Az egyváltozós függvények Riemann-integrálja
Alapintegrálok
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályai-nak megfordításából adódó primitív függvényeket.
•
Z
xndx= x
n+1
n+ 1 +c, han6=−1; mert
xn+1
n+ 1+c ′
=xn
•
Z 1
xdx= ln|x|+c; mert(ln +c)
′= 1
x
•
Z
sinx dx=−cosx+c; mert(−cosx+c)′= sinx
•
Z
cosx dx= sinx+c; mert(sinx+c)′= cosx
•
Z 1
cos2xdx= tanx+c; mert(tanx+c)
′= 1
cos2x
•
Z 1
sin2x dx=−cotx+c; mert(−cotx+c)
′= 1
sin2x
•
Z 1
√
1−x2 dx= arcsinx+c; mert(arcsinx+c)
′= √ 1
1−x2
•
Z 1
√
1−x2 dx=−arccosx+c; mert(−arccosx+c)
′= √ 1
1−x2
•
Z 1
1 +x2 dx= arctanx+c; mert(arctanx+c)
′= 1
1 +x2
•
Z 1
1 +x2 dx=−arccotx+c; mert(−arccotx+c)
′= 1
1 +x2
•
Z
coshx dx= sinhx+c; mert(sinhx+c)′= coshx
•
Z
sinhx dx= coshx+c; mert(coshx+c)′= sinhx
•
Z 1
cosh2x dx= tanhx+c; mert(tanhx+c)
′= 1
cosh2x
•
Z 1
sinh2xdx=−cothx+c; mert(−cothx+c)
′= 1
sinh2x
•
Z ex
dx= ex
+c; mert(ex
•
Az integrálás alapképleteinek és -szabályainak alkalmazása
(A/9)
Integrálás helyettesítéssel
helyettesítés: t= tanx=⇒ dt
dx = 1
cos2x=⇒dt=
1 cos2xdx
(B/10) Z
x
x4+ 1 dx=
1 2
Z 1
t2+ 1 dt=
1
2arctant+c= 1
2arctanx
2+c
helyettesítés: t=x2=⇒ dt
dx = 2x=⇒dt= 2x dx
(B/11)
Z x3 √
x8−1 dx=
1 4
Z 1
√
t2−1 dt=
1
4ar cosht+c= 1
4ar coshx
4+c
helyettesítés: t=x4=⇒ dt
dx = 4x
3=⇒dt= 4x3dx
Feladatok
(b/1) Z
sin (π
3 −3x)dx
(b/2)
Z 3
√
3x2−2 dx
(b/3) Z
5
p
(8−3x)6dx
(b/4) Z
xp1−x2dx
(b/5) Z
x
√
x2+ 1 dx
(b/6)
Z cosx
√
sinx dx
(b/7) Z √ln
x x dx
(b/8)
Z cosx p
1 + sin2x dx
Integrálás az
Z
f
′(x)
f
(x)
dx
= ln
|
f
(
x
)
|
+
c
szabállyal
Példák
(C/1) Z
x
4 +x2 dx=
1 2
Z 2x
4 +x2 dx= ln (4 +x 2) +
c
(C/2)
(lehet t= lnxhelyettesítéssel is)
(C/3)
(lehet t= 2x−1 helyettesítéssel is) (C/4)
∗ helyettesítés a második integrálban:t=x 3 =⇒
Parciális integrálás
(2)
= −1
3(x
2−1) cos 3x+2
3 1
3xsin 3x− 1 3 Z
sin 3x dx
=
−13(x2−1) cos 3x+2
9xsin 3x+ 2
27cos 3x+c
(D/3) Z
sin√x dx(1)= 2 Z
tsint dt(2)=
(1) helyettesítés: x=t2=⇒dx= 2t dt (2) u=t u′= 1
v′ = sint v=−cost
(2)
= −2tcost + 2 Z
cost dt = −2tcost + 2 sint = −2√xcos√x +
+ 2 sin√x+c
(D/4) Z
xsinxcosx dx=1 2
Z
xsin 2x dx=
u=x u′= 1
v′ = sin 2x v=−1
2cos 2x
=−14xcos 2x+1 4
Z
cos 2x dx=−x4cos 2x+1
8sin 2x+c
(D/5) Z
xarctanx dx=
u= arctanx u′= 1
1 +x2
v′ =x v=x 2
2
= x
2
2 arctanx− 1 2
Z x2
1 +x2 dx =
x2
2 arctanx− 1 2
Z 1 +x2−1
1 +x2 dx =
= x
2
2 arctanx− 1 2
Z dx+1
2 Z 1
1 +x2 dx=
x2
2 arctanx− x 2+
1
2arctanx+c
(D/6) Z
e3xcos 2x dx(1)= 1 2e
3x
sin 2x−32
Z
(1) u= e3x
u′= 3e3x
v′ = cos 2x v=1
2sin 2x Másrészt:
Z e3x
cos 2x dx(2)= 1 3e
3x
cos 2x+2 3
Z e3x
sin 2x dx (∗∗)
(2) u= cos 2x u′=−2 sin 2x
v′ = e3x
v= 1 3e
3x
A (∗) egyenletet 4-gyel, a (∗∗) egyenletet 9-cel szorozva és össze-adva a
Z
e3xsin 2x dxtag kiesik, így kapjuk:
13 Z
e3x
cos 2x dx= 2e3x
sin 2x+ 3e3x
cos 2x
Tehát: Z
e3xcos 2x dx=2e
3x
sin 2x+ 3e3x
cos 2x
13 +c
(D/7) Z
earcsinx
dx=∗ Z
et
cost dt=?
∗ helyettesítés:t= arcsinx=⇒x= sint=⇒dx= costdt
Z et
cost dt(1)= et
sint−
Z et
sint dt
(1) u= et
u′= et
v′ = cost v= sint
Másrészt: Z
et
cost dt(2)= et
cost+ Z
et
sint dt
(2) u= cost u′ =−sint
v′ = et
v= et
A két egyenletetet összadva az Z
et
sint dttag kiesik, így:
2 Z
et
cost dt= et
sint+ et
cost= et
Tehát:
Z
earcsinx
dx=e
arcsinx
2 (
x
z }| { sin arcsinx+
√ 1−x2
z }| { cos arcsinx) =
= e
arcsinx
2 (x+ p
1−x2) +c
Feladatok
(d/1)
Z x+ 2
ex
2
dx
(d/2) Z
x2axdx
(d/3) Z
x3e−x2
dx
(d/4) Z
arctan√x dx
(d/5) Z
ln3x dx(segítség: u= ln3x, v′ = 1; majd további két ehhez hasonló
parc. int.) (d/6)
Z xexdx
(d/7) Z
(8x2−11x+ 5)ex
dx
(d/8) Z
xarcsinxdx
(d/9) Z
x33x
dx
(d/10) Z
sin√xdx
(d/11) Z
xarctgxdx
(d/12) Z
x2cos 2xdx
(d/13) Z
(d/14) Z
lnxdx
(d/15) Z
ln2xdx
(d/16) Z
ln3xdx
(d/17) Z
(arcsinx)2dx
(d/18) Z
ex
cosxdx
(d/19) Z
2xsinxdx
(d/20) Z
earcsinxdx
(d/21) Z
e3x
cos 2xdx
(d/22)
Z x+ 2
ex
2
dx
(d/23) Z
xlnxdx
Racionális törtfüggvények integrálása
Példák
(E/1)
Z x
−2
x2−7x+ 12 dx=?
Az integrandust parciális törtekre bontjuk: x−2
x2−7x+ 12 =
x−2 (x−3)(x−4) =
A x−3 +
B x−4 =
= A(x−4) +B(x−3) (x−3)(x−4) =
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat a jobb és bal oldalon, a következő egyenletrendszert kapjuk:
A+B= 1
−4A−3B=−2,
melynek megoldása:A=−1,B= 2. Tehát: Z
x−2
x2−7x+ 12 dx=
Z
− 1
x−3+ 2 x−4
dx=−
Z 1
x−3 dx+ 2 Z 1
x−4 dx=
=−ln|x−3|+ 2 ln|x−4|+ lnc= lnc(x−4)
2
|x−3| .
(E/2) Z
x
x4−3x2+ 2 dx ∗
= 1 2
Z 1
t2−3t+ 2 dt=?
(∗helyettesítés: t=x2=⇒dt= 2xdx)
Az integrandust parciális törtekre bontjuk: 1
t2−3t+ 2 =
1
(t−1)(t−2) = A t−1 +
B t−2 =
=A(t−2) +B(t−1) (t−1)(t−2) =
t(A+B)−2A−B (t−1)(t−2) .
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-rendszert kapjuk:
A+B= 0
−2A−B= 1,
melynek megoldása:A=−1,B= 1. Tehát: 1
2
Z 1
t2−3t+ 2 dx=
1 2
Z
− 1
t−1 + 1 t−2
dx=
=−12
Z 1
t−1 dx+ 1 2
Z 1
t−2 dx=
=−12ln|t−1|+1
2ln|t−2|+ 1 2lnc=
= 1 2lnc
|t−2| |t−1| =
1 2lnc
(E/3)
Z 3x
−2
x2+ 4x+ 8 dx=?
Itt a nevező nem bontható fel lineáris tényezők szorzatára, ezért az integrandust két olyan tört összegére bontjuk, amelyek egyikében a a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa, a másik számlálója pedig konstans:
3x−2 x2+ 4x+ 8 =
α(2x+ 4) x2+ 4x+ 8+
β
x2+ 4x+ 8 =
2αx+ 4α+β x2+ 4x+ 8 .
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-rendszert kapjuk:
2α= 3
4α+β=−2,
melynek megoldása:α= 3
2,β =−8. Tehát: Z 3x
−2
x2+ 4x+ 8 dx=
3 2
Z 2x+ 4
x2+ 4x+ 8 dx−8
Z 1
x2+ 4x+ 8 dx=
=3 2ln (x
2+ 4x+ 8) −8
Z 1
4 1 (x+2
2 )2+ 1
dx=
=3 2ln (x
2+ 4x+ 8)−4 arctanx+ 2
2 +c.
(E/4) Z
x3−2x2+ 4
x3(x−2)2 dx=?
Az integrandust parciális törtekre bontjuk: x3−2x2+ 4
x3(x−2)2 =
A x +
B x2 +
C x2 +
D (x−2)+
E (x−2)2 =
=A[x
2(x−2)2] +B[x(x−2)2] +C[(x−2)2] +D[x3(x−2)] +E[x3]
x3(x−2)2 .
egyenlet-rendszert kapjuk:
A+D= 0
−4A+B−2D+E= 1 4A−4B+C=−2
4B−4C= 0
4C= 4,
melynek megoldása:A= 1
4,B= 1,C= 1,D=− 1 4,E=
1
2. Tehát: Z x3−2x2+ 4
x3(x−2)2 dx=
Z 1
4x+ 1 x2 +
1 x3 −
1 4(x−2)+
1 2(x−2)2
dx=
=1 4ln
x x−2
−
1 x−
1 2x2 −
1
2(x−1)+c.
(E/5)
Z 1
x6+x4 dx=
Z 1
x4(x2+ 1) dx=?
Az integrandust parciális törtekre bontjuk: 1
x4(x2+ 1) =
A x +
B x2+
C x3 +
D x4 +
Ex+F x2+ 1 =
= A(x
5+x3) +B(x4+x2) +C(x3+x) +D(x2+ 1) +Ex5+F x4
x4(x2+ 1) .
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-rendszert kapjuk:
A+E= 0
B+F= 0
A+C= 0
B+D= 0
C= 0
D= 1,
melynek megoldása: A = 0, B = −1, C = 0, D = 1, E = 0, F = 1. Tehát:
Z 1
x6+x4 dx=
Z
−x12 +
1 x4+
1 x2+ 1
dx= 1 x−
1
Feladatok
(e/1)
Z 2x2−5
x4−5x2+ 6 dx
(e/2)
Z 1
x4−x2 dx
(e/3) Z x
x3−1 dx
(e/4) Z
x2 1−x4 dx
(e/5)
Z 1
(x+ 1)2(x2+ 1) dx
(e/6)
Z 2
5x−1dx
(e/7) Z
π x+ 2dx
(e/8)
Z 2x+ 1
3x−4dx
(e/9) Z 7x
−2 4x+ 11dx
(e/10) Z
x2+ 1 x+ 1 dx
(e/11)
Z x2−2x+ 3
5x+ 7 dx
(e/12) R 3x3
+2x2
+x
10x−1 dx
(e/13)
Z 17dx
(3x+ 14)2
(e/14)
Z 33dx
(x+ 19)3
(e/15) Z
x+ 7 (x+ 2)2dx
(e/16) Z
x2−x+ 8 (x−3)3 dx
(e/17)
Z x3+x2−x+ 1
(e/18) Z
x4+ 1 (x−2)3dx
(e/19)
Z x7
(1 +x)6dx
(e/20)
Z dx
3x2+ 4x+ 5
(e/21)
Z dx
5x2−4x+ 3
(e/22) Z
dx x2−6x−10
(e/23) Z
x−4 x2+ 4dx
(e/24) Z 7x
−6 x2−8
(e/25)
Z 3x4+ 4x3−x+ 13
x2+ 3x−4 dx
(e/26)
Z x6−x5
x2−5x−6dx
(e/27) Z
x4+x2+ 1 x3+ 3x2+ 3x+ 1dx
(e/28) Z
x+ 3 x3+ 4x2+ 4xdx
(e/29)
Z (x2+ 1)dx
(x2−10x+ 21)(x2+ 2x+ 1)
(e/30) Z
x4+x2+ 1 (x+ 1)2(x−1)2dx
(e/31) Z
dx (x2+ 1)2
(e/32) Z
dx (x2+ 1)3
(e/33)
Z 3x
−4 (x2+ 4)3
(e/34)
Z x+ 1
(e/35) Z
x3+x+ 2 (x2+x+ 1)(x−2)dx
(e/36)
Z x3+ 2
x4−4x2+ 3dx
(e/37)
Z xdx
x4−2x2−3
(e/38)
Z xdx
x4−3x2+ 2
Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása
Páratlan kitevő esetén : leválasztás + helyettesítés. Páros kitevő esetén : linearizálás.
Linearizálási formulák: cos2x+ sin2
x= 1;
cos 2x= cos2x−sin2x;
sin 2x= 2 sinxcosx;
cos2x= 1−sin2x;
sin2x= 1−cos2x;
cos2x= 1 + cos 2x
2 ;
sin2x= 1−cos 2x
2 ;
cosh2x−sinh2x= 1;
cosh 2x= cosh2x+ sinh2x;
sinh 2x= 2 sinhxcoshx;
cosh2x= 1 + sinh2x;
sinh2x= cosh2x−1;
cosh2x= cosh 2x+ 1
2 ;
sinh2x=cosh 2x−1
(f/5) Z
cos 3xdx
(f/6) Z
xsinx2dx
(f/7) Z
(sin2x−cos2x)dx
(f/8) Z
sinxcosxdx
(f/9) Z
sin2xcos2xdx
(f/10) Z
sin3xcosxdx
(f/11) Z
sin2xcos3xdx
(f/12) Z
sin5xdx
(f/13) Z
cos5xdx
(f/14) Z
cos3xdx
(f/15) Z
sin5xcos2xdx
(f/16)
Z sin xdx 1 + cos2x
(f/17)
Z cos xdx 1 + cos 2x
(f/18)
Z sin3xdx
1 + sin2x
(f/19) Z √
1 + cosxdx
(f/20) Z √
1−cosxdx
(f/21)
Z dx
sinx+ cosx
(f/22) Z
(f/23) Z
dx 5−3 cosx
(f/24)
Z sinx
−cosx sinx+ cosxdx
(f/25) Z
tg5
xdx
(f/26) Z
dx sin4xcos4x
Az
R(e
x)
alakú függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat:(g/1) Z
sinh2xdx
(g/2) Z
cosh3xdx
(g/3) Z dx
shx
(g/4) Z
sinh2xch3dx
(g/5)
Z sinh3
xdx
√
coshx
(g/6) Z e2x
dx ex+ 1
(g/7)
Z 6dx
ex
−3
(g/8) Z
ex
sinh 3xdx
Irracionális függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat:(h/1)
Z xdx
√
3x+ 5
(h/2) Z
(x2−3x+ 2)√2x−1dx
(h/3) Z
dx
√
ex
(h/4)
Z √3
x2dx √
9x2−6x+ 5
(h/5)
Z sinh xdx
√
coshx
(h/6)
Z xdx
√
x2+ 1
(h/7)
Z x3dx √
x8−1
További feladatok
Számítsuk ki a következő integrálokat: a)
Z cos 2xdx
cosx−sinx
b) Z
e−x
dx
c) Z
cos(4x−5)dx
d) Z √
8−2xdx
e) Z
10xexdx
f) Z 5 +
x2 5−x2dx
g)
Z 3dx
√
3x2−2
h)
Z x3dx
(2x−4)5
i) Z
5
p
(8−3x)6dx
j) Z
xp1−x2dx
k)
Z cosxdx
√
sinx
l) Z
m) Z
dx xlnx
n)
Z √lnx
x dx
o)
Z cosxdx p
