4. Mononom dan Polinom

(1)

Sudaryatno Sudirham

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5 10

) 5 (

7 3 5

4 3

2 2 2

2 3 1

= =

− =

+ − + =

y x y

x y

x x x y

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu pangkat

tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi berpangkat empat. Contoh

y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal

sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. _{Mononom pangkat dua kita pandang sebagai fungsi genap,}

kita tuliskan

2

kx

y= (4.1)

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier y=kx nilai k merupakan kemiringan dari garis

lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k. Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsi_y₌_kx2_{dengan k positif.}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2 y = 3x2 y = 5x2

(2)

2/12 Sudaryatno Sudirham, Mononom dan Polinom

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum pada titik [0,0].

-100 -80 -60 -40 -20 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = −2x2

y = −10x2 y

x

Gb.4.2. Kurva fungsi _y₌_kx2_{dengan k negatif.}

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2

) ( )

(y−b =k x−a (4.3)

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

2 1 10x

y =

2 2=10(x−2)

y

30 ) 2 ( 10 2

3= x− +

y

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x sebesar 2

skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y sebesar 30 skala. Bentuk

lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. _{Mononom pangkat genap yang lain adalah berpangkat 4, 6}

dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang memiliki koefisien k sama besar.

0 50 100

-5 -3 -1 1 3 _x 5

y1 = 10x2

y2 = 10(x−2)2

(3)

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar.

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan ydengan koefisien yang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang makin rendah pada mononom berpangkat tinggi.

0 1 2 3 4 5 6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y3 = 2x2

y2 = 3x 4

y1 = 6x 6

y

x

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0 1 2 3

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(4)

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

at t v()=

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2

2 1 ) (t at

s =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

at v_k =

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 2

2 1 ) (t at

s = , di mana s(t) = l.

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan sentral adalah _ψ₌_ejkr dengan k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan

gelombang. λ

π =2

k , λ : panjang gelombang

Energi kinetik elektron sebagai gelombang, Ek , adalah

e k

m k E

2

2 2 h =

me massa electron, h suatu konstanta.

Ek dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y=kx. Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan

seterusnya. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil. ]]]]

anoda katoda

l

k

(5)

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam “pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1≤x≤1.

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis y=kx bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

c bx ax

y= 2+ + (4.4)

Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan bertambah tinggi di

sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

y y1=2x2

x y3=13

y2=15x

-150 0 150

-10 ₀

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(6)

(a) (b)

(c)

Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13

Karena y₂ =15x melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2 juga melalui titik [0,0] maka penjumlahan

kedua kurva akan memberikan kurva

x x y y

y₄= ₁+ ₂=2 2+15 (4.5)

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga memotong sumbu-x di x=−15/2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan x=−15/2) memenuhi persamaan

seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4 tebentuklah

13 15 2 2

5= x + x+

y (4.6)

yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 skala, seperti terlihat

pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

c bx ax

y= 2+ +

yang dapat kita tuliskan sebagai

(7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y adalah kurva y = ax2

yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh

a

Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri sejauh –b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah

sejauh –(b2−4ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada

a

kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari persamaan (4.7) kita dapatkan

0

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

0 kompleks yang belum akan kita bahas.

(8)

Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:

1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y=ax2+bx yang memotong sumbu-x di x = 0 dan a b x=−

dan memiliki sumbu simetri di

a b x

2

−

= yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi

kuadrat y=ax2+bx+c.

2. Nilai puncak fungsi y=ax2+bx+c adalah nilai puncak y=ax2+bx ditambah c yaitu

c a b

y=− +

4

2

atau

a ac b

4 4

2₋

− .

3. Fungsi kuadrat y=ax2+bx+c memotong sumbu-x di

a ac b

a b x

2 4 2

2 2

,

1 =− ± −

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan _y₌_kx3_{. Jika k positif, fungsi ini akan bernilai}

positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y =−3x3 y = 2x3

y = 2x3 y =−3x3

y

x

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan (x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang tergeser akan menjadi

b a x k

y= ( − )3+ (4.10)

(9)

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang berbentuk

d cx bx ax

y= 3+ 2+ + (4.11)

Karena _y₌_kx3_{naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan}

menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan 3 1 ax

y = dan b =_19,_{c =}−_80,_{d =}−_{200 untuk}

menggambarkan kurva fungsi y₂ =bx2+cx+d seperti terlihat pada Gb.4.11.a.

Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.

-2000 0 2000

-10

0 10

y

x y1=

4x3

200 80 19 2

2= x − x−

y

-2000 0 2000

-10 0 _x 10

y

y1

y2

200 80 19 4

3 2

2 1 3

− − + =

+ =

x x x

y y y

(a)

(b)

-600 -400 -200 0 200 400 600

-5 -3 -1 1 3 x 5

y = 10x3

y = 10(x−2)3

y = 10(x−2)3 + 100

(10)

Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai negatif untuk x < 0.

Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1 ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di

sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan kurva y3 yang

memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa persamaan pangkat tiga

0

2

3₊_bx ₊_cx₊_d ₌

ax (dengan nilai koefisien yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva y1 di

daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini

juga tidak terlalu banyak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan yang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan y2

di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai negatif di daerah x positif. Hal ini

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

-2000 2000

-10 15

y1

y2

(11)

menyebabkan nilai y2 akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah

positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4.13.b.

CATATAN: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu-x tidak

semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.

4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞ sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom, y= y₁×y₂.

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua _y₌₌₌₌_kx2_{simetris terhadap}

sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

-2000 0

-10 0

y3 = y1 + y2

y1

y2

15 -2000

0 2000

-10 0 15

y3 = y1 + y2

y1

(12)

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga _y₌₌₌₌_kx3_{simetris terhadap}

titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.