 0 0 3

3 14 12 2 0 28

4 2 11 5 1 19

Total 19 23 7 1 50

(6)

Penyelesaian:

X\Y 2 3 4 5 Total

2 0.06 0 0 0 0.06

3 0.28 0.24 0.04 0 0.56

4 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38

(7)

Peluang Bersama Distribusi Kontinu

Kebebasan

Peluang Bersama Distribusi Kontinu

MisalkanX danY adalah peubah acak-peubah acak kontinu yang

terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama

dariX danY adalah

FX,Y(x,y) =P(X ≤x,Y ≤y)

dan fungsi peluang bersamanya adalah

fX,Y(x,y) =

∂2

∂x∂yFX,Y(x,y) =

∂2

(8)

Sifat-sifat fungsi peluang bersamafX,Y(x,y) adalah:

1 f_X

,Y(x,y)≥0, ∀(x,y)∈R 2

2 ∞ R −∞

∞ R −∞

(9)

Kebebasan

Fungsi Peluang Marginal

MisalkanX danY adalah peubah acak-peubah acak kontinu

dengan fungsi peluang bersamafX,Y(x,y), maka fungsi peluang

marginal dariX danY masing-masing adalah

(10)

Contoh 2

MisalkanX danY mempunyai fungsi peluang bersama

fX,Y(x,y) = 3y2

x3, 0<y <x <1. Tentukan fungsi peluang

(11)

Kebebasan

Penyelesaian:

a. Fungsi peluang marginal X

(12)

(13)

Peluang Bersama Distribusi Diskrit Peluang Bersama Distribusi Kontinu

Kebebasan

Dua kejadianX danY saling bebas jika dan hanya jika

(14)

Contoh 3

Pada Contoh 2, apakahX dan Y saling bebas?

Jawab:

fX(x)fY(y) = 1

3 2(1−y

2₎

= 3

2(1−y

2₎

6

=fX,Y(x,y)

(15)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit

Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules

Diskusi

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit

MisalkanX danY peubah acak-peubah acak diskrit. Jika

(16)

Diskusi

JikaX danY saling bebas, maka

pX|Y(x|y) =

P(X =x,Y =y)

P(Y =y)

= P(X =x)P(Y =y)

(17)

Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules

Diskusi

Fungsi distribusi bersyaratX diberikanY =y, untuk semuay

sehinggaP(Y =y)>0 adalah

FX|Y(x|y) =P(X ≤x|Y =y)

=X

a≤x

(18)

Diskusi

Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

Ekspektasi bersyarat dariX diberikanY =y adalah

E[X|Y =y] =X

x

x P(X =x|Y =y)

=X

x

(19)

Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules

Diskusi

Law of Total Probability

Misalkan{B1,B2, . . . ,Bn} merupakan himpunan dari

kejadian-kejadian yang saling asing (’mutually exclusive’), yaitu partisi-partisi dari ruang sampelS,

∪iBi =S =⇒P(∪iBi) = 1

(20)

Diskusi

Maka,A=A∩S =A∩(∪iBi) =∪i(A∩Bi) dan

P(A) =

n

X

i=1

P(A∩Bi) = n

X

i=1

(21)

Diskusi

Contoh 4

Misalkanp(x,y) diberikan

p(1,1) = 0.5 p(1,2) = 0.1

p(2,1) = 0.1 p(2,2) = 0.3

(22)

Diskusi

Pertama, kita mempunyai

(23)

Diskusi

Contoh 5

Lala sedang mempersiapkan diri menghadapi seminar TA 2. Sebagai seorang mahasiswa yang selalu penuh perhitungan, Lala mencoba memperkirakan apakah akan mendapat hari yang baik atau hari yang buruk. Jika Lala mendapat hari yang baik, maka para dosen penguji semua akan menghujani Lala dengan

pertanyaan-pertanyaan (secara independen satu sama lain) dengan

peluang 0.2. Jika mendapat hari yang buruk peluangnya membesar

menjadi 0.6. Menghujani pertanyaan-pertanyaan berarti

(24)

Diskusi

Penyelesaian: Misalkan

A: kejadian hari yang baik

B : kejadian hari yang buruk

L: kejadian meluluskan

TL: kejadian tidak meluluskan

Maka

P(TL|A) = 0.2 P(L|A) = 0.8

(25)

(26)

Diskusi

Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

JikaX danY mempunyai fungsi peluang bersamafX,Y(x,y),

maka fungsi peluang bersyarat dariX diberikan Y =y, terdefinisi

∀y sehinggafY(y)>0, adalah

(27)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

Conditioning Rules Diskusi

Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu

Ekspektasi bersyarat dariX diberikanY =y adalah

E[X|Y =y] =

∞ Z

−∞

(28)

Diskusi

Contoh 6

Misalkan fungsi peluang bersamaX danY diberikan

fX,Y(x,y) = (

6xy(2−x−y), 0<x<1,0<y <1

0, lainnya

Tentukan ekspektasi bersyarat dariX diberikanY =y, di mana

(29)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

(30)

Diskusi

Maka

E[X|Y =y] =

1 Z

0

x 6x(2−x−y)

4−3y dx

= (2−y)2−

6 4

4−3y

= 5−4y

(31)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

(32)

Diskusi

Contoh 7

Sam akan membaca baik satu bab buku statistika maupun satu bab buku sejarah. Jika banyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku statistika berdistribusi Poisson dengan mean 2 dan

(33)

Conditioning Rules

Diskusi

Penyelesaian: Misalkan

X : menyatakan banyaknya kesalahan cetak

Y : menyatakan buku yang akan dipilih

Misalkan

Y =

(

1,jika Sam memilih buku statistika 2,jika Sam memilih buku sejarah

Maka

(34)

(35)

Conditioning Rules

Diskusi

Misalkan E adalah sebarang kejadian dan definisikan peubah

acak indikator X oleh

X =

(

1, jikaEterjadi 0, jikaEtidak terjadi

Maka

E[X] =P(E)

(36)

Diskusi

Maka,

P(E) =E[X] =E[E[X|Y =y]] =E[P(E|Y =y)]

=X

y

P(E|Y =y)P(Y =y), jikaY diskrit

=

∞ Z

−∞

(37)

Conditioning Rules

Diskusi

Contoh 8

(38)

Diskusi

Penyelesaian:

S ={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}

Misalkan

A: Swari berolahraga dengan bertelanjang kaki

D : sepatu ada di pintu depan

B : sepatu ada di pintu belakang

(39)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules

Diskusi

1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan

informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenis

sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari

satu mobil, 15 % mengasuransikansports car. Hitung peluang

bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak

(40)

Diskusi

2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikuti

oleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswa angkatan 2012. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan

(41)

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu Conditioning Rules

Diskusi

3. JB berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok.

Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan

(42)

Diskusi

4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya dia

menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zeta calon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JB kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang

dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa

(43)

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models;

9th Edition. New York: Academic Press.

Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar

Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung.

Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course

in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic

Press.