SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL- TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

(1)

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI

POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL

POSCHL-TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

Disusun oleh : NANI SUNARMI

M0209036

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA Maret, 2013

(2)

Skripsi dengan judul

Yang ditulis oleh Nama

NIM

Telah diuji dan dinyatakan Hari

Tanggal

Anggota Tim Penguji:

1.

Ahmad Marzuki, S.Si., Ph.D.

NrP. 19680s08 199702 1 001

2.

Drs. Suharyana, M.Sc.

NrP. 1961r2r7 198943 1 003 Dra. Suparmi, M.A., Ph.D.

NIP. 19520915 197603 2 001 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph-D

NrP. 19610306 198503 1 002

HALAMAIY PENGESAHAN

Solusi Persamaan Schnidinger untuk Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan Metode Nikiforov-Uvarov

Narri Sunarmi M0209036

lulus oleh dewan penguji pada Kamis

28 Maret 2013

J.

4.

Disahkan oleh Ketua Jurusan Fisika

ika dan Ilmu Pengetahuan Alam Sebelas Maret Surakarta

u

/11 -- a 9680508 199702 1 001

ii

Fakult4s s.si.. Ph.D.

(3)

iii

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual skripsi saya yang berjudul “ SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL-TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV” adalah hasil kerja saya atas arahan pembimbing dan sepengetahuan saya hingga saat ini, isi skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di PerguruanTinggi lainnya, jika ada maka telah dituliskan di daftar pustaka skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis.

Surakarta, 1 Maret 2013

(4)

vi

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“SEMANGAT”

Tulisan ini saya persembahkan untuk Mamak, Mak’e , Mas Nurul, Mba Ten, Ndari, Mamat dan Mas Majid atas segala kasih sayang

(5)

iv

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL-TELLER

DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

NANI SUNARMI

Jurusan Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan persamaan energi dan fungsi gelombang untuk kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller dengan metode Nikiforov-Uvarov serta memvisualisasikan energi dan fungsi gelombang dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan metode Nikivorov-Uvarov (NU) dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde 2 menjadi persamaan diferensial orde 2 tipe Hipergeometri melalui subtitusi variabel yang sesuai. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang (bagian radial dan sudut) dinyatakan dalam bentuk Polinomial Jacobi. Potensial Non-Sentral Poschl-Teller menyebabkan bilangan kuantum orbital bertambah dan energi pada potensial Hulthen semakin bernilai negatif.

Kata Kunci : potensial Hulthen, potensial Non-Sentral Poschl-Teller, metode Nikiforov-Uvarov.

(6)

v

THE SOLUTION OF SCHRÖDINGER EQUATION FOR COMBINED HULTHEN POTENTIAL AND POSCHL-TELLER NON- CENTRAL

WITH NIKIFOROV-UVAROV METHOD

NANI SUNARMI

Physics Department, Faculty of Sciences, Sebelas Maret University

ABSTRACT

This research is aimed to determine the energy equation and the wave function for combinations of Hulthen potential and Poschl-Teller Non-Central potential with Nikiforov-Uvarov method and to visualize the energy and wave function with Matlab. To solve the Schrödinger equation with Nikivorov-Uvarov method (NU) has been done by reducing the two order differensial equation to be the two order differential equation Hypergeometric type through substitution of appropriate variables.The energy levels obtained is the closed function while the wave functions (radial and angular part) are expressed in the form of Jacobi polynomials. The Poschl-Teller Non-Central potential causes the orbital quantum number increased and the energy of the Hulthen potential is increasing negativelly.

Keywords: Hulthen potential, Non-Central Poschl-Teller potential, Nikiforov-Uvarov method.

(7)

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rakhmat dan karunia-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang berjudul “Solusi Persamaan Schrödinger Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Dengan Metode Nikiforov-Uvarov”.

Penulis menyadari bahwa keberhasilan penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Pada kesempatan ini, Penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Ahmad Marzuki, M.Sc., Ph.D selaku Ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta.

2. Dra. Suparmi, M,A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing I atas bimbingan, saran, serta nasehat yang berarti banyak bagi penulis selama penyusunan skripsi. 3. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingan,

saran, serta semangat yang diberikan.

4. Drs. Harjana, M.Si., Ph.D selaku pembimbing akademik yang atas semangat yang diberikan.

5. Segenap staff jurusan atas bantuan yang diberikan, semoga Allah membalas kebaikan kalian.

6. Seluruh Mahasiswa Jurusan Fisika FMIPA UNS untuk tegur sapa dan keramahan yang diberikan.

Semoga segala kebaikan dan pertolongan semuannya mendapat berkah dari Allah S.W.T. Penulis mohon maaf apabila masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Amin.

Surakarta, 1 Maret 2013

(8)

viii

DAFTAR ISI

halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PENGESAHAN ... ii

HALAMAN PERNYATAAN.. ... iii

HALAMAN ABSTRAK ... vi

HALAMAN ABSTRACT ... v

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DARTAR ISI ... viii

DAFTAR TABEL ... x

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR SIMBOL ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang Masalah ... 1

1.2. Batasan Masalah... 2

1.3. Perumusan Masalah ... 2

1.4. Tujuan Penelitian ... 3

1.5. Manfaat Penelitian ... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1.Persamaan Schrödinger ... 4

2.2. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola ... 6

2.3. Metode Nikiforov-Uvarov………. 8

2.4. Potensial Hulthen ... 9

2.5. Potensial Non-Sentral Poschl-Teller ... 10

2.6. Persamaan Schrödinger Untuk Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller ... 10

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 12

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 12

3.2. Peralatan Penelitian ... 12

3.3. Metode Penelitian... 13

3.3.1. Studi Literatur ... 13

3.3.2. Penulisan Persamaan Kombinasi Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller ... 13

(9)

ix

3.3.3. Penulisan Persamaan Schrödinger Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Menggunakan

Koordinat Bola ... 13

3.3.4. Penentuan Fungsi Gelombang Sudut ... 14

3.3.5. Penentuan Fungsi Energi Dan Fungsi Gelombang Radial ... 14

3.3.6. Visualisasi Tingkat Energi, Fungsi Gelombang Radial Dan Sudut Dengan Matlap 2008 ... 15

3.3.6. Analisis ... 16

3.3.6. Kesimpulan ... 16

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 17

4.1. Pendahuluan ... 17

4.3. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Sudut Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller ... 17

4.2. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Radial Untuk Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller ... 42

BAB V PENUTUP ... 56

5.1. Kesimpulan ... 56

5.2. Saran ... 56

(10)

x

DAFTAR TABEL

halaman Tabel 4.1 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan

Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai 𝑛_𝑙... 32 Tabel 4.2 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan

Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai 𝑚... 32 Tabel 4.3 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan

Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai 𝜅... 33 Tabel 4.4 Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan

Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai 𝜂... 33 Tabel 4.5 Fungsi gelombang radial potensial Hulthen dan Non-Sentral

(11)

xi

DAFTAR GAMBAR

halaman Gambar 2.1.Sistem Koodinat Bola……… .... 7 Gambar 3.1.Bagan Prosedur Penelitian……… ... 12 Gambar 4.1. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola

kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝑛_𝑙 (a) 𝑃1122, (b) 𝑃2122, (c) 𝑃3122, (d) 𝑃2122 34

Gambar 4.2. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝑛_𝑙 (a) 𝑃1122, (b) 𝑃2122, (c) 𝑃3122, (d) 𝑃2122 34

Gambar 4.3. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝑚 (a) 𝑃1000, (b) 𝑃1100, (c) 𝑃1022, (d)

𝑃1122, (e) 𝑃1222, (f) 𝑃1322……….………. 35

Gambar 4.4. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝑚 (a) 𝑃1000, (b) 𝑃1100, (c) 𝑃1022, (d) 𝑃1122,

(e) 𝑃1222, (f) 𝑃1322……….……….. 35

𝑃1122, (e) 𝑃1222, (f) 𝑃1322……….. 36

𝑃1122, (e) 𝑃1222, (f) 𝑃1322……….. 37

Gambar 4.7. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜅 (a) 𝑃1122, (b) 𝑃1132, (c) 𝑃1142, (d) 𝑃1152 37

(12)

xii

Gambar 4.8. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜅 (a) 𝑃1122, (b) 𝑃1132, (c) 𝑃1142, (d) 𝑃1152 37

Gambar 4.9. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜅 (a) 𝑃1122, (b) 𝑃1132, (c) 𝑃1142, (d)

𝑃1152 ……… 38

Gambar 4.10. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜂 (a) 𝑃1000, (b) 𝑃1002, (c) 𝑃1120, (d) 𝑃1122,

(e) 𝑃2000, (f) 𝑃2002 ……… 39

Gambar 4.11. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat bola kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜂 (a) 𝑃1000, (b) 𝑃1002, (c) 𝑃1120, (d) 𝑃1122,

(e) 𝑃2000, (f) 𝑃2002……… 39

Gambar 4.12. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller terhadap perubahan nilai 𝜂 (a) 𝑃1000, (b) 𝑃1002, (c) 𝑃1120, (d) 𝑃1122,

(e) 𝑃2000, (f) 𝑃2002……… 40

Gambar 4.13. Grafik Tingkat Energi Potensial Hulthen Terganggu Potensial Non-Sentral Poschl-Teller Dengan 𝑉1=

ℏ2

2𝜇 𝛼 = 1 ……….……… 48

Gambar 4.14. Visualisasi Gelombang Radial Potensial Hulthen dan

Non-Sentral Poschl-Teller…….………... 52

Gambar 4.15. Grafik Probabilitas Gelombang Radial Potensial Hulthen dan

(13)

xiii

DAFTAR SIMBOL

Simbol Keterangan Nilai/ Satuan

ℎ Tetapan Planck 6,626𝑥10−34_{𝐽. 𝑠}

ℏ ℎ _2𝜋 1,055𝑥10−34 𝐽. 𝑠

𝑒 Muatan elektron 1,6𝑥10−19 𝐶

𝜇 Massa diam elektron 9,1𝑥10−31_𝑘𝑔

𝜀₀ Permitivitas ruang hampa 8,85𝑥10−12_𝐶2_/𝑁𝑚2

𝒑 Momentum linier 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 𝐯 Kecepatan linier 𝑚/𝑠 𝒌 Bilangan gelombang 1/𝑚 𝝎 Kecepatan sudut 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜈 Frekuensi 1/𝑠 𝐸 Energi total 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐸_𝑘 Energi kinetik 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐸𝑝 Energi potensial 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒

𝑟 Jarak elektron ke inti 𝑚

𝑛 Bilangan kuantum utama -

𝑛𝑟 Bilangan kuantum radial -

𝑛_𝑙 Bilangan kuantum polar -

𝑙 Bilangan kuantum orbital -