KULIAH 26
KULIAH 26
TRANSFORMASI LAPLACE DAN INVERSNYA
TRANSFORMASI LAPLACE DAN INVERSNYA
A. Pendahuluan A. Pendahuluan
Setelah mengikuti perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menemukan transformasiini diharapkan Saudara mampu menemukan transformasi Laplace dari suatu
Laplace dari suatu fungsi dan menentukan invfungsi dan menentukan invres tres transformasi Laplace.ransformasi Laplace. Jika fungsi variabel
Jika fungsi variabel t t ,, f f ((t t ))
eet t ddiiiinntteeggrraallkkaan n sseeppeerrtti i bbeerriikkuutt
0 0 00 )) (( )) 1 1 (( !! )) ((t t t t dt dt t t ee dt dt p p p p F F pp f f p p p p t tyakni diperoleh suatu fungsi yang merupakan fungsi dari variabel
yakni diperoleh suatu fungsi yang merupakan fungsi dari variabel p, F p, F (( p p); maka); maka F F (( p p) merupakan) merupakan transformasi integral dari
transformasi integral dari f f ((t t ) atau sebaliknya,) atau sebaliknya, f f ((t t ) adalah invers tranformasi dari) adalah invers tranformasi dari F F (( p p)) B. Transformasi Laplace
B. Transformasi Laplace Transformasi Laplace dari
Transformasi Laplace dari f f ((t t ) dilambangkan dengan) dilambangkan dengan L L(( f f ) atau) atau F F (( p p):):
0 0 )) (( )) (( )) (( f f f f t t ee dt dt F F pp L L pt pt (26.1)(26.1) dengandengan f f ((t t ) = 0 untuk t < 0 (banyak definisi yang dipergunakan; perlu kehat) = 0 untuk t < 0 (banyak definisi yang dipergunakan; perlu kehat i-hatian ketikai-hatian ketika menggunakannya).
menggunakannya). Sebagai contoh,
Sebagai contoh, f f ((t t ))
11 maka transformasi Laplace dari maka transformasi Laplace dari f f ((t t ) adalah) adalahp p ee p p dt dt ee f f L L pt pt pt pt 11 0 0 1 1 )) (( 0 0
(26.2)(26.2) dengandengan p p > 0 (jika p bila > 0 (jika p bilangan kompleks, maka Rengan kompleks, maka Re p p > 0). > 0). Jika
Jika f f ( ( t t ))
eeat at mmaakka a ttrraannssffoorrmmaassi i LLaappllaacce e ddaarrii f f ((t t ) adalah) adalah p p a a t t ee p p a a dt dt ee f f L L aa p p t t aa p p t t
11 00 11 )) (( (( )) 0 0 )) (( (26.3)(26.3) dengan ( dengan (aa + + p p) > 0) > 0Beberapa kaidah pada transformasi Laplace Beberapa kaidah pada transformasi Laplace 1.
1. Transformasi Laplace dari jumlah dua Transformasi Laplace dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari transformasifungsi sama dengan jumlah dari transformasi Laplacenya. Hal dapat dibuktikan sebagai berikut
Laplacenya. Hal dapat dibuktikan sebagai berikut
0 0 )] )] (( )) (( [[ )] )] (( )) (( [[ f f t t gg t t f f t t gg t t ee dt dt L L pt pt
0 0 0 0 )) (( )) (( )] )] (( )) (( [[ f f t t gg t t f f t t ee dt dt gg t t ee dt dt L L pt pt pt pt )) (( )) (( )] )] (( )) (( [[ f f t t gg t t L L f f L L gg L L
(26.4)(26.4) 2.2. Transformasi Laplace dari konstanta kaTransformasi Laplace dari konstanta ka li suatu fungsi sama dengan konstanta kali transforli suatu fungsi sama dengan konstanta kali transfor masimasi Laplace dari fungsi tersebut
Laplace dari fungsi tersebut
0 0 00 )) (( )] )] (( [[ )] )] (( [[cf cf t t cf cf t t ee dt dt cc f f t t ee dt dt L L pt pt pt pt )) (( )] )] (( [[cf cf t t cLcL f f L L
(26.5)(26.5)Sebagai ilustrasi diberikan contoh sebagai berikut;
Sebagai ilustrasi diberikan contoh sebagai berikut; jika pada (26.3)jika pada (26.3) aa d diganti iganti dengan dengan – – iaia maka maka at at ii at at ee t t f
f (( ))
iat iat
coscos
sinsin dan transformasi Laplacenya adalahdan transformasi Laplacenya adalah2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 )) (( a a p p a a ii a a p p p p ia ia p p p p F F
Dengan demikian dapat dituliskan Dengan demikian dapat dituliskan
)) (sin (sin )) (cos (cos )) sin sin (cos (cos ))
((ee L L at at ii at at L L at at iLiL at at L L iat iat
22 22 22 22 a a p p a a ii a a p p p p
(26.6)(26.6) JikaJika aa diganti dengan diganti dengan iaia maka maka f f ((t t ))
eeiat iat
coscosat at
iisinsinat at dan transformasi Laplacenya adalah dan transformasi Laplacenya adalah2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 )) (( a a p p a a ii a a p p p p ia ia p p p p F F
Dengan demikian dapat dituliskan Dengan demikian dapat dituliskan
)) (sin (sin )) (cos (cos )) sin sin (cos (cos ))
((ee L L at at ii at at L L at at iLiL at at L L iat iat
22 22 22 22 a a p p a a ii a a p p p p
(26.7)(26.7)Jika (26.6) ditambah (26.7) maka dapat diperoleh hasil Jika (26.6) ditambah (26.7) maka dapat diperoleh hasil
2 2 2 2 )) (cos (cos a a p p p p at at L L
(26.8)(26.8)yang merupakan pembuktian L4 (lihat Tabel 1) yang merupakan pembuktian L4 (lihat Tabel 1)
Jika (26.6) dikurangi dengan (26.7) maka dapat diperoleh hasil Jika (26.6) dikurangi dengan (26.7) maka dapat diperoleh hasil
2 2 2 2 )) (sin (sin a a p p a a at at L L
(26.9)(26.9)yang merupakan pembuktian L3 yang merupakan pembuktian L3
Jika pers (26.8) dituliskan secara
Jika pers (26.8) dituliskan secara lengkaplengkap 22 22
0 0 cos cos )) (cos (cos a a p p p p dt dt at at ee at at L L pt pt
kemudian didiferensialkan terhadap
kemudian didiferensialkan terhadap aa maka akan diperoleh maka akan diperoleh
22 22
22 0 0 2 2 si sinn )) si sinn (( a a p p ap ap dt dt at at t t ee at at t t L L pt pt
(26.10)(26.10)yang merupakan pembuktian L11. yang merupakan pembuktian L11.
Beberapa hasil transformasi Laplace
Beberapa hasil transformasi Laplace ditunjukkan oleh Tabel 1.ditunjukkan oleh Tabel 1. Tabel 1. Transformasi Laplace Tabel 1. Transformasi Laplace Kode
Kode y y
f f ((t t ););t t
00 0 0 ;; 0 0 )) ((
f f t t t t y y
0 0 )) (( )) (( ))(( y y Y Y F F p p f f t t ee dt dt L L pt pt PersyaratanPersyaratan L1 L1 11 p p 1 1 0 0 Re Re p p
L2 L2 at at ee a a p p
1 1 0 0 )) Re(Re( p p
a a
L3
L3 sinsinat at 22 22
a a p p a a
ReRe p p
ImImaa L4L4 coscosat at 22 22
a a p p p p
ReRe p p
ImImaa L5 L5 t t k k ;; k k
11 k k !!11 p p k k atau atau
(( k k
1111)) p p k k 0 0 )) Re(Re( p p
a a
L6 L6 t t k k eeat at ;; k k
11
11 !!
k k a a p p k k atau atau
11 )) 1 1 ((
k k a a p p k k 0 0 )) Re(Re( p p
a a
L7 L7 a a b b ee ee at at bt bt
p p
aa
p p
bb 1 1 Re(Re( p p
aa))
00 0 0 )) Re( Re( p p
bb
Kode y
f (t );t
0 0 ; 0 ) (
f t t y
0 ) ( ) ( ) ( y Y F p f t e dt L pt Persyaratan L8 b a be ae at bt
p a
p b
p
0 ) Re( p
a
0 ) Re( p
b
L9 sinh at 2 2 a p a
Re p
Rea L10 coshat 2 2 a p p
Re p
Rea L11 t sinat
2 2
2 2 a p ap
Re p
Ima L12 t cosat
2 2
2 2 2 a p a p
a p Im Re
L13 eat sinbt
2 2 b a p b
Re
p
a
Imb L14 eat cosbt
2 2 b a p a p
p a
Imb Re
L15 1
cosat
2 2
2 a p p a
Re p
ImaL16 at
sinat
2 2
2 3 a p p a
Re p
ImaL17 sinat
at cosat
2 2
2 3 2 a p a
Re p
Ima L18 eat
1
at
2 a p p
Re( p
a)
0 L19 t at sin p a arctan Re p
Ima L20 t bt at cos sin 0 ; 0
b a
p b a p b a arctan arctan 2 1 0 ) Re( p
a
L21 t e eat
bt
p a
b p
ln Re( p
a)
0 0 ) Re( p
b
L22
t a erf 2 1 0
a p a e p 1 0 Re p
L23 J 0(at ) 21 2 a p
a p Im Re
jika a real
0 0 Rea
Kode y
f (t );t
0 0 ; 0 ) (
f t t y
0 ) ( ) ( ) ( y Y F p f t e dt L pt Persyaratan L24
a t a t t f , 0 0 , 1 ) ( [fungsi berundak, dituliskan f (t )
u(t
a)] pa e p 1 0 Re p
L25 f (t )
u(t
a)
u(t
b) p e eap
bp p Setiap L26
2 tanh 1 ap p Re p
0 L27 (t
a); a
0 pa e L28
a t a t a t g t f , 0 0 ), ( ) ( ) ( ) ( ) (t g t a u t a f
) ( p G epa ) ( p G adalah L(g) L29 eat g(t ) G( p
a) L30 g(ta); a
0
a p G a 1 L31 t t g( ) dapat diintegralkan
p du u G( ) L32 t ng(t ) n n n dp p G d ( ) ) 1 (
L33
t d g 0 ) ( G
p p 1 L34
t g t h d 0 ) ( ) (
t d g t h 0 ) ( ) ( (konvolusi, g*h)
p H ( p) G L35Transformasi dari turunan
n y y y y
1 0 0 2 0 1 0 0 0 2 3 0 0 2 0 ... ) ( ) ( ) ( ) (
n n n n n y y p y p Y p y L y y p y p Y p y L y py Y p y L y pY y L 1 b a t 1 2a a t -1 3aInvers dari transformasi Laplace ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk seperti bentuk dalam table kemudian menemukan fungsinya dari Tabel 1. Sebagai contoh, invers dari
2 2 1
p padalah ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk
2 2 2 2 2 1 2 1
p p p p pDengan membandingkan suku pertama dengan L6 pada Tabel 1 dapat diperoleh bahwa 1
k and a
2; sehingga invers dari suku pertama adalah f
t
te2t . Dengan cara yang sama invers suku kedua dapat diperoleh dengan membandingkannya dengan L18 untuk memperoleh2
a sehingga invers suku kedua adalah f
t
e2t
1
2t . Dengan demikian invers dari
2 2 1
p p adalah f
t
te2t
e2t
1
2t
e2t 1
t (26.11) Soal-soal 261. Tulislah L2 dalam bentuk
p a dt e a p t
1 0dan kemudian diferensialkan terhadap p untuk
membuktikan L5 and L6. Tunjukkan bahwa
p t L
1 2. Dengan menggunakan L2, buktikan L7 dan L83. Dengan menggunakan L2 atau L3 dan L4 buktikan L9 dan L10 4. Dengan pendiferensialan suatu formula terhadap a buktikan L12 5. Dengan pengintegrlan suatu formula terhadap a buktikan L19
6. Dengan mengganti a pada L2 dengan a + ib dan kemudian dengan a – ib dan penjumlahan dan pengurangan hasilnya, buktikan L13 dan L14
7. Buktikan L15, L16, L17, dan L18 dengan kombinasi formula-formula yang cocok
8. Tunjukkan bahwa kombinasi antara L3 dengan L10, L13, L14, dan L18 akan memberikan invers transformasi dari suatu fungsi yang berbentuk
E Dp Cp B Ap
29. Buktikan L32 untuk n = 1 (diferensialkan persamaan (26.1) t erhadap p) 10. Gunakan L32 dan L3 untuk membuktikan L11
11. Gunakan L32 dan L11 untuk memperoleh L(t 2sinat ) 12. Gunakan L31 untuk membuktikan L21
13. Buktikan L29dengan formula transformasi Laplace (26.1) 14. Gunakan L29 untuk membuktikan L6, L13, L14, dan L18
15. Gunakan L29 dan L11 untuk memperoleh L(teat sinat ) dan L(teat cosat ) yang tidak terdapat pada tabel.
16. Buatlah grafik sin ;t sin(t
/2); sin(t
/2) dan amatilah bagaimana grafik bergeser 17. Gunakan L28 untuk menentukan transformasi Laplace dari
2 / , 0 2 / ), 2 / sin( ) ( t t t t f18. Tentukan transformasi dari
v x t v x t vt x t f / , 0 / ), sin( ) ( ( x dan v konstan)19. Gunakan L28 untuk menunjukkan bahwa
0
0( dt t ) 1
J
20. Gunakan L15 dan L31 untuk menentukan transformasi Laplace dari
t at cos
1 .21. Gunakan L32 dan L9 untuk menentukan transformasi Laplace dari t sinhat . 22. Gunakan L13 untuk menentukan transformasi Laplace dari sinat sinhat . 23. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung
0 4 3 2 dt t sinh e t t
24. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung
0 1 2 1 n n n t n dt te25. Gunakan L23 dan L34 dengan g
h
J 0untuk menunjukkan fungsi J 0
t dan J 0
n
t
adalah orthogonal pada
0 ,
.Tentukan invers transformasi Laplace dari 26.
2 2 8
p p (gunakan L6 & L18) 27. 2 2 5 2
p p p (use L7 and L8) 28. 2 5 3 2 3 2
p p p 29. 10 2 1 2 2
p p p (gunakan L13 & L14) 30. 25 10 3 2
p p 31. 20 4 6 2
p p p 32. 4 4 3
p p 33. 1 1 4
p 34.
1
1 2
p p p 35. 16 4 3
p p 36. 8 3 3 2
p p 37.
1
1 2
p p 38. 6 64 5
p p 39.
2 2 1 1
p p p 40. 1 4
p p 41.
3 a p p
42.
2 2
2 2 a p p
43.
2 2
3 1 a p
44.
2 2
1 a p
45. ( 1) 2
p pe p 46. 5 4 1 2 2 2
p p p p 47.
2 1 2 4
2
p p p 48.
p
1
p2
4
p 49. 2 2 p e p . (gunakan L5&L7)KULIAH 27
Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace
A. Pendahuluan
Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan transformasi Laplace.
B. Solusi Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace
Pada saat menyelesaikan PDB dengan sisi kanan tidak sama dengan nol akan ditemui dua hal yakni banyak kerja untuk menemukan solusinya dan yang ditemukan adalah solusi umum sehingga untuk menentukan solusi khusus harus dilakukan per hitungan dengan memasukkan syarat awal yang diberikan. Salah satu cara untuk menyederhanakan kesulitan ini adalah dengan menggunakan transformasi Laplace.
Transformasi Laplace dari
dt dy y
adalah
0 ) ( y ye dt L ptDengan menggunakan integral parsial u
e
pt sehingga du
pe
pt dt dan dv
y
dt sehingga yv
maka dapat diperoleh
0 0 0 ) ( )( y ye dt e y t p ye dt
L pt pt pt 0 ) ( ) 0 ( )
( y y pL y pY y
L
(dengan L( y)
Y dan y(0)
y0). Dengan cara yang sama maka) ( ) 0 ( ) ( y y pL y L
0 0 2 0 0 ( ) )( y y p pY y p Y py y
L
Dengan melanjutkan untuk turunan yang lebih t inggi maka akan diperoleh sebagaimana L35 pada Tabel 1.
Contoh 1
Tentukan solusi dari y
4 y
4 y
t 2e2t jika y0
0; y0
0.Gunakan L35 yakni L( y
4 y
4 y)
p2Y
py0
y0
4 pY
4 y0
4Y dan L6 yakni
3 2 2 2 2 ) (
p e t L t untuk memperoleh
3 0 0 2 2 2 ) 4 4 (
p y y p Y p p Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan
3 2 2 2 ) 4 4 (
p Y p p atau
5 2 2
p YSetelah menemukan Y , langkah berikutnya adalah menentukan y dengan invers transformasi. Dengan L6 maka diperoleh solusi PDB yaitu
12 ! 4 2t 4e 2t t 4e 2t y
Contoh 2Gunakan L35 yakni L( y
4 y)
p2Y
py0
y0
4Y dan L3 yaitu 4 2 ) 2 (sin 2
p t L untuk mendapatkan 4 2 ) 4 ( 2 0 0 2
p y py Y pSubstitusikan syarat awal untuk mendapatkan
4 2 10 ) 4 ( 2 2
p p Y p atau
2
2 2 4 2 4 10
p p p YDengan bantuan L4 dan L17 diperoleh invers transformasinya sebagai solusi dari PDB yakni ) 2 cos 2 2 (sin 8 1 2 cos 10 t t t t y
t t t t y cos2 4 2 sin 8 1 2 cos 10
Pada kedua contoh ini, invers transformasi langsung dapat dilihat pada tabel karena bentuknya sederhana. Adakalanya bentuk terpisah (seperti contoh 2) dapat ditemukan pada tabel sehingga tidak perlu digabungkan. Sebagai ilustrasi diambil contoh 2;
2
2 2 4 2 4 10
p p pY dapat langsung
ditemukan pada tabel tetapi bila digabungkan;
2
2 3 4 2 40 10
p p pY malah tidak dapat ditemukan
pada tabel.
Adakalanya hasil penggabungan ditemukan pada tabel seda ngkan bentuk terpisahnya malah tidak ditemukan pada tabel. Contoh
3 3 4 1 1 1 3 4 1 1 2 2 p p p p p Y ) 3 )( 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1
p p p p p p Y Contoh 3Tentukan solusi dari y
4 y
13 y
20et jika y0 1
; y0
3.Gunakan L35 yaitu L( y
4 y
13 y)
p2Y
py0
y0
4 pY
4 y0
13Y dan L21 20 ) 20 (
p e L t untuk memperoleh 1 20 13 4 4 0 0 0 2
p Y y pY y py Y pSubstitusikan syarat awal untuk mendapatkan
1 20 13 4 4 3 2
p Y pY p Y p
7 1 20 13 4 1 2 p p p p Y
1
4 13
27 8 2 2
p p p p p Y
1
2
9
27 8 2 2
p p p p YBentuk ini belum dapat ditemukan pada tabel, tetapi dengan pengubahan penyebutnya agar seperti penyebut pada L2, L13 atau L14 maka akan dapat ditentukan inversnya. Cara pengubahan
penyebutnya adalah sebagai berikut.
1
4 13
1 4 13 27 8 2 2 2
p p C Bp p A p p p p pDengan prinsip penyamaan pada penyebutnya, maka diperoleh ) )( 1 ( ) 13 4 ( 27 8 2 2 C Bp p p p A p p
) 13 ( ) 4 ( ) ( 27 8 2 2 C A p C B A p B A p p
Persamaan ini benar jika dipenuhi 1
BA dan 4 A
B
C
8 dan 13 A
C
27 sehingga diperoleh A
2, B
1, dan C
1. Dengan demikian diperoleh
2 9
1 1 2 2
p p p Y
2
9
2 9 2 3 1 2 9 2 2 3 1 2 2 2 2
p p p p p p p YDengan menggunakan L2, L13 dan L14 akan diperoleh t
e t e
e
y
2 t
2t sin3
2t cos3 Contoh 4Tentukan solusi dari set PDB yang tergandeng berikut 0 2
y z y 0 2
y z z jika y0
1; z0
0.Transformasi Laplace dari masing-masing PDB Z Y y pY z y y L(
2
)
0
2
z y z
pZ z Y Z L
2
0
2Substitusi syarat awal akan menghasilkan 1 ) 2 ( p
Y
Z
0 ) 2 (
p Z YDua persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara substitusi, eliminasi, determinan atau cara yang lain. Jika diselesaikan dengan cara eliminasi, maka kalikan persamaan pertama dengan ( p
2) kemudian tambahkan dengan persamaan kedua untuk memperoleh
2
1 2 2
p p Y dan
2
1 1 2
p ZDengan L14 akan diperoleh y
e2t cost dan dengan L13 akan diperoleh z
e2t sintCara lain untuk memperoleh z adalah dengan menggunakan PDB, misal PDB yang pertama t e t e t e t e y y
z
2
2 2t cos
2 2t cos
2t sin
2t sinSelain untuk menyelesaikan persamaan diferensial, transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan integral.
Contoh 5
0 2 1 cos3 dt te t dapat ditentukan dengan menggunakan L15 untuk p
2;a
3 :
0 2 2 2 2 26 9 ) 3 2 ( 2 3 3 cos 1 t dt e tSoal - Soal 27
Tentukan solusi PDB dengan syarat awal yang diberikan dengan transformasi Laplace
1. y
y
2et dengan y0
0 2. y
4 y
4 y
e2t dengan y0
0; y0
4 3. y
y
sint dengan y0
1; y
0
0 4. y
y
sint dengan y0
0;2 1
0
y
5. y
6 y
9 y
te3t dengan y0
0; y0
5 6. y
4 y
4y
4 dengan y0
0; y0
2 7. y
16 y
8cos4t dengan y0
0; y0
0 8. y
16 y
8cos4t dengan y0
0; y0
8 9. y
4 y
4 y
6e2t dengan y0
0; y
0
0 10. y
4 y
4e2t dengan y0
0; y0
1 11. y
y
et
2 tet dengan y0
1; y
0
2 12. y
y
5sinh2t dengan y0
0; y0
2 13. y
4 y
4te2t dengan y0
0; y0
1 14. y
9 y
cos3t dengan y0
0; y0
6 15. y
9 y
cos3t dengan y0
2; y0
0 16. y
5 y
6y
12 dengan y0
2; y0
0 17. y
4 y
3et dengan y0
1; y0
3 18. y
y
5 y
e2t dengan y0
1; y0
2 19. y
8 y
16 y
32t dengan y0
1; y0
2 20. y
4 y
5 y
26e3t dengan y0
1; y0
5 21. y
2 y
5 y
10cost dengan y0
2; y0
1 22. y
2 y
5 y
10cost ; y0
0; y0
3 23. y
2 y
y
2cost dengan y0
5; y
0
2 24. y
4 y
5 y
2e2t cost ; y0
0; y0
3 25. y
2 y
10 y
6et cos3t dengan y0
0; y0
1Tentukan solusi dari set PDB berikut dengan metode transfor masi Laplace 26. y
z
3z
0 y0
y0
00
z y 43 0
z27. y
z
2cost y0
1 1
y z z0
1 28. y
z
2y
1 y0
z0
1 t y z
29. y
2z
1 y0
0 t z y 2 2
z0
1 30. y
z
z
0 y0
0; y0
1 t e z z y
2
1
z0
1; z0
1 31. z
2y
0 y0
z0
0 2 2
z y 32. y
z
y
cost y0
y0
00 2
y z y z0
0Hitunglah integral berikut dengan menggunakan transformasi Laplace 33.
0 2 3 sin t dt e t 34.
0 5 sin t dt te t 35.
0 3 2 sin dt t t e t 36.
0 2 5 dt e t t 37.
0 2 cos 1 t dt e t 38.
0 2 dt t e e t t 39.
0 2 2 dt t e e t et 40.
0 2 2 sin 1 dt t e t t 41.
0 3 cos 2 sin 1 dt t t e t t 42.
0 0(2t )e dt tJ tTentukan persamaan diferensial berikut dengan transformasi Laplace 43. y
y
sec2tKULIAH 28
Transformasi Fourier
A. Pendahuluan
Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial, sin, dan cos dari fungsi tidak periodik.
B. Transformasi Fourier
Untuk pembandingan, deret Fourier bentuk kompleks sebagaimana telah dibahas pada Bab I didefinisikan sebagai berikut.
n l x in ne c f(x) (28.1)
l l l x in n f(x) e dx l c 2 1 (28.2)Transformasi Fourier bentuk eksponensial ident ik dengan deret Fourier bentuk eksponensial. Transformasi Fourier didefinisikan sebagai berikut.
g e d x f ( ) ( ) i x
f x e dx g i x ( ) 2 1 ) (
d x i e g x f ( ) 2 1 ) (
f x e i xdx g ( ) 2 1 ) (
g ei xd x f ( ) ( ) (28.2a)
f x e i xdx g( ) ( ) (28.2b) ) ( xf dan g( ) adalah pasangan transformasi Fourier. Pada umumnya g( ) adalah transformasi Fourier dari f ( x) dan f ( x) adalah invers transformasi Fourier dari g( ). Namun karena dua integral hanya berbeda sedikit pada tanda eksponensial maka keduanya dapat dipertukarkan atau secara sederhana salah satu adalah tansformasi Fourier dari yang lain.
Untuk penerapan pada fisika pasangan variabel x
menjadi pasangan variabel x
k ; px
atau t
atau sehingga bentuk transformasi Fourier menjadi
g k eikxdk x f ( ) ( )
f x e ikxdx k g ( ) 2 1 ) (
g k eikxdk x f ( ) 2 1 ) (
f x e ikxdx k g ( ) 2 1 ) (
g k eikxdk x f ( ) ( ) (D3.a)
f x e ikxdx k g( ) ( ) (D3.b) Jika h p k
2 ; f ( x)
(x); dan ( ) 2 ) (k h p g
maka
p e ipx hdp h x) 2 ( ) 2 / (
x e ipx hdx h p ( ) 2 / 2 1 ) (
p e ipx hdp h x) 1 ( ) 2 / (
x e ipx hdx h p) 1 ( ) 2 / (
p e ipx hdp h x) 2 ( ) 2 / (
x e ipx hdx h p) 2 ( ) 2 / (
g ei t d t f ( ) ( )
f t e i t dt g ( ) 2 1 ) (
d t i e g t f ( ) 2 1 ) (
f t e i t dt g ( ) 2 1 ) (
g ei t d t f ( ) ( ) (D4.a)
f t e i t dt g( ) ( ) (D4.b)1. Transformasi Fourier Bentuk Sin Jika f ( x) fungsi ganjil maka
0 sin ) ( 2 ) ( g xd x f s s (28.5a)
0 sin ) ( 2 ) ( f x xdx gs s (28.5b)2. Transformasi Fourier bentuk cos Jika f ( x) fungsi genap maka
0 cos ) ( 2 ) ( x g xdx f c c (28.6a)
0 cos ) ( 2 ) ( f x xdx gc c (28.6b)Jika suatu fungsi diberikan pada x
0, maka dapat ditentukan transformasi Fourier bentuk s in atau bentuk cos dengan mengembangkannya menjadi fungsi ganjil atau genap. Hal tersebut juga dapatditentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial jika pada interval lain bernilai nol. Contoh 1
Sebuah fungsi rektanguler non periodik diberikan oleh
1 , 0 1 1 , 1 ) ( x x x f (D7.a)memiliki transformasi Fourier sebagai berikut
1 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( f x e i xdx e i xdx g sin 2 1 ) ( 1 1
i e g x i (D7.b) Fungsi sindidefinisikan sebagai fungsi sinc .
sinc memiliki sifat
sinc 0 = 1
sinc n = 0 untuk n integer
sin
1 d cJadi dapat disimpulkan bahwa transformasi dari fungsi rekatanguler adalah fungsi sinc. Contoh 2
Untuk menentukan nilai integral tertentu, jika disubstitusikan g( ) dalam persamaan (D7.b) ke dalam f ( x) dalam persamaan (D7.a) maka diperoleh
0 cos sin 2 ) ( ) ( e d x d g x f i x .Dengan demikian hasil ini dapat digunakan untuk menentukan nilai dari
1 -1 1 sinc Gambar 1b Gambar 1a
sinc 2 Gambar 2b 1 1 Gambar 2a ) ( 2 cos sin 0 x f d x
(28.8a)Jika f ( x) adalah fungsi rektanguler sebagaimana gambar atas pada contoh 1 maka
1 0 1 4 1 2 ) ( 2 cos sin 0 x untuk x untuk x untuk x f d x (28.8b)(pada x = 1 nilai konvergensi f ( x) adalah pada titik tengahnya). Untuk x = 0 maka 2 sin 0
d . (28.8c)Sebagaimana kita pelajari pada Bab I bahwa kita dapat menentukan deret Fourier cos atau deret Fourier sisn dari suatu fungsi yang diberikan hanya pada interval x
0 dengan caramengembangkannya menjadi fungsi genap atau fungsi ganjil. Dengan cara yang sama, transformasi Fourier yang diberikan pada interval x
0 dapat dijadikan menjadi transformasi Fourier cosdengan mengembangkannya ke arah x
0 untuk menjadi fungsi genap. Kita juga dapat menentukan transformasi Fourier sin dengan menjadikannya fungsi ganjil pada x
0 Contoh 3Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi di bawah ini (lihat gambar 2a)
1 0 1 0 1 x , x , ) x ( f (28.9)Kita kembangkan fungsi pada daerah x
0sehingga menjadi fungsi genap (fungsi ini sama dengan fungsi pada contoh 1). Oleh karenanya kita akan mendapatkan hasil yang sama se bagaimana pada persamaan in (28.8a). Untuk membuktikannya, kita tentukan transformasi Fourier bentuk cossebagai berikut
1
0 0 2 2 dx x cos dx x cos x f gc c
sin x sin gc 2 2 0 1 (see Figure 2b) (28.10)Substitusikan (28.9b) ke dalam f ( x) pada (28.5a) untuk memperoleh
0 2 d x cos sin d x cos g x f c .
x f d x cos sin c 2 0
(28.11) (sebagaimana (28.8a))1 1 Gambar 3 – 1 – 1 Contoh 4
Tentukan transform Fourier bentuk sin dari fungsi pada co ntoh 3. Untuk itu, kita kembangkan fungsi pada x
0sehingga menjadi fungsi ganjil seperti ditunjukkan Gambar 3 di samping.Transform Fourier bentuk sin ditentukan sebagai berikut
1
0 0 2 2 dx x sin dx x sin x f gs s
cos x cos gs 2 2 1 0 1 (28.12)Substitusikan (28.12) ke dalam f ( x) pada (28.6a) untuk memperoleh
0 0 1 2 2 d x sin cos d x sin g x f s s (28.13a)Kita dapat menggunakan (28.13a) untuk menghitung integral t ertenti. Dengan menggunakan )
( x
f pada gambar di atas, kita peroleh
1 , 4 1 , 0 , 0 1 0 , 2 0 1 , 2 2 sin cos 1 0 x x x x x x f d x s (28.13b)Untuk x = 1, kita peroleh
4 1 0
d sin cos (28.13c) Soal – Soal 281. Turunkan bentuk transformasi Fourier cos. 2. Kerjakan seperti contoh jika fungsi f ( x) adalah
1 , 0 1 0 , 1 ) ( x x x fTentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x) yang diberikan dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (setelah g( ) disubstitusikan)
3.
x x x x f , 0 0 , 1 0 , 1 ) ( 4.
selainnya x x f , 0 2 / , 1 ) ( 5.
selainnya x x f , 0 1 0 , 1 ) ( 6.
1 , 0 1 , ) ( x x x x f 7.
1 , 0 1 , ) ( x x x x f 8.
selainnya x x x f , 0 1 0 , ) (9. 10. 11.
2 / , 0 2 / 2 / , cos ) ( x x x x f 12.
2 / , 0 2 / , sin ) ( x x x x fTentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (setelah g( ) disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimana
yang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial.
12. soal no 4 13. soal no 7 14. soal no 9 15. soal no 11
Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan f ( x) sebagai bentuk integral (setelah g( ) disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimana
yang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial.
16. soal no 3 17. soal no 6 18. soal no 10 19. soal no 12
20. Tentukan transformasi Fourier dari )
2 2 /( 2 ) ( x e x f
21. Tunjukkan bahwa
1 , 0 1 1 , 2 sin ) ( 0 1 x x x d x j 22. Tunjukkan bahwa 2 sin cos 1 0
d ; 4 sin cos 1 0
d23. (a). Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x)
e x (jawabnya adalahx e x
cos 1 2 0 2 ); (b) Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari soal a; (c) Tentukan
transformasi Fourier bentuk cos dari 2 1 1 ) ( x x f
24. (a) Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari
selainnya x x x f , 0 0 , sin ) ( ;(b) Tunjukkan bahwa hasil soal a adalah
0 2 1 ) ( cos cos 1 ) ( d x x x f 25. Tunjukkan bahwa 2 cos 1 0 2
dTentukan (a) transformasi Fourier bentuk cos, (b) transfor masi Fourier bentuk sin dari 26.
2 / , 0 2 / 0 , 1 ) ( x x x f 27.
4 , 2 0 , 0 4 2 , 1 ) ( x x x x f 2a -a a 2a -a a -2a28.
3 , 0 3 2 , 1 2 0 , 1 ) ( x x x x f 29.
2 , 0 2 0 , 2 / 1 ) ( x x x x f 30. Diberikan
2 0 1 0 2 1 x , x , xf . Tentukan transformasi Fourier eksponensial g
.Tuliskan f
x sebagai integral dan gunakan hasilnya untuk menghitung
0 2 1 2 d sin cos 31. Diberikan
2 0 2 1 2 1 0 x , x , x x , x xf . Tentukan transformasi Fourier cos g
. Tuliskan f
xsebagai integral dan gunakan hasilnya untuk menghitung
0 2 2 2 2 d / sin cos32. Dengan pengubahan variable z
x tunjukkan bahwa transformasi Fourier sin dari x1 / 2 adalah
1 / 2 33. Gunakan
2 0 0 2 / d sin x cos xJ untuk menunjukkan bahwa transformasi Fourier cos dari
x J 0 adalah
1 0 1 0 1 1 2 2 , , , . Tunjukkan bahwa
0 0 x dx 1 J34. Gunakan tabel transformasi Laplave untuk menentukan transformasi Fourier sin dan cos dari
x
e dan xe x
35. Tentukan transformasi Fourier eksponensial dari
a x , a x , x a x f 2 0 2 236. Buktikan teorema pergeseran atau translasi transformasi Fourier berikut ini. Jika g
adalah transformasi Fourier dari f
x makaa. transformasi Fourier dari f
x
a
adalah eiag
b. transformasi Fourier dari eix f
x adalah g
KULIAH 29
Konvolusi
A. Pendahuluan
Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Four ier dari konvolusi, transformasi Laplace dari konvolusi dan menerapkan teorema Parseval untuk
menyelesaiakan permasalahan yang terkait. B. Definisi Konvolusi
Konvolusi fungsi g
t dan h
t didefinisikan sebagai berikut
t d h t g t h t g t f 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (29.1)Pengertian konvolusi diilustrasikan oleh gambar di bawah. Fungsi h
t ditunjukkan oleh gambar 4a di bawah ini. Anggao g
t adalah fungsi tidak simetris sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 4b. Fungsi h
, fungsi yang digeser g
t
dan perkalian fungsi g
t
h
ditunjukkan oleh gambar 4c. Konvolusi g
t dan h
t adalah f
t yang ditunjukkan oleh gambar d. Konvolusi ini adalah luas dibawah kurva perkalian fungsi g
t
h
untuk seluruh nilai t . Hasil perkaliannya tidak nol hanya pada daerah g
t
yang tidak nol yaitu daerah di mana kedua kurva t umpang tindih. h(t) t g(t) t f(t) h() g(t-) h()g(t-) Gb 4 d c b aSebagai contoh, jika g(t )
e3t dan h(t )
e2t maka tentukan g(t )
h(t ) dan h(t )
g(t ) Karena
t d h t g t h t g 0 ) ( ) ( ) ( )( maka berdasarkan soal yang diberikan
) ( 3
)
(t
e t g dan h( )
e2 sehingga dapat diperoleht t t t t t e e d e e d e e t h t g 3 2 0 3 0 2 ) ( 3 ) ( ) (
Karena
t d g t h t g t h 0 ) ( ) ( ) ( )( maka berdasarkan soal yang diberikan
) ( 2
)
(t
e t h dan g( )
e3 sehingga dapat diperoleht t t t t t e e d e e d e e t g t h 3 2 0 2 0 3 ) ( 2 ) ( ) (
Dengan demikian terlihat bahwa g(t )
h(t )= h(t )
g(t ) 1. Transformasi Laplace dari KonvolusiJika G( p) dan H ( p) adalah transformasi Laplace dari g(t ) dan h(t ) maka berdasarkan definisi dapat diperoleh
0 0 ) ( . ) ( ) ( ) ( p H p g t e dt h t e dt G pt pt (29.2)Karena variabel adalah variabel dummy maka bentuk di atas dapat dituliskan dengan variabel lain
0 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( p H p g e d h e d e g h d d G p p p (29.3)Dengan pengubahan variabel t
pada integrasi terhadap (variabel tetap) maka dapat diperoleh d
dt , batas integralnya menjadi t
(saat
0) dant
(saat
), dan
0 ) ( ) ( ) ( ) ( t pt d dt h t g e p H p G (29.4)Integral lipat dua dalam persamaan (29.4) dilakukan pada luasan segitiga pada kuadran pertama di bawah garis t
(lihat gambar 5). Pada persamaan (29.4) integral dilakukan terhadap variable t dulu kemudian terhadap
. The limit of integration is
to : t t
:0toNow, we integrate with respect to
first and then with respect to t . From Figure 3, we find the limit ofintegration is t
:0to
to 0 : tUsing this change of the order of integrat ion, we get
Dengan pengubahan urutan integral maka dapat diperoleh
0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( t t pt d dt h t g e p H p G dt d h t g e p H p G t pt
0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( p H p L g h G
(29.5)(sebagaimana pada L34 dalam tabel transformasi Laplace)
Salah satu aplikasi transformasi Laplace dari suatu konvolusi adalah untuk penyelesaian persamaan diferensial. Sebagai contoh adalah penentuan solusi dari y
3 y
2 y
et jika0
0 0
y
y . Tentukan transformasi Laplace untuk masing-masing suku pada sisi k iri dan biarkan sisi kanan. ) ( 2 3 2 t e L Y pY Y p
atau ( ) 2 3 1 2 t e L p p Y
Dengan menggunkan L7 pada tabel transformasi Laplace maka dapat dipreoleh ) ( ) ( ) ( ) (e e 2 L e G p H p L Y
t
t t
y (invers dari Y ) adalah konvolusi g(t ) dan h(t )dengan g(t )
et
e2t dan h(t )
et . Dengan menggunakan g(t )
h(t )= h(t )
g(t ) untuk menentukan fungsi yang paling sederhana u ntuk variabel t
maka dapat diperoleh
t d t h g t h t g y 0 ) ( ) ( ) ( ) (
t t t t d e e d e e e y 0 0 ) ( 2 2 1 t t t e e te y
2
2. Transformasi Fourier dari Konvolusi
Jika g1( )dan g2( ) adalah transformasi Fourier dari f 1(x) dan f 2(x) maka berdasarkan definisi (pers 28.2) dapat dituliskan
1 2 1 2 1 1 ( ). ( ) ( ) . ( ) 2 2 i v i u g g f v e dv f u e du
( ) 1 2 1 2 1 ( ). ( ) ( ) ( ) 2 i v u g g e f v f u dv du
(29.6)Pengubahan variabel x
v
u akan memberikan hasil dx
dv pada integral v dan1 2 1 2 1 ( ). ( ) ( ) ( ) 2 i x g g e f x u f u dx du
1 2 1 2 1 ( ). ( ) ( ) ( ) 2 i x g g e f x u f u du dx
(29.7)Jika didefinisikan konvolusi dari f 1(x) dan f 2(x) sebagai
f x u f u du f f 1* 2 1( ) 2( ) (29.8) maka1 2 1 2 1 2
1 1 1
( ). ( ) * . *
2 2 2
i x
g g f f e dx transformasi Fourier dari f f
(29.9)Dengan kata lain g1.g2 dan 1 1 2
2 f
f merupakan pasangan transformasi Fourier atau secara matematis dapat dituliskan1 2 1 2 1 1 . 2 2 i x f f g g e d
(29.10a) 1 1 2 2 1 2 1 . 2 i x g g f f e dx
(29.10b)Dengan cara yang maka dapat diperoleh
11 2 2 1 2 1 2
1 1
. * .transformasi Fourier transform dari *
2 2 i x f x f x g g e d g g
(29.11) dengan
g g g d g1 2 1( ) 2( ) (29.12)atau dengan kata lain 1
1 2
2 g g
dan f 1. f 2 merupakan pasangan transformasi Fourier3. Teorema Parseval
Untuk deret Fourier yang berbentuk kompleks
n l x in ne c f(x) dengan
l l l x in n f(x) e dx l c 2 1berlaku teorema Parseval
f x
dx
2 ) ( 2 1 =
n n c 2.Analog dengan ini, untuk transformasi Fourier yang berbentuk 1 ( ) ( ) 2 i x f x g e d
1 ( ) ( ) 2 i x g f x e dx
berlaku teorema Parseval
2 2 ( ( ) g d f x dx
(29.13)Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Pertama adalah menentukan transformasi Fourier dari fungsi konjuget f ( x) dengan cara sebagai berikut.
1 1 1 ( ) ( ) 2 i x g f x e dx
(29.14) Konjaget (29.14) adalah 1 1 1 ( ) ( ) 2 i x g f x e dx
(29.15) Kalikan (29.15) dengan 2( ) 1 2( ) 2 i x g f x e dx
integralkan terhadap
* 1 * ( ) ( ) ( ) i x g g d f x e dx g d
(29.16)Kita ubah urutan integral sisi kanan (29.16) sehingga kita integralkan pertama kali terhadap
* * 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 i x g g d f dx g x e d
(29.17)Berdasarkan definisi transformasi Fourier yang kita terapk di sini maka dipero leh
* * 1( ) 2( ) 1 2 g g d f f x dx
(29.18)Jika kita setg1
g2
g dan f 1
f 2
f maka kita peroleh teorema Parseval untuk transformasi Fourier
2
2 g d f x dx
(29.31)sebagaimana dituliskan di depan. Soal-soal 29
1. Dengan substitusi u
t
, tunjukkan bahwa g
h
h
g2. Gunakan L34 dan L2 untuk menentukan invers transform dari G( p) H (p) jika
a p p G
1 ) ( dan b p p H
1 ) (Gunakan integral konvolusi untuk menentukan invers transform dari 3.
1 1 . 1 12 2 2 2
p
p
p p p 4.
2 1 b p a p
5.
p a
p b 2 p
6.
2 2
1 b p a p
7.
p a
p2 b2
p
8.
p
a
p
b
p
c
1 9.
2
2 3
p p 10.
2 2
2 1 a p p
11.
p2 a2
p2 b2
p
12.
2 2
2 2
1 b p a p p
13. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menentukan
t d t e t f 0 ) sin( ) (
Tentukan solusi PDB berikut dengan menggunakan konvolusi 14. y
5 y
6 y
e2t ; y0
y
0
015. y
3 y
4 y
e3t ; y0
y0
0 16. y
y
sec2t17. y
y
t sint18. Tentukan solusi PDB y
a2 y
f (t ) dengan
0 , 1 0 , 0 ) ( t t tf dan y0
y0
0 19. Gerak harmonik sederhana diwakili oleh PDB y
2 y
f (t ). Tentukan y jika
lain yang a t t f , 0 0 , 1 ) (Buktikan teorema Parseval untuk fungsi berikut 20.
1 , 0 1 1 , 1 ) ( x x x f 21. f
x
e x2/ 22 22. f ( x)
e x23. Tentukan bentuk teorema Parseval untuk transformasi Fourier s in dan cos 24. Gunakan teorema Parseval dan
2 / , 0 2 / 2 / , cos ) ( x x x x f untuk menghitung
0 2 2 2 1 2 d / cos25. Tunjukkan bahwa jika transformasi Fourier didefinisikan sebagai ( ) ( ) i x f x g e d
1 ( ) ( ) 2 i x g f x e dx
maka Torema Parseval menjadi 1 ( )2 ( )2 2 f x dx g d
26. Gunakan substitusi h p
2 ; f ( x)
(x); dan ( ) 2 ) ( h p g
pada
g d dx xf ( )2 ( )2 untuk menunjukkan bahwa
p e ipx hdp h x) 1 ( ) 2 / (
x e ipx hdx h p) 1 ( ) 2 / (
p dp dx x)2 ( )2 ( 27. Tentukan normalisasi ( N ) dari fungsi f
x
e x2/ 22 . Kemudian misalkan ( x)
Nf (x) untuk menentukan ( p) sebagaimana pada soal no 26. Tunjukkan bahwa
( )2
1 dp p 1 -1 1
