Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai

(1)

Degradasi dan Agradasi

Dasar Sungai

Persamaan Saint Venant

-

Exner

Model Parabolik

Acuan Utama Acuan Utama

Graf and Altinakar, 1998,

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial HydraulicsFluvial Hydraulics: Chapter 6, pp. 358: Chapter 6, pp. 358−−370, 370, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

(2)

Degradasi dan Agradasi

Degradasi

•

• terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil

terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil

daripada kemampuan transpor sedimen

•

• dasar sungai tererosi

dasar sungai tererosi

•

• dasar sungai turun

dasar sungai turun

Agradasi

•

• debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor

debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor

sedimen

(3)

Degradasi dan Agradasi

Beberapa contoh

degradasi

•

• pasokan sedimen (solid

pasokan sedimen (solid

discharge) dari hulu

berhenti atau

berkurang

•

• debit aliran (air)

debit aliran (air)

bertambah

•

• penurunan dasar sungai

penurunan dasar sungai

di suatu titik di hilir

Beberapa contoh

agradasi

•

• pasokan sedimen (solid

pasokan sedimen (solid

discharge) dari hulu

bertambah

•

• debit aliran (air)

debit aliran (air)

berkurang

•

• kenaikan dasar sungai

kenaikan dasar sungai

di suatu titik di hilir

(4)

Degradasi dan Agradasi

(5)

Pemahaman

Degradasi dan Agradasi

Proses

•

• merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai,

merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai,

z

(

x,t

)

•

• aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran

aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran

permanen dan seragam (

steady and uniform flow

)

•

• selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen

selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen

semu (

quasi

-

unsteady

) dan tak

-

seragam (

nonuniform

)

Asumsi untuk penyederhanaan

•

• aliran

aliran

quasi

-

uniform

,

∂

U

/

∂

x

= 0

•

• shg dapat dipakai

shg dapat dipakai

model parabolik

, yang

memungkinkan dilakukannya penyelesaian analitik

(6)

Metode Analisis

Degradasi dan Agradasi

Model parabolik

•

• didasarkan pada persamaan Saint

didasarkan pada persamaan Saint

-

Venant

–

Exner, dengan beberapa penyederhanaan

»

aliran dengan Angka Froude kecil, Fr < 0,6

»

aliran

quasi

-

steady

»

aliran

quasi

-

uniform

»

(7)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

(8)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

Persamaan Saint

-

Venant

•

• aliran permanen takaliran permanen tak--seragamseragam •

• saluran prismatiksaluran prismatik •

• kemiringan dasar kecilkemiringan dasar kecil •

• dasar tetap (dasar tetap (fixed bedfixed bed))

0 =

∂

+

∂

+

∂

x

h

U

x

U

h

t

h

•• pers. kontinuitaspers. kontinuitas untuk

untuk BB = konstan= konstan

e

S

g

z

g

h

g

U

−

=

∂

+

∂

+

∂

+

∂

(9)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

Persamaan Exner

•

• dasardasar saluransaluran bergerakbergerak ((mobile bedmobile bed)) •

• variasi dasar saluran dinyatakan dengan persamaan berikutvariasi dasar saluran dinyatakan dengan persamaan berikut

x

U

a

t

z

E

∂

−

=

∂

a

a_E_E = koefisien erosi= koefisien erosi

•

• yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran partikel solid (

partikel solid (solid phasesolid phase))

( )

(

)

0

1

1 ~

1

1 =

∂

−

+

∂

≅

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∂

+

∂

−

+

∂

x

q

p

t

z

Uh

C

x

h

C

t

p

t

z

_s s s

(10)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

•

• dalam persamaan tersebut:dalam persamaan tersebut:

»

» pp= porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air = porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air dengan volume total

dengan volume total

»

» CC_s_s = konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (= konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (solidsolid) dengan ) dengan volume total campuran (

volume total campuran (mixturemixture)) »

» qq_s_s = debit solid per satuan lebar= debit solid per satuan lebar

•

• debit solid, debit solid, qq_s_s, umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, , umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, qq, , menurut suatu hubungan tertentu

menurut suatu hubungan tertentu

(

U

, h

,

sedimen

)

f

q

_s

=

(11)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

Unknowns:

•

• UU((x,tx,t) = kecepatan rata) = kecepatan rata--rata rata aliran campuran

aliran campuran

air+sedimen

•

• hh((x,tx,t) = kedalaman aliran ) = kedalaman aliran campuran air+sedimen

campuran air+sedimen

•

• zz((x,tx,t) = elevasi dasar sungai) = elevasi dasar sungai •

• SS_e_e = kemiringan garis energi = kemiringan garis energi →

→ persamaan empirikpersamaan empirik •

• qq_s_s = debit bagian padat = debit bagian padat →→ persamaan empirik

persamaan empirik

Independent variables

•

• xx = jarak, posisi= jarak, posisi • • tt = waktu= waktu

0 =

∂

+

∂

+

∂

x

h

U

x

U

h

t

h

e

S

g

x

z

g

x

h

g

x

U

t

U

−

=

∂

+

∂

+

∂

+

∂

(

U

, h

,

sedimen

)

f

q

_s

=

0

1

1 =

∂

−

+

∂

x

q

p

t

z

_s

(

f

U

h

)

f

S

_e

=

,

1.

2.

3.

4.

5.

(12)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

Kaitan antara bagian cair dan bagian padat

•

• Pers. 1, 2, 3Pers. 1, 2, 3 →→ aliran air (+sedimen) melalui dasar mobilaliran air (+sedimen) melalui dasar mobil •

• Pers. 4, 5Pers. 4, 5 →→ transpor sedimen (erosi dan deposisi)transpor sedimen (erosi dan deposisi) •

• CouplingCoupling →→ secara secara implicitimplicit melalui persamaan 3 dan 5melalui persamaan 3 dan 5 (persamaan semi

(persamaan semi--empirik)empirik)

Prosedur penyelesaian

•

• Pers. 1, 2Pers. 1, 2 →→ untuk mendapatkan kecepatan dan kedalamanuntuk mendapatkan kecepatan dan kedalaman aliran,

aliran, UU dan dan hh

•

(13)

Persamaan Saint

-

_-

Venant

_Venant

–

_–

Exner

_Exner

Persamaan

-

persamaan Saint

-

Venant

–

Exner dapat

dikaitkan secara langsung (

explicit coupling

) apabila

persamaan kontinuitas bagian cair (Pers. 1) dituliskan

dalam bentuk sbb.

( )

=

0 ∂

∂

+

∂

+

∂

Uh

x

t

z

t

h

Persamaan

-

persamaan Saint

-

Venant

–

Exner dengan

demikian dapat diselesaikan secara simultan karena

z

muncul dalam persamaan bagian cair maupun bagian padat

Metode penyelesaian

•

• cara analitik cara analitik →→ untuk kasus sederhanauntuk kasus sederhana •

• cara numerik cara numerik →→ untuk kasus kompleksuntuk kasus kompleks

1a.

(14)

Penyelesaian Analitik:

Model Parabolik

Persamaan Saint

-

Venant

–

Exner

•

• hyperbolikhyperbolik •

• nonnon--linearlinear

Dalam bentuk aslinya, penyelesaian anatilik persamaan tsb

sulit dilakukan

→

persamaan tsb perlu disederhanakan

•

• aliran dengan Angka Froude kecilaliran dengan Angka Froude kecil •

• aliran permanen (aliran permanen (quasiquasi--steadysteady))

Justifikasi:

•

(15)

Model Parabolik

Dengan asumsi aliran

quasi

-

steady

, didapat persamaan:

e

S

g

x

z

g

U

h

g

U

x

U

−

=

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

∂

6.

6. (

1 )

=

0 ∂

∂

+

∂

−

x

U

q

t

z

p

s

4a.

Kedua persamaan di atas:

•

• taktak--linearlinear •

• shg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitikshg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitik

Perlu penyederhanaan lebih lanjut

•

(16)

Model Parabolik

Dengan asumsi aliran

quasi

-

steady

dan

quasi

-

uniform

, dari

Pers. 6. didapat:

q

C

U

g

h

C

U

g

S

g

x

z

g

_e ₂ 3 2 2

−

=

−

=

−

=

∂

7.

7. Diferensiasi persamaan di atas thd

Diferensiasi persamaan di atas thd

x

menghasilkan:

x

U

h

C

U

g

x

U

q

C

U

g

x

z

g

∂

−

=

∂

−

=

∂

2 2 2 2 2

3

8.

(17)

Model Parabolik

Substitusi

∂

U

/

∂

x

dari Pers. 8 kedalam Pers. 4, diperoleh:

( )

₂

0

2

=

∂

−

∂

x

z

t

K

t

z

9.

9. dimana

dimana

K

(

t

) adalah koefisien (difusi) yang merupakan

fungsi waktu dan yang didefinisikan sbb.

(

)

U

h

C

p

U

q

K

s 2

1

3

1 −

∂

=

10.

10. Persamaan di atas merupakan

Persamaan di atas merupakan

model parabolik

, yang

berlaku untuk nilai

x

dan

t

yang besar,

x

> 3

R

_h_h

/

S

_e_e

dan

t

> (40/30)

.

{

R

_h_h22

_/(

_S

e

(18)

Model Parabolik

Persamaan koefisien difusi,

K

, dapat dituliskan pula dalam

bentuk:

(

)

2

1

3

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

=

U

S

U

p

U

q

K

o eo s

10a.

dengan linearisasi (untuk

U

≅

U

_o_o

), didapat:

(

)

_eoo s o

S

U

p

U

q

K

−

∂

=

≡

1

3

1 10b.

10b.

(19)

Model Parabolik

Apabila debit bagian padat dihitung dengan persamaan

power law

, yaitu:

s b s s

a

U

q

=

a

_s_s

= koefisien,

b

_s_s

= konstanta

maka

(

)

_eo s s

S

p

q

b

K

1

3

1 −

≡

10c.

(20)

Model Parabolik

Persamaan model parabolik variasi dasar sungai:

( )

₂

0

2

=

∂

−

∂

x

z

t

K

t

z

9.

9. (

)

_eo s s

S

p

q

b

K

1

3

1 −

≡

10c.

Syarat model parabolik dapat dipakai:

•

• aliran quasialiran quasi--steadysteady •

(21)

Model Degradasi Dasar Sungai

Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar ∆ ∆hh_w_w

•

• dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar ∆∆hh

•

• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sundalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai gai akan turun

akan turun

o

(22)

Model Degradasi Dasar Sungai

Aliran dianggap permanen dan seragam

•

• model parabolik dapat dipakaimodel parabolik dapat dipakai •

• karena debit konstan, maka koefisien karena debit konstan, maka koefisien KK konstankonstan

Diskripsi matematis

•

• Sumbu Sumbu xx: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu •

• Sumbu Sumbu zz: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar : variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal,

sungai awal, SS_o_o00

•

• Syarat awal dan syarat batasSyarat awal dan syarat batas

( )

,

0 =

0 ;

( )

0 ,

=

∆

;

lim

( )

,

=

0

∞ →

z

x

t

h

t

z

x

z

x

(23)

Model Degradasi Dasar Sungai

Penyelesaian analitik

( )

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

=

t

K

x

h

t

x

z

2 erfc

,

( )

_∫

∞ Υ ξ −

_ξ

π

=

Υ

2 d

erfc

e

2

Complementary error function,

erfc

( )

Υ

=

1 −

erf

( )

Υ

erfc

erfc (dan erf:

error function

) dapat dihitung dengan bantuan

tabel matematik, dan tersedia pula dalam MS Excel

(24)

Model Degradasi Dasar Sungai

Contoh permasalahan

•

• ingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah tuingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah turun run menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula:

menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula:

turun separuh:

turun separuh: zz//∆∆hh = 50% = ½= 50% = ½ kapan, kapan, tt_50%_50%

dimana, dimana, xx_50%_50%

( )

₌

_{( )}

_Υ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∆

2 erfc

1 ,

% 50 % 50

t

K

x

h

t

x

z

•

• dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat ΥΥ≈≈ 0,480,48 •

(25)

Model Agradasi Dasar Sungai

Kenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsorKenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsor) sebesar ) sebesar ∆ ∆qq_s_s

•

• dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar ∆∆hh

•

• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sundalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan naikgai akan naik

o o

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = t K x t h t x z 2 erfc ,

(26)

Model Agradasi Dasar Sungai

Aliran dianggap permanen dan seragam

•

• model parabolik dapat dipakaimodel parabolik dapat dipakai •

• karena debit konstan, maka koefisien karena debit konstan, maka koefisien KK konstankonstan

Diskripsi matematis

•

• Sumbu Sumbu xx: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir •

• Sumbu Sumbu zz: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar : variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal,

sungai awal, SS_o_o00

•

• Syarat awal dan syarat batasSyarat awal dan syarat batas

( )

,

0 =

0 ;

( )

0 ,

=

∆

( )

;

lim

( )

,

=

0

∞ →

z

x

t

h

t

z

x

z

x

(27)

Model Agradasi Dasar Sungai

Penyelesaian analitik

( )

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

=

t

K

x

t

h

t

x

z

2 erfc

,

•

• Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan degradasi dasar sungai, hanya saja

degradasi dasar sungai, hanya saja ∆∆hh((tt) merupakan fungsi waktu) merupakan fungsi waktu •

• Koefisien difusi Koefisien difusi KK dalam penyelesaian tsb merupakan nilai dalam penyelesaian tsb merupakan nilai KK pada pada saat awal,

saat awal, KK₀₀, jadi tanpa memperhitungkan , jadi tanpa memperhitungkan ∆∆qq_s_s (kenaikan debit (kenaikan debit solid di titik kontrol hulu)

(28)

Model Agradasi Dasar Sungai

Panjang ruas sungai yang mengalami agradasi,

L

_a_a

•

• ditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampaditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampai i titik di mana deposisi mencapai

titik di mana deposisi mencapai zz//∆∆hh = 0,01 (= 0,01 (ΥΥ ≈≈ 1,80)1,80) •

• dihitung dengan persamaan berikutdihitung dengan persamaan berikut

% 1 % 1

3 ,

65 K

t

x

L

_a

≈

=

(29)

Model Agradasi Dasar Sungai

Volume pasokan debit solid,

∆

q

_s_s

•

• selama waktu tertentu, selama waktu tertentu, ∆∆tt, volume debit solid adalah , volume debit solid adalah ∆∆qq_s_s·· ∆∆tt

•

• jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang LL_a_a

•

• dengan demikian didapat hubungan sbb.dengan demikian didapat hubungan sbb.

(

−

)

_∫

=

∆

⋅

∆

a L s

t

p

z

x

q

0

d

1

(30)

Model Agradasi Dasar Sungai

Tinggi (tebal) agradasi,

∆

h

•

• dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, LL_a_a, dan, dan •

• dari volume debit solid adalah dari volume debit solid adalah ∆∆qq_s_s·· ∆∆tt

•

• dapat dihitung tebal agradasi, dapat dihitung tebal agradasi, ∆∆hh

(

−

)

_∫

=

∆

⋅

∆

a L s

t

p

z

x

q

0

d

1

% 1 % 1

3 ,

65 K

t

x

L

_a

≈

=

dan

_dan

( )

∆

q

⋅

∆

t

Tinggi agradasi,

∆

h

Catatan:

(31)

Model Agradasi Dasar Sungai

o o

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = t K x t h t x z 2 erfc ,

(32)

erfc(

Υ

)

Tabel matematik

Persamaan aproximatif

• • erfc(erfc(ΥΥ) = 1/(1 + ) = 1/(1 + aa₁₁ΥΥ+ + aa₂₂ΥΥ22 ₊₊_a_a 3 3ΥΥ3 3 + + aa44ΥΥ4 4 + + aa55ΥΥ5 5 + + aa66ΥΥ66))16 16 + + εε((ΥΥ)) • • ⏐ε⏐ε((ΥΥ))⏐⏐ ≤≤ 33..1010––77 • • aa₁₁ = 0,0705230784= 0,0705230784 aa₂₂ = 0,0422820123= 0,0422820123 aa₃₃ = 0,0092705272= 0,0092705272 a a₄₄ = 0,0001520143= 0,0001520143 aa₅₅ = 0,0002765672= 0,0002765672 aa₆₆ = 0,0000430638= 0,0000430638

MS Excel

• • erfc(erfc(……))

(33)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

Debit solid,

q

_s_s

•

• adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load,

adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load,

q

_sb_sb

,

suspended load,

q

_ss_ss

, (dan wash load,

q

_sw_sw

)

q

_s_s

=

q

_sb_sb

+

q

_ss_ss

(+

q

_sw_sw

)

•

• kadang

kadang

-

kadang hanya ditinjau bed load,

q

_sb_sb

Debit solid dihitung dengan persamaan empirik,

misal:

•

• Schoklitsch

Schoklitsch

•

• Meyer

Meyer

-

Peter, et al.

•

• Einstein

Einstein

•

(34)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

Schoklitch (

bed load

)

(

_cr

)

e s

sb

S

q

s

q

=

2 ,

5

3 2

−

qq ==debit air+sedimendebit air+sedimen

q

q_cr_cr ==debit kritik, menunjukkan debit kritik, menunjukkan awal gerak butir sedimen

awal gerak butir sedimen

(

)

3 2 7 6 40 3 5

1

26 ,

0

_s _e cr

s

d

S

q

=

−

(35)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

Meyer

-

Peter, et al. (

bed load

)

(

)

(

)

2 3 3 1 50

25 ,

0

047 ,

0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ρ

−

ρ

−

ξ

ρ

−

ρ

=

g

R

S

g

d

g

q

hb M e s s sb R

R_hb_hb==radius hidraulik dasar sungairadius hidraulik dasar sungai ξ

ξ_M_M ==parameter kekasaranparameter kekasaran

(

_s _s

)

M

=

K

′

ξ

(

2 3 12

)

e hb s

U

R

S

K

=

•

• ξξ_M_M = 1= 1 →→ tanpa bed formstanpa bed forms •

• 1 > 1 > ξξ_M_M > 0,35> 0,35 →→ bed formsbed forms

koefisien kekasaran (total) Strickler

6 1 50

1 ,

21 d

(36)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

Einstein (

bed load

)

(

)

₍

₎

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′

−

=

e hb s s sb

S

R

d

s

d

g

s

q

50 3 50

0 ,

391

1 exp

465 ,

0

1

radius hidraulik dasar sungai akibat butir sedimen

(37)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

Graf (

total load

)

(

)

(

)

2,52 50 3 50

1

39 ,

10

1

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

e h s s h s

R

S

d

s

d

g

s

R

U

C

h h s s s

R

h

R

U

C

h

U

C

q

=

(38)

Model Parabolik?

Hitungan degradasi atau agradasi dasar sungai

dengan model parabolik dapat dilakukan apabila

syarat

-

syarat berikut dipenuhi

•

• aliran quasi

aliran quasi

-

steady (variasi jangka panjang dasar

sungai)

•

• aliran quasi

aliran quasi

-

uniform dengan

Fr

< 0,6

•

• nilai

nilai

x

> 3

R

_h_h

/

S

_e_e

•

• nilai

nilai

t

> (40/30)

.

{

R

_h_h22

_/(

_S

e e

.

q

ss

)}

(39)

Degradasi dan Agradasi

Dasar Sungai

The End

Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai