UJI NORMALITAS DR. R A R T A U U ILMA M I ND N RA R PU P T U RI R

UJI NORMALITAS

DR. RATU ILMA INDRA PUTRI

DR. RATU ILMA INDRA PUTRI

Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan

berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal

Uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya :

-

Chi-Square

-

Kolmogorov Smirnov,

-

Lilliefors

METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI NORMAL)

Metode Chi-Square atau X2 _{untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal}

menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan.

(

)

∑

−

=

i i i

E

E

O

X

2 i

E

Keterangan : X2 _{= Nilai X}2 O_i = Nilai observasi

E_i = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)

Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal)

• Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribus frekuensi. • Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )

Signifikansi

Signifikansi uji, nilai X2 _{hitung dibandingkan dengan X}2 _{tabel (Chi-Square).}

Jika nilai X2 _{hitung < nilai X}2 _{tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.}

Jika nilai X2 _{hitung < nilai X}2 _{tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.}

TINGGI BADAN JUMLAH 140 - 144 7 145 - 149 10 150 - 154 16 155 - 159 23 Contoh :

DIAMBIL TINGGI BADAN MAHASISWA DI SUATU PERGURUAN TINGGI TAHUN 1990 155 - 159 23 160 - 164 21 165 - 169 17 170 174 6 JUMLAH 100

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean = 157.8; Standar deviasi = 8.09)

1. Hipotesis :

Ho _{: Populasi tinggi badan} mahasiswa berdistribusi normal H

1 : Populasi tinggi badan

mahasiswa tidak berdistribusi normal

2. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3. Rumus Statistik penguji

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 427 . 0 38 . 5 38 . 5 6 23 . 24 23 . 24 23 94 . 18 94 . 18 16 1 . 10 1 . 10 10 86 . 3 86 . 3 7 2 2 2 2 2 2 = − + + − + − + − + − = = − =∑ L i i i E E O X 4. Derajat Bebas Df = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2 5. Nilai tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran.

6. Daerah penolakan

- Menggunakan gambar

3. Rumus Statistik penguji

(

)

∑

−

=

i i i

E

E

O

X

2 - Menggunakan rumus |0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 7. Kesimpulan

Populasi tinggi badan mahasiswa

2. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR)

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

F(x) = Probabilitas komulatif normal F(x) = Probabilitas komulatif normal S(x) = Probabilitas komulatif empiris

PERSYARATAN

•Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

•Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi •Dapat untuk n besar maupun n kecil.

SIGNIFIKANSI

Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors. Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors pada lampiran, Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal

Contoh :

Berdasarkan data ujian statistik dari 18 mahasiswa didapatkan data sebagai berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52, 54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di

atas diambil dari populasi yang

berdistribusi normal ? Penyelesaian :

• Hipotesis

Ho _{: Populasi nilai ujian}

Ho _{: Populasi nilai ujian}

statistik berdistribusi normal H

1 : Populasi nilai ujian statistik

tidak berdistribusi normal • Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

• Statistik Penguji

• Derajat Bebas

Df tidak diperlukan

• Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 yaitu 0,2000. Tabel Lilliefors pada lampiran

• Daerah penolakan

Menggunakan rumus

| 0,1469 | < | 0,2000| ; berarti Ho diterima

• Kesimpulan

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

3. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Keterangan :

X_i = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

pada distribusi normal

F_T = Probabilitas komulatif normal F_S = Probabilitas komulatif empiris

PERSYARATAN

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

SIGINIFIKANSI

Signifikansi uji, nilai |F_T – F_S| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov.

Jika nilai |F_T – F_S| terbesar <nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai |F_T – F_S| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.

Contoh :

Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengijkuti pelatihan

kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

• Hipotesis

Ho _{: Populasi berat badan mahasiswa} berdistribusi normal

H

1 : Populasi berat badan mahasiswa

tidak berdistribusi normal • Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 • Statistik Penguji

• Derajat bebas

Df tidak diperlukan

• Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran.

• Daerah penolakan Menggunakan rumus

| 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

• Kesimpulan

Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

METODE SHAPIRO WILK

(

)

2

1









−

=

∑

k

X

X

a

T

(

)

2

∑

−

=

n









₋

+

+

=

b

c

ln

T

3

d

G

n D = Berdasarkan rumus di bawah

ai = Koefisient test Shapiro Wilk (lampiran 8)

X _n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data X _i = Angka ke i pada data

X_i = Angka ke i pada data

yang ke-i

X = Rata-rata data

G = Identik dengan nilai Z distribusi normal T3 = Berdasarkan rumus di atas b_n, c_n, d_n = Konversi Statistik Shapiro-Wilk Pendekatan Distribusi Normal (lampiran)

(

)

1 1 3

1













−

=

∑

= + − i i i n i

X

X

a

D

T

(

)

1

∑

=

−

=

n i i

X

X

D













−

−

+

+

=

3 3

1

ln

T

d

T

c

b

G

n n n

PERSYARATAN

• Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

• Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi • Data dari sampel random

SIGNIFIKANSI

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T₃ Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T₃ dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p). Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

• Hipotesis

Ho _{: Populasi usia balita} berdistribusi normal H

1 : Populasi usia balita tidak

berdistribusi normal • Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

• Rumus statistik penguji • Rumus statistik penguji

Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :

Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :

• Daerah penolakan

Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak

• Kesimpulan

Sampel diambil dari populasi normal, pada α _{= 0,05. Cara lain setelah nilai T3}

diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu : 1 ln 3 3       − − + + = T d T c b G n n n ( ) (54.6894) 0.9391 958 . 3187 1 1 2 2 1 1 3  = =      − = ∑ = + − k i i i n i X X a D T • Derajat bebas Db = n • Nilai tabel

Pada lampiran dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963 2617 . 1 9391 . 0 1 2106 . 0 9391 . 0 ln 862 . 1 605 . 5 1 ln 3 24 3 24 24 − =       − − + + − =       − − + + =   T d T c b

Hasil nilai G merupakan nilai Z pada distribusi normal, yang selanjutnya dicari nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal (lampiran). Berdasarkan nilai G = -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05 berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal.

Pengujian homogenitas adalah pengujian mengenai sama tidaknya variansi-variansi dua buah distribusi atau lebih. Uji homogenitas yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Uji

UJI HOMOGENITAS

distribusi atau lebih. Uji homogenitas yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Uji Homogenitas Variansi dan Uji Burlett. Uji homogenitas dilakukan untuk mengetahui apakah data dalam variabel X dan Y bersifat homogen atau tidak.

1. UJI HOMOGENITAS VARIANSI

Langkah-langkah menghitung uji homogenitas :

a. Mencari Varians/Standar deviasi Variabel X danY, dengan rumus :

b. Mencari F hitung dengan dari varians X danY, dengan rumus :

(

)

(

1

)

. 2 2 2 − − =

∑

∑

n n X X n S X

(

)

(

1

)

.

2 2 2

−

−

=

∑

∑

n

n

Y

Y

n

S

Y besar

S

S

F =

c. Membandingkan F_hitung dengan F_tabel pada tabel distribusi F, dengan untuk varians terbesar adalah dk pembilang n-1

untuk varians terkecil adalah dk penyebut n-1 JikaF_hitung < F_tabel, berarti homogen

JikaF_hitung > F_tabel, berarti tidak homogen

kecil

S

F =

Contoh :

Data tentang hubungan antara Penguasaan kosakata(X) dan kemampuan membaca (Y)

Kemudian dicari F_hitung :

81 . 2 39 . 7 74 . 20 = = = kecil besar S S F

Dari penghitungan diatas diperoleh Fhitung 2.81 dan dari grafik daftar distribusi F dengan dk pembilang = 10-1 = 9. Dk penyebut = 10-1 = 9. Dan α = 0.05 dan F_tabel = 3.18.

Kemudian dilakukan penghitungan, dengan rumus yang ada :

(

10 1

)

430.23 20.74 10 743 59077 . 10 2 2 = = − − = X S

(

10 1

)

54.62 7.39 10 688 47826 10 2 2 = = − − − = Y S = 3.18.

Tampak bahwa F_hitung < F_tabel. Hal ini berarti data variabel X dan Y homogen.

2. UJI BARTLETT

Misalkan samoel berukuran n₁,n₂,…,n_k dengan data Y_ij = (I = 1,2,…,k dan j = 1,2,…,n_k) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Tabel dibawah ini. selanjutnya sampel-sampel dhitung variansnya masing-masing yaitu s₁2_{, s}

22, …, sk2

Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel sebagai berikut :

Dari tabel diatas hitung nilai-nilai yang dibutuhkan : • Varians gabungan dari semua sampel

• Harga satuan B dengan rumus

(

)

(

)

∑

∑

−

−

=

1

1

2 2

n

s

n

s

i i

(

)

∑

(

−

)

=

log

s

2

n

_i

1

B

Uji bartlett digunakan statistik chi-kuadrat yaitu :

Dengan ln 10 = 2.3026

(

log

)

∑

(

_i

1

)

(

)

{

(

)

2

}

2

log

1

10

ln

B

−

∑

n

−

s

i

=

χ

SIDGIFIKANSI

Jika maka Ho ditolak

Jika maka Ho diterima

Dimana Jika didapatkan dari tabel distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = (k-1) ( )( ) 2 1 1 2 − −

≥

χ

_α k

χ

(

)(

)

2 1 1 2 − −

≤

χ

_α k

χ

(

)(

)

2 1 1−_α k−

χ

Contoh :

Diambil data pertumbuhan berat badan anak sapi karena 4 jenis makanan

Data Populasi ke 1 2 3 4 Data hasil Pengamatan 12 20 23 10 17 14 15 10 19 22 6 16 16 20 9 14 18 19

Dengan varian setiap adalah sebagai berikut :

7

.

20

,

7

.

35

,

5

.

21

,

3

.

29

₂2 ₃2 ₄2 2 1

=

s

=

s

=

s

=

s

• Hipotesis Ho = H1 =

• Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

2 4 2 3 2 2 2 1

σ

σ

σ

σ

=

=

=

2 4 2 3 2 2 2 1

σ

σ

σ

σ

≠

≠

≠

Varians gabungan dari empat sampel diatas adalah :

Sehingga log s2 _{= log 26.6 =1.4249}

(

)

(

)

(

)

(

)

6 . 26 3 3 4 4 7 . 20 4 7 . 35 3 5 . 21 4 3 . 29 4 2 = + + + + + + = s

• Rumus statistik penguji

Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel sebagai berikut :

Sehingga log s2 _{= log 26.6 =1.4249}

Dan Sehingga

(

log 2

)

(

−1

) (

= 1.4249

)( )

14 =19.9486 = s

∑

ni B

(

)

{

(

)

}

(

2.3026

)(

19.9486 198033

)

0.063 log 1 10 ln 2 2 = − = = − − = B

∑

n si

χ

• Derajat bebas dk = 3

• Nilai tabel

Jika α = 5% dari tabel distribusi chi kuadrat dengan dk = 3 didapat

χ

₀2_.95(3)

=

7

.

81

• Daerah penolakan Menggunakan rumus

0,063 < 7.81 ; berarti Ho diterima, H1 ditolak

• Kesimpulan dengan α = 0,05. 2 4 2 3 2 2 2 1

σ

σ

σ

σ

=

=

=