denjikai mondai ni taisuru kyokai yosoho no tekiyo ni kansuru kenkyu

lll･稲田大学審査学位論文（博士）

電磁界問題に対する境界要常法の

   追川に関する研究

ﾄﾞ成５ _{３月(Marchけ993)}

田 巾

始

男

第 １ _S￣7･ 早  １  １ 緒論

電磁界問題に対する境界要素法の適用に関する研究

       目次

□ 電磁界解析の研究動向と凹佐白 ２ 本研究の目的と意義 1.3 本研究の内容梗概 参考文献  2.3.4 計算例 2.4 渦電流解析 3.4.3 計算例 2.5 結言 参考文献 3.1 緒言 3.5 結言 参考文献  3.4.2 4.5 結言 参考文献 ro︲￥ rgM ６６６００３５５１１  ４７りｊ         r9︲o︲99︲9 ︵NN 6︵Nr 36 36 36 38 39 40 42 45 47 47 47 49 51 51 52 58 第２章 ペクトル変数を用いた境界要素法の定式化    2.1 緒言 ・・・・・・・・・・・・・・・ 2.2 ベクトルグリーンの定理を川いた境界要素方程式の導出 つ１ 哨,憬U好  ・ ・ ・ ・， ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・。 ・ ・ ・ ・ 。 2.3 静解析 ・・・・・・・・・・・・・・・  2.3.1 磁束密度を未知変数とする静磁界解析 ●   ●   ● 2.3.2 磁気ベクトルポテンシャルを未知変数とする静磁界解析 2.3.3 電界の強さを未知変数とする静電界解析 ・・・・・・ 暴   ● 3.4.1 電界の強さと磁束密度を未知変数とする渦電流解析 3.4.2 磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラポテンシャルを 未鍛変数とする渦電流解析 第３章 三次元静磁界解析 3.2 静磁界解析のための辺要素 3.3 辺要素を用いた境界要素法 3.4 静磁界問題の計算結果 ・ 3.4.1 磁性体球モデル 3.4.2 三次元静磁界計算粘度検証モデル 第４章 三次元渦電流解析    4.1 緒言 ・・・・ 3.4.1 導体球モデル 4.2 渦電流解析のための辺要素 4.3 渦電流解析のための辺要素を用いた境界要素法 4.4 渦電流問題の計算結果 ・・・・・・・・・・ ２ 渦電流解析法検証モデル １

-第５章 過渡渦電流解析 5.1 緒言 5.2 時間差分法  5.2.1 定式化  5.2.2 計算例 5.3 固有モードを川いた手法 5.3.1 定式化 5.3.2 計算例 5.4 フーリエ変換を川いた手法 5.4.1 定式化 5.4.2 計算例 5.5 結言 参考文献 第６章 幾何学的対称性を考慮した計算モデルの綿紡法 6.1 緒言 6.2 境界要素法への適用 6.3 固有モードを用いた境界要素法への適用 6.3.1 回転対称 6.3.2 回転対称を含む鏡映対称  6.3.3 6.4 結言 参考文献 第７章 結論 謝辞 計算例 本論文にかかわる研究業績 ●   ●   ● ０００１２４４７４４５０６６６６６６６６７７７８ 83 83 83 87 87 89 90 95 97 101 102

第１章  １．１ 緒論 電磁界解析の研究動向と問題点  現在、計算機技術の発達とともに数値解析手法が実用化されつつあり巾･(2)、 数値シミュレーションに基づいた電気機器の設計が行われるようになってきて いる(3)･(4)。この場合、電界、磁界、渦電流、電磁力等の解析結果を用いて機 器の小型化や高効率化か計られるため、電磁界数値解析は重要な技術の一つと なっている。電磁界解析の手法として有限要素法、差分法、秋分方程式法、微 分積分方程式法、境界要素法、有限要素・境界要素併用法等が提案され、それ ぞれの特長に応じた問題に適用され、有効性が示されている(5ト(口)。その中で、 境界要素法は線形問題に適しており、解析領域内の未知変数の支配方程式を満 たす基本解を用いることで、解析領域の境界表面のみで解析が可能となる等の 特長がある。また、解析領域の要素分割が必要となる有限要素法では、解析領 域内の未知変数は各々の要素内で一次、あるいは二次関数で近似され、これに よって近似誤差が生じるが、境界要素法では、領域内の未知変数は定式化の過 程で解析的に処理され、境界積分に変換される(14)。したがって、高精度な境 界積分が行われれば、高粘度な解析結果が得られる(15)。 しかし、実規模の三 次元電磁界解析では、電界、磁界の複雑な分布を高精度に解析するために多く の未知数が必要であり、さらに境界要素法で作成される係数行列は密行列とな るため、膨大な計算時間と大容量の記憶装置が必要となる。 したがって、境界 要素法による電磁界解析の実用化のためには、従来の境界要素法による電磁界 解析を改良し、計算粘度を損なうことなく、それに必要な計算時間と計算機資 源の低減が必要である。  静電界問題では、ソースが電位条件あるいは電荷で与えられるため、スカラ ポテンシャル問題として取り扱うことが可能であり、グリーンの定理を用いて 定式化される境界要素法による解析手法が確立されている。 しかし、磁界解析 および電磁界解析では、ペクトル量である電流をソースとして取り扱う必要が あるため、ペクトル変数の考慮が不可欠となる。電磁界問題では、未知ベクト ル変数として、電界の強さと磁束密度等の物理量を未知変数とする境界要素法 の定式化や磁気ベクトルポテンシャル等のベクトルポテンシャルを未知変数と する定式化がある(16)。 しかし、ベクトル変数を用いる境界要素法に関する統 一的な定式化、未知ベクトル変数の違いによる計算粘度への影響などは十分検 討されていない。さらに、実際の計算では解析領域の境界表面を要素分割して -１−

未知ベクトル変数を離散化する必要がある。このとき用いられる未知変数の近 似関数として局所座標に関するＯ次関数、一次関数、さらに高次の関数が使わ れ、未知変数は要素内の節点上の値に離散化されているが、これらの近似法は スカラ場の解析にも使われる一般的な手法であり、ベクトル場を取り扱う電磁 界解析に最適な近似法ではないと考えられる。また、渦電流解析で重要な時間 微分の近似は、各物理量の時間依存性が複素表示で取り扱える問題では時間依 存性を複素数の基本解を用いて考慮できるが、過渡解析では主に時間差分で近 似されているのみで、これ以外の近似や近似法の違いが境界要素法による過渡 電磁界解析の計算精度に及ぼす影響などは十分に検討されていない。 １ _２ 本研究の目的と意義  本研究では、静電界、静磁界、電磁界問題においてベクトルグリーンの定理 を用いた境界要素法の統一一的な定式化を行い、静磁界解析および渦電流解析に おいて未知変数の違いの計算誤差への影響を示す。次に、未知変数の新しい離 散化手法として、要素の辺を基準ベクトルとする辺要素を用い、未知変数の基 準ベクトルに平行な成分が要素間で適統となるベクトル関数を境界要素法によ る静磁界解析に導入し、解の高粘炭化を行う。さらに、渦電流解析では、この ペクトル近似関数の回転演算を用いて電界ベクトルと磁束密度ベクトルの法線 成分を接線成分で表すことにより、未知変数の低減を行う。また、渦電流解析 で問題となる時間積分法として、固有モードを用いた手法とフーリエ変換を用 いた手法を過渡渦電流問題の境界要素解析に適用し、従来の時間差分法に比べ て解を高精度化する。さらに、空間固有モードを用いて、解析モデルの幾何学 的対称性を考慮した計算モデルの綿紡を行い、計算粘度を損なうことなく計算 量の低減を行う。  本研究の成果は、境界要素法による電磁界数値解析の高粘度化と解析に必要 な計算時間と未知数の低減を可能とするものであり、電磁界問題の境界要素解 析の実用化に寄与するものである。 １ ３ 本研究の内容梗概 本論文は７章で構成されている。以下に各章ごとにその概要を記述する。 第１章は緒論であり、本研究の目的、従来の研究およびその概要を述べてい る。現在の電磁界解析の研究動向と境界要素法による電磁界解析の問題点を述

へ 、その中で本研究の位置づけと目的を明らかにしている。 第２章では、ペクトルグリーンの定理を川いた境界要素法の定式化につし 述べている。静電界、静磁界および電磁界問題に不可欠なベクトル変数を川 る境界要素法の定式化を示し この式に基づいて静電界問題では電界の強さ て い を 静磁界問題では、磁束密度、磁気ベクトルポテンシャルをそれぞれ未知ベクト ル変数とする境界要素法の定式化を行っている。電磁界問題では、電界の強さ と磁束密度を未知変数とする場合と磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラポ テンシャルを未知変数とする場合の境界要素法の定式化を行っている。さらに 静磁界および渦電流問題について、未知変数の与える計算粘度への影響を検討 するために磁性体球、磁性立方体、導体球、導体立方体の数値解析を行ってい る。そ 束密度 少ない の結果から、静磁界問題では磁束密度、渦電流問題では電界の強さと磁 を未知変数とする手法が、ポテンシャルを未知変数にする手法に比べて 計算量で高精度の解か得られることを明らかにしている。  第３章では、境界要素法による三次元静磁界解析について述べている。２章 において高精度の解か得られることが示された磁束密度を未知変数とする境界 要素法の未知変数の離散化法について検討している。離散化誤差が解析粘度に 影響を与えにくい手法として、要素の各辺を基準ベクトルとする辺要素を用い た離散化法を提案している。電気学会三次元静磁界計算精度検証モデルの解析 を、提案手法、一定要素、一次要素でそれぞれ行い、計算結果と公表されてい る測定値の比較により、提案した辺要素を用いた境界要素法は従来の要素を用 いた場合に比べて高粘度の解析結果が得られることを示している。 さらに、こ の手法によれば、従来使われている要素内の代表点に未知変数を離散化する一 定要素に比べ、同じ要素数を用いる場合に未知数が5/6となることを示してい る。  第４章では、境界要素法による三次元渦電流解析について述べている。２章 において、電界ベクトルと磁束密度ベクトルを未知変数とする境界要素法によ って、渦電流問題の高粘度の解か得られることが示されているが、３章で導入 した辺要素を用いて、さらに解の高粘度化と解析に必要な計算時間と記憶容量 の低減を行っている。従来の節点要素を用いた手法では、電界の強さと磁束密 度を未知変数とするため、境界大浦において各要素毎に磁束密度について３成 分、電界の強さについて３成分が未知変数となっていた。これに対し、３章で 導入した辺要素を用いて電界ベクトルと磁束密度ベクトルの接線方向成分の離 散化を行った場合、未知変数の法線方向成分はマクスウェルの電磁界方程式と ベクトル近似関数の回転演算より接線成分で表わされるため、接線成分のみを ３

未知変数とすることで渦電流解析が可能となることを示している。したがって 未知数は、従来の一定要素を川いた場合の1/2となり、解析に必要な計算時間 と記憶容量が大幅に低減できる。 さらに、電気学会渦電流解析法検証モデルの 解析を行い、妥当な解か得られることを示している。  第５章では、境界要素法による過渡渦電流解析について述べている。過渡渦 電流解析では時間積分法が問題となるが、従来は時間差分法に基づく境界要素 法の定式化が行われている。 しかし、時間差分法では時間分割幅が解の精度に 大きな影響を与える。そこで、時間積分を解析的に行う固有モードに基づく方 法を提案している。また、境界要素法による過渡解析では、解析領域の境界積 分のみでなく、全解析領域の領域積分も必要となるため、境界要素法の特長が 失われる。そこで、過渡問題にフーリエ変換を用いることで、問題の時間依存 性を複素数近似し、４章で確立された境界要素法により過渡解析を行う手法を 提案している。そして、領域積分なしに三次元過渡渦電流問題の解析を行い妥 当な解か得られることを示している。さらに、時間差分に基づく手法、固有モ ードに基づく手法、フーリエ変換に基づく手法を理論解の得られる同一のモデ ルに適用し、時間差分法に比べて提案した二つの手法により高精度の解か得ら れることを示している。  第６章では、幾何学的対称性を考慮した計算モデルの締約法について述べて いる。解析対象に幾何学的対称性がある場合、境界要素法によって作成される 連立一次方程式の係数行列は、巡回性を持った行列となる。 この巡回性に着目 し、対称座標法を用いることで計算モデルを縮約する手法を提案している。 さ らに、過渡解析では、対極座標法のみでは係数行列が複素数となり物理的評価 が繁雑となるため、複素共役となる未知変数の組み合せを利用して、未知変数 を実数化している。提案手法により実際のシミュレーションを行い、計算粘度 の低下を招くことなく、大幅な計算時間の低減が可能なことを示している。  第７章では、結論として、以上の研究で得られた成果を述べる。

参考文献 （１） (2) (3) (4) (5) 三次元電磁界計算調査専門委員会：「三次元静磁界数値計算技術」、電気 学会技報（I1部）、N0.286（昭63） 三次元渦電流場数値計算技術調査専門委員会：「三次元渦電流場数値計算 基礎技術」、電気学会技報（I1部）、N0.384（平3） 美咲、坪井：「表面電荷法による電極形状の最適化について」、電学論A VOI. 103-A、N0. 12、pp.675（昭58） 坪井:「最近の電磁界解析技術の動向」、電学論A、vol.110-A、N0.9、 pp.527-539（平2） 小貫、島本、山村：「有限要素・境界要素併用法を用いた三次元磁界解析 における境界要素法定式化の改良」、電学論A、Vbl.109-A、N0.11、pp.   497-503（平元） （6）小貫、石山、小川：「境界要素法にお けるO-1混合離散化について」 電   学論A、vol.102-A、N0.10、pp.541（昭57） （7）美咲、坪井、川上：「境界要素法による三次元うず電流解析の一解法」、   電学論A、Vol.105-A、N0.10、pp.533（昭60） （8）守末：「三次元静磁界・渦電流解析における磁気ベクトルポテンシャルに   対するゲージ条件の付与法について」、電学論A、vol.110-A、N0.9、   pp. 561-569（平2） （9）石橋：「境界要素法による高周波誘導加熱によるうず電流解析」電学論B、   vol. 104、N0. 3、pp.149（昭59）

（10）A.Kameari: ¨Calculation of Transient 3D Eddy Current using Edge -  Element､’I IEEE Transactions on Magnetics、vol、 26、N0.2、pp.466 -  469（1990）. （11）羽野:「全周波数に適用可能な線形三次元電磁界の有限要素解析」電学論A、   Vol. 110-A、N0.9、pp.570-576（平2） （12）成田、河辺、下村：「Ｔ-ｎ法による３次元渦電流解析」、電気学会静止   器・回転機合同研究会資料、SA-89-55、RM-89-44（平1） （13）篠崎、中前、山下：「電界を未知数とする有限一境界要素法」、日本シミ   ュレーション学会第８回電気・電子工学への有限要素応用シンポジウム、   N0.15（昭62） (14) (15) C.Λ.ブレビア：境界要素法の基礎と応用（昭59）培風蝕 坪井、美咲、矢野：［表面電荷法における数値積分の高速化］ vol.107-A、N0.4、pp. 201-208（昭62）

（16）J.A.S tralton:Electromagnctic Theory （1949）MCGraw-Hi11

      −5−

･ " ｒ ' 々 Ｆ '

第２章 ベクトル変数を用いた境界要素法の定式化

 ２．１ 緒言

 本章では、ペクトルグリーンの定理を用いて定式化されるベクトル変数を用い た境界要素法(I)-(3)について静電界、静磁界および渦電流問題における検討を行う。 静電界問題は、ソースが電位条件または電荷で与えられるため、スカラポテンシ ャル問題として扱うことができ、境界要素法による解析手法は確立されている。 また、スカラポテンシャルを川いた境界要素法(4)は積分方程式法のー一つである表 面電荷法との共通点が多い(5)。しかし、静磁界問題および電磁界問題は、ベクト ル量である電流のソースを考える必要があり、ベクトル変数の考慮が不可欠とな る。静磁界問題においては磁束畜産またはベクトルポテンシャルを未知変数とす る方法が考えられ、電磁界問題では、電界の強さと磁束密度または磁気ベクトル ポテンシャル等を未知ベクトル変数とする方法が考えられる。グリーンの定理を 用いた定式化や電界の強さを未知変数とする有限要素法についての検討も行われ ているが、ベクトル変数を用いる境界要素法に関する統一的な定式化の検討、未 知変数の違いによる計算粘度への彩管など十分な考察が行われているとは言えな い。したがって、本章では、静磁界、静電界および渦電流問題においてベクトル グリーンの定理(6)を用いた境界要素法の定式化(7)および外部条件のヅえ方(8)など について考察し、未知ベクトル変数が境界要素法に与える影響について計算例を 用いて検討する。 ２．２ ベクトルグリーンの定理を用いた境界要素方程式の導出  スカラポテンシャル問題における境界要素法の定式化はグリーンの定理（以後、 ベクトルグリーンの定理と区別するためスカラグリーンの定理と呼ぶ）を用いて 行われ、ポテンシャル問題の実用的解析手法として種々の分野に応用されている。  しかし、静磁界問題および渦電流問題においてはベクトル量のソースである電 流を考える必要があり、ベクトル変数の考慮が必要となる。スカラグリーンの定 坪のベクトル類似形は、ベクトルグリーンの定理と呼ばれ、ベクトル変数を用い た境界要素法の基礎となる。ベクトル変数としては、電界ベクトル、磁界ベクト ル、ベクトルポテンシャル等が考えられるが、ここではベクトル変数を用いた境 界要素法の統一的な基本式を導出する（ﾌ）。  図2-1の領域Vにおいて、ＰとＱを位置に関するベクトル変数とし、その一一次およ

e r j 7 7 ' ・ 7 r l − j g W r ゛ ･ ¶ ｢ J I S ゛ ゝ n l ･ w ゝ -図２−１ _{境界面と解析領域} び二次導関数が閉賄面（境界賄Sとその内部で連続であるとすると りーンの定理は次式で与えられる。

_万万

(Ｑ･∇×∇ＸＰ−Ｐ･∇×∇ＸＱ)ｄｖ 。・ｌｌお ｆ   ＝ (ＰＸ∇ＸＱ−ＱＸ∇ＸＰ)･ｎ' ｄＳ ベクトルグ        ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥（２−１）   ここで、V:Sに囲まれた領域、nl:S上の外向き単位法線ベクトル Ｓ上およびその内部で一次および二次関数が連続であるような任意のベクトル変 数をＦとして    Ｐ＝Ｆ    Ｑ＝φａ (2-1)式において次のように置く。    ここで、a:j 基本解は静電界、    φ＝φ(x､x') 一 一 こ ル １ − 4πlx こで、 ｘ'￨ 任意の単位定ベクトル、φ:基本解 静磁界問題では次式で与えられる。 一 一  １ -４７てｒ ｒ＝ｌｘ ｘリ _{x:計算点の位置ベクトル} (2-2)式を(2-1)式に代入すると次式が得られる。 Ｌ ｆｆ [(φa)･∇×∇XF−F･{∇∇･(φa)

作

∇2(φa)ldv {FX∇×(φa)−(φa)×∇XF}･nl dS aが定ベクトルであることに注意し （２−２ａ） （２−２ｂ） ‥‥‥‥‥‥‥‥（2−3） x’:ソース点の位置ベクト （２−４） ペクトル公式を用いて(2-4)式を整理すると次 一 フー

式が得られる。

爪

{a･(∇×∇XF)φ+a･∇φ(∇･F)＋a･F∇2φ}dv

作

作

a･∇φ（F ･nl）dS {ａ･(ｎ'ＸＦ)×∇φ−ａ･(∇ＸＦ)ｘｎｌφ}ｄＳ (2-4')式においてaが任意であることを考慮すると

作

{(Ｆ･ｎｌ)∇φ−(Ｆｘｎｌ)×∇φ−(∇ＸＦ)ｘｎ'φ}ｄＳ Ｌ ｆｆ （２−４’） (2-41)式から次式が得られる。 {(∇×∇XF)4)+(∇･F)∇φ}dvこ０ ト ー 一 ． 一 ． □ ｜ Ｗ こ Ω 算点xにおける演算子▽を、ソース点ｘ’ 算点j（その位個：ペクトルはｘ）における 果Ｆｆ ４π ｀ ｙ -こ で、  ∇'φ 一 一  ｔ’ｌｌ．バ ｆ ∇φ 一 一 （２−４ ） における演算子▽'で置き換えを行うと Ｆの式が得られる。 レ(Ｆ･１１')∇'φ＋(Ｆｘｎ')×∇Ｉφ＋(∇'ＸＦ)ｘｎ'φ}ｄＳ

爪

  Ｘ−Ｘ･ ４冗IX−XI13 一 一 (φ∇'×∇'ＸＦ＋∇'･Ｆ∇'φ)ｄｖ   「 47てr3 ﾊﾞよ解析領域Ｖを見る立体角で （２−５） 昌゛Ｖの内部にあるとき4π、げIS上にあるとき2π fが外部にあるときＯとなる。  また、（2-5）式の右辺の体積積分の第一項は次のよ

几

ｆ

したがって ∇'×∇'ＸＦφｄｖ

万万

″″ｌ・ハ うに書ける。 {∇'×(φ∇１ＸＦ)−∇'φＸＦ}ｄｖ （∇IXF）xnlφdS十

几

ｆ

(∇'ＸＦ)×∇Ｉφｄｖ (2-5)式は次のようになる。

Ｗ ｗ ﾐ み W y W I F ･ 叱F 47て   ｔ ｆ ｆ レ(F･n')∇'φ＋(Fxnl)×∇'φl dS

仇

{(∇'ＸＦ)×∇'φ＋∇１･Ｆ∇'φ}ｄｖ （２−６） (2-5)式または(2-6)式がベクトル変数を用いる静解析の境界要素法の基本式であ 。同穴において面積積分は境界面Ｓの外のソースの寄ヅを表し、体積精分はＶ内 ソースの寄与を衷す。 る。同穴において面積積分は境界面Ｓの外のソースの寄ヅを表し、体積精分はＶ内 のソースの寄与を衷す。  (2-5)式は▽×▽ＸＦの項が陽に現れているため、２階の回転演算で支配方程式 が表される場合に適用され、(2-6)式はマクスウェルの方程式のように１階の微分 方程式が支配方程式の場合に適用される。ここで、(2-6)穴が静解析のための基礎 的なベクトル変数を用いた境界要素話の基本式と考えることができる。(2-6)式に おいて境界面Sをその影響がなくなる無阻遠にとるならば、ベクトルＦがその回転 と発散の体積分で決まる穴となる。このことは、ベクトル場が、回転と発散が与 えられれば、一義的に決まるという数学的な定義に符合している。したがって、 (2-5)穴はベクトルの支配方程式に応じた(2-6)式の一つの変形である。  次に、静磁界解析と同様にして電磁界問題の境界要素話の基本式を示す。電磁 界解析に関する基本解は次式で与えられる。 φ＝ ここで exp（-jkr）   ４瓦r kは波数であり ∇2φ十k2φ＋5＝0 (2-6)式は次式を満足する。 （２−７）    ここで、∂:ダイアディックのデルタ関数 静解析の場合と同様に、(2-ﾌ)式を(2-1)式に代人すると(2-4)式が得られ の定ベクトルであることを考慮してベクトル公式を用いて整理すると、 基本式である(2-5)式と同様に、次式が得られる。

作

 い

レ(Ｆ･ｎ')∇'φ＋(Ｆｘｎ')×∇'φ＋(∇'ＸＦ)ｘｎ'φ}ｄＳ Ｌ ｆｆ   ＋ (∇'×∇ＩＸＦφ＋∇'･Ｆ∇'φ−ｋ２Ｆφ)ｄｖ 一 ９− （２−８）  ａが任意 静解析の （２−９） Ωi 一 ４π (2､9)式が電磁界問題の境界要素法の基本式である。また、静解析では放散kが零と なるが、このとき、(2-9)式は静解析の基本式である(2-5)式と一致する。未知ベク トル変数Fは電界の強さ、磁束蜜度、ベクトルポテンシャル等で置き換えられるが

〃 F ● ･ I W i l ゛ y ヾ 』 − ･ I 具体的な定式化と考察は2.4節において行う。 ２．３ 静解析  本節では、前節で得られた静解析の境界要素法の基本式を用いて、磁東宮度、 磁気ベクトルポテンシャルおよび眼界の強さを未知ベクトル変数とする境界要素 法の定式化を行う。 さらに、未知変数の計算粘度に与える影響を検討するために、 未知ベクトル変数として磁束畜産を用いる手法と磁気ベクトルポテンシャルを用 いる手法による計算結果の比較を行う。 ２．３．１ 磁束密度を未知変数とする境界要素法  静磁界問題を解くために、未知ベクトル変数として磁束密度Bを用いる場合を考 える。支配方程式は、マクスウェルの方程式より次式で表される。 ∇×(B/μ)＝.I ∇･B＝0 （２−１０） （２−１ １） し．   ここで、J:電流密度、μ｡:透磁率 こで、Ｆ=Ｂとして(2-10)、(2-11)式を(2-6)式へ代人すると次式が得られる。

作

 Ｅ

レ(B･nl)∇Iφ＋(Bxn')×∇'φ}dS+

爪

μJX∇Iφdv （２−１２） 哺 -４π (2-12)式において、B･n'は表面磁流に、Ｂｘｎ'は表面電流に対応し、右辺の体根分 けビオサバールの社則によるﾔに流の磁束畜産への寄与を表している。すなわち、 境界面Sを無限遠に遠ざけたとき、その寄与は零となり、(2-12)式はビオサバール の法則の式となる。二媒質問題の場合は、(2-12)式から得られる境界面の裏表の式 を用いて、Ｂ･ｎ'またはＢｘｎ'を消去することができ、表面磁荷法または表面磁流 法の式がそれぞれ得られる。このことは、(2-12)式は境界面Sに囲まれた式である が、開領域の式である精分方程式と等価な式であることを示している。文献[6]に おいて(2-12)式の各項の物理的な意味について検討され、(2-11)式が(2- 1 0)、(2-11)式を満たすことが示されている。  図2-2に示す境界面Ｓ上の点ハこおける磁束密度Ｂの境界条件は、磁束密度の法線 成分と接線成分の連続条件を用いて、次式で表される。

境界面Ｓ Ｂ ｈ･ｎｌｉ ＝Ｂ２ｉ･ｎｌｉ Bi2 ソース電流JO

（二二二）

解析領域V2 透磁率陣2 図２−２境界面Ｓで区切られた二つの解析領域 Ｘ （BI，xnlj）/μ1 ＝（B2jxnlj）/μ2 f ここで、Ｂ レ （２−１３ｊ B2:それぞれ境界面Ｓにおける領域VIヽV2側の磁東宮度ヽ白ヽ   μ2:それぞれ領域ＶＩヽＶ２側透磁率ヽ11 1: S 上でVIからＶ２͡｀向う単位法線ベク   トル (2-12)式においてBrBUヽ11'゜11 1jヽΩご271としてＳ上でVI側の式をヽＢｒＢ２ｆヽ ｎ＝ｎ 2iヽ Ω戸2πとしてV2 側の式をＮ個の節点において作成すると次式が得られる。 ylHBI}＝Lc1.]{BIト{BI｡} ﾙ[I]{B2} _{＝[C2.]{B2}＋{B2.}} （２−１ ４ ａ） （２−１４ｂ） ここでヽ目￨：３ＮＸ３Ｎの単位行列ヽ[Ｃｌｏ]･[Ｃ２ｏ]：３ＮＸ３Ｎの係数行列ヽ {B1}･{B2}:未知磁束密度(3N次)ヽ{Ｂｌｏ} −スによる磁束密度 {B2o}:電流などの境界面以外のソ またヽ上式におｏて{BI}バBlo}バB2}バB2o}は次式で表される． ｛ＢＩ｝ニ｛Ｂｌｎｌ Ｂｌｕ１ Ｂｌｖ１ Ｂｌｎ２ Ｂｌｕ２ ｛Ｂｌｏ｝’｛Ｂｌｏｎｌ Ｂｌｏｕｌ Ｂｌｏｖｌ ‥‥‥ ｛Ｂ２｝ニ｛Ｂ ２ｎ１ Ｂ２ＵＩ Ｂ _2VI Ｂ _2n2 ｛Ｂ２ｏ｝゜｛Ｂ２ｏｎ１ Ｂ２ｏｕ１ Ｂ２ｏｖｌ Ｂ２ｕ２ Ｂｌｖ２ ’‘’帽 B2V2 ｝ ｝ ｝ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ （２−１５） (2-15)式において、ｎは法線方向、ｕとＶはそれぞれお互いに垂直な接線方向を表わ す添字である。  (2-14a)、(2←14b)は独立なニ組の式であるが、(2-13)式より図2-2に示す境界面 11

７ ． - - ･ ･ I ● ･ r ･ . ’ W I ・ ’ a ＝ ’ − ’ {BI:未知磁束密度ベクトル ４ ‥‥‥‥‥(2-17) の式を加えたも とに隣接節点と （２−１８）  ｛ｄ｝：最終 jl列の性質か トル変数として連 ‥(2-14♭') た行列、 llの点jにおける次の境界条件によって関連づけられている。 ＢＩ ｢ Ｉゴμ -ＢＩ ｢ １ B2 ｢ ’ 卜BI，･,･＝上B2 v,･ μ1     μ2 ｌｊ (2-16)  (2-16 )式において、一一･方の俳￨の磁束豹変Ｂを未知変数として図2-2に示す境界面 ￨乙の点に(2-14a)、(2-14b)式を川いて式を組み立てれば、磁束密度の各成分を未 知変数とする最終的な３Ｎ次の連立方程式を作成する  例えばヽ｛BI｝を未知変数とする場合にはヽ｛Ｂっ｝は ｛I蛸＝｛Ｂｈｌ と表わされる。 かる。 即 -Blul 円 向 一 山 Ｂｌｖｌ ﾔ11'{R2}＝lc2.]I{B2}＋{B2.} ここで、｢III :｢11の接線成 (2-17)式は のである。 ヽ− ｋ − の関係式を作成し 整理して く く 次のよう け ことができる。  (2-14)式より これを（2-14bバこ代人して｛Ｂ引を｛BI｝で置き換えると次のように 対 に 分 成 線 接 の Ｉ  ２ ０ に ａｌ ｌ  ２ ０ 圃 予に対応する対角項を（μ2/μ1）俘に 応する行を叫2/μ1）倍した行列 (2-にa辻(2-14b)式を加えると次式が得られる。 万円+[暉]{BI}＝([C1｡]十[C2｡]1){B2}＋{B1.}十{B2.} ￨'算点jにおいてヽまずVI側で式を立てヽそれにV2側 れは、節点法において接続されたインピーダンスご 係数マトリクスに加えて行く過程と類似している。（2-16）式を な形式の３Ｎ元の連立方程式を作成できる。 ICI{B}＝{d}      ‥‥‥‥‥‥‥ ここで、[CI:最終方程式の係数行列 方程式の定ベクトル (2-14bj式の任意の行を定数倍して(2-17)式の任意の行に加えても ら(2-18)式の解は変わらないので、殼終方和式を組み立てる際には、誤差が入りに 簡単な形になるように、(2.-14b)式の各行を任意の定数倍して(2-14a)式に加 えることができる。  以上により、境界ぼliのどちらかの面七の磁束密度を未知ベク

､y方和式を作成する磁束密度を未知ベクトル変数とする境界要素法が示された。  任意の点の磁束密度は、(2-)2)式により求められる。また、ビオサバールの式に よる電流の影響のほかにヽ外部磁界としてBOが与えられる場合は(2-12)式の右辺 にＢＯを加えることができる。  また、ほかにベクトルグリｰ-ンの定理による磁界の式を用いた境界要素法の提 案がある。また文献161では媒質中の電磁界の性質を用いて最終的には表面電荷や 表面磁流についての積分方程式に変換している。 ２．３．２ 磁気ベクトルポテンシャルを未知変数とする静磁界解析  次に、未知ベクトル変数としで俗気ベクトルポテンシャルＡ(以後、ペクトルポ テンシャルと呼ぶ)を川いた境界要素法による磁界解析を考える。静磁界問題の支 配方程式は、(2-10)、(2-11)式で表わされるが、ここで、ベクトルポテンシャルＡ を導入すると、ＢとＡの関係は次式万夫わされる。    ∇ＸＡ＝Ｂ       ‥‥‥‥ (２−１り)式を(２−１０)式に代入すると    ∇×∇ＸＡ＝μＪ    ‥‥‥‥ また こ  Ｆ (2-19)式を(2-11)式へ代人すると ∇･（∇ＸＡ）＝０ ∇･Ａ Ωj 一 47て ＝０

作

礼賛点心磁束蜜度恥

１３

几

ｆ

（２−１９） （２ ２０） （２−２１） （２−２２） μφdv （２−２３） 両 次のＡに関する支配方程式が得られる。 となり、（2-11）式はベクトル演算の性質により常に成立する。  Ａのゲージとしてローレンツゲージを採用すると、 れは静磁界問題ではクーロングージに一致する。 =Ａとして、(2-20)、(2-22)式を(2-5)式へ代人すると ﾚ(A･111)∇'φ＋(Axnl)×∇'φ＋(∇'XA)xn'φldS＋ (2-23)式は、領域Ｖ内のベクトルポテンシャルＡが、境界㈲S上のＡと▽･ＸＡの接 線成分で決まることを表わしている。右辺の体積分項はベクトルポテンシャルに 対するビオサバールの法則によるj心流の寄″j･を表わし、Ｓが無限遠に遠ざかるとき (｡2-9)式の場合と同様に(2-23)式はビオサバールの法則を表わす。 は、（2-23）式で表わされるベクトルポテンシャルから

¶ ･ I ' = ' ･ I ￣ . W 』 1 1 1 円の汗ﾄﾞ演算を行って次のように求められる。 １ ４ 2j − 瓦 Ｂｆ＝ Ω,一 一一一 ４冗 （∇ＸＡｊ） ｆ ｆ 目(AX111)･∇￨∇Iゆ＋{(∇IXA)xn'}×∇φldS士

几

ｆ

μ×∇φdv (2-24)式を用いれば、境界llでの数値微分は不要となる。  境界面SI乙の計算点μこおける(2-23)式のための境界条件は、ベク ルの連続条件と磁界の接線成分の連続条件で、次式で与えられる。 また A lnj･ ＝A21111 Alui＝A2lji AI､､i＝A2､､i 式を作成する 方程式が五つ ｙｆ 力 り と な こ と   ∇XAo＝BO   ∇･Ao＝0 以トにより、 （２−２４） トルポテンシャ （２−２５） （２−２６ｊ の場合ヽ通常AOはある磁東密 たす必要がある。 （２−２７） （２−２８） (ＶＸＡ)１ ｢／両＝(∇ＸＡ)２ ｢／ｋｘ (ＶＸＡ)ｍ／μ１＝(∇ＸＡ)２､言μ2ダ  磁束密度を用いた場合と同様に、（2-2引式を川いることによって、‥･節点あたり のベクトルポテンシャルのｰ÷成分に対する三つの方和式を作成することができる。 (2-25)式を用いることにより磁束密度の接線成分二成分に対する二つの方程 ｉできる。 したがって、一つの節点に対して未知数が五成分で 、解くべき連立方程式を組み立てることができる。 一つの節点に対する未知数が、磁束密度を用いる場介は3で、この場合は５とな り不利になるように思われるが、二媒質問題では(2-23)、(2-24)式から作られるべ クトルポテンシャルの式から、（▽IXA）xnlの項を消去することができるため、 ペクトルポテンシャル三成分で巡立方和式を作成でき、大きな不利とはならない。 このとき、(▽'ＸＡ)ｘｎリよ、得られたΛを用いて磁東宮良二成分の連立方程式を作 成してヽ求めることができる。行体的にはヽ"'の符号に注意してV1側で作成した (2-23)式に財/則をかけてヽV2側で作成した(2-23)式に加えることによ９て(▽'× Ａ)ｘｎ四)頂を消去することができる。  磁束密度を未知変数として用いる場合と同様に、外部ベクトルポテンシャルと してＡＯを(2-23)式の右辺に加えることができる．こ 度BOを表わすように与えるためヽ次のニ９の式を満 ベクトルポテンシャシャルを未知ベクトル変数とする静磁界問題

' 間 y ･ ゛ . I r − ' ･ ' " I . ‘ ･ I S I " S ‘ : . ' . 関数として にベクドレ ２ ２ ２９ａ） ２９ｂ） （２−３｛｝） （２−３１） （２−３２） のための境界要素法が小された。  また、ペクトルポテンシャルを川いた定式化は、成分ごと スカラグリーンの定理を用いて行うこともできるが、ここで グリー-ンの定理を川いる場合について検討する。 ２．３．３ 電界の強さを未知変数とする境界要素法 静磁界問題の支配方程式はマクウェルの方程式より 表される。 静 ∇ＸＥ＝０ ∇･（ＥＥ）＝ ここで、 電界問題は、   E°-∇q） 0 E:誘電率  スカラフj= p:電荷密度 テンシャル(pを導入して にスカ は統‥ -− フ 的 電界の強弓をＥとして次式で （ （ とおくことにより、▽ＸＥこOは帆等的に成立するため、(2-ﾌb)式より▽2(p/Eなるポ アソンの方程式を解く問題に帰着させることができる。そのため、静電界問題は 一般に、精分方程式法の一つである表面電荷法やスカラ 界要素法を用いて解かれている。 ポテンシャルを用いた境 一方、（2-6）式よりポテンシャルを川いないで直接電界Ｅを求めることもできる。 Ｆ=Ｅとして、（2-29a）、（2-29b）式を代人すると 瓦Ｅ ４冗

作

ﾚ(Ｅ･ｎ')∇'φ＋(Ｅｘｎ')×∇Ｉφ}ｄＳ＋ Ｓを無限遠に遠ざけると▽φ−0、φ→0となり Ｆ  １ −一一 4瓦E

爪

dv 次式が得られる。

仇

汗伺゛

／イ゛︱ 力 ２．３．４ ここで考察した定式化の妥当 ｐ「 一 r3 ７られ、クーロンの法則より求めた電界の式に一致する。（2-31）式は静磁界問題 のＢの式によく対応しており、ソースが▽・E＝p/Eで与えられるか、▽ＸＢ＝μで 与えられるかの違いのみである。 計算例 ベクトル変数を川いた境界要素法を理論解のわかっている磁性棒球モデルおよ び三次元モデルとして磁性立方体モデルに適用し        ー］5−

〃 w m r l ･ ' 1 ﾐ      ｊ     げ     １ ▲県⋮− μ0 図２づ磁性体球モデル 性を掃詰しか。ここでは静磁界問題を扱ったが、(2-9)式の体積積分の値として外 部磁束蜜度を与える問題なので、この値を(2-29)式の体積精分で置き換え、磁束密 度ベクトルを電界ベクトルにヅ も適用することができる。 き換えれば、ここでの議論はすべて静電界問題に  (1)磁性体球モデル  図2-3に示す牛径0.1(m)の磁性棒球をB＝(0､0､1)の一抹磁界申においたモデルを 用いて、磁東宮度を未知ベクトル変数とした場介(B法と呼ぶ)、ベクトルポテンシ ャルを未知ベクトル変数とした場合(Ａ法と呼ぶ)の比較を行った。このとき、外 部磁東宮度は、Ｂ法では(2-9)式の体積積分の値として与え、Ａ法では後述するよう にその回転がBOとなるよ として与える。三角形が 疋 占 j1●ゝ うな外部ベクトルポテンシャルΛＯを(2-23)式の体積積分 素としては平lfli要素を用い、要素上の とするいわゆる一定要素を川いた。この で欲界条件が成すするように方程式を 利口 とき、要素上に一つ 成している。また、 未知ベクトルは一 の節点を置き、節 境界積分けすべて 数値積分によって行った。  対称性を考慮レ球面の1 /8を100の要素に分割しヽμド10ヽ100ヽ1000とした 場合についてΛ法とＢ法による球内部のz=Oの平面上、ｒ=Ｏ､、０．０５、０．１の計算誤差 を表２べに示す。また、z樋上の磁東宮度はz成分のみをもつので、磁束密度の大 き引よz成分の大きさに等しくなっている。計数粘度は、Ｂ法のほうが１桁良くな ９ている。これはヽＢ法においては磁束密度の接線成分BtにトニＯの平面で股大で に0.1の上部で零となりヽ法線成分BnはﾌﾆﾆOで零で7ぺ)バの上部で股火となるため BtとBn相槌の関係にあ９て計算粘度が高くな９ていると思われる。このことは表 ２−Ｉに 粘 る 度t･ JJI おいて、未知ベクトルであるr=0.1の磁束密度（接線成分のみである）の 巳べて内部の磁束蜜度の粘度が非常に良くなっていることからも類推でき

7 ’ ? 4 ・ ’ F g ’ g l 隅 ぞ ， ’ ７ “ −   ｀ ; ’ ． １   β ・ （２−３３） すなわち、べ （２−３４） （２−３５） Ａ２−Ｕ心性体球モデルの計算誤差 −--一 円ニ10 ＝=＝ == μsニ100       Λ法        ----磁束密度の誤差（％） 二言二， Ｂ法 磁東京度の誤差(％) r＝0 r=0.05 r=Oj 境界面 r＝0.1 境界面 r＝0 r=0.05 r=0.1 境界面 -3.48 -3.80 -10ﾆ7 -3.27 -0.680 _-0.720 -8jフ -4.42 -4.76 」3.8 -4.49 -0.782 -0.850 -8.79 μ゜10()0 -4.54 -4.88 -14.4 -4.67 -0.835 -0.902 -10.4 方   一 Ａ法の場介は、境界面【lの未知変数であるベクトルポテンシャルの粘度に 比べて磁束宮座の接線成分の計算粘度が低い。これは、Ｂ法のような相袖効果がな く、解析的ではあるが求められたベクトルポテンシャルの計数点における微分演 筧によって磁束密度を求めるために計数粘度が低くなったものと考えられる。  また、図２−４、表２−１から明らかなように、比透磁率が犬きくなると、A法の 計数粘度が低下している。これは、（2-23）、（2-26）式に示されるように磁束密度の 境界条件として、A法では磁束密度の接接成分のみが使用されるため、表面電流法 に似た性質となっていると思われる。このときの誤差の原因は、（2-26）式で一方の 遠忌率が大きくな９だときに起きる情報落ちである．Ｂ法では前述のBtとＢｎの相 袖の関係によって情報落ちの影響が小さくなっていると考えられる。  Ａ法ではヽ外部磁束密度ＢＯを考滋するためにヽ外部ベクトルポテンシャルAOを 導入レBOづOバ)･1)として(2-27)ヽ(2-28)氏を満たすように決定する必要がある。 ヽ一 心 を こでは、 ヅ ト ク ま Ao＝（ ｊ ｊぐ ｘご ｙ ｙ えている。この場合の境界面上（球面）の未知ベクトル変数、 ルポテンシャルと磁束密度の接線成分の分布を図２−５に示す。 た Ａ() (2-26)ヽ(2-28)式を満たす次式のAOを与えた場合も同様の解か得られる． ＝（ ｙ￣ＯＪ Ｘ − Ｏ･１ ０   ｎ  ｌ  ｎ  ９ ） Ａｏ==（０，ｘ，０） 上気の外部ベクトルポテンシャルを与えた場合のそれぞれの計算結果を図２−６に 小す。同図はzこＯの面のベクトルポテンシャルとx=Oの面の磁束密度を示しており いずれの磁束密度分有も同一の結果となることから、静磁界解析ではベクトルポ テンシャルの解に自由度があることがわかる(8)。 17

- ｀ 〃 W ゛ y ･ y L P ' k ● 〃 7 ･ ' ､ ･ F . y J f j −     ' j   M . . り ． ｜       ⋮⋮じよヤかＩ 。‘’″    ⋮⋮⋮ぃ宍いｙへざ筒口。‘’・   ／。ｒｚＫｚ}︲ｌａ︳２  １｡０ ／ｙ%／。ｚ２ｙｙ］四  ｙｙ 0.10 〃 へ ♀６１１Λ¨¨ｙｌハい→︱♀ ／ Ｊ ｡ ’ へＴ々︱ Λリー’−︱ ○● ／ ／  、ごｘ、べ、へざいｙハｙムド １ ’ｙ  ＆︲ｒ ｚｒ ｔ<¥ ﹃、ふＩＪｊ、Ｉベμ︱︱ＩＮりＩ１♀ΛΥ｜ ４−１−４￥−︱ Λ﹄−ｊきＩＩＩＩ。 ｊｙｊ／ ゝ   0.05  z(m) (b)μs＝I00 ㎜ ㎜ ㎜ ㎜ 皿 ・ ・ ・ 一 晶 一 嚇 ・ 〃 理論値 Ａ法 B法 ︵ヒ両個佃欄耀 ︵Ｈ︶コ 超佃欄端 3.5 3.0 2.5 2､0 1.5 ］.0 0.5 0.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0､0 0.00 0.00 へ4 ｀ ' − へ ゝ− ヽヽ 一 一 一  0.05  z(m) (a)匝＝Ｈ) (c) 一 − ∼〃／／ ． − ｔ ｙ 0.05 z(m) μs=10()0 - ’ ４ ゛ ． ／ ａ ／Ｕ／ ︵ビロ側恂 ｀゛｀゛｀●t●概 3.5 3.0 2.5 ０ ５ rOs 耀１ 0.1() O』0 ０ 0.5 0.0 Ｃ 0.00 図２−４ｚ軸上の磁束密度分布 ）ヽ  ,7)ヽ･ヽ｀･'゛， 一瓢-｡，九  ｡‘     ゛ヽfl， 一心    /Sし｡.ZI ……｀゛l≒ごー乙ご￣乙万一ｼﾞ' ／｀ご   ￣￣゛   ４．'５‘゛ ふc' ･'Iヽヽこ･,｀ごtぐごこぶご￣‘ヘ。-５ご⑤− 長子こ千言古作 G､、 ゛−−らｰ'りＴ'ｚり ｀ぐざ物冷 む､一融づ≒ジ   ………こTこ？こｺﾞこご?こ.-."' （a）ペクトルポテンシャル つ〃 Ｉツ ー Ｘ ／／勺／乃白 ／づ丁づＪ／八万作万万   ．／よ／Ｊ／ハず呆鴇ノ’    匹／︱’ノ白︰﹂かい ヽヽヽ、 果 結 ノ ー レノ’ｊと／≒八州Iいい ｙ ∼ ハＴ’− Ｊ ｙ ／ ｊ¨ｙ︱りり／ｊＡりｊｌ隔りＩＩ‘． ハｙ︱ｊ︱ (b)磁束密度の接線成分 Λ丁じＩ‘− Ｏｊ５（Ｗｂ／ｍ） Ｚ −Ｉｓ ５磁性体球表面の計算 3（T）

ズ

          ∼︷ぐ々ｔｌ ”ｊＪｊＪ４︲︲マーｙも こヽノ  OyWb/m） t.･）xl）ヽ. １ Ｊ ︲ ︲ コ い の ｊ ｏ 示 以 ぐ か I ｊ・／／／ ／ ／ ／ Ｉ Ｉ ／ ︱ Ｉ ｉ ｉ ｙ、４、？‘’Ｉ’ ／ ／ ／← Ｘ ／ ／ 一 ／ ゛￣ ／ ／ ｌ 〃 Ｘ Ｎ ミ ミ ミ ミ ・ − Ｘ Ｘ ”//  ／ ／ ／ ”￣  ’‘  一 ．  ’一 一     一 ‘    ／ ／ //。" ／ ∼→ ／ ／X X ∼︲ ／  ．’ ／ ／ ／ Ｘ ゝ ＩＪ２Ｊ・、∼ Ｉ Ｉ １ − １ − １ １ ダ／‘’！ｊｙ          ｆｆｆ？ｆ ｌｌｔ１９４Å｜？ 果 結 算 → ／ ｙ -− 、 へ Ｘ Ｘ Ｘ − Ｉ Ｓ   Ｉ Ｉ Ｉ ｊ へ X Ｘ へ １ ／ ／ ／ ゝ ／７ ／ ‘’Ｘ  ／ ／ ().2(Wb/m) ／ ／  ／ ︲“￣ ∼￣ ／ ／ ／ ヽ､-−／／／／／ -一一”一々ノノノ/ べ−６→一゛’−4’/ / t、｀一一a-一心--−･ｙ一一゛ﾉ’/ ､一一一一一一 (b)Ao＝(-(y-0.1)/2，(x-0.1)/2 白 岡 Ｗ 副 ０ ¶ １ １ １ １ １ １ １ （c）AO＝（0,x,0）の計算結果 図２−６ ¶ ｔ １ ｆ ｆ １ １ ｔ Ｘ Ｘ １ １ １ ？ １ １ １ ｆ ｔ １ Ｉ∼ Ｘ Ｘ １ ？ ″／″”””︱ １ ｉ Z/ へ ｆ １ Ｉ ｊ Ｉ １ ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ／／ ｊｆ／ｌｊ１− Ｉ‘’∼ ｙ ｀／ｙ！！ＩＩ ｔＩＩ １→→ ↑ ｔｙ’ 〃 ・→→ｔ ﹃４１ ！！ＩＩ − 皿 ”！１ ，０）の言 ４−！７／

−

ｆ １ ｜ １ 果 結 算 ト １ ｆ ．︲ ’∼ ．∼ ︲∼ ’∼ ’∼ X X − ︱ ︱ − 一 // /r﹁ Ｓ   ‘/”‘’￣’￣ ● ／ １ Ｘ ∼‘’‘∼‘１Ｉ １ １ １ ｉ Ｉ Ｉ‘ Ｘ １ ｜ １ 「 １ １ ｜ １ ｔ １ １ ¶ １ ¶ ---{ごごヽ ３(Ｔ) (d)磁束密度 ベクトルポテンシャルの任意性 （2）磁性立方体モデル 次に、図２−７に示す電気学会三次元静磁界計算粘度検証モ デルを簡略化した磁 性立方体モデルにＡ法、Ｂ法を通用し、その結果を検討した。この場合も対称性を 考滋して、1/8の領域を３８４の要素に分割している。磁性体の比通俗率F1は10、 100、l､000とした。 円一

" ' 7 ﾄ ｢ r ゛ ' I ゛ ･ ' ｢ ▲● ４ ︵ヒＱコ ０ 芭きき９き き き   ／  ♂ １’ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ １ ・ Ｉ Ｉ ｜ ｌ ｒ ・ ¶ ○● Ｊ − ｙ − 図 ∼ つ︼ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲       ●●● - 一 一 ∼ Ｚ ¶  Ｊ   ｊ ｌｊ ／ フ磁性立方体モデル ︵ヒぷ ▲● ▲● 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12          (a)μs=!0 ８ ６ Ξ ぷ4 ２ ０ ○ ６ ４ ２ ０ ＼ ＼ き９ききき BO ,X /2 ＼ /1  ＼、 き ● ○ ● ○● ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲       ●●       ●● 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12       （bnお=100 o（10.7） ●  ●  ○・   織ｙ    ●Ｏ    ●○     ●○     ●○     ●○ ○ ● △▲ Ｂ法(/2) ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲       ●●● ▲− ▲● 0.()0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0』2      (c)μs=1{}00    図２−８磁性立方体の計算結果

ｚ＝()の平面卜のｙ゛(のilll:線71 11およびｚ＝０．７５の平面上のｙ゛(の直線j2 度分布を図２−８に示す。同図に示すように、磁性体の外部ではA法とＢ汀 の磁束密 の計算結 いよよく 帚:レでいるカ几内部では詐干の誤差がある。これは磁性体モデルで検 討したようにΛ法の粘度が教化しているためと考えられる。また、磁性体内部の境 界付近でA読の磁生害度が人ききなっているが、これは、Λ読では境界上のベクト ルポテンシャルから(2-24)式で磁生害度を計算するため、数値精分において特異性 の住い1/r4の項の影響である。特にμが人きくなった場合にこの傾向が住くなっ ている。このように、￨川に精度の精分を行った場合、Ｂ法に比べてA法の粘度が低 下することがわかる。特に、利点付近でこの傾向が強くなっている。二つのモデ ルの計数結果より、ベクトル次数を川いた境界娶素読の定式化の妥当性を確認す ることができた。A法、Ｂ読ともほぼ回禄の計数粘度が得られるが、磁東宮度を求 めるために微分演勢:を必要とするΛ法は、直接磁束蜜度を求めるＢ読に比べて粘度 が軟化する傾向があることがわかった。 ト ２．４ 尚電流解析 本節では2.2節で得られた電磁界解析の境界要素法の基本式を用いて、未知ベク ル変数として、電界の強さと磁束密度を用いる境界要常法とベクトルポテンシ ャルと電気スカラポテンシャルを用いる境界要素法の定式化を示し、両手法の計 算結果を比較することにより、電磁界問題において未知ベク 算精度に与える影響について考察する。 ２．４．１ トル変数の違いが剖 電界の強さと磁束密度を未知変数とする境界要素法  電磁界問題の支配方程 ウエルの方程式で与えら    ∇ＸＨ＝Ｊ十徊D    ∇XE＝一拍B    ∇･D＝po    ∇･B＝0 式は、物JIIL量の時間依存性をexp(jωt)とすると次のマクス れる。 また り)ｼﾞIb:荷密度ヽ 構成方程式は (9:角速度(＝2πf) 次のように表される。          21 − （２−３６） （２−３７） （２−３８） （２−３９） ここで、11 :磁界、.1:電流密度、D:電東密度、E:電界の強さ、B:磁束密度、

Ｗ゛"７で7:y″-｢,……… 岬･i J （２−４（Ｕ （２−４１） （２−４２） （２−４３） （２−４４） （２−４５） （２ μJo∇'×φdv （２−４７） （２−４８） Ｂ 一 一 μII Ｄ＝ＥＥ .I＝（yE    ここで、μ:透磁率、E:･､お引札C､:導電率  (2-36)式における｡1をソ￣ス電流JOと渦電流Jeに分けヽJeに(2-42)式を適川する と次式が得られる。 ∇XII＝,lo十ＧＥ十和Ｄ また、(2-38)、(2-39)式を用いると 一杯な媒質中では、(2-36)、(2-38)式にに複素 涛電率E*＝o((y/㈲を用いて次のように表わされる。 ∇XB＝jωμE'E＋μ,lo ∇･E＝po / E゛ また、(2-24)式の回転演算と(2-37)式から ∇×∇XB＝(1)2μE*B十μ∇XJO  (2-44)、(2-25)、(2一如)式を電磁界問題の境界要素法の基本式である(2-9) 人すると次式が得られる。 か i=   ｔ ″ＩＬハ ｆ  １ 。‘ｌ’バ ｆ ＋

肝 

作

n')∇Iφ＋(Bxn')×∇'φ＋(j(jμE゛E＋μ,lo)xn'φ}dS ｆバ ((ω吊どB＋μ∇XJo)φ＋∇'･B∇Iφ−ω2μどＢφ)ｄｖ (Ｂ･ｎ')∇'φ＋(Ｂｘｎ')×∇'φ＋ｊ(阜E'Exnlφl dS＋ Ｌ ｆｆ また、(2-46)式と同様に(2-36)、(2-37)式より、電界の強さに関する二階微分の式 が得られる。 ∇×∇XE＝m2μ￡゛E−］ωμ.lo  (2-48)式と電界の強さの回転演算である(2-37)式、発散に関する(2-39)式を用い て、(2-47)式と同様に電俗界の基本式(2-り)式の未知ベクトル変数Fを電界ベクトル Ｅに置き換えれば、次式が得られる。

￡ ４ 2i 一 死 。ｌｌハ ｆ    汗    Ｅ

作

レ(Ｅ･ｎ')∇Ｉφ＋(Ｅｘｎ')×∇'φ一拍Ｂｘｎ'φ}ｄＳ

几リ

(((ぶμE*E−jωμJo)φ＋∇I･E∇'φ−ω2μE*Eφ)dv レ(Ｅ･ｎ')∇'φ＋(Ｅｘｎ')×∇'φ一価Ｂｘｎ刻dS＋

爪

即 E* ∇I刺dOφdv （１２−４９） (2-47)、(2-49)式が電界の強さと磁束蜜度を未知変数とする電磁界問題のための境 界要素法の基本式である。図式は、拙誠Ｖ内の磁束蜜度が境界面S上の電界の強さ と磁車宿産の接線成分によって、領域内の電界の強さは境界面S llの電界の強さと 磁東宮度の接線成分によって、それぞれ決まることを衷している。また、電界ベ クトルと磁束密度ベクトルのソ￣スとなるpoとJOは独立ではなくヽ電荷の連続式 を満たす必要がある。さらにヽソ￣スとしてｐｏとJOの体積精分の他に外部から印 加される電界EO匹磁東宮度BOiを(2-47)ヽ(2“49)式の右辺に加えることもできる がヽこの場合もEOiとBOiはフクスウ二心ﾚの方程式を渦たす必要がある。  図2-9に示す境界面S上の計算点iにおける境界条件は、電界の強さの接線成分、 電車畜産の法線成分、磁界の接線成分、磁束密度の法線方向のそれぞれの連続条 件から次式で与えられる。 B li'n i ° B2i‘ni Blixnl /μ】＝B2ixnl/μ2 哺y法線ベクトルna 境界面Ｓ 解析領域2   ︵N 5  rN︵PN ＥＢ μ ″︶ Ｅ ドロー９電磁界解析のための解析領域 23 （２ （２ ５０） ５１）

べElilni斤￡;E2i‘n;    Elixnl斤E2ixnli  静解析の場合と同様に 条件を用いることによっ て （２−５２） （２−５３） (2-47)、(2-49)式を境界面の両側に適用し.‥ll式の境界 節点あたり電界ベクトルの三成分に対する三つの 方程式と磁束密度ベクトルに対する三つの方程式を作成することができる。した がって、一一つの節点について未知数が６で、方和式が６となり、解くべき連立方 程式を組み立てることができる。以上により、電界の強さと磁束密度を未知ベク トル変数とする境界要素法（以後、BE法と呼ぶ）の定式化が示された。 ２．４．２ _{磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラポテンシャルを} 未知変数とする境界要素法(9)  磁気ベクトルポテンシャルＡ(以後、ペクトルポテンシャルと呼ぶ)と電気スカラ ポテンシャル(p(以後、スカラポテンシャルと呼ぶ)を川いる手法(以後、Ａ娠去と呼 ぶ）には Ａの成分毎にスカラグリーンの定理を適用した例があるが、ここでは ベクトルポテンシャルをベクトル変数として扱うために、静磁界問題において有 用性が示されているベクトルグリーンの定理によって定式化を行う。その利点は 境界面￨この未知昂:が、Ａの各成分と▽ＸＡの接線成分（磁東宮度の接線成分）とな り 物理量となることである。一方、スカラグリーンの定理を適用した場介には Ａの 一つの成分をハとしで、成分毎に未知景はＡと非物現員である境界上の∂Ａ／∂ｎ の煩となる。  (2-19)式で定義されるベクトルポテンシャルＡを磁束密度と (2-44)式に代人すると、Ａに関する次式が得られる。 ∇×∇XA=j(j3μどＥ十μJO 電 流の関係式である （２−５４）  また、磁束密度の発散に関する式である(2-39)式は、ベクトルポテンシャルの定 義式により、但等的に成立する。 さらに､電界の強さと磁束密度の関係を表わす (2-37)式より、電界の強さとベクトルポテンシャルについて次式が得られる。     ∇XE＝-Jω∇XA 上式が成立するょう６    Ｅ＝ＪωＡ−∇（ｐ ここでヽ（pはスカラガ と次式が得られる。 こ、Ｅを決めると次式となる。 テンシャルである。さらに （２−５５） ぐ２−５６） (2-56)式を(2-44)式へ代人する

また ヽ一 心 ∇×∇ＸＡ−ω２μＥ゛Ａ十j(必1ど(p＝μ.lo (2-56)式を(2-45)式へ代人し   ∇2 こで、 整理すると次式が得られる。 q）＋抽∇･A＝､po/F‘       ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ ゲージとして、次のローレンツゲージを導入する。 ∇'A＋ja】μ￡゛(p20 (2-59)式を(2-57)式６ 式が得られる。 （２ ぐ２ ５７｀） ５８） イ ｌ人して整理すると ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥（２−５９ｊ それぞれ次のようなＡと（pの支配方秤     ∇2A＋a)2μ？A＝-F1 ● 10      ●･●●i●･●I●●●I●●●■･･･●●･j     ∇2(p十ω2FIE゛(p＝-p6/E゛         ･････････････・･･････････ これらの方程式の基本解はヽ(2-7)式で与えられるφである。こ 境界要素法の基本式である(2-9)式においてＦ=Ａとして、ペク （２−６０） ‥‥‥‥‥（２−６１） こで、電磁界問題の トルポテンシャルの 二階および一階の回転演算に関する(2-57)､(2-19)式と発散に関する(2-59)式を用 いると、計算点iにおけるベクトルポテンシャルは次式となる。 張Ａ。 47て 汁算 いて

作

レ(Ａ･ｎ')∇Ｉφ＋(Ａｘｎ')×∇'φ＋(∇ＩＸＡ)ｘｎ'φ}ｄＳ

作

爪

{(ω2匹'A−jωμE゛(p＋μJo)φ＋∇'･A∇1{卜ω2μどＡφ}ｄｖ レ(Ａ･ｎ')∇Ｉφ＋(Ａｘｎ')×∇'φ＋(∇ＩＸＡ)ｘｎ'φ一徊μど{pnlφ}dS

俎

μJoφdv 点iのスカラポテンシャル（piは 次のように求められる。（1） 泉 ４π

作

 作

{φ∇'q}･n'−q)∇Iφ･n'}dS＋ (6-22)式と(6-23)式は また、また、Ａ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥（2−62） （2-61）式を基にスカラグリーンの定理を用

万万

φdv この場介Ｃ ･ − 心 も （２−６３） ＡＯｉと(poiは□ 匹 ど それぞれベクトルポテンシャルとスカラポテンシャルの境 界要素法の基本式である。静解析と同様に外部ソースによるポテンシャルとして 体積持分の他にΛoiヽ（po汗加えることができるが ￣レンツゲ￣ジを満だレJoとpoは電荷の連続式を満たすように決められる． ｏにoヽ（poにｏとし境界面sを無限遠に遠ざけてその寄づ‘を無視          −25 一一

4一ると _{Ａ訣q)iは次のように表わされる．}

爪

 づ

牡

い

Joφdv ｐ(岫dv (2-64)式の発散を り と （２−６４） （２−６５） ▽‘｡1r一拍μｐｏに注意して整理すると次のようになる。 ∇,Ai 11式より ローレン 几 ｆ   づ   伺 ︲ 万万  づ  ＝-､㈲μE*(pi 電荷の連続式が成立 ツゲージを満たすこ ｐｏ４)ｄｖ （２−６６） していればヽそのJOとｐｏによ９で誘起されるＡと剛よ とがわかる。  境界条件はΛと(pの境界条件、磁束密度の接線成分の連続条件、電界の強さの法 線成分の連続条件で、次のように求められる。 Ali°A2i (p)i＝(p2i (∇)(A)li)(･i/μ1'(∇)(A)2i)(11i/μ2 べ(一徊Ali-∇'(pli)･nl＝E;(-jωA2i-∇I(p2i)･n （２−６７） （２−６８） （２−６９） （２−７０） この場合、一つの節点における未知数は、Ａの三成分、ｑ)、▽ＸＡの二成分(接線 成分)、▽(pの法線成分で7となる。   一方、一一つの節点に対して(2-62)、(2-63)式を用いれば、境界面の両側でＡの三 成分と９の式が作成できるので、8つの方程式が作成される。 したがって、未知量ﾌ に対して式が一一つ過剰となる。 したがって、これらの式を解くには何らかの工夫 が必要となる。  そこで、空気と導体のように導電率の差が非常に大きい場合の満電流解析に問 題を限定すると、導体側の電界ベクトルの法線成分を零とする近似を導入して式 を筒頃化することができる。すなわち、（2-70）式においてベクトルポテンシャルと スカラポテンシャルについて次式の関係が成りずつものとする。 (∇脊n‘)＝-jω(んnl) _{（２−７１）} ﾄ.式を用いれば、▽q)･nlはベクトルポテンシャルの法線方向成分から求めること ができ、（2､63）式を解く必姿はな 境界面S上の方程式の数は６であ くなる。したがって、（2-62）式により年収される り 未知数は、Ａの法接成分、ニつの接接成分、

▽ＸＡの二９の接線成分および(pの６となるので 介には、未知変数の数はＢＥ法と回じになる。 解を得ることができる。この場 解析領域内の任意の点pの電界の強さEnと磁束密度Ｂｊ仁点Ｐにおける（   溺こタF判!ｪ既門り↑に已り幻､p(/九厄ｹﾞﾄりMII？ EPと:伝来寄屋ＢＰは｀ 息t勺こおける(２“６３) 式で表される(pの勾配演算と(２-６２)式で表されるＡの回転演算および(２-１９)、(２-５６) 式により、次のように求めることができる。    Ｂ岬(∇XA)p

斑

目(Axnl)･∇}∇φ＋k2(Axn')φ+∇φ×{(∇XA)xn･}-jωμE゛∇φxnl]dS+11 Ｅｆ一徊Ａｒ(∇ｑ))『

作

{jω(A･nl)∇'φ一拍(Axnl)×∇'φ＋jω(∇IXA)xn'φ＋k2(pn'φ ＋徊(∇IXA)XIIIφ＋k2(pnlφ+∇φ(∇(p･n･)＋(p(nl･∇)∇φldS ２．４ (1) BE法 ３ _計算例 導体球モデル とΛ孵夫の計算粘度の比較を 上 Ｃ* Ｌ

爪

行 図２−１０ Jox∇φdv （2−72） po∇φdv （２ _７３） うために用いる導体球モデルを図2-10に示す。 有体球モデル 27 Ｘ → sinω1(T)

導体球の導電率は5.92×107(S/m)であり、導体球の半径は0.5(m)である。境界要 素としては平伯にﾐ角形要素を使川し、未知変数は、要素内で一一定とし、要素の｡重 心に離散化している。x=()の平面、y=0の平面、z=0の平面を対称面とし、全解析 領域の1/8を要素分割している。三角形要素数は64、未知数は両手法とも1384であ る。外部から一様交番磁界が、50(Hz)でｚ方向に1(T)の大きさで印加されている、 このときの外部印加項は次のようになる。 Bo＝(0,0,1) Eo＝(j(必,-j(1)l,()) 理論解 −−一理論解 ２ １ こ旨口 ０ １ (実部) (虚部) ｏ ＢＥ法（実部） 口 ＢＥ法（虚部） ・ A（p法（実部） ・ A（p法（虚部） ０    Ｅ＝φ)Ａ となる。 0.02 ｀li.   0.04   x(m) (a)磁東京度 （２−７４） （２−７５） （２−７６） ︵日ジズ山 0.06  0.08 ２ ０   ２ ４ ６ ８ ０ 0.02 _0,04 x(m) (b)電界の強さ Ｘ Ｘ  ６   へ   15    ＼     S 0.06  0.08        ドにレ１］容体球モデルの計算結果  図2-11にｘ樋上の理論解（5）と計数結果の比較を示す。BE法とA（p法に対してφと ｰ▽φの政情精分は回し方法（粘度）で行っている。計算結果は両手法ともよく理 論解に 一致している。Ａ叩法の計算結果では９が零になり、したがって、（2-59）式の ローレンツゲージから▽・Ａが零になっている。さらに、図2 -12に示す境界面ヒ の分有から明らかなようにＡの法線成分も零であるためｰ▽φも零になっている。こ のことから、球導体モデルのように▽・Ａが零となる場合の折折は、ベクトルポテ ンシャルのみで行えることがわかる。このような場介には、電界の強引よベクト ルポテンシャルのみで表され、

Ｘ ￥ ｒ ｙ ｆ ／ ＼ へ へ 二万 へ へ ？ 、 Ｑ、  、 ？ x   S ゝ S 5 -八八ひ、 へ f x 乙→−！ -  - ‘ ￣ 一 一 ｆ −     ￣ ' − ● ' ∼ ｀ ･ ｀ ｆ ・   − ･ ヽ −  ＿--｛− ｒｙ   ’１!ゝ -−むｰ （Ｘ．、．ｒ、−一一 -ｆ ! ｔ ベ ヘ ヘ ‘- − ． ．Ｑ 、 へ ￣ − _ CX - − ’ ｛ jlゝ ら ひ， (a)

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 ｊ 「 ｜ １ １ １ １ ｜ ｜ ｜ ｜ 一 Ｊ 一 ／ 一 ｙ −■ C｀-−･’ ---‥ぞ7･ヽ ・む･.-￣ Ｆ ｒ ｊ 眉 目 ’ ︲ 図 1 ｀ ’ C ン 〃 J = J じｙ つ ー 5×田 ． あ x y - f Ｓ ／ Ｉ   ｙ ｒ犬 ｔ’ ／’ ｌ ． ’ ｒ ｀ Ｃ 乙 Ｘ   ぐ い Ｉ ｇ ‘ ． ． ｇ Wb/m） Ｃ ‘ Ｋ ｆ ．’ ｆ ’   ︱  Ｗ Ｉ ・ ｔ７ ｇ ’ lて｡ ドド ｀＼ 4、 ｙ Ｘ     /’-’   .4. ?゛､･･゛ ゛為ご1、. つ ∼ S14︲・︲︲︲ − ミ ● ■ = − ・ -〃 ご ？− ￣ /’ J'ご / 7 5×10'1(Wb/m)  ゛々ヽ､バ'｀ヽ7￣気ゴて､･ブ'／｀ ｙｙ､べ≒こご一-･一ダシー……  ｊ＿ 四    -()∼ ご  ．  .ごズダ∩ ´七夕……ヽ ２こ7ご2刄こタ居芒が:･へｘ       (b)虚部 １２境界llのベクトルポテンシヤル Ｚ ｔ   ／ −−１ ・ ノ  ノ   ／    ／ Ｘ /1 図２−１３ 導体立方体モデル (i＝5.92×10 圃＠   力  Ｑ︶ ｙ ｍ）  （2）導体立方体モデル  次に、一様な交番磁界中に置かれた導体立方体モデルを図2-13に示す。導体球 モデルと同様に対称tlを考慮して、全解析領域のI /8を216の平面三角形要素で分 割している。両手法の計算結果の比較をほ12-14、図2-15、図2-16に示す。図2-14 導体内のx-y平面、y-z平面、x-z平面の渦電流をベクトルで表示している。両 ミの計算結果はほぼ一一致しているがAq)法では導体表面付近の渦電流が蛇行して 一 29 一一

｀ｙ ゛へ、 W -  ヽ ､ p ､   ｀ こ ｐ 、     ￣ ・ ．     ’ ｊ     -Ｘ  ／ ？ てｐ '゛｀‘ヽＴｊ'｀"'．    '゛'゛ｘ．ｌ マ 刄 、 ｀ て J 、 Ｊ ゛ Ｊ Ｘ 、 ヽ  ゝ - Ｗ ｀ Ｓ ＿ 〃 _ -ｚ -- -- − -゛ヽヽ、二 − 寡 − ￣ -− -− − -一 bd(μ(A/ln2) − ベ ヘ . 、 ゞ ‘ ／  。 。 一 之 ･ -が／ ｊ ダ ㎡ (a)実部(BE法) Z. − へ μ／ ／ 戸  ／び ／μ ｀ ' ヽ . が       l ㎜ -/イ ダ にヽ -レけげ(Λ/田勺 − − − ' ﾐ ー − - − =         ／ -ヘ ￥ ４  ｘ ／ ／／ﾂﾞ゛こ゛ご、 ∼ ｀、ヽこヽ、． ｀ ＿     ｀<こ:｀‘ ／ β／  ／ バ ．″ ／ ヘ ダ よ ぶﾀﾞ´ β ／ ヽヽﾍﾞ仁  パダ／ が ゛ (c)実郎(ハ(p法)       図 つ一 ｌｊ ゛｀ｙ Ｘ ヽ i l ; ゛． ゛｀へ ･ − へ − ヽ − -ｉ ヽ 乙 ヽ − -゛ へ - − へ ー へ . −

 

､∧∧ご｀

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ス配、、 ゛ｙ Ｘ ／ ’﹃ X、 べ ら へ ー 5×107(A/m2) ｀ へ へ (b)士郎(BE法) ７ − − Ｊ 一 ｀ ∼ − へ 九 ・ -つ _ _ 、 ゛ ゛ ｀ ゝ ゛ ｊ 一一 5×107（ 仁 7 ヽ ゛'ｙ Λ/m2） ｀ヽへ 汐／ j ･ Z y / ゛）、く . . J ゛ / ／〆 ．ダ ／ /          (d)内部(A(p法) ４郷体内の詐腔流

） 1･:-('l ２ ０ − ４ ／ ゛ ／ダ ／ ／ Ｊ １ --{-｀-(Ｔ) １ !X   きｙ ｌ Ｕ∼、、 ｂｙ ｙ Ｘ ↑ ／ ｊ ↓ ｜   ｙ Ｉ‘ ち  ＼ ヘ ヘ Ｎ １ ゝ 、 ゝ Ｘ Ｘ 「 一 − − − − − ぶ(ＢＥ法) y  (b利川 (a)実部(BE法) - Ｃ 一 rJ a2(T) − − 一 ／ ゛ ／ ／ Ｊ Ｊ 1(T) −_ﾐ  ｰ-xy、 ｀、  N  、 ｔ ｊ ノ‘゛￣ ↓ ↓ １ １ ダ ！ ！ ︱ Ｉ ｊ ヘ ペーー Ｘ、  ″ ︱  ¶ べ  ／  １  Ｉ Ｚ '¨"'｀"'¨‘｀‘……1"‘‘｀ ４・ｊまｙょＩＩ’− 宍−Ｉハ目よＴ−ＡＩＩ ｙ ｙ Ｉ‘ ｙ ｙ Ｘ ¶ Ｕ＼ ≒ ヽ、へ Ｘ ↑ １−−１１１ＩＩＩＩ１−−−−http://www. Ｘ １ １ ＿ ． ＿ ． ． ． ｔ ． ． ＿ ． ． t___.､. ゛’ｙ Ｘ 部(A(p法) (d亘於 5y-z平面の磁束密度 (○大部(A(p法)        図ム１ 31 − 一 ｙΛ白山０らＦＬｙ︲エ∇ へ ＼    へ ｀ Ｘ ／Ｚ １ １ 「’￣￣ ｜ Ｅ Ｉ︲︲−︱Ｉ’１︲︱ＩＩＩ！︱−︱−１−︱−︱−ＩＩＬ   べ        s ‘4︲︲︲︲︲])       Ｘ ｊＡＡ Ｔ ＩＩＩÅハーー・︵Ｔ︱−！ 宍ぐ’∼Ａり目Å︰よ︰よ︰’ １ １ へ １ １ １ ｔ Ｉ Ｉ Ｉ を １ １ −

0.08 おり、BE法よりも大きめの計誰結果になっていることがわかる。図2-15はy-z平㈲ の磁束密度をベクトルで表示しヽ図2-16は7’oヽy゛（の直線11 向成分について両手法を比較している。図2-15では両手法と 上の磁束密度のｚ方 も‥-致した解が得ら れているが、図2-16より、導体古顔でAq)法では磁束密度のz方向成分が不運続、 BE法では磁束密度のzﾌﾟ川句成分か連続になっていることがわかる。この場介の磁束 密度のz方向成分は、磁東宮度の接線成分に一一致するので、導体表面で通続となる 10 フミく と て︶ご． ０ ４ ０ μ ｀ / ぷ りこ Ｉ 0.8 0.4 0.0 O､4 () _８ ０ ● し ● ・●●●●●●●●● 0() 00 Ｃ．Ｌ ●● し ● ○○○ ●ｏ 圖。口   ●○ ●Ｓ ＩＩ ｉｉｉｉ● □ 11 ︵白タクｏ︷ｘ︸ y ｀一り ４ ０ ４ ８ 12 - 一 一 ０ _,08 0.10 １６  ０ 團團ｉ閤團 -・●●・●・・●●●●； 00 _0.02 １ 0.04 /巾n） ｌｏ  ●Ｏ   ● ｉ Ｏ □ ｣□ ○○ 臼 ● 圖  ●    ●● レ 0.06 (b)j･我流密度のy成分 ｏＢＥ法(実測) 口BL法(士測) ●Λ(P法(実恂 ●八(p法(士郎) 0.02 _0.叫 /巾n） 0.06 (a川訃岫ぐ渡のx成分 ○ Ｏ ● o1●●●●●●● IIll･･･S:;l･ 肖 0.02  OI I●  ∩  ゛● ○● ● ● □■   喝    繭﹂    繭︰﹂   回目  −ロ 闘口  0.04 0.〔〕6   /山相 (c)磁ji密度      図 り乙 しLLLLLLL 0.08 １６吋￨￨汁の計算結果