BAB III. REGRESI LINIER BERGANDA DUA VARIABEL BEBAS

BAB III.

REGRESI LINIER BERGANDA DUA VARIABEL BEBAS

3.1 Pendahuluan

Dalam regresi linier sederhana telah dipelajari analisis regresi yang terdiri atas dua variabel. Dalam pembicaraan tersebut di mana analisisnya terdiri atas sebuah variabel bebas X (independent variable) sering disebut variabel X atau prediktor, dan sebuah variabel tak bebas Y (dependent variable) atau variabel Y atau variabel penjelaskan. Tentu dapat dengan mudah dimengerti bahwa, ada juga analisis regresi di mana terdapat lebih dari dua variabel, yaitu analisis regresi di mana terdapat satu variabel tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) atau analisis regresi di mana terdapat lebih dari satu variabel yang tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) yang disebut dengan analisis regresi berganda multivariat atau analisis ragam multi variat (multivariate multiple regression). Analisis regresi dengan satu variabel diterangkan atau variabel Y oleh lebih dari sebuah variabel yang lain atau variabel bebas X, maka analisis yang demikian ini dinamakan analisis regresi majemuk atau analisis regresi berganda atau analisis regresi darab. Sangatlah jelas bahwa dalam permasalahan ini, tidak cocok lagi memakai perkataan atau istilah garis regresi, karena fungsi linier yang terdiri dari tiga buah variabel, sudah tidak berbentuk grafik garis lagi, melainkan berbentuk bidang atau bentuk yang lain.

Selanjutnya, jika variabel bebas lebih dari tiga buah, menyebabkan penggambaran grafiknya sangat sulit dan bukan berbentuk bidang atau ruang. Bentuknya dinamakan multi bidang atau berbidang banyak (hyper plane).

Grafik suatu fungsi akan berbentuk garis jika di dalam fungsi itu hanya terdapat dua macam variabel, yang koordinatnya berdemensi dua atau bidang. Sehingga dalam penggambaran grafik dari tiga macam variabel dapat memakai istilah bidang regresi atau grafiknya berdemensi tiga atau berdemensi ruang. Tetapi istilah inipun tidak dapat dipertahankan lagi secara bebas jika telah dipergunakan fungsi regresi yang terdiri dari empat macam atau lebih variabel yang dipergunakan. Sebagaimana halnya dalam analisis regresi linier sederhana (lihat Tenaya et al., 1985), maka di dalam analisis regresi berganda ini juga dapat dikenal adanya:

1). Analisis regresi linier berganda dan

2). Analisis regresi berganda kurvilinier atau analisis regresi berganda non linier. Perbedaan dari kedua analisis di atas antara analisis regresi linier berganda dengan analisis regresi berganda kurvilinier (non linier) didasarkan atas perbedaan pada variabel-variabel bebas (variabel-variabel X) yang menyusunnya; atau di mana variabel-variabel Y yang berbentuk fungsi pangkat atau berpangkat tidak sama dengan satu.

Untuk mempertegas masalah perbedaan antara analisis regresi linier berganda dengan analisis regresi berganda non linier, diberikan batasan dan contoh fungsinya seperti berikut:

1). Analisis regresi linier berganda didefinisikan adalah analisis regresi yang variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan setiap variabel X maupun variabel Y hanya berpangkat satu (linier).

2). Analisis regresi berganda non linier didefinisikan adalah sebagai analisis regresi di mana variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan yang salah satu atau kedua macam variabel mempunyai pangkat tidak sama dengan satu. Atau regresi di mana variabel tak bebas Y dengan pangkat tidak sama dengan satu ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X.

3.2 Bentuk Umum Fungsi Persamaan Regresi Linier Berganda

Bentuk persamaan yang paling sederhana dari regresi linier berganda adalah yang mempunyai dua variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y seperti pada persamaan berikut:

[3.1]. Y = β0 + β1 X1 + β2 X2

Cara lain yang umum dipergunakan pada penulisan model regresi berganda untuk dua prediktor seperti yang dikembangkan oleh Yule dengan model persamaan di bawah ini. Persamaan regresi linier berganda model Yule seperti berikut.

[3.2]. Yi = βY.12 + βY1.2 Xi1 + βY3.1 Xi2 + ei

Indeks (subscrift) dengan angka 1 pada variabel X adalah untuk variabel X1 dan angka 2

untuk variabel X2. Nilai koefisien regresi βY.12 dalam model [3.2] merupakan titik potong

dengan sumbu tegak atau intercept, yang biasanya diartikan sebagai pengaruh rata- rata (mean effect) tehadap variabel tak bebas Y di luar variabel bebas X yang ada dalam model atau nilai rata-rata Y jika X1 dan X2 sama dengan nol (= 0). Koefisien regresi βY1.2

adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap X1 dengan X2 dianggap konstan.

Koefisien regresi βY3.1 adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap variabel X2

dengan X1 dianggap konstan. Interprestasi dari analisis regresi linier berganda ini adalah

hampir serupa dengan interprestasi analisis regresi linier sederhana; artinya variabel bebas X1 bersama-sama dengan variabel bebas X2 berpengaruh terhadap variabel tak

bebas Y, yang masing-masing variabel Xi bekerja secara linier dan bebas sesamanya.

Apabila antara variabel bebas Xi tidak bersifat bebas sesamanya atau antara

variabel bebas Xi, terdapat interaksi linier maka model persamaan [3.1] akan berubah

bentuknya menjadi:

[3.3]. Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β12 X1 X2

Model persamaan [3.3] menunjukan adanya interaksi linier antara variabel bebas X1

dan variabel bebas X3. Bentuk grafik atau gambar dari persamaan [3.1] atau dari

persamaan [3.2] atau persamaan [3.3] berupa bidang datar seperti Gambar 3.1 berikut. Selanjutnya, bila dari persaamaan [3.1] dimodifikasi yang terdiri atas p prediktor; di mana p lebih besar dari tiga (p > 3), maka model [3.1] tersebut sulit untuk digambar, karena penggambarannya terdiri atas banyak sumbu sehingga bentuknya tidak menentu. Berbeda halnya dengan regresi berganda non linier mempunyai bentuk gambar atau grafik yang berupa garis lengkung atau bidang lengkung dengan persamaan seperti berikut. [3.4]. Y = β0 + β1 X1 + β11 X1 2 + β2 X2 + β22 X2 2 + β12 X1 X2 Bentuk grafiknya berbentuk bidang lengkung seperti pada Gambar 3.2.

Gambar 3.1. Bidang Datar Regresi Dua Prediktor (Regresor)

Y = 6.6355+52.714*x+0.192*y -106.989*x*x-0.0927*x*y -0.001*y *y

Gambar 3.2. Bidang Lengkung Dua Prediktor (Regresor)

Sebagai tambahan bahwa pada regresi non linier dapat dibedakan menjadi:

1). Regresi non linier sederhana, adalah analisis regresi yang mempunyai hanya sebuah variabel bebas X, di mana grafiknya adalah berbentuk garis lengkung (bukan lurus atau linier).

2). Regresi non linier berganda, adalah analisis regresi, yang mempunyai sekurang-kurangnya dua buah atau lebih variabel bebas X di mana grafiknya berbentuk bidang lengkung.

3.3 Beberapa Bentuk Fungsi Regresi Berganda Non Linier

3.3.1 Regresi fungsi polinomial

[3.5]. Y = β0 + β1 X + β2 X 2

+ . . . + βp X p

Βila pangkat tertinggi (p) sama dengan dua disebut dengan persamaan kuadratik; bila p = 3 disebut persamaan kubik; bila p = 4 disebut persamaan kuartik; bila p = 5

disebut persamaan kuinik, dan seterusnya. Modifikasi dari model polinomial di atas adalah:

[3.6]. Y = β0 + β1

( )

1 X + β2

( )

2 X + β2

( )

3 X + . . . + βp

( )

p X

Untuk p = 2 maka modelnya menjadi: [3.7]. Y = β0 + β1 X + β2

( )

2

X atau dapat ditulis dengan [3.8]. Y = β0 + β1 X + β2 X

½

dalam bentuk lain juga dapat seperti

[3.9]. Y = β0 + β1 2 1       X + β2 2 1       X

3.3.2 Regresi fungsi hiperbola (reciprocal)

[3.10]. Y = p pX X X β β β β + + 2 +.. .+ 2 1 0

atau dapat ditulis dengan: [3.11]. Y2 = β0 + β1 X + β2 X

2

+ . . . + βp X p

Βentuk-bentuk lain dari model di atas: [3.12]. Y-1 = β0 + β1 X 1 + β2 X 2 + . . . + βp X p [4.13]. Y = eβ0+β1X+β2X2+...+βpXp 1

3.3.3 Regresi fungsi exponen

[3.14]. Y = e (β0 + β1 X1 + β2 X2) dapat pula berupa persamaan

[3.15]. Y = p pX X X

e

β + β + β + ...+ β 2 2 1 0

3.3.4 Regresi fungsi perkalian

[3.16]. Y = β0 X β1

X β2 X β3 . . . X βp

Fungsi di atas ini lebih dikenal dengan nama model fungsi Cobb-Douglas.

3.3.5 Regresi fungsi geneometri

3.3.6 Regresi fungsi gabungan [3.18]. Y = β0 X β1 eβ2X [3.19]. Y = e X X pXp + + + + + 1 1 . . . 2 2 1 0 β β β β [3.20]. Y = β0 X1 β1 eγ1X1 X2 β3. eγ2X2

Selain model-model tersebut di atas, masih banyak lagi bentuk-bentuk persamaan regresi yang lainnya. Sehingga, jelas sekali bahwa penyelesaian dari bentuk-bentuk regresi di atas sangat memerlukan pengetahuan matematika yang cukup, terutama pengetahuan mengenai matriks dan operasinya.

Oleh karena itu, untuk dapat mengerjakan persamaan-persamaan tersebut di atas itu, maka sebelum pembicaraan langsung memgenai bentuk-bentuk persamaan itu, akan didahului dengan pengenalan matriks yang disajikan secara singkat.

Jadi pengenalan matriks di sini bertujuan memberikan bekal bagi yang belum pernah mendapatkan pelajaran aljabar matriks dan bagi yang sudah sekedar mengingatkan kembali operasi operasi matriks yang akan dipergunakan pada analisis regresi. Dalam analisi regresi berganda, yaitu akan dibicarakan penyelesaian persamaan regresi berganda terutama dengan metode matriks, yang sebelumnya diterangkan dengan metode simultan. Jadi disini dibicarakan bagaimana menyelesaikan olahan data yang diperoleh dari sampel, kemudian diubah menjadi bentuk matriks, sampai mendapatkan nilai parameter atau koefisien regresi (bi) yang didapat dari olahan secara simultan dan

olahan secara operasi matriks, serta uji-ujinya. Berdasarkan hal ini, peranan matriks dalam penyelesaian persamaan regresi sangat diperlukan.

3.4 Model Umum Persamaan Regresi Linier Berganda

Pada awal pembicaaan ini telah disinggung tentang macam-macam regresi berganda dengan bentuk-bentuk fungsinya. Apabila dalam persamaan regresi linier mencakup lebih dari dua prediktor atau variabel bebas X, sehingga terdapat minimal tiga variabel termasuk variabel tak bebas Y, maka regresi tersebut dinamakan regresi linier berganda (multiple linier regression).

Dalam banyak buku, penulisan persamaan regresi linier berganda mempunyai pola yang berbeda-beda, tetapi pada prinsipnya sama. Penulisan itu didasarkan pada pandangan dan tujuan dari tulisan tersebut. Seperti halnya, apakah tulisan itu ditujukan untuk menunjukkan cara pengolahan data, ataukah tulisan itu ditujukan pada pembuktian dan penurunan persamaan-persamaan ataupun mempunyai tujuan lain.

Yang jelas terdapat perbedaan penggunaan notasi yang dipakai dalam melambangkan variabel-variabel dan parameter, atau dalam pembuktian persamaan-persamaan.

Model umum regresi linier berganda seperti yang di sebutkan pada persamaam [3.2] dinyatakan kembali pada model di bawah ini.

Βeberapa cara lain penulisan persamaan regresi linier berganda yang terdiri atas lebih dari dua variabel bebas adalah:

[3.21a]. Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + . . . + βp Xpi + εi [3.21b]. Yi = A + β1 X1i + β2 X2i + . . . + βp Xpi + εi [3.21c]. Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + . . . + βp Xpi + εi

[3.21d]. Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + . . . + βp Xip + εi model untuk populasi [3.21e]. Yi = β0 X0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 + . . . + βp Xip + εi atau dapat ditulis [3.21f]. Yi = β1.234 + β13.34 X2 + β13.24 X3 + . . . + β1p.23 Xp + εi

[3.21g]. Yi = ∑βi Xi + εi di mana i = 1, 2, 3, . . . .p

[3.21h]. Yi = a + b1 X1i + b2 X2i + . . . + bp Xpi + ei

[3.21i]. Yi = b1 + b2 X2i + b3 X3i + . . . + bp Xpi + ei model untuk sampel

[3.21j]. Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei

[3.21k]. Yi = b0 X0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei atau dapat ditulis l

[3.21l]. Yi = b1.23… + b13.34 X2 + b13.24 X3 + . . . + b1p.23 Xp + ei

[3.21m]. Yi = ∑bi Xi + ei di mana i = 1, 2, 3, . . . .p ε, μ, dan e adalah variabel pengganggu Dari macam-macam model di atas, angka-angka yang tercantum pada setiap koefisien disebut indeks atau subscript. Indeks huruf i pada setiap variabel menunnjukkan pengamatan ke-i dari sampel yang diamati.

Selanjutnya, dalam uraian-uraian berikut akan menggunakan model (3.21) untuk keseragaman dalam analisis regresi.

Hubungan yang sebenarnya antara yang hendak ditaksir dan variabel bebas X pada regresi linier berganda dapat ditulis:

[3.22]. E(Yi) = B0 + B1 Xi1 + B2 Xi2 + . . . + Bp Xip

Dari model persamaan [3.22] di mana Yi adalah variabel yang dijelaskan, X1, X2 , . . ., Xp

adalah variabel-variabel bebas penjelaskan atau prediktor atau regresor. Yi nilai

variabel Y pada pengamatan ke-i, Xi1 nilai variabel X1 pada pengamatan ke-i, dan Xip nilai

variabel Xp pada pengamatan ke-i.

Nilai-nilai B0, B1, B2, . . . , Bp adalah koefisien-koefisien regresi atau

parameter-parameter populasi yang akan ditaksir berdasarkan data sampel, dan p menunjukkan banyaknya variabel bebas X yang diduga berpengaruh terhadap variabel tak bebas Y Persamaan [3.22] dapat pula ditulis berdasarkan data sampel menjadi seperti berikut.

[3.23]. Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei

Dari persamaan [3.23] yang berhubungan dengan pengamatan ke-i, yang bermaksud untuk menaksir parameter-parameter atau koefisien regresi populasi B0, B1, B2, . . . , Bp

dengan menggunakan penaksir koefisien-koefisien regresi yang berasal dari sampel atau data pengamatan yaitu: b0, b1, b2, . . . , bp. Koefisien-koefisien regresi sampel diberi

simbul bi sebagai penaksir parameter populasi Bi. Sehingga penaksir bagi persamaan

regresi yang sebenarnya, yaitu penaksir bagi persamaan [3.22] dan [3.23] dapat ditulis sebagai berikut:

[3.24]. Ŷ = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip

Persamaan [3.24] tersebut di atas yang akan dicari dengan menggunakan data berasal dari sampel. Jadi nilai Ŷ merupakan nilai dugaan atau perkiraan terhadap nilai Y.

3.5 Asumsi-asumsi pada Regresi Linier Berganda

Agar dapat menyelesaikan suatu persamaan regresi linier berganda tanpa memperhatikan sifat-sifat variabel yang dapat mempengaruhi kesimpulan hasil analisis, maka diperlukan beberapa asumsi yang berkenaan dengan analisis regresi linier berganda, sebagai berikut:

1). Rata-rata kesalahan penggangu pada setiap pengamatan sama dengan nol (0), dapat ditulis dengan: S(ei) = 0 untuk setiap nilai i. i = 1, 2, ..., n.

2). Peragam (kovarians) dari pengamatan-pengamatan sama dengan nol (0), atau

dengan istilahnya bahwa tidak ada korelasi antara kesalahan penggangu satu dengan kesalahan pengganggu yang lainnya, dapat ditulis dengan: Kov (ei ej ) = 0, untuk i ≠ j.

3). Ragam (varians) kesalahan penggangu pada setiap pengamatan mempunyai nilai yang sama, dapat ditulis dengan: Var (ei ) = σ

2

, untuk setiap nilai i. di mana i = 1, 2, ..., n.

4). Peragam (kovarians) dari pengamatan untuk setiap variabel bebas sama dengan nol (0), atau dengan lain istilahnya bahwa tidak ada korelasi antara kesalahan penggangu dari setiap variabel bebas yang satu dengan variabel bebas yang lainnya yang menysun persamaan regresi berganda tersebut, dapat ditulis dengan: Kov (ei,Xi) = 0.

5). Tidak terdapat kolinieritas ganda (multicollinierity) yang berarti tidak terdapat hubungan linier yang kuat (eksak) antara variabel bebas X atau prediktor atau regresor yang berarti ada hubungan antara: k1 Xi1 + k2 Xi2 + . . . + kp Xip = 0, di

mana k1 = k2 = . . . = kp = 0, yang berarti bahwa Xi & Xj adahah

terjadi kolinieritas atau linier dependen. Dalam hal ini dikatakan bahwa X1 + X2 + . . . + Xp merupakan pasangan yang terpaut linier (linier dependent)

satu sma lainnya untuk seluruh pengamatan.

Jika sebuah variabel bebas Xi tepaut linier lebih dengan sebuah variabel bebas lain,

maka dalam analisis regresi linier berganda tersebut dikatakan terjadi kolinieritas ganda (multicollinierity).

3.6

Regresi Linier Berganda Dua Prediktor

Analisis regresi linier berganda yang paling sederhana dengan menggunakan hubungan linier yang terdiri atas dua buah variabel bebas X atau prediktor dengan sebuah variabel tak bebas Y atau regresor dengan bentuk fungsi atau model persamaan umum seperi pada persamaan [3.2] yang ditulis kembali pada persamaan [3.5] berikut ini.

[3.5]. Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 (bentuk paling sederhana dari regresi linier berganda).

Dalam regresi linier berganda seperti pada persamaan [3.2] atau [3.5] yang terdiri atas dua variabel bebas X, dapat diasosiasikan sebagai penjumlahan dari dua penyelesaian regresi linier sederhana yang secara bersamaan terhadap suatu permasalahan atau satu variabel tak bebas Y.

Dalam uraian berikut ini akan ditunjukkan penyelesaian regresi linier berganda dua variabel bebas X secara simultan untuk menentukan nilai parameter atau koefisien regresi b0; b1; dan b3. Untuk mempermudah pengertian di atas, perhatikan contoh

sederhana ini. Hasil tanaman bawang merah per hektar selain dipengaruhi oleh jumlah pupuk yang diberikan, juga dipengaruhi oleh berat atau banyaknya gulma yang tumbuh. Jika hasil bawang merah per hektar merupakan variabel tak bebas Y dan jumlah pupuk kandang yang diberikan sebagai variabel bebas X dan berat atau banyaknya gulma

Maka dapat dikatakan bahwa Y dipengaruhi oleh X1 dan X2 secara bersama-sama.

Apabila pengertian di atas diregresikan secara linier sederhana Y dengan setiap X1 atau

dengan X2 yang mempengaruhi Y masing-masing secara terpisah, maka regresi antara Y

dengan X1 dan antara Y dengan X2 dapat ditulis dengan persamaan:Yi = b01 + b1 Xi1

dan Y = b02 + b2 Xi3. Selanjutnya, apabila kedua persamaan di atas dijumlahkan

secara penjumlahan garis yang ortogonal atau tegak lurus satu sama lainnya, maka didapatkan nilai b01 + b02 = b0 secara bersama, sehingga kedua persamaan di atas

dapat ditulis menjadi:

Yi = b01 + b1 Xi1

Yi = b02 + b2 Xi3.

[3.26]. Yi = (b01 + b02) + b1 Xi1 + b2 Xi2 atau dapat diubah menjadi:

[3.27]. Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 seperti persamaan [3.2] atau [3.5] dengan p = 2. Jika dari persamaan [3.27] dipakai dasar untuk menduga koefisien regresi linier berganda bi untuk dua prediktor yaitu b0; b1; dan b2 maka modelnya dapat ditulis menjadi:

[3.28]. Ŷ = b0 + b1 X1 + b2 X2

3.7 Pendugaan Nilai Parameter atau Koefisien Regresi β

i

Untuk menentukan nilai koefisien regresi parsial (bi) sebagai penduga dari nilai dari βi

pada persamaan [3.28], yang berasal dari data sampel, maka diperlukan sekurang-kurangnya p + 1 buah jumlah variabel pengamatan. Jika dari setiap pasangan nilai- nilai X1, X2, dan Y yang terdapat dalam setiap sampel dipandang sebagai sebuah titik,

maka titik tersebut merupakan bagian dari koordinat ruang berdimensi tiga, sehingga terdapat n buah titik yang mewakili atau menggambarkan pengamatan- pengamatan yang terdapat dalam data sampel. Jika titik-titik tersebut betul-betul dilukiskan, maka gambaran yang diperoleh dengan cara demikian adalah merupakan diagram ruang bagi data sampel tersebut seperti pada Gambar 3.1. Dalam hal ini, didapatkan bentuk diagram yang sebarannya berdimensi tiga atau ruang. Gambar yang diperoleh merupakan bidang irisan dalam sebuah balok. Perhatikan Gambar 3.1.

Analisis regresi yang akan dilakukan dalam hal yang serupa adalah bertujuan untuk menentukan bidang linier atau bidang rata atau bidang datar yang modelnya ditunjukkan seperti pada persamaan [3.28] dengan menduga nilai-nilai dari b0; b1; dan b3.

Supaya dapat dipandang sebagai bidang regresi yang baik, maka bidang irisan tersebut haruslah dihapiri sedekatnya atau didekati oleh semua titik-titik pasangan pengamatan X1i, X2i, dan Yi.

Oleh karena itu, dapatlah dikatakan bahwa titik-titik pengamatan yang ke-i atau Yi

menyimpang dari bidang regresi yang merupakan pencerminan penyimpangan titik-titik pengamatan terhadap persamaan regresi linier berganda Ŷ = b0 + b1 X1 + b2 X2 yang

akan dicari. Penyimpang tersebut disimbulkan dengan e.

Penyimpangan ei antara titik-titik pengamatan Yi dengan bidang regresi Ŷ dapat

dinyatakan dengan persamaan seperti: [3.29]. ei = Yi - Ŷ atau

[3.30]. ei = Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2

ei = penyimpangan titik pengamatan Yi terhadap nilai pengamatan Ŷ

Nilai ei yang merupakan penyimpangan antara titik-titik pengamatan Yi dengan bidang

3.8 Metode Kuadrat Terkecil dan Persamaan Normal

Ada dua cara untuk memperkirakan koefisien regresi parsial bi (b0; b1; dan b2)

yaitu dengan memakai methode kuadrat terkecil (Ordinary Least Squares = OLS atau Least Squares Method dan metode maksimum likelihood (Maximum

Likelihood Method = MLM).

Untuk selanjutnya akan diuraikan satu metode saja yaitu metode kuadrat terkecil. Dalam metode kuadrat terkecil biasa (OLS), menentukan perhitungan nilai parameter yang tidak diketahui.

Dalam metode kuadrat terkecil (OLS) diusahakan sedemikian rupa sehingga didapatkan jumlah kuadrat kesalahan pengganggu atau penimpangan terhadap bidang regresi = Σe2

haruslah mempunyai nilai sekecil-kecilnya atau minimum. Jika jumlah kuadrat kesalah penggangu (Σe2

) dikodekan dengan G, sehingga didapatkan persamaan: [3.31]. G = Σe2 atau dapat ditulis menjadi:

[3.32]. G = Σ(Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) 2

dari persamaan [3.30].

Jadi, pada perhitungan nilai-nilai b0, b1, dan b2 yang dicari dengan meminimumkan nilai G

pada persamaan [3.32] yang merupakan nilai-nilai penaksir atau penduga bagi parameter-parameter β0, β1, dan β2 untuk dua pubah X1 dan X3. Cara penyelesaian

seperti ini juga berlaku bagi sejumlah p variabel bebas Xi yang dapat diduga dengan

metode matriks yang akan dibahas kemudian.

Syarat yang harus diperlukan dalam meminimali nilai G pada persamaan [3.32] adalah mengharuskan menyamakan fungsi-fungsi turunan pertama parsial dari jumlah

pangkat dua simpangan (ei) = Σei 2

terhadap b0, b1, dan b2 yang disamakan dengan nol,

sehingga fungsi turunan Σei 2

atau G terhadap setiap nilai b0, b1, dan b2 dapat ditulis

sebagai berikut:

Turunan pertama dari Σei 2

atau G terhadap b0 menjadi:

[3.33]. δG/δb0 = 2 Σ(Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- 1) = 0 Turunan pertama dariΣe2

atau G terhadap b1 menjadi:

[3.34]. δG/δb1 = 2 Σ(Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- X1) = 0 Turunan pertama dariΣe2

atau G terhadap b2 menjadi:

[3.35]. δG/δb2 = 2 Σ(Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- X2) = 0 Perhatikan faktor pengali yang berada di kiri tanda sama dengan nol.

Apabila dari persamaan-persamaan di atas [3.33], [3.34], dan [3.35] diselesaikan secara serantak dan diubah cara penyajiannya, maka diperoleh persamaan-persamaan seperti:

[3.36]. ΣYi - Σb0 - b1 ΣX1 - b2 ΣX2 = 0 [3.37]. ΣYi X1 - b0 ΣX1 - b1 ΣX1 2 - b2 ΣX1X2 = 0 [3.38]. ΣYi X2 - b0 ΣX2 - b1 ΣX1 X2 - b2 ΣX2 2 = 0

Persamaan-persamaan [3.36], [3.37], dan [3.38] di atas disebut dengan persamaan

normal. Perhatikan pengali dari setiap penaksir-penaksir yang berhubungan koefisien

regresi seperti b0, b1, dan b3. Apabila syarat-syarat dalam meminimalkan G dipenuhi,

maka sistem persamaan normal dari [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat diselesaikan secara serentak untuk menentukan besarnya nilai-nilai b0, b1, dan b2 sebagai penaksir pangkat

dua terkecil atau Least Squares Method (OLS = ordinary list squares) bagi parameter-parameter B0, B1, dan B3.

Biasanya, sistem persamaan-persamaan normal [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat diselesaikan secara serentak untuk mendapatkan nilai- nilai b0, b1, dan b2; oleh karena

jumlah sampel (n) diketahui dan jumlah-jumlah yang terdapat dalam sistem persamaan normal itu dapat dihitung dari data sampel. Dengan demikian koefisien-koefisien regresi b0, b1, dan b2, dalam analisis regresi linier berganda yang mengandung dua buah

prediktor atau variabel bebas X dapat ditaksir atau dihitung.

3.9 Perhitungan Nilai Koefisien Regresi

Jika diperhatikan kembali sistem persaman normal dari persamaan-persamaan [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat dilihat keteraturan dari cara-cara penyelesaianya. Sehingga setiap nilai bi dapat ditentukan dengan perhitungan seperti berikut.

Dari persamaan [3.36] dapat ditentukan nilai b0 yaitu dengan membagi persamaan

tersebut dengan jumlah pengamatan (= n) sehingga didapatkan persamaan dengan penyelesaian:

ΣYi - nb0 - b1 ΣX1 - b2 ΣX2 = 0 sama-sama di bagi dengan n

ΣYi /n - nb0 /n - b1 ΣX1 /n - b2 ΣX2 /n = 0/n atau

Y- b0 - b1X1 - b2X2 = 0 sehingga akhirnya menjadi

[3.39]. b0 = Y - b1 X1 - b2 X2

Dari persamaan [3.37] dan [3.38] di atas dapat ditentukan besarnya nilai b1 dan b2

dengan memodifikasi persamaannya menjadi persamaan-persamaan dengan huruf kecil. Perhatikan dengan teliti notasi dari variabel bebas X dan variabel tak bebas Y yang ditulis dengan huruf kecil x dan y pada persamaan-persamaan berikut ini.

Berikut ini diberikan hubungan antara X & Y dengan x & y:

[3.40a]. x1 = (X1 - X1), disebut dengan deviasi X1

[3.40b]. x2 = (X2 -X2), dan disebut dengan deviasi X2, dan

[3.40b]. y = (Y -Y) disebut dengan deviasi Y [3.41a]. Σy2 = ΣY2 - (ΣY)2/n disebut dengan JK Y [3.41b]. Σx1 2 = ΣX1 2 - (ΣX1) 2 /n disebut dengan JK X1 [3.41c]. Σx2 2 = ΣX2 2 - (ΣX2) 2 /n disebut dengan JK X2

[3.41d]. Σx1y = ΣX1Y - ΣX1 ΣY/n disebut dengan JHK X1Y

[3.41e]. Σx2y = ΣX2Y - ΣX2 ΣY/n disebut dengan JHK X2Y

[3.41f]. Σx1x2 = ΣX1X2 - ΣX1 ΣX2/n disebut dengan JHK X1X2

Dengan menggunakan persamaan [3.41a] sampai dengan persamaan [3.41f] maka perhitungan nilai b1 dan b2 menjadi:

[3.42a].

(

)

₂ ` 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x y x y x x b

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

− − = [3.42b].

(

)

2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

x

x

x

x

x

x

y

x

y

x

x

b

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

−

−

=

Atau dengan menggunakan notasi lain dari persamaan [3.41a] sampai dengan [3.41f] maka perhitungan nilai b1 dan b2 menjadi:

[3.43a].

₍

₎

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

X

X

JHK

X

JK

X

JK

X

X

JHK

Y

X

JHK

Y

X

JHK

X

JK

b

−

−

=

[3.43b].

₍

₎

₂ 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

X

X

JHK

X

JK

X

JK

X

X

JHK

Y

X

JHK

Y

X

JHK

X

JK

b

−

−

=

Selanjutnya, dilakukan pengujian terhadap regresi linier berganda terutama pengujian terhadap nilai-nilai koefisien regresi berganda (bi) serta pengujian terhadap bidang

regresi atau uji varians regresi atau uji F regresi.

3.10 Pengujian Regresi Linier Berganda

Dalam pengujian regresi linier berganda terdapat tiga macam uji yaitu: 1). Uji simultan atau uji F atau uji ragam regresi atau uji varians regrsi;

2). Uji parsial koefisien regresi atau uji terhadap bi atau uji t koefisien regresi; dan

3). Uji koefisien korelasi berganda atau uji R.

Ketiga macam uji-uji tersebut di atas menggunakan Ragam Galat Regresi atau Varians Residual Regresi yang disimbulkan dengan σ3.

Karena nilai σ2

tidak pernah diketahui, maka nilai σ2 didekati atau diduga dengan menggunakan nilai dugaan Galat Regresi penduga = SŶ2 atau Se3.

Nilai Se2 disebut dengan Kuadrat Simpangan Baku Regresi penduga atau lebih dikenal dengan sebutan Ragam Galat Regresi atau Ragam Residual Regresi atau Varians Residual Regresi atau Varians Sisa Regresi atau Varians Galat Regresi. Ragam Galat Regresi = Se2, yang perhitungannya didasarkan pada Jumlah Kuadrat Kesalahan Penggangu yang sering disebut dengan Jumlah Kuadrat Residual Regresi (JK Galat Regresi = JK Sisa Regresi = JK Residual yang disingkat dengan = JK Galat Regresi dengan simbul Σe i

2

) dibagi dengan Derajat Bebas Galat Regresi = DB Galat Regresi yang besarnya sama dengan n - p - 1.

Dasar perhitungan dari KT Galat Regresi atau Varians Residual Regresi adalah menggunakan persamaan [3.30] yaitu nilai variabel pengganggu e yang ditulis kembali menjadi persamaan:

[3.44]. ei = Yi - b0 - bi Xi1 - b2 Xi2

Dan jika ke dalam persamaan [3.44] disubstitusikan persamaan [3.39] yaitu pesamaan untuk perhitungan b0 maka didapatkan persamaan:

[3.45a]. ei = Yi - (Y- b1X1 - b2X2) - bi Xi1 - b2 Xi2 dengan membuka kurung maka menjadi:

[3.45b]. ei = (Yi -Y) - b1 (Xi1 - X₁) - b2 (Xi2 - X₂) [3.45c]. ei = yi - b1 x1 - b2 x3.

Dan dari persamaan [3.44] yaitu persamaan untuk nilai ei = Yi - b0 - bi Xi1 - b2 Xi2

sehingga dengan mengkuadrat jumlahkan nilai ei; selanjutnya didapatkan ∑ei2 atau disebut dengan JK Galat Regresi dengan kode G; dengan persamaannya menjadi:

[3.46a]. G = ∑ ei2

atau [3.46b]. G = ∑eiei.

Ingat ei = yi - b1 x1 - b2 x3. Seperti persamaan [3.45c] sehingga: [3.46c]. G = ∑ei(yi - b1 x1 - b2 x2) atau [3.46d]. G = ∑eiyi - b1 ∑eI x1 - b2 ∑eI x2)

[3.46e]. G = ∑eiyi sebab ∑eI x1 = ∑eI x2 = 0. sehingga menjadi: [3.46f]. G = ∑yiei

[246g]. G = ∑yi (yi - b1 ∑x1 - b2 ∑x2) sehingga menjadi: [3.46h]. G = ∑yiyi - b1 yi ∑x1 - b2 ∑yi x2

Ingat : yiyi = ∑yi 2

= JK Total = JK Y ∑yix1 = JHK YX1 = JHK X1Y

Ingat persamaan [3.41a sd 3.17f]. ∑yix2 = JHK YX2 = JHK X2Y

b1∑yix1 + b2∑yix2 disebut dengan JK Regresi

Dari persamaan [3.46 h] didapatkan bahwa JK Galat Regresi atau JK Residual Regresi Linier berganda sama dengan JK Total dikurangi dengan JK Regresi. Di mana JK Total = JK Y.

Hubungan antara komponen-komponen pada analisis keragaman (JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi) seperti berikut:

[3.47]. JK Galat Regresi = JK Total - JK Regresi.

Untuk menyederhanakan penulisan dan pengertian di atas, maka selanjutnya JK Galat Regresi disingkat dengan JK Galat, JK Regresi dengn JK Reg (tanpa titik) dan JK Total dengan JK Tot atau JK Y (tanpa titik).

Sehingga sesuai dengan persamaan [3.47], maka JK Regresi dua prediktor (dua variabel bebas X) mempunyai persamaan:

[3.485a] JK Regresi = (b1 ∑yi x1 + b2 ∑yi x2) atau dapat ditulis: [3.48b] JK Regresi = (b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y)

Persamaan [248a,b] berlaku umum untuk p variabel bebas X sehingga persamaannya menjadi:

[249a] JK Regresi = b1 ∑yi x1 + b2 ∑yi x2 + . . . + bp ∑yi xp

[3.49b] JK Regresi = (b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp JHK XpY)

Setelah perhitung JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi didapat maka di lanjutkan dengan uji F atau Analisis Keragaman atau Analisis Varians Regresi seperti uraian berikut.

3.11 Uji F atau Analisis Keragaman atau Analisis Varians Regresi

Dalam analisis keragaman yang merupakan uji F terhadap Ragam Regresi (KT Regresi atau Kuadrat Tengah Regresi) dengan memakai Ragam Galat (KT Galat = KT Residu). Dalam pengujian ini didasarkan pada pemecahan JK Total menjadi komponen-komponennya yaitu JK Regresi dan JK Galat Regresi, yang selanjutnya dijadikan Ragam Regresi dan Ragam Galat Regresi. Untuk memudahkan dalam uji F ini biasanya dibuatkan tabel Analisis Keragaman (Tabel Sidik Ragam Regresi atau Tabel Analisis Varians Regresi atau ANAVA Regresi atau ANOVA Regresi) yang komponen-komponennya seperti berikut.

Komponen Penyusun Tabel Sidik Ragam Regresi adalah:

1). JK Regresi = b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y (untuk 2 prediktor) atau

= b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp JHK XpY

(untuk p buah prediktor) 2). JK Total = Jk Y = ΣY2 - (ΣY)2/n

3). JK Galat = JK Total - JK Regresi Selanjutnya dihitung nilai KT atau Varians seperti:

1). KT Regresi = JK Regresi/(db Regresi). (DB Regresi = p. p = jumlah variabel X) 2). KT Galat = JK Galat/(db Galat) (DB Galat = n-p-1 n = jumlah sampel) Hasil perhitungan keragaman atau analisis varians di atas dibuatkan Tabel Sidik Ragam Regresi seperti pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1. Bagan Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (JK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F hitung F tabel 5% 1% Regresi p = 2 B1 yi x1 + b2 yi x2 atau [ (bi JHK XiY)] JK Reg/p = KT Reg _KTGalat Regresi KT Lihat tabel F Residual atau Galat n - p – 1 JK Galat 1 p n Galat JK − − Total n – 1 = Σyi 2 = JK Tot = JK Y n = jumlah sampel.

Berdasarkan pada asumsi sebaran normal untuk komponen pengganggu e, maka besarnya nilai F (F-hitung) dapat dihitung dengan rumus adalah:

[3.50] Fhit = Galat KT gresi KT Re

F-hitung disimbulkan dengan Fhit yang digunakan dalam pengujian hipotesis akan

dibuktikan dengan uji hipotesis.

Kreteria pengujian nilai Fhit adalah:

1). Jika Fhit > F(tabel α ) ini berarti bahwa terdapat hubungan bukan linier berganda

pada pasangan pengamatan X1, X2, Y tersebut atau f = (X1, X2) adalah bukan

linier pada taraf α.

2). Jika Fhit ≤ F(tabel α ) ini berarti bahwa terdapat hubungan linier berganda antara

pengaruh X1 dan X2 terhadap Y secara bersama atau simultan pada taraf α.

Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut di atas, tidak dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel bebas Xi menunjukkan pengaruh

atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y secara parsial.

Oleh karena itu, maka untuk menunjukkan hubungan atau pengaruh masing-masing variabel bebas Xi secara individu atau parsial dalam kebersamaan atau simultan

terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan menguraikan analisis keragaman yaitu menguraikan JK Regresi menjadi JK Regresi parsial untuk setiap variabel bebas Xi

seperti uraian berikut ini.

JK Regresi berganda = b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp JHK XpY (untuk p

prediktor) yang dapat diuraikan menjadi seperti berikut: 1). JK Regresi X1 = b1 JHK X1Y 2). JK Regresi X2 = b2 JHK X2Y . . . . . . p). JK Regresi Xp = bp JHK XpY

Untuk dua variabel bebas X, maka JK regresi parsial variabel bebas X1 dan X2 adalah:

JK Regresi = b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y (untuk 2 prediktor) dapat diuraikan menjadi:

1). JK Regresi X1 = b1 JHK X1Y

2). JK Regresi X2 = b2 JHK X2Y

Dengan demikian maka bentuk Tabel Sidik Ragam Regresi dari uraian di atas untuk dua variabel bebas X dapat ditulis seperti pada Tabel 3.2 di bawah ini.

Tabel 3.3. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (SK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F hitung F tabel (Fhit) 5% 1% Regresi p JK Regresi KT Regresi Regresi X1 1 JK Regresi X1 KT Regresi X1

Regresi X2/X1 1 JK Regresi X2 KT Regresi X2

Residual atau Galat

n-p-1 JK Galat KT Galat

Total n-1 JK Total -

Dari Sidik Ragam Tabel 3.3 di atas terlihat bahwa JK Regresi, dapat diuraikan mendi JK Regresi komponen-komponen setiap variabel bebas Xi dengan derajat bebas

tiap komponen sama dengan satu yaitu JK Regresi X1 dan JK Regesi X2/X1 artinya

JK Regresi dari X2 jika X1 dianggap konstan, atau variabel X2 merupakan tambahan

terhadap variabel bebas X1 dalam mempengaruhi variabel tak bebas Y; demikian

selanjutnya apabila jumlah variabel bebas bertambah samapai sebanyak p buah.

3.12 Uji Keberartian Koefisien Regresi (b

i

) Secara Parsial

atau Uji t Koefisien Regresi

Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut pada Tabel 3.3 di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel Xi menunjukkan pengaruh atau

hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y secara parsial.

Modifikasi dari pengaruh masing-masing variabel bebas Xi secara individu atau parsial

dalam kebersamaan atau simultan terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan uji t atau uji koefisien regresi secara parsial.

Secara umum uji t mempunyai persamaan seperti berikut: [3.51]. t-hitung W =

w

S W

W nilai yang diuji, sehingga untuk pengujian koefisien regresi (bi), maka persamaananya

menjadi: [3.52]. t-hitung b1 = 1 1 b S b ; t-hitung b2 = 2 2 b S b ; dan seterusnya Di mana Sbi = salah baku bi

Dari persamaan [3.52] dalam menyederhanakan penulisan Salah Baku Koefisien Regresi Bi biasa ditulis dengan σBi (Salah Baku = Standard Error Koefisien Regresi Bi ).

Perhitungannya didasarkan pada Ragam Galat Regresi atau KT Galat Regresi. Karena besarnya nilai σ2e (Ragam Galat Regresi Populasi) tidak diketahui, maka dapat diduga dengan nilai S2e atau KT Galat Regresi penduga yang mempunyai persamaan yaitu:

[3.53]. S2e = KT Galat Regresi = JK Galat Regresi/(n-p-1) (Perhatikan Tabel 3.2)

Selanjutnya, dalam Analisis Regresi dua prediktor, nilai Salah Baku bi yang ditulis (Sbi)

mempunyai persamaan seperti:

[3.54]. Sbi = varb_i masing-masing untuk b1 dan b2 menjadi:

Untuk pengujian b1 nilai salah baku menjadi:

[3.55a]. Sb1 = var b₁ =

(

)

       − 2 2 1 2 1 2 Re X X JHK X JK X JK X JK gresi Galat KT

Untuk pengujian b2 nilai salah baku menjadi: [3.55b]. Sb2 = var b₂ =

(

)

       − 2 2 1 2 1 1 Re X X JHK X JK X JK X JK gresi Galat KT

Seperti dalam uji F, penulisan t-hitung dapat ditulis dengan notasi thitung (artinya uji t untuk

pengujian hipotesis nol atau H0 : bi = 0 dan H1 : minimal satu dari bi ≠ 0).

Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa kreteria pengujian nilai thitung adalah:

1). Jika thitung ≤ t(tabel 5%, db galat) ini berarti pada analisis regresi linier berganda, pengaruh

X1 dan X2 terhadap Y menunjukkan bahwa baik X1 maupun X2

berpengaruh tidak nyata secara parsial terhadap Y.

2). Jika thitung > t(tabel 5%, db galat) maka nilai bi menunjukkan bahwa masing-masing baik X1

maupun X2 berpengaruh nyata terhadap variabel bebas Y secara

individual dalam kebersamaan atau secara parsial. Dengan kata lain ini berarti bahwa koefisien arah bi yang berangkutan dapat dipakai sebagai

penduga dan peramalan yang dapat dipercaya.

Pengujian yang dilakukan dengan cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel bebas Xi memberikan pengaruh atau hubungan yang nyata

terhadap variabel tak bebas Y.

Perlu diingatkan di sini ialah bahwa dalam pengujian-pengujian di atas (baik uji F maupun uji t), didasarkan atas metode kuadrat terkecil (OLS).

Selanjutnya, nilai Salah Baku Koefisien Regresi atau Sbi yang diperoleh selain untuk

pengujian hipotesis juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien regresi parsial yang sering disebut dengan perkiraan nilai beta (β) populasi dengan persamaan sebagai berikut di bawah ini.

[3.56]. p {bi - tα/2 Sbi < βi < bi + tα/2 Sbi} = 1- α untuk setiap b1 dan b1 seperti:

[3.57a]. p {b1 - tα/2 Sb1 < β1 < b1 + tα/2 Sb1} = 1- α untuk b1 [3.57b]. p {b2 - tα/2 Sb2 < β2 < b2 + tα/2 Sb2} = 1- α untuk b2

3.13 Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi

Dalam analisis regresi linier berganda terdapat beberapa macam koefisien korelasi, yang tergantung pada pendekatan hubungan yang dicari.

Adapun macam-macam koefisien korelasi tersebut adalah: 1). Koefisien korelasi sederhana.

2). Koefisien korelasi parsial. 3). Koefisien korelasi berganda. 4). Koefisien determinasi.

3.13.1 Korelasi linier sederhana

Koefisien korelasi sederhana atau koefisien korelasi linier atau koefisien korelasi product

moment atau koefisien korelasi Pearson yang disimbulkan dengan rij; yaitu suatu nilai mengukur keeratan hubungan antar masing-masing variabel ke-i dengan variabel ke-j, dengan tidak memperhatikan pengaruh variabel-variabel yang lainnya, seperti variabel

Dalam analisis regresi berganda tiga variabel atau dua prediktor yaitu analisis regresi yang terdiri atas dua pubah bebas X yaitu X1 dan X2 serta sebuah variabel tak bebas Y,

maka terdapat tiga nilai koefisien korelasi linier sederhana rij yaitu: 1) rY1 atau rYX1 yaitu koefisien korelasi antara Y dengan X1;

2) rY2 atau rYX2 yaitu koefisien korelasi antara Y dengan X2; dan

3) r12 atau rX2X1 yaitu koefisien korelasi antara X1 dengan X3.

Koefisien-koefisien korelasi tersebut di atas disebut dengan koefisien korelasi linier sederhana atau koefisien korelasi tahap nol atau koefisien korelasi order nol (simple

coeficient of correlation or correlation coeficients of zero order).

Adapun rumus dari koefisien korelasi sederhana ini adalah:

[3.58a]. rXY =

(

)

( )

    ∑ − ∑     ∑ − ∑ ∑ − ∑ ∑ n Y Y n X X n Y X XY 2 2 2 2 atau [3.58b]. rXY = ∑ ∑ ∑ 2 2 y x xy atau [3.58c]. rXY =

(

JKX

)(

JKY

)

XY JHK (n = jumlah sampel)

Memperhatikan keterangan di atas dapatkah dikatakan bahwa rYX1 merupakan ukuran

dari keeratan huhungan atau korelasi sederhana antara Y dengan X1 yang sebenarnya,

tanpa ada pengaruh yang variabel lain; sementara diketahui bahwa yang mempengaruh nilai Y adalah X2 selain nilai X1 dan selain itu kemungkinan juga X2 mempengaruhi X1 .

Jadi tegasnya bahwa dalam regresi berganda untuk mendapatkan hubungan yang sebenarnya antara sebuah variabel bebas Xi dengan variabel tak bebas Y, yaitu dengan

cara menghilangkan pengaruh variabel-variabel bebas yang lainya. Analisis ini dikenal dengan nama analisis korelasi parsial.

3.13.2 Koefisien korelasi parsial

Korelasi parsial (partial corelation coeficient) dapat dibedakan menjadi: 1) korelasi parsial order satu, 2) korelasi parsial order dua, 3) korelasi parsial order tiga, dan 4) dan korelasi parsial order empat sampai korelasi parsial order banyak.

1). Korelasi parsial order satu, dengan simbul rXiXj.Xk. yang berarti hubungan antara

variabel X ke-i dengan variabel X ke-j yang bebas dari pengaruh variabel X ke-k. 2). Korelasi parsial order dua, dengan simbul rYXi.XjXk. yang berarti hubungan antara

variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabel X ke-j dan variabel X ke-k.

3). Korelasi parsial order tiga, dengan simbul rYXi.XjXkXl. yang berarti hubungan

antara variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabel-variabel X ke-j; X ke-k; dan X ke-l.

4). Korelasi parsial order banyak, dengan simbul rYXi.XjXk . . . Xp. yang berari hubungan

antara variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabel-variabel X ke-j; X ke-k; . . .; dan X ke-p.

1. Korelasi parsial order satu

Koefisien korelasi parsial order satu pada model persamaan regresi: Ŷ = β0 + β1 X1 +

β2 X3. dapat diuraikan menjadi:

(1). rYX1.X2 koefisien korelasi parsial antara Y & X1 jika X2 pengaruhnya konstan

(2). rYX3.X1 koefisien korelasi parsial antara Y & X2 jika X1 pengaruhnya konstan

(3). rX1X3.Y koefisien korelasi parsial antara X1 & X2 jika Y pengaruhnya konstan

Perhitungan nilai-nilai koefisien korelasi parsial oder satu untuk tiga variabel dari persamaan di atas, didasarkan pada nilai-nilai koefisien korelasi sederhana atau korelasi order nol. Koefisien korelasi parsial oder satu mempunyai persamaan:

[3.60a]. rYX1.X2 = ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 1 ₂ 2 1 2 1 X X YX X X YX YX r r r r r − − −

nilai X2 yang konstan

[3.60b]. rYX3.X1 = ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 X X YX X X YX YX r r r r r − − −

nilai X1 yang konstan

[3.60c]. rX1X3.Y = ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 2 2 1 1 2 1 YX YX X Y YX X X r r r r r − − −

nilai Y yang konstan

Dari persamaan [3.60a sd 3.60c] di atas dengan pengertian bahwa: 1) rYX1 adalah koefisien korelasi sederhana antara Y dengan X1;

2) rYX2 adalah koefisien korelasi sederhana antara Y dengan X2; dan

3) rX1X2 adalah koefisien korelasi sederhana antara X1 dengan X3.

Apabila nilai koefisien korelasi sederhana diketahui besarnya sehingga analisis korelasi parsial oder satu dari persamaan regresi tiga variabel di atas menjadi:

[3.61a]. rYX1.X2 = ) 1 ( ) 1 ( 21 2 2 X2 X2 1 X2 1 X X Y X Y YX r r r r r − − − [3.61b]. rYX3.X1 = ) 1 ( ) 1 ( 2_X1 2_{1 2} X2 1 X1 2 X X Y X Y YX r r r r r − − − [3.61c]. rX1X3.Y = ) 1 ( ) 1 ( 22 2 X1 X2 X1 2 ! YX Y Y Y X X r r r r r − − −

Beberapa interprestasi yang dapat diungkapkan dari persamaan (3.61a sd 3.61c) di atas adalah sebagai berikut:

1). Dalam rYX1.X2; jika rYX1 = 0, maka rYX1.X2 tidak akan = 0, kecuali apabila rYX2 atau

rX1X2 = 0 atau kedua-duanya = 0.

2). Dalam rYX1.X2; jika rYX1 = 0, di mana rYX2 serta rX1X2 ≠ 0, dan selain itu

kedua-duanya mempunyai tanda yang sama (+ atau -), maka rYX1.X2 mungkin

akan negatif.

3). Sedangkan, dalam rYX1.X2 jika rYX1 = 0, di mana rYX2 serta rX1X2 ≠ 0, dan selain itu

Sebagai misal: Y produksi padi per hektar, X1 curah hujan dan X2 temperatur udara.

Diumpamakan Y = 0, yaitu bahwa tidak ada hubungan antara jumlah curah hujan dengan produksi padi, atau dengan kata lain bahwa produksi padi tidak dipengaruhi oleh curah hujan. Selanjutnya, diasumsikan pula bahwa rYX2 bertanda positif (+) dan rX1X2 bertanda

negatif (-), maka nilai rYX1.X2 akan bertanda positif (+) dan yaitu dengan anggapan bahwa

suhu konstan, maka akan terjadi korelasi yang positif antara produksi padi per hektar dengan curah hujan.

4). Bahwa rX1X2 dan rYX1 (serta penduga yang setara) tidak perlu mempunyai tanda

yang sama.

5). Dalam analisis regresi dua variabel bebas X, maka nilai rYX1.X2 akan berkisar antara

0 dan 1. Nilai yang sama akan didapat juga dari analisis korelasi parsial yaitu: 0 ≤ rYX1

2

+ rYX2 2

- rYX1 rYX2 rX1X2 ≤ 1

(nilai dalam tanda pertidaksamaan disebut dengan koefisien determinasi ganda (r2), akan dibicara kemudian).

6). Dalam rYXi.Xj yang bernilai negatif maka disamakan dengan nokl (0).

3.13.3 Koefisien Deterninasi

Koefisien determinasi R2 dapat dihitung langsung dari data bersamaan dengan koefisien

regresi bi. Kegunaan dari Koefisien determinasi R2 adalah untuk mengukur tingkat ketepatan yang paling baik dari analisis regresi.

Jika data observasi dapat tepat pada garis atau bidang regresi yang diestimasi, maka dikatakan terjadi kecocokan garis atau bidang regresi dengan sepurna, dan nilai koefisien determinasi akan maksimum yaitu R2 = 1.

Dalam kenyataan terhadap data pengamatan akan terjadi penyimpangan dengan garis atau bidang regresi penduga yang dikodekan dengan ei. Di dalam analisis regresi

dengan metode kuwadrat terkecil (OLS) diusahakan supaya nilai ∑ei sekecil mungkin mendekati nol atau nilai koefisien determinasi semaksimum mungkin mendekati satu. Koefisien determinasi berganda R2 dengan rumus umum seperti berikut:

[3.62] R2 = Total Kuadrat Jumlah gresi Kuadrat Jumlah Re

Koefisien determinasi berganda R2 dari regresi tiga variabel atau untuk regresi dengan dua variabel bebas X (X1 dan X2) dengan model persamaan regresi seperti Ŷ = β0 + β1

X1 + β2 X3. dapat didefinisikan sebagai berikut :

[3.63] R2 =

∑

∑

∑

+ 2 2 2 1 1 i y y x b y x b _{i i i i}

Untuk regresi p + 1 variabel atau dengan p variabel bebas X (X1, X2,X3, . . ., Xp) dengan

model persamaan regresi seperti Ŷ = β0 + β1 X1 + β2 X2 + . . . + βp Xp dapat

didefinisikan sebagai berikut : [3.64] R2 =

∑

∑

∑

∑

+ + + 2 2 2 1 1 ... i y y x b y x b y x b i i i i k pi i

Kelanjutan uraian koefisien determinasi berganda dan modifikasinya akan dibahas pada hal-hal selanjutnyaI.

Nilai harapan (E) koefisien determinasi R2 yang ditulis dengan E(R2) yang sering disebut dengan koefisien determinasi yang disesuaikan atau koefisien determinasi terkoreksi, didefinisikan dengan persamaan sebagai persamaan [3.65] berikut di bawah ini.

[3.65] E(R2) = (1 ₂) 2 y e E σ σ − = 1 - ) 1 /( ) /( 2 2 − − ∑ ∑ n y k n e = 1 -k n n − −1 ∑ ∑ 2 2 y e = 1 -k n n − −1 (1-R2) = 1 -k n n − −1 + k n n − −1 R2 = k n n k n − + − − 1 + k n n − −1 _R2 = k n k − − 1 + k n n − −1 R2

Dari penyelesaian persamaan [3.65] di atas maka didapatkan bahwa nilai harapan E(R2) yang disebut dengan nilai koefisien determinasi terkoreksi yang biasa ditulis dengan 2

R sehingga persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi: [3.66] _R2 ₌ k n k k n n R − − + − −1 1 2 = k n k k n n R − − − − −1 1 2

Penyelesaian selanjutnya dari persamaan [3.66] akan menjadi: [3.67] 2 R = k n k k n kR kR R nR − − − − − + − 2 2 2 1 2 = k n k R k n k k n k n R − − + − − − − − ) 1 ( 1) ( 2 2 = R2 - 1(1 R2) k n k − − − Dari persamaan di atas didapatkan maka 2

3.14 Contoh Analisis dan Uraiannya

Agar dapat memahami uraian di atas dan dapat menentukan nilai koefisien regresi penduga atau koefisien regresi bi yaitu nilai- nilai b0, b1, dan b2, maka diberikan contoh

olahan seperi di bawah ini, yang datanya terdiri dari dua variabel bebas X (prediktor = regresor) yaitu X1 dan X2 seperti pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3. Pengamatan Data Rregresi Dua Variabel Bebas X dan Satu Variabel Y

No. X1 X2 Y X1 2 X2 2 Y2 X1Y X2Y X1X2 1 9,750 1,610 0,650 95,063 2,592 0,423 6,338 1,047 15,698 2 10,500 2,000 0,750 110,250 4,000 0,563 7,875 1,500 21,000 3 11,250 2,500 0,900 126,563 6,250 0,810 10,125 2,250 28,125 4 12,600 2,700 1,150 158,760 7,290 1,323 14,490 3,105 34,020 5 11,900 2,250 0,950 141,610 5,063 0,903 11,305 2,138 26,775 6 15,200 3,250 1,750 231,040 10,563 3,063 26,600 5,688 49,400 7 12,250 2,900 1,050 150,063 8,410 1,103 12,863 3,045 35,525 8 12,900 3,000 1,000 166,410 9,000 1,000 12,900 3,000 38,700 9 14,300 3,100 1,700 204,490 9,610 2,890 24,310 5,270 44,330 10 13,250 3,050 1,250 175,563 9,303 1,563 16,563 3,813 40,413 11 15,300 3,250 1,800 234,090 10,563 3,240 27,540 5,850 49,725 12 8,900 1,900 0,600 79,210 3,610 0,360 5,340 1,140 16,910 13 10,600 1,950 0,500 112,360 3,803 0,250 5,300 0,975 20,670 14 7,500 3,450 0,720 56,250 11,903 0,518 5,400 2,484 25,875 15 11,900 2,250 0,950 141,610 5,063 0,903 11,305 2,138 26,775 Jum-lah 178,100 39,160 15,720 2183,330 107,020 18,908 198,253 43,441 473,940 Rata-rata 11,873 2,611 1,048 145,555 7,135 1,261 13,217 2,896 31,596 3.14.1 Perhitungan nilai JK- JHK

Perhitungan nilai JK- JHK dari data tabel di atas dapat dilihat di bawah ini. Perhitungan nilai JK seperti:

JK Y = Σy2 = ΣY2 - (ΣY)2 /n = 18,908 - (5,720)2/15 = 2,4338 JK X1 = Σx1 2 = ΣX1 2 - (ΣX)2 /n = 2183,330 - (178,100)2/15 = 68,6893 JK X2 = Σx2 2 = ΣX2 2 - (ΣX)2 /n = 107,020 - (39,160)2/15 = 4,7859

Perhitungan nilai JHK seperti: JHK X1Y = Σx1y = ΣX1Y - ΣX1 ΣY/n = 198,253 - (178,100)(5,720)/15 = 11,6037 JHK X2Y = Σx2y = ΣX2Y - ΣX2 ΣY/n = 43,441 - (39,160)(5,720)/15 = 2,4008 JHK X1X2 = Σx1x2 = ΣX1X2 - ΣX1 ΣX2/n = 473,940 - (178,100) (39,160)/15 = 8,9803

3.14.2 Perhitungan untuk mencari nilai b1, b2, dan b0 seperti berikut ini: Perhitungan untuk mencari nilai b1, b2, dan b0 didasarkan pada nilai JK-JHK

b1 =

(

)

2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 X X JHK X JK X JK X X JHK X JK Y X JHK X JK − − =

(

)(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

2 9803 , 8 78589 , 4 6893 , 68 9803 , 8 6893 , 68 6037 , 11 78589 , 4 − − = 0,136940 b2 =

(

)

2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 X X JHK X JK X JK X X JHK X JK Y X JHK X JK − − =

(

)(

) (

)(

)

(

) (

) (

)

2 9803 , 8 7859 , 4 6893 , 68 9803 , 8 7859 , 4 4008 , 2 6893 , 68 − − = 0,244691 b0 = Y- b1X1 - b2X2 = 1,048 - (0,136940) (11,873) - (0,244691) (2,611) = -1,216739

Sehingga persamaan Regresi bergandanya menjadi: Ŷ = b0 + b1 X1 + b2 X2

Ŷ = -1,216739 + 0,136940 X1 - 0,244691 X2

Selanjutnya, dilakukan pengujian terhadap regresi linier berganda terutama pengujian terhadap nilai-nilai koefisien regresi berganda (bi) serta pengujian terhadap

bidang regresi.

Dalam pengujian regresi linier berganda terdapat tiga macam uji yaitu: 1). Uji simultan atau uji F atau uji ragam regresi atau uji varians regrsi;

2). Uji parsial atau uji koefisien regresi berganda atau uji terhadap bi atau uji t; dan

Ketiga macam uji-uji tersebut di atas menggunakan Ragam Galat Regresi atau Varians Residual Regresi yang disimbulkan SŶ2 atau Se3.

Varians Sisa Regresi atau Varians Galat Regresi, yang perhitungannya didasarkan pada Jumlah Kuadrat Total dikurangi dengan Jumlah Kuadrat Regresi dibagi dengan Derajat Bebas Galat Regresi. DB Galat Regresi = n - p – 1 = 15-2-1 = 12

3.14.3 Perhitungan analisis keragaman regresi

Hubungan antara komponen-komponen pada Analisis Keragaman seperti berikut ini. Dari persamaan [3.46 h] didapatkan bahwa JK Galat Regresi sama dengan JK Total dikurangi dengan JK Regresi. JK Total atau JK Y dapat dihitung dari data pengamatan. Perhitungan JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi dari analisis data di atas seperti:

JK Y = Σy2 = ΣY2 - (ΣY)2 /n = 18,908 - (5,720)2/15 = 2,4338 JHK X1Y = Σx1y = ΣX1Y - ΣX1 ΣY/n = 198,253 - (178,100)(5,720)/15 = 11,6037 JHK X2Y = Σx2y = ΣX2Y - ΣX2 ΣY/n = 43,441 - (39,160)(5,720)/15 = 2,4008 JK Total = JK Y = 2,4338 JK Regresi = (b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y) = (0,136940) (11,6037) + (0,244691) (2,4008) = 2,1765

JK Galat Regresi = JK Total - JK Regresi = 2,4338 - 2,1765

= 0,2573

Setelah perhitung JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi didapatkan, maka di lanjutkan dengan membuat Tabel Analisis Keragaman Regresi seperti pada Tabel 3.4 berikut ini.

Tabel 3.4. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (SK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F F tabel hitung 5% 1% Regresi 2 2,1765 1,08825 50,73904** 3,88 6,93 Galat atau Residual 12 0,2573 0,02145 Total 14 2,4338 - Keterangan:

Jumlah sampel (pasangan pengamatan) = n = 15. ** = berbeda sangat nyata pada p = 1% atau Dapat ditulis berbeda sangat nyata (p<0,01)

Berdasarkan hasil Analisis Varians di atas ternyata kreteria pengujian nilai Fhit adalah:

1). Ternyta Fhit ≥ F(tabel 5%) ini berarti bahwa terdapat hubungan linier berganda

antara pengaruh variabel X1 dan X2 terhadap Y secara bersama-sama

atau simultan.

2). Bila Fhit > F(tabel 5%) maka uji F analisis regresi dilanjukan dengan pengujian

pengaruh masing-masing variabel bebas X secara individu dalam kebersamaan terhadap variabel tak bebas Y secara parsial seperti uraian berikut.

Hal di atas dilakuakan sebab dalam pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti di atas, tidak dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel Xi menunjukkan pengaruh

atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y apabila jumlah peubah bebas bertambah banyak.

Oleh karena itu, maka untuk menunjukkan hubungan atau pengaruh masing-masing variabel bebas Xi secara individu atau parsial dalam kebersamaan atau simultan

terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan menguraikan Analisis Keragaman lanjutan yaitu menguraikan JK Regresi menjadi JK Regresi Parsial untuk setiap variabel bebas Xi seperti uraian berikut:

Untuk dua variabel bebas X, maka JK Regresi Parsial untuk variabel bebas X1 dan X2

dengan perhitungan adalah :

JK Regresi = (b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y) = (0,136940) (11,6037) + (0,244691) (2,4008) = 2,1765 1). JK Regresi X1 = b1 JHK X1Y = (0,136940) (11,6037) = 1,5890 2). JK Regresi X2 = b2 JHK X2Y = (0,244691) (2,4008) = 0,5875

Dengan demikian maka bentuk Tabel Sidik Ragam dari perhitungan di atas menjadi seperti Tabel 3.5 berikut ini.

Tabel 3.5. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor

Sumber Keragaman (SK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F hitung (Fhit) F tabel 5% 1% Regresi 2 2,1765 1,08825 50,73904** 3,88 6,93 Regresi X1 1 1,5890 1,5890 88,1119 ** 4,75 9,33 Regresi X2/X1 1 0,5875 0,5875 27,3893 ** 4,75 9,33 Residual atau Galat 12 0,2573 0,02145 Total 14 2,4338 -

Dari sidik ragam Tabel 3.6 terlihat bahwa JK Regresi, diuraikan mendi JK Regresi komponen-komponennya dengan derajat bebas tiap komponen sama dengan satu yaitu JK Regresi X1 dan JK Regesi X2/X1 yang artinya JK Regresi dari X2 jika X1 dianggap

konstan, atau variabel bebas X2 merupakan tambahan terhadap variabel bebas X1

dalam mempengaruhi variabel tak bebas Y; demikian selanjutnya apabila jumlah variabel bertambahkan cukup banyak.

Ternyata dari Tabel 3.6 di atas dapat dikatakan bahwa kedua variabel bebas X1 dan X2

berpengaruh nyata (p<0,05) terhadap variabel tak bebas Y (pengujian ini bersifat klasik).

3.13.4 Uji keberartian koefisien regresi (bi) secara parsial atau Uji t

Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut pada Tabel 3.5 di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel Xi menunjukkan pengaruh atau

hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y secara parsial (suatu cara pengujian yang bersifat klasik).

Modifikasi dari pengaruh masing-masing variabel bebas Xi secara individu atau parsial

dalam kebersamaan atau simultan terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan uji t untuk uji koefisien regresi.

Secara umum uji t mempunyai rumus seperti pada [3.51] adalah: t hitung W =

w

S W

di mana W nilai yang diuji Sehingga, untuk pengujian koefisien regresi b1 dan b2 dengan uji t menjadi:

t hitung b1 = 1 1 b S b dan t hitung b2 = 2 2 b S b

di mana Sbi = salah baku bi

JK X1 = 68,6893 JK X2 = 4,7859

JHK X1 X2 = 8,9803 KT Galat Regresi = 0,02145

Dalam analisis regresi dua prediktor, nilai salah baku bi atau Sbi melalui persamaan

berikut ini.

Untuk pengujian b1, maka nilai salah baku Sb1 menjadi:

Sb1 = var b1 =

(

)

        − 2 2 1 2 1 2 Re X X JHK X JK X JK X JK gresi Galat KT =

(

)

       − _8,98032 7859 , 4 6893 , 68 7859 , 4 0.02145 = 0,000412 = 0,0203

t hitung b1 = 1 1 b S b = 0203 , 0 173 , 0 = 6,732

Untuk pengujian b2, maka nilai salah baku Sb2 menjadi:

Sb2 = var b2 =

(

)

       − 2 2 1 2 1 1 Re X X JHK X JK X JK X JK gresi Galat KT =

(

)

_      − _8,98032 7859 , 4 6893 , 68 6893 , 68 0.02145 = 0,0060 = 0,077 t hitung b2 = 2 2 b S b = 077 , 0 245 , 0 = 3,175

Nilai ttabel = t(tabel α/2, db galat)

= t(5%, 12) = 2,179

= t(1%, 12) = 3,055

Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa: thitung > t(tabel 5%, db galat) maka nilai bi menunjukkan

bahwa baik X1 maupun X2 berpengaruh nyata (p<0,05) terhadap variabel bebas Y

secara individu dalam kebersamaan. Kesimpulan ini persis sama dengan uji F pada Tabel 3.6 di atas.

Dengan kata lain ini berarti bahwa koefisien arah b1 dan b2 yang dapat dipakai sebagai

penduga dan peramalan yang dapat dipercaya.

Pengujian yang dilakukan dengan cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk bahwa setiap variabel bebas X1 dan variabel bebas X2 memberikan pengaruh yang nyata

terhadap variabel tak bebas Y.

3.13.5 Perkiraan nilai interval koefisien regresi parsial

Selanjutnya, nilai salah baku koefisien regresi Sbi yang diperoleh selain untuk pengujian

hipotesis juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien regresi parsial yang sering disebut dengan perkiraan nilai beta (β) populasi dengan persamaan sebagai berikut ini.

p {bi - tα/2 Sbi < βi < bi + tα/2 Sbi} = 1- α untuk setiap b1 dan b1 seperti: