PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT
ROSMAN SIREGAR
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika
Universitas Sumatera Utara
Pendahuluan
Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup yang terbatas seperti pada Teorema Proyeksi Orthogonal. Teorema Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert berperan sangat penting dalam membicarakan Teorema Spectral untuk operator-operator Linier Terbatas yang self-adjoint.
Dengan melihat dan mempelajari kasus-kasus inilah maka penulis merasa tertarik mengadakan studi literatur tentang sifat-sifat Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert.
Dengan tujuan untuk melihat beberapa sifat suatu Proyeksi dan sifat-sifat Orthogonal dalam suatu Ruang Hilbert dan sekaligus menunjukkan adanya kaitan antara Proyeksi dan Orthogonal.
Metodologi
Adapun metode yang dipakai penulis pada tulisan ini adalah metode Deskripsi dan Explanatory dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah I : Meninjau beberapa Teorema dan pendefenisian pada Ruang Linier kemudian dilanjutkan pada Ruang Linier Bernorm.
Langkah II : Mengartikan Ruang Hilbert dan menunjukkan sifat-sifat khusus yang dimiliki Ruang Hilbert yang berkaitan dengan Proyeksi-proyeksi. Langkah III : Menggunakan Teorema mengenai sifat-sifat Orthogonal pada Ruang
Hilbert.
Langkah IV : Menunjukkan sifat-sifat dari suatu Proyeksi pada Ruang Hilbert. Langkah V : Membuktikan Teorema-teorema Proyeksi Orthogonal yang berkaitan
pada Ruang Hilbert.
Dalam hal ini sebagai dasar pemikiran pada Teorema Pectral untuk operator linier terbatas yang sellf-adjoint.
Landasan Teori
Sebagai landasan teori pada tulisan ini ditinjau beberapa teorema dan defenisi pada Ruang Linier yang kemudian berkaitan dengan Ruang Linier Bernorm. Kemudian pokok permasalahan adalah Proyeksi-proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert, maka perlu juga dipahami sifat-sifat suatu Proyeksi dan Orthogonal, Operator Linier Terbatas yang Self-Adjoint dan Ruang Hilbert itu sendiri.
2.1. Ruang Linier
Suatu Ruang Linier atas Field K dapat didefenisikan sebagai berikut : Defenisi 2.1.1.
Jika E adalah suatu Himpuan tak kosong ( E ≠ 0 ) maka E adalah suatu Ruang Linier atas Field K, dinotasikan dengan ( E , K , + , . ), dimana + dan . merupakan pemetaan yang didefenisikan sebagai berikut :
+ : E x E → E
+ ( x , y ) → x + y . : K x E → E
. ( α , x ) → α x
Dengan memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1. x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ; ∀ x , y ∈ E 2. x + y = y + x ; ∀ x , y ∈ E 3. ∃ θ ∈ E ∋ x + θ = x ; ∀ x ∈ E 4. ∀ x ∈ E ∃ -x ∈ E ∋ x + (-x) = θ 5. ( α + β ) x = α x + β x ; ∀ x ∈ E & ∀ α , β ∈ K 6. α ( x + y ) = α x + β y ; ∀ x , y ∈ E, α∈ K 7. α ( β x ) = ( α β ) x ; ∀ x ∈ E, ∀α, β ∈ K 8. 1 . x = x . 1 = x ; ∀ x ∈ E 9. θ . x = θ ; ∀ x ∈ E
Jika K = R (Himpunan Bilangan Riel) maka E disebut Ruang Vektor Riel atau Ruang Linier Riel.
Jika K = C (Himpunan Bilangan Kompleks) maka E disebut Ruang Vektor Kompleks atau Ruang Linier Kompleks.
2.2. Ruang Linier Bernorm
Suatu Ruang Linier Bernorm didefenisikan sebagai berikut :
Defenisi 2.2.1.
Andaikan E suatu Ruang Linier atas K
|| . || : E → R adalah suatu pemetaan dengan : x → || . || (x) = || x ||
disebut norm pada E jika dan hanya jika memenuhi axioma-axioma sebagai berikut :
1. || x || ≥ 0 ; ∀ x ∈ E
2. || x || = 0 ⇔ x = 0 ; ∀ x ∈ E
3. || α x || = | α | || x || ; ∀ x ∈ E ; α∈ K 4. || x + y || ≤ || x || + || y || ; ∀ x , y ∈ E Suatu Ruang Linier Bernorm atass K adalah pasangan ( E, || . || ) dimana E suatu Ruang Linier atas K dan || . || adalah norm pada E.
Suatu himpunan bagian F ≠ ∅ dari Ruang Linier E atas K dikatakan Ruang Bagian Linier dari E jika dan hanya jika x + y ∈ F dan α x ∈ F; ∀ x , y ∈ F dan ∀α∈ K.
Defenisi 2.2.3.
Andaikan F dan G adalah Ruang Bagian Linier dari Ruang Linier E. ruang E disebut Direct Sum (jumlah langsung) dari F dan G jika dan hanya jika : E = F + G dan
F ∩ G = { 0 } Ditulis bahwa :
F + G = { x + y ; x ∈ F , y ∈ G } Jadi E adalah Direct Sum dari F dan G ditulis : E = F ⊕ G
Jelaslah bahwa E = F ⊕ G jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ E maka dapat disajikan secara tunggal bahwa :
x = y + z dimana y ∈ F dan z ∈ G
2.3. Ruang Banach
Suatu Ruang Banach dapat didefenisikan sebagai berikut :
Defenisi 2.3.1.
Ruang Linier Bernorm E yang lengkap disebut Ruang Banach jika dan hanya jika Barisan cauchy Konvergen di E.
2.4. Ruang Dual
Kata Fungsional digunakan untuk mengenal pemetaan-pemetaan dari suatu Ruang Linier atas K terhadap K sendiri.
Defenisi 2.4.1.
Andaikan E suatu Ruang Linier atas K : f : E → K
disebut fungsional linier jika memenuhi axioma sebagai berikut : f ( α x + β y ) = α f (x) + β f (y) ; ∀ x , y ∈ E ; α, β ∈ K\
Defenisi 2.4.2.
Ruang Babach L ( E, K ) dari semua functional linier teerbatas pada Ruang Linieer Bernorm E atas K disebut Ruang Dual ( Ruang Rangkap ) dari E, dan dinotasikan dengan E*.
Elemen-elemen dari Ruang Dual E* dinyatakan dengan x#, y#, . . .
2.5. Annihilator Defenisi 2.5.1.
E adalah suatu Ruang Linier Bernorm atas K, X ⊆ E dimana Y ⊆ E* dimana X, Y ≠ ∅ didefenisikan sebagai berikut :
X⊥ = { x* ∈ E* ; x* (x) = 0 ; ∀ x ∈ X }
Y⊥ = { x ∈ E ; x* (x) = 0 ; ∀ x* ∈ Y } Himpunan X⊥ dan Y
⊥masing-masing disebut Annihilator dari X dan Y. 2.6. Operator Linier
Operator T adalah pemetaan dari suatu Ruang Linier E ke Ruang Linier F ( T : E → F ) dimana E dan F adalah Ruang Linier atas Field K yang sama.
Defenisi 2.6.1.
E dan F Ruang Linier atas Field K yang sama. Operator T dari dan F disebut Operator Linier jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. T ( x1 + x2 ) = T ( x1 ) + T ( x2 ) ; ∀ x ∈ E
2. T ( α x ) = α T ( x ) ; ∀ x ∈ E ; α ∈ K Umumnya T ( x ) cukup ditulis dengan Tx.
Defnisi 2.6.2.
Dari F Ruang Linier Bernorm, Operator Linier T dari E ke F disebut Operator Linier Terbatas jika dan hanya jika :
{ || Tx || : || x || ≤ 1 , x ∈ E } adalah himpunan bilangan riel yang terbatas.
Jadi :
T terbatas ⇔ ∃ M ∋ || Tx || ≤ M bilamana || x || ≤ 1.
Defenisi 2.6.3.
Andaikan T ∈ L ( E, F ).
ℵ ( T ) = { x ∈ : Tx = 0 } disebut Ruang Null dari T. Range dari T ditunjukkan dengan ℜ ( T ).
Jelasnya ℵ ( T ) dan ℜ ( T ) adalah Ruang Bagian Linier dari E dan F.
Defenisi 2.6.4.
Suatu operator T ∈ L ( H ) dikatakan self-adjoint jika dan hanya jika : T = T*
Himpunan dai semua operator-operator linier terbatas yang self-adjoint pada H dinyatakan dengan S.
Defenisi 2.6.5.
Andaikan T ∈ L ( H ).
Operator tunggal T* ∈ L ( H ) yang memenuhi :
〈 Tx, y 〉 = 〈 x, T*y 〉 ; ∀ x, y ∈ H disebut Adjoint Ruang Hilbert dari T. Jelasnya untuk semua x, y ∈ H
〈 T*x, y 〉 = 〈 y, T*x 〉
= 〈 Ty, x 〉
= 〈 x, Ty 〉
Dari sini :
T ∈ L ( H ) adalah self-adjoint jika dan hanya jika :
〈 Tx, y 〉 = 〈 x, Ty 〉 ; ∀ x, y ∈ H
Defenisi 2.6.6.
Operator T ∈ L ( E ) dikatakan suatu Regular jika dan hanya jika ada S ∈ L ( E ) sehingga :
TS = ST = I
Operator S disebut invers dari T , I disebut Operator Identitas. Jika S1 , S2∈ L ( E ) dan TS1 = S1 T = I, TS2 = S2T = I
Maka :
S1 = IS1 = ( S2T ) S1 = S2 ( TS1 ) = S2I = S2.
Dengan demikian S1 dan S2, ini menunjukkan bahwa invers T adalah tunggal.
Lemma 2.6.7.
Andaikan T, S ∈ L ( H ) dan α ∈ K, maka kondisi-kondisi berikut dipenuhi. a.. ( T + S )* = T* + S*
b. (α T )* = ά T* c. ( TS )* = S* T* d. ( T* )* = T e. I* = I
f. T adalah regular ⇔ T* adalah Regular dan jika T Regular ⇒ ( T* )-1 = ( T-1 )*
Bukti :
Berdasarkan defenisi 2.6.5. diperoleh :
a. 〈 x, ( T + S )* y 〉 = 〈 ( T + S )x, y 〉
= 〈 Tx, y 〉 + 〈 sx, y 〉
= 〈 x, ( T* + S* )y 〉
Dari sini ( T + S )* = T* + S* b. Dari defenisi diperoleh :
〈 ( α T )*y, x 〉 = 〈 y, (α T )x 〉 = 〈 y, α ( Tx ) 〉 = ά 〈 y, Tx 〉 = ά 〈 T*y, x 〉 = 〈 ά T*y, x 〉 Dari sini ( T )* = T* c. ( TS )* = S* T*
Dari defenisi diperoleh :
〈 x, ( TS )*y 〉 = 〈 ( TS )x, y 〉
= 〈 Sx, T*y 〉
= 〈 x, S* T* y 〉
Dari sini ( TS )* = S* T* d. ( T* )*
Dari defenisi diperoleh : 〈 ( T* )*x, y 〉 = 〈 x, T*y 〉
= 〈 Tx, y 〉
Dari sini ( T* )* = T e. I* = I
Dari defenisi diperoleh : 〈 I*y, x 〉 = 〈 y, I*x 〉
= ( Iy, x 〉
Dari sini I* = I
f. Andaikan T adalah regular maka : I = TT-1 = T-1 T
Dengan menggunakan sifat ( c ) dan ( e ) diperoleh : I = I* = ( TT-1 )* = ( T-1 )*
Ini menunjukkan T* adalah regular, an ( T* )-1 = ( T-1 )*
Dengan demikian, jika T* adalah regular maka dengan sifat ( d ) : T = ( T* )* juga regular
Teorema 2.6.8.
Andaikan T, S ∈ S dan α, β∈ R maka :
α T + β S ∈ S
jadi TS ∈ S ⇔ TS = ST Bukti :
Dari Lemma 2.6.7. ( a ) dan ( b ) diperoleh :
α T + β S ∈ S dengan demikian Lemma 2.6.7. ( c ) diperoleh : ( TS )* = S* T* = ST
Jadi ( TS )* = TS jika dan hanya jika TS = ST
Defenisi 2.6.9.
Suatu Operator T ∈ S dikatakan positive jika dan hanya jika 〈Tx, x 〉 ≥ 0, ∀
x ∈ H
Himpunan dari semua operator-operator positive dalam S dinyatakan dengan S*.
Lemma 2.6.10.
Untuk setiap T ∈ S diperoleeh T2 ∈ S*
Bukti :
〈 T 2 x, x 〉 = 〈 Tx, Tx 〉 ≥ 0 , ∀ x ∈ H
Jika T ∈ L ( H ) maka T*T ∈ S* sebab :
〈 T*Tx, x 〉 = 〈 Tx, Tx 〉 ≥ 0.
2.7. Ruang Hilbert
Pada bagian ini H adalah suatu Ruang Hilbert dengan Inner Product B.
Defenisi 2.7.1.
E suatu Ruang Linier atas K.
B : E x E → K dikatakan suatu bentuk Symetric Hermitean, jika dan hanya jika : a. B ( α x + β y, z ) = α B ( x, z ) + β B ( y, z ) ; ∀ x, y, z ∈ E α β ∈ K b. B ( x, y ) = B ( y, x ) ; ∀ x, y ∈ E c. B ( x, x ) ≥ 0 ; ∀ x ∈ E d. B ( x, x ) = 0 ⇔ x = 0
Suatu bentuk Simetris Hermitean Positif pada E disebut suatu Inner Product atau suatu Skalar Produk pada E.
Contoh 2.7.1. Persamaan B ( x, y ) =
∑
= n k 1 ξ k ή k dimana : x = ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n ) dany = ( η1 , η2 , … , ηn ) dalam Kn, di defenisikan suatu Inner Product pada Kn.
Defenisi 2.7.2.
Suatu Ruang Hilbert adalah suatu Ruang Linier H atas K bersamaan dengan suatu Inner Produk B sedemikian hingga dihubungkan ke Ruang Linier Bernorm ( H, || . || )
dimana :
|| x || = B ( x, x )½ , ∀ x ∈ H adalah lengkap.
Dengan demikian suatu Ruang Hilbert dapat dikatakan suatu Ruang Banach yang mana norm ditentukan oleh suatu Inner Product.
Dalam penulisan lebih sederhana, Inner Product b ( x, y ) pada Ruang Hilbert dinotasikan dengan 〈x, y 〉.
Dengan demikian B ( x, y ) = 〈x, y 〉.
Lemma 2.7.3.
Andaikan B adalah suatu Inner Product pada E dan ambil x, y ∈ E sehingga : B ( x, z ) = B ( y, z ) ∀ z ∈ E ⇒ x = y
Bukti :
B ( x – y, x – y ) = B ( x, x – y ) - B ( y, x – y ) = 0 B ( x, x – y ) = B ( y, x- y )
Maka dari sini x = y
Teorema 2.7.4.
Andaikan B adalah suatu bentuk Simetris Hermitean non negatif pada E, maka :
B ( x, y ) 2 ≤ B ( x, y ) B ( y, y ) ; ∀ x, y ∈ E
Bukti :
Ambil x, y ∈ E; untuk setiap t ∈ R dan α∈ K dimana α = 1 diperoleh t2 B ( x, x ) + 2 t Re ( α b ( x, x ) + B ( y, y ) ) ≥ 0 ……..( 1 )
Ketidaksamaan ( 1 ) mencakup untuk semua bilangan-bilangan riel t, maka diperoleh
( Re ( α B ( x, y ) ) )2 ≤ B ( x, x ) B ( y, y ) ………( 2 )
Untuk setiap α ∈ K dengan α = 1 Dengan memilih α sehingga :
α B ( x, y ) = B ( x, y )
Dari ketidaksamaan ( 2 ) diperoleh
B ( x, y ) 2 ≤ B ( x, x ) B ( y, y )
Teorema 2.7.5.
Andaikan B suatu bentuk Simetris Hermitean non negatip pada E maka : B ( x + y, x + y ) = B ( x, x ) + 2 Re B ( x, y ) + B ( y, y)
≤ B ( x, x ) + 2 B ( x, y ) + B ( y, y )
≤ B ( x, x ) + 2 B ( x, x )½ B ( y, y )½ + B ( y, y )
= { B (x, x )½ + B ( y, y )½ }2 ≤ { B (x, x )½ + B ( y, y )½ }2
Dari sini diperoleh :
B ( x + y, x + y )½ ≤ B ( x, x )½ + B ( y, y )½
Lemma 2.6.7.
Andaikan B adalah perkalian dalam pada E dan ambil || . || suatu norm pada E yang didefenisikan dengan :
|| x || = B ( x, x )½ , maka ( x, y ) → B ( x, y ) adalah pemetaan kontinu
dari
E x E into K. Bukti :
E x E adalah Ruang Linieer Bernorm dengan norm yang didefenisikan dengan :
|| ( x, y ) || = max { || x || , || y || }.
Dengan menggunakan ketidaksamaan 2.7.4. diperoleh :
|| B ( x, y ) - B ( x0, y0 ) || = || B ( x - x0, y ) = B ( x0, y – y0 )
||
≤ || B ( x – x0, y ) || + || B ( x0, y – y0 ) || ≤ || x – x0 || || y || + || x0 || || y – y0
||
Dengan demikian jika : || y – y0 || ≤ 1 diperoleh :
|| B ( x, y ) - B ( x0 , y0 ) || ≤ ( 1 - || x0 || - || y0 || ) maksimum
dari :
{ || x – x0 || , || y – y0 || }
yang mana pemetaan ::
Proyeksi-proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert
Bab ini adalah merupakan pokok peermasalahan, dimana akan diamati hubungan antara Proyeksi dan sifat-sifat Orthogonal, dan dari sini dapat ditunjukkan adanya kaitan antara Proyeksi ddan Orthogonal.
3.1. Representasi Proyeksi dan Orthogonal Pada Ruang Hilbert Defenisi 3.1.1.
Suatu Operator Linier P pada E dikatakan suatu Proyeksi jika daan hanya jika P2 = P.
Lemma 3.1.2.
Andaikan P adalah suatu Proyeksi pada E , maka : a. I - P adalah Proyeksi pada E
b. ℜ ( P ) = { x ∈ E : Px = x } c. ℜ ( P ) = ( I – P )
d. E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P )
e. Jika P adalah terbatas maka ( P ) dan ( I – P ) adalah tertutup Bukti :
a. Karena I – P adalah Proyeksi pada E maka : ( I – P ) = I2 - 2 P + P2
= I - 2P + P = I - P
b. Jelasnya bahwa { x ∈ E : Px = x } ⊆ ℜ ( P ). Pada sisi lain diandaikan x ∈ℜ ( P ) ⇒ x = Py Untuk beberapa y ∈ E diperoleh :
Px = P2y = Py = x , ini menunjukkan bahwa :
{ x ∈ E ; Px = x } = ( P).
c. Pembuktian ini lanjutan dari ( b ), dan pengamatan bahwa ( I – P)x = 0 jika dan hanya jika x = Px.
d. Untuk setiap x ∈ E diperoleh : x = Px + ( I – P )x.
Dengan demikian E = ℜ ( P ) + ℜ ( I – P ).
Jika x ∈ℜ ( P ) ∩ ℜ ( I – P ) maka dengan memakai sifat ( b ), yaitu :
ℜ ( P ) = { x ∈ E : Px = x } dikaitkan ke P dan I – P diperoleh : x = Px = ( I – P )x Dari sini : x = Px = P ( ( I – P )x ) = ( P - P* )x = ( P - P )x = 0
Ini menunjukkan bahwa ℜ ( P ) ∩ ℜ ( I – P ) = { 0 } dan dari sini jelaslah bahwa :
E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P ).
e. Ini dibuktika dari bahagian ( c ), jika dikaitkan ke P dan I – P diperoleh :
ℜ ( P ) = ℵ ( I ∈ P ) dan ℜ ( I – P ) = ℵ ( P ), dan dari sini ℜ ( P ) dan
ℜ ( I – P ) adalah tertutup sebab Ruang Null yang manapun dari Operator Linier Terbatas adalah tertutup.
Lemma 3.1.3.
Andaikan M dan N adalah Ruang Bagian Linier dari E dimana E = M ⊕ N maka ada suatu Proyeksi tunggal P dan E dengan ℜ ( P ) = M dan
Bukti :
Andaikan x ∈ E maka ada suatu titik yang tunggal yaitu y ∈ M dan z ∈ N dimana x = y + z.
Misalkan Px = y, ini mendefenisikan suatu pemetaan P dari E ke P itu sendiri, dan mudah untuk menunjukkan bahwa P adalah linier.
ℜ ( P ) = M dan ℵ ( P ) = N
Untuk setiap x ∈ E diperoleh Px ∈ M dan oleh karena itu P ( Px ) = Px, ini menunjukkan bahwa P2 = P dan jelaslah bahwa P adalah Proyeksi pada E.
Telah diketahui bahwa :
ℜ ( P ) = M dan ℵ ( P ) = N dengan lemma 3.1.2. ( c ) jika dikaitkan ke I - P diperoleh :
ℵ ( P ) = ℜ ( I - P ) jadi ℜ ( I – P ) = N.
Selanjutnya dimisalkan Q adalah suatu Proyeksi E dimana :
ℜ ( Q ) = M dan ℜ ( I – P ) = N untuk setiap x ∈ E diperoleh : x = QX + ( I - Q ) x , Qx ∈ M dan ( I – Q ) x ∈ N.
Dengan demikian dari defenisi haruslah didapat Px = Qx, ini membuktikan bahwa :
P = Q
Bagian ( d ) dan ( e ) dari lemma 3.1.2. menunjukkan bahwa jika P adalah suatu Proyeksi terbatas pada , maka E mempunyai peruraian jumlah langsung. E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P ) dimana ℜ ( P ) dan ℜ ( I – P ) adalah Ruang Bagian Linier Tertutup di E.
Toerema 3.1.4.
Andaikan E adalah Ruang Banach dan misalkan M dan N adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari E dimana E = M ⊕ N maka ada suatu Proyeksi yang tunggal dan terbatas P pada E, sehingga :
ℜ ( P ) = M dan ℜ ( I – P ) = N. Bukti :
Dengan lemma 3.1.3. ada suatu Proyeksi tunggal pada E sehingga ℜ ( P ) = M dan ℜ ( I – P ) = N.
Disini akan dibuktikan bahwa P adalah tertutup. Andaikan :
( xn ) suatu barisan dalam E sehingga :
lim xn = x dan lim Pxn = y n →∞ n →∞
Karena Pxn∈ M dan M adalah tertutup diperoleh y ∈ M
Jadi :
xn - Pxn = ( I – P ) xn∈ N dan N tertutup
Oleh karena itu :
x - y = lim ( xn - Pxn ) ∈ N
n →∞
Dengan lemma 3.1.2. ( b ) Py = y dan dengan lemma 3.1.2. ( c ) dikaitkan pada I – P diperoleh :
( P ( x – y ) ) = 0 Akibatnya :
y = Py = Px, ini membuktikan bahwa P adalah tertutup.
Teorema 3.1.5.
Andaikan K adalah suatu Himpunan Bagian Convveeks Tertutup yang tak kosong dari H dan x0∈ H, maka ada suatu titik yang tunggal k0∈ K dengan :
d ( x0 , K ) = || x0 - k0 ||
Bukti :
Ambil δ = d ( x0 , K ) dan pilih satu barisan ( kn ) dalam K dengan :
Akan dibuktikan bahwa ( kn ) Barisan Cauchy dengan menggunakan Hukum
Parallelogram diperoleh :
2 || km – x0 || 2 + 2 || kn – xn || 2 = || ( km + kn ) – 2x0 || 2 + || km – kn
|| 2 ( 1 )
Untuk m , n = 1, 2, …
Karena K adalah conveks maka ½ ( km + kn ) ∈ K
Jadi :
|| ( km + kn ) – 2x0 || = 2 || ½ ( km + kn ) – x0 || ≥ 2 δ ……….. ( 2 )
Untuk m, n = 1, 2, … Selanjutnya karena :
lim || kn – x0 || = δ memberikan ε> 0 ada suatu bilangan bulat positif N n →∞
dimana :
|| kn – x0|| < ( δ2 + ε2 / 4 )½ n ≥ N ……… ( 3 )
Dari ( 1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) maka : || km – kn || < ε ; ∀ m , n ≥ N
Ini menunjukkan bahwa ( kn ) Barisan Cauchy dari H yang lengkap, maka
barisan ( kn ) konvergen.
Ambil :
K0 = lim kn diperoleh k0 ∈ K, sebab kn∈ K dan K tertutup.
n →∞
Jadi :
|| k0 – x0 || = lim || kn – x0 || = δ.
n →∞
Tinggal membuktikan bahwa k0 adalah tunggal.
Andaikan k’0 ∈ K dan || k’0 – x0 || = δ , ambil ( hn ) suatu barisan yang
diberikan oleh :
H2n – 1 = k0 dan h2n = k’0 ; untuk n = 1, 2, …
Maka hn∈ K dan lim || hn – x0 || = δ sehingga :
Terbuktilah bahwa ( hn ) barisan konvergen.
Ini hanya mungkin berlaku apabila k0 = k’0
Jadi terbuktilah k0 titik tunggal dimana k0∈ K.
Defenisi 3.1.6.
Suatu titik x ∈ H dikatakan Orthogonal terhadap titik y ∈ H jika dan hanya jika :
〈 x, y 〉 = 0
x Orthogonal terhadap y jika dan hanya jika y Orthogonal terhadap x. Diberikan suatu himpunan bagian A ≠ ∅ dari H ditulis :
A⊥ = { x ∈ H : 〈 x, y 〉 = 0 ∀ y ∈ A }
Himpunan A⊥ disebut Complement Orthogonal dari A dalam H. jelaslah bahwa
0 ∈ A⊥ untuk setiap himpunan bagian A dari H.
Simbol ⊥ digunakan dalam 2 arti yang berbeda yaitu sebagai simbol Annihilator dan Complement Orthogonal.
Untuk menunjukkan Annihilator dari suatu himpunan bagian X dari Ruang Linier Bernorm E digunakan simbol X⊥ , sedangkan simbol Complement
Orthogonal A ⊂ H adalah A⊥ .
Annihilator X⊥ adalah suatu himpunan bagian dari Dual E*. Lemma 3.1.7.
Andaikan A adalah Himpunan Bagian yang tak kosong dari H, maka A⊥ adalah
Ruang Bagian Linier Tertutup dari H dan A ⊆ ( A⊥ )⊥
Bukti :
〈α x + β y , z 〉 = α〈 x,, z 〉 + β 〈 y, z 〉 = 0
Ini menunjukkan bahwa α x + β y ∈ A⊥ dan dari sini A⊥ adalah Ruang Bagian
linier dari H.
Andaikan ( xn ) suatu Barisan Convergent dalam A⊥ dengan lim xn = x maka
n →∞
untuk setiap y ∈ A, dari lemma 2.7.6. dinyatakan bahwa :
〈 x, y 〉 = lim 〈 xn , y 〉 = 0
n →∞
Ini menunjukkan bahwa x ∈ A⊥ dan A⊥ tertutup.
Jelaslah bahwa : A ⊆ ( A⊥)⊥ Teorema 3.1.8.
Andaikan A suatu Ruang Bagian Linier tertutup dari H maka H = A ⊕ A⊥
Bukti :
Disini harus dibuktikan bahwa H = A + A⊥ dan A ∩ A⊥ = { 0 }.
Jelaslah bahwa A ∩ A⊥ = { 0 }
Ambil x ∈ H, karena A adalah tertutup dan conveks, oleh teorema 3.1.5. ditunjukkan bahwa ada suatu titik tunggal x ∈ A, dengan || x – x1 || = d ( x,
A )
Akan dibuktikan bahwa :
x – x1 ∈ A⊥ , andaikanlah kontradiksi maka :
x – x1 ∉ A⊥ dan pilih suatu titik y ∈ A dengan 〈 x – x1 , y 〉 ≠ 0
Karena A adalah Ruang Bagian Linier dari H, ambil α y sebagai pengganti y untuk beberapa α∈ K yang sesuai maka :
〈 x – x1 , y 〉 adalah riel.
Untuk setiap bilangan riel t dipenuhi :
|| x – x1 – ty || 2 = 〈 x – x1 – ty , x – x1 – ty 〉
= || x – x1 || 2 – 2t 〈 x – x1 , y 〉 + t2 || y || 2
Ambil t0 = || y || -2〈 x – x1 , y 〉 disini jelas y ≠ 0 ,
Sehingga persamaan menjadi :
|| x – x1 – t0y || 2 = || x – x1 || 2 - || y || -2〈 x – x1 , y 〉 2 < || x – x1 || 2
Dari x1 + t0y ∈ A ini jelas kontradiksi, maka kenyataanya adalah
|| x – x1 || = d(x,A ).
Sebagai konsekuensinya harus dipenuhi : x – x1∈ A⊥.
Dari x = x1 + ( x – x1 ) ini, terbuktilah H = A + A⊥.
Karena A ∩ A⊥ = { 0 } dan H = A + A⊥ maka terbuktilah H = A ⊕ A⊥. Lemma 3.1.9.
Andaikan A adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari H maka A = ( A⊥ )⊥.
Bukti :
Disini perlu ditunjukkan A ⊆ ( A⊥ )⊥ dan ( A⊥ )⊥ ⊆ A.
Jelaslah bahwa dari lemma 3.1.7. A ⊆ ( A⊥)⊥.
Andaikan x ∈ ( A⊥ )⊥, dengan teorema 3.1.8. diperoleh x = y + z dengan
y ∈ A dan z ∈ A⊥. Karena : 〈 y, z 〉 = 0 diperoleh : 〈 z + z 〉 = 〈 y, z 〉 + 〈 z, z 〉 = 〈 y + z , z 〉 = 〈 x, z 〉 = 0 dari sini z = 0 Ini menunjukkan bahwa ( A⊥)⊥⊆ A.
Karena A ⊆ ( A⊥ )⊥ dan ( A⊥ )⊥ ⊆ A terbuktilah :
3.2. Pembuktian Teorema Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert. Defenisi 3.2.1.
Suatu Proyeksi Orthogonal pada H adalah Proyeksi pada H yang juga merupakan Operator Linier Terbatas yang self-adjoint pada H.
Sebenarnya proyeksi Orthogonal pada H merupakan Proyeksi-proyeksi yang dihubungkan dengan penguraian jumlah langsung (direct sum decomposition) dari bentuk :
H = F ⊕ F⊥
dimana :
F adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari H
Lemma 3.2.2.
Andaikan P suatu Proyeksi Orthogonal pada H maka :
ℜ ( P )⊥ = ℜ ( I – P )
Bukti :
Andaikan x ∈ℜ ( P )⊥ maka untuk setiap y ∈ H diperoleh :
〈 Px, y 〉 = 〈 x, Py 〉 = 0
Dan dengan menggunakan lemma 2.7.3. didapat Px = 0 Dengan demikian :
x = ( I – P ) x ∈ ℜ ( I – P )
Sebaliknya andaikan pula x ∈ℜ ( I – P ) maka Px = 0 Dengan lemma 3.1.2. ( b ) dimana :
P dan I – P saling bertukar.
Jadi untuk setiap y ∈ H diperoleh :
〈 x, Py 〉 = 〈 Px, y 〉 = 0 Dengan demikian x ∈ℜ ( P )⊥. Teorema 3.2.3.
Andaikan F suatu Ruang Bagian Linier Tertutup dari H. maka ada suatu Proyeksi Orthogonal yang tunggal P pada H
dimana :
ℜ ( P ) = F Bukti :
Dengan menggunakan teorema 3.1.8. diperoleh :
H = F ⊕ F⊥ dan akibatnya dengan lemma 3.1.3. ada suatu Proyeksi tunggal P
pada H dimana :
ℜ ( P ) = F dan ℜ ( I – P ) = F⊥.
Untuk setiap x ∈ H diperoleh :
x = Px + ( I – P )x dan 〈 Px, ( I – P )x 〉 = 0 Jadi :
|| x || 2 = 〈 x, x 〉
= 〈 Px, Px 〉 + 〈 ( I – P )x, ( I – P )x 〉
= || Px || 2 + || ( I – P )x || 2
Dan oleh karena itu : || Px || ≤ || x ||.
Ini membuktikan bahwa P terbatas dan || P || ≤ 1. Misalkan x, y ∈ H maka karena :
〈 Px, ( I – P )y 〉 = 〈 ( I – P )x, Py 〉 = 0 diperoleh : 〈 Px, y 〉 = 〈 Px, Py + ( I – P )y 〉 = 〈 Px, Py 〉 = 〈 Px + ( I – P )x, Py 〉 = 〈 x, Py 〉
Ini menunjukkan bahwa :
Andaikan bahwa Q adalah satu Proyeksi Orthogonal pada H, dimana ℜ ( Q ) = F maka dengan lemma 3.2.2.
ℜ ( I – Q ) = ℜ ( Q )⊥ = F⊥
Akibatnya :
Dengan sifat tunggal dari P diperoleh P = Q. Dengan demikian :
ℜ ( P ) = F
Lemma 3.2.4.
Andaikan P adalah suatu Proyeksi Orthogonal pada H, maka : a. P ∈ S+
b. 〈 Px, x 〉 = || Px || 2 ; ∀ x ∈ H
c. || P || = 1 kecuali P = 0 Bukti :
Untuk setiap x ∈ H, diperoleh :
〈 Px, x 〉 = 〈 Px2, x 〉
= 〈 Px, Px 〉
= || Px || 2 ≥ 0
Ini membuktikan ( a ) dan ( b ), seperti dalam bukti teorema 3.2.3. bahwa : || P || ≤ 1
Anggap bahwa P ≠ 0 dan pilih x ∈ H dimana : Px ≠ 0
maka :
|| Px || = || P( Px ) || ≤ || P || || Px ||
yang memberikan || P || ≥ 1 dan ini membuktikan ( c ) yaitu : || P || = 1 dimana P ≠ 0
Teorema 3.2.5.
Andaikan P dan Q adalah Proyeksi Orthogonal pada H, maka ke –4 syarat berikut adalah equivalent.
a. ℜ ( P ) ⊆ ℜ ( Q ) b. P ≤ Q
c. P = PQ d. P = QP Bukti :
Misalkan bahwa ℜ ( P ) ⊆ ℜ ( Q ), maka untuk setiap x ∈ H diperoleh : P (x) ∈ℜ ( Q ) dari sini Px = Q ( Px )
Ini menunjukkan bahwa : P = QP
Dari pembuktian ( a ) terbuktilah ( d ). Misalkan bahwa P + QP, maka : P = P* = ( QP )* = P*Q* = PQ.
Dengan demikian dari pembuktian ( d ) terbuktilah ( c )
Andaikan bahwa P + PQ maka dengan lemma 3.2.4. bagian ( b ) dan ( c ) diperoleh. Untuk setiap x ∈ H, 〈 Px, x 〉 = || Px || 2 = || PQx || 2 ≤ || P || 2 || Qx || 2 = 〈 Qx, x 〉.
Ini menunjukkan bahwa P ≤ Q sehingga terbuktilah ( b ) dari pembuktian ( c ).
Akhirnya anggap bahwa P ≤ Q dan andaikan : x ∈ℜ ( P )
maka :
〈 x, x 〉 = 〈 Px, x 〉 ≤ 〈 Qx, x 〉
Dari sini :
〈 ( I – Q ) x, x 〉 ≤ 0
Dengan lemma 3.2.4. bagian ( a ) diperoleh :
〈 ( I – Q ) x, x 〉 ≥ 0
Akibatnya dengan lemma 3.2.4. bagian ( b ) diperoleh : || ( I – Q )x || 2 = 〈 ( I – Q )x, x 〉 = 0
Dengan demikian : x = Qx - ( I – Q )x = Qx ∈ℜ ( Q ).
Ini menunjukkan bahwa :
ℜ ( P ) ⊆ ℜ ( Q ), maka dari pembuktian ( b ) terbuktilah ( a ).
Jadi jika P dan Q adalah Proyeksi-proyeksi Orthogonal pada H yang memenuhi salah satu syarat-syarat adalah teorema diatas maka :
P = PQ
Rangkuman
Dari pembicaraan mengenai studi pembuktian teorema Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hibeert diatas, maka dapat dibuat rangkuman sebagai berikut :
1. F suatu ruang bagian linier tertutup dari Ruang Hilbert H, maka : F = H ⊕ H⊥
2. B suatu Inner Product pada E dan x, y ∈ E. B ( x, z ) = B ( y, z ).
Untuk setiap z ∈ E maka x = y.
3. E dan F Ruang Linier Bernorm, t ∈ L ( E, F ) maka Ruang Null dari T ditunjukkan dengan :
ℵ ( T ) = { x ∈ E : Tx = 0 } 4. A ≠ 0 ; A ⊆ H
Maka :
Complement Orthogonal dari A dalam H dinotasikan dengan : A⊥ = { x ∈ H : 〈 x, y 〉 = 0 ∀ y ∈ A }
5. P adalah Proyeksi Linier pada E dan P dikatakan suatu Proyeksi jika : P2 = P.
6. x ∈ H dikatakan Orthogonal terhadap titik y ∈ H jika dan hanya jika :
〈 x, y 〉 = 0 Atau :
x Orthogonal terhadap y jika dan hanya jika y Orthogonal terhadap x dimana H adalah Ruang Hilbert.
DAFTAR PUSTAKA
1. Brown, A.L. and Page, A, Element of Functional Analysis, Van Nostrad Reinhold Company, London, 1970.
2. Yosida Kosaku, Functional Analysis, Sixth Edition, Springer – Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1980.
3. Kreyzig Erwin, Introductory Functional Analysis With Applcations, John Wiley & Sons Second Edition, New York – Chichester – Brishane
Toronto 1978.
4. Limaye, Balmohan, Vishnu, Functional Analysis, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1981.
5. Rudin, Walter, Functional Analysis, Tata MC Graw Hill Publishing Company Ltd, New Delhi, 1973.
