Matematika Teknik 2 – Bab 2 – Transformasi Laplace

BAB 2

TRANSFORMASI LAPLACE

Pokok Pembahasan :

Prinsip Dasar Linierit as Singularit as

Perkalian dan Pembagian Dengan Wakt u Pergeseran

1. PRINSIP DASAR

⊕ Transf ormasi Laplace adalah t ransf ormasi dari suat u f ungsi wakt u t ; f (t ), dengan f rekuensi kompleks, menj adi f ungsi f rekuensi F(s).

⊕ Transf ormasi Laplace digunakan unt uk memecahkan f ungsi-f ungsi : • Periodik dan aperiodik

• Kont inyu dan diskont inyu • Eksponensial

• Membent uk Persamaan Dif erensial

• Fungsi yang t ak dapat dit ulis dengan pernyat aan mat emat ik

⊕ Bila f (t ) ; t > 0 , maka t ransf ormasi Laplace f (t ) adalah F(s)

F(s) = L f (t ) = ( 2-1 )

dengan e = 2. 71828

s = Frekuensi kompleks s =

σ

+ j

ω

Fakt or perkalian e-st _{membuat f ungsi F(s) konvergen.}

-st 0

f(t).e dt

∞

2. LINIERITAS

2. 1. Penj umlahan

Transf ormasi Laplace penj umlahan/ pengurangan dua at au lebih f ungsi t f (t ), sama dengan j umlah/ kurang t ransf ormasi Laplace dari

masing-masing f ungsi t it u sendiri.

L [ f₁(t ) + f₂(t ) ] =

L

[ f₁(t ) + f₂(t ) ] = +

L [ f₁(t ) + f₂(t ) ] = L f ₁( t ) + L f₂ ( t )

L [ f₁(t ) + f₂(t ) ] = F₁(s) + F₂(s) ( 2-2 )

{

}

-st

1 2

0

f (t)

f (t) e dt

∞

±

∫

st 1

0

f (t).e

dt

∞

−

∫

st

2 0

f (t).e

dt

∞

−

2. 2. Perkalian Dengan Konstanta

Transf ormasi Laplace dari perkalian suat u f (t ) dengan sembarang konst ant a sama dengan perkalian sembarang konst ant a dengan t ransf ormasi Laplace (f (t ) it u sendiri.

L [ k f (t ) ] = =

L[ k f (t )] = k F(s) ( 2-3. A )

L[ a. f₁(t )+ b. f₂(t )] =

L[ a. f₁(t ) + b. f₂(t )] = a F₁(s) + b F₂(s) ( 2-3. B )

st

0

k.f (t).e

dt

∞

−

∫

st

0

k f (t).e

dt

∞

−

∫

s t s t

1 2

0 0

a f ( t ) e

d t

b f

( t ) e

d t

∞ ∞

−

±

−

3. SINGULARITAS 3. 1. Diferensiasi

Transf ormasi Laplace dif erensiasi f (t ) dan t urunannya f ’ (t ) adalah sbb :

L f (t ) = F(s) =

Misal : u = f (t ) ; dv = e-st _{dt ;}

= - = + L

L = s F(s) – f (0) ( 2-4. A )

-st 0

f(t).e dt

∞

∫

df (t)

du

dt

dt

⎡

⎤

= ⎢

⎣

⎥

⎦

-st 0

f(t).e dt

∞

∫

-st 0

e

df(t)

-

dt

s

dt

∞

⎛

⎞⎛

⎞

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎜

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

st 0 e f (t) s ∞ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ st

e

v

s

−

= −

f(0) s

1

s

L = L = s . L _- f ’ (0)

= s F(s) – f (0) – f ’ (0) = s [ s f (s) – f (0) ] – f ’ (0)

L = s2 _{f (s) – s. f (0) – f ’ (0) ( 2-4. B )}

L = sn _{f (s) – s}n-1_{. f (0) – s}n-2 _{f ’ (0) - . . . . – s. f}n-2_{(0) + f}n-1₍₀₎

L [ Dn _{f (t ) ] = s}n_{. F(s) - ( 2-4. C )}

⊕ f (0) = f ungsi nilai awal (init ial val ue f unct ion)

d f ( t )

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

2 2

d f ( t ) d t

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

d

d f ( t )

d t

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

2

2

d f ( t )

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

n n

d f ( t ) d t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ n

n j j 1

j 1

s

−

. f

−

(0)

=

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

3. 2. Integrasi

A. Integrasi Terbatas

L f (t ) = F(s) = L =

Misal : u = , du = f (t ) dt ; dv = e-st _{dt , v =}

L = +

L = ( 2-5. A )

t 0

f(t) dt

∫

t -st 0 0

f(t) d t .e

d t

∞

⎛

⎞⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎟

⎜⎝

⎠

∫ ∫

- s t

0

f ( t ) . e

d t

∞

∫

-st

1

e

s

−

1

F ( s )

s

t

0

f(t) dt

∫

t -st

B. Integrasi Tanpa Batas Waktu.

Unt uk kasus sepert i ini diperlukan nilai awal yait u nilai pada t = 0.

L = ( 2-5. B )

4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU t (TIME-FREQ. SCALING) 4. 1. Perkalian dengan waktu t

L [ t f (t ) ] = =

[

]

1

F(s) + f(0)

s

0

f ( t ) d t

∞

∫

-st

0

t.f(t) e

d t

∞

∫

-st

0

d(e )

t f(t) dt

ds

∞

−

∫

-st 0

dF(s)

d

=

f(t) e dt

ds

ds

∞

L [ t f (t ) ] = ( 2-6. A )

L [ t2 _{f (t ) ] = ( 2-6. B )}

L [ tn _{f (t ) ] = ( 2-6. C )}

dF(s)

ds

−

2 2

2

d F(s)

( 1)

ds

−

n n

n

d F(s)

(

1)

4. 2. Pembagian Dengan Waktu t

L

=

=

=

=

=

L

=

( 2-7 )

-st

0 s

f(t)

dt

e d(-st)

t

∞ ∞

−

∫

∫

-st 0

f(t)

e dt

t

∞

∫

f(t) t ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜⎝ ⎠ -st 0

f(t)

dt. e

t

s ∞ ∞

∫

s

F (s) d s

∞

∫

-st

0 0

d(-st)

f(t) dt .

e

-t

∞ ∞

∫

∫

-st

s 0

5. PERGESERAN

5. 1. Pergeseran Waktu (T ime Shift ing)

Bila

L

f (t ) = F(s) , digeser sebesar t₀ , maka

L

f (t -t₀). U(t -t_o) = =

⊕ F(t -t₀). U(t -t₀) = 0 , berlaku unt uk t < t₀ ⊕ f (t -t₀) , berlaku unt uk t > t₀

Jika dimisalkan τ = t - t₀ ; t = τ + t₀ ; dτ = dt

maka

L

f (t -t₀). U(t -t₀) = =

L

f (t -t₀). U(t -t₀) = e-st o _{F(s) ( 2-8 )}

-st

0 0

s

f(t-t ).U(t-t ) e dt

∞

∫

0

-st 0

t

f(t-t ) e dt

∞

∫

0

-s (τ + t ) 0

f(

τ

) e

d

τ

∞

∫

-sτ

0

f(

τ

) e

d

τ

∞

5. 2. Fungsi Gerbang (Gat e Funct ion)

⊕ Fungsi gerbang adalah super posisi dua buah Fungsi Sat uan Langkah (Unit St ep Funct ion).

⊕ Not asi f ungsi gerbang G_to(T) ; t₀ < T

G_{t 0}(T) = U(t -t₀) – U( t - t₀ – T)

f (t )

0 f (t )

T t

t₀

T

t t₀

Cont oh : 1.

f (t ) = t . G₀(T) = t [ U(t ) – U(t -T) ]

F(s) = L { t [ U(t ) – U(t -T) ] }

= L { t . U(t ) - (t -T) . U(t -T) – E. U(t - T)}

= - e-sT _{- e}-sT

F(s) = [ 1- (1+T). e-sT _]

T T

0 t 0 t

f (t ) f (t )

E E

1

E Ts

E T

E T

E T E T

E T

E

E s

2. f (t ) = E sin ωt . G₀( ) ; ω = 2 π f ; f =

f (t ) = E sin . G₀( )

f (t ) = E sin ( ). [ U(t – T/ 2)]

F(s) = T 2 1 T 2 t T π T 2

0 T/ 2 1

f (t )

5. 3. Pergeseran Frekuensi

Pergeseran f rekuensi dalam domain s merupakan t ransf ormasi Laplace perkalian f (t ), dengan f ungsi eksponensial e-bt_{, yait u sama dengan}

t ransf ormasi Laplace f ungsi t ersebut yang mengalami pergeseran s sebesar b sehinga menj adi (s+b).

Bila L f (t ) = F(s)

L [ e-bt_{. f (t )] =}

=

L [ e-bt_{. f (t )] = F(s+b) ( 2-9 )}

-b t -s t

0

e

.f ( t) .e

d t

∞

∫

-(s+ b )t

0

e

f(t) d t

∞

5. 4. Fungsi Periodik

Transf ormasi Laplace f ungsi periodik dengan periode T sama dengan t ransf ormasi Laplace periode pert ama f ungsi t ersebut dibagi (1- e-sT_).

f (t ) = f₁ (t ) + f₂ (t ) + f₃ (t ) + . . . f n(t ) f₁ = f (0) U(t ) ; f₂ = f (U-T) U(t -T) f₃ = f (U-2T) U(t -2T) ; f n = f (U-nT) U(t -nT)

L f₁(t ) = F₁(s)

f₁(t) f₂(t) f₃(t) f_n(t)

T 2T 3T nT t

F(s) = F₁(s)+ F₁(s)e-sT _{+ F}

1(s) e-2sT + . . . + F1(s) e-(n-1)sT

F(s) = F₁(s) [ 1 + e-sT _{+ e}-2sT _{+ . . . + e}-(n-1)sT _]

F(s) = ( 2-10 )

(

)

1

6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER 6. 1. Fungsi Eksponensial Waktu.

f (t ) = eat

dengan a adalah konst ant a yang dapat merupakan bilangan : Nyat a, Imaj iner at au Kompleks

Bila L f (t ) = F(s) =

L f (t ) = = =

L eat _{= ( 2-11 )}

-st

0

f(t).e dt

∞

∫

at -st

0

e .e dt

∞

∫

-(s-a)t

0

e

dt

∞

∫

1

( s - a )

-(s-a)t 0

1

. e

( s - a )

6. 2. Fungsi Satuan Langkah (Unit St ep Funct ion)

f (t ) = U(t )

U(t ) = 1 ; t > 0 U(t ) = 0 ; t < 0

Bila U(t ) = eat _{unt uk a = 0, U(t ) = 1}

L U(t ) = unt uk a = 0 L U(t ) =

L U(t ) = =

L U(t ) = ( 2-12

t 0

U(t ) f (t ) 1

1

( s - a )

1

s

-st

0

e dt

∞

∫

-s t

0

1

. e

s

∞

−

6. 3. Fungsi Sinus

ej at _{– e}-j at _{= 2j sin at}

sin at = [ ej at _{– e}-j at_]

L sin at = L =

L sin at = ( 2-13 )

jat

e

=

cos at + j sin at

-jat

e

=

cos at - j sin at

-1

2j

2 2

a

s

+

a

jat -jat

1

[e e ] 2j

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ₋ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(

) (

)

1 1 1

2j s-ja s+ja

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ₋ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

6. 4. Fungsi Cosinus

ej at _{+ e}-j at _{= 2 cos at ; cos at = ½ (e}j at _{+ e}-j at ₎

L cos at = L [ ½ (ej at _{+ e}-j at _{) ]}

L cos at = ( 2-14 )

6. 5. Fungsi Hiperbolik

sinh at = [ eat _{– e}-at_{] ; cosh at = [ e} at _{+ e}-at _]

L sinh at = ( 2-15 )

L cosh at = ( 2-16 )

2 2

s

s + a

2 2

s

s - a

2 2

7. IKHTISAR TRANSFORMASI LAPLACE

7. 1. Sifat-Sifat Utama Transformasi Laplace

Fungsi t Fungsi s

Linierit as [ f₁(t ) + f₂(t ) ] F₁(s) + F₂(s)

Perkalian dng konst ant a k f (t ) ; k > 0 k F(s)

[ a. f₁(t ) + b. f₂(t )] ; a, b >0 a F₁(s) + b F₂(s)

Dif erensiasi s F(s) – f (0)

Dif erensiasi ke n

d f ( t )

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

n

n

d f ( t )

d t

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

n

n j j 1

j 1

s

−

. f

−

(0)

=

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

Fungsi t Fungsi s

Int egrasi (t erbat as)

Int egrasi (t ak t erbat as)

Pergeseran Wakt u f (t -t₀). U(t -t₀) ; t₀ > 0 e-st o _F(s)

Pergeseran Frekuensi [ e-bt_{. f (t )] F(s+b)}

Skala Frekuensi-Wakt u f (at ) ; a > 0

1

F

s

a

a

⎡

⎛

⎞

⎤

⎢

⎜

⎝

⎟

⎠

⎥

⎣

⎦

1

F ( s )

s

t

0

f(t) dt

∫

0

f(t) dt

∞

∫

1

[

F(s) + f(0)

]

Fungsi t Fungsi s

Perkalian dng Wakt u t . f (t )

tn _{f (t )}

Pembagian dng Wakt u

dF(s)

ds

−

n n

n

d F(s)

(

1)

ds

−

s

F (s) d s

∞

∫

f(t) t

7. 2. Transformasi Laplace Fungsi-fungsi Elementer

7. 2. 1. Fungsi Singularitas

Fungsi t Fungsi s

Unit Impuls δ(t ) 1

Unit St ep u(t )

Unit Ramp r(t ) = t u(t )

1

s

2

1

s

t

t

Fungsi t Fungsi s

Unit Parabola p(t )= ½ t2 _{u(t )}

Int egral ke n impuls δ(-n)_{(t )}

Unit Doublet δ’ (t ) s

Turunan ke n impuls δ(n)_{(t ) s}n

n

1

s

3

1

s

7. 2. 2. Fungsi Elementer Biasa

Fungsi t Fungsi s

Konst ant a k

t t

Pangkat dari t

Eksponensial eat

Perkalian t dng Eksponensial t . e-at

k

s

2

1

s

1

(s

−

a )

(n 1)

t

(n 1)!

−

−

1

_n

s

2

1

Fungsi t Fungsi s

Perkalian t dng Eksp. -Berulang

Sinus sin ωt

Cosinus cos ωt

Sinushyperbolicus sinh ωt

Cosinushyperbolicus cosh ωt

Sinusoid

n 1 at

1

t

e

( n

1) !

− −

+

2 2

s

ω

− ω

2 2

s

ω

+ ω

2 2

s

s

+ ω

2 2

as

b

s

+ ω

+ ω

2 2

s

(s

− ω

n

1

(s

+

a )

2 2 1

b

a

b cos

t

tan

a

−

⎛

⎞

+

⎜

ω −

⎟

Fungsi t Fungsi s

Sinus Teredam e-at _sin ω_t

Cosinus Teredam e-at _cos ω_t

Sinusoid Teredam

Perkalian t dng sinus t sin ωt

Perkalian t dng cosinus t cos ωt

2 2

(s

a )

ω

+

+ ω

2 2 2

2 s

(s

)

ω

+ ω

2 2

s

a

(s

a )

+

+

+ ω

2 2

2 2 2

s

(s

)

− ω

+ ω

2 2

a (s

p )

b

(s

p )

+

+ ω

+

+ ω

2 2 pt 1

a

a

p .e

cos

t

tan

b

−

⎛

−

⎞

+

⎜

ω −

⎟