Khaggarti R Diskretnaya matematika dly

(1)

программирования

Р. ХАГГАРТИ

ТЕХНОСФЕРА

Москва

2012

Допущено УМО вузов РФ

по образованию в области прикладной

математики в качестве учебного

пособия для студентов высших учебных

заведений, обучающихся

по направлению подготовки

«Прикладная математика»

Дискретная

математика для

программистов

Издание 2−е, исправленное

(2)

ББК 22.176

Х13

Х13 Хаггарти Р.

Дискретная математика для программистов

Издание 2-е, исправленное

Москва: Техносфера, 2012. – 400 с., ISBN 978-5-94836-303-5

Основополагающее введение в дискретную математику, без знания которой не

-возможно успешно заниматься информатикой и программированием. Ни одно из

многочисленных изданий по этой дисциплине, вышедших на русском языке, не чи

-тается с таким удовольствием и пользой. В доступной и весьма увлекательной

форме автор рассказывает о фундаментальных понятиях дискретной математики – о

логике, множествах, графах, отношениях и булевых функциях. Теория изложена

кратко и иллюстрируется многочисленными простыми примерами, что делает ее до

-ступной даже школьнику. После каждой главы (начиная со второй) рассматривается

приложение описанных методов к информатике.

Дополнения в издании на русском языке посвящены актуальным задачам

теории графов, рекурсивным алгоритмам, общей проблеме перебора и задачам цело

-численного программирования.

Книга будет полезна студентам, изучающим курс дискретной математики, а

также всем желающим проникнуть в технику написания и проверки корректности

алгоритмов, включая программистов-практиков.

УДК 519.854

ББК 22.176

© Pearson Education Limited 2002

This translation of DISCRETE MATHEMATICS

FOR COMPUTING, First Edition is published by

arrangement with Pearson Education Limited.

© 2012, ЗАО «РИЦ «Техносфера», перевод на

русский язык, дополнения,

оригинал-макет, оформление

(3)

õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ... 6

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ... 9

çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ... 11

1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ... 11

1.2. ðÓ Å×ÄÏËÏÄ... 14

îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ1... 19

ëÒÁÔËÏÅÓ ÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù... 21

çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï... 23

2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÉ ÌÏÇÉËÁ... 23

2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙÉ Ë×ÁÎÔ ÏÒÙ... 27

2.3. íÅ Ô ÏÄÙÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×... 30

2.4. íÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕËÉÑ... 32

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×... 39

çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×... 44

3.1. íÎÏÖÅÓÔ×ÁÉ ÏÅÒÁÉÉ ÎÁ ÄÎÉÍÉ... 44

3.2. áÌÇ ÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×... 51

3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×... 53

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.óÉÓÔ ÅÍÁ ÓÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ... 63

çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ... 68

4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑ... 68

4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á Ï ÔÎÏÛÅÎÉÊ... 73

4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉÉÞÁÓÔÉÞÎÏÇ ÏÏÒÑÄËÁ ... 77

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.óÉÓÔ ÅÍÙÕÒÁ×ÌÅÎÉÑÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ... 86

çÌÁ×Á 5. æÕÎËÉÉ... 91

5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅÏ ÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉËÏÍÏÚÉÉÑÏ ÔÎÏÛÅÎÉÊ... 91

5.2. æÕÎËÉÉ... 96

(4)

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.ñÚÙËÉÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÇ Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ... 113

çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ... 117

6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙÉÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ... 117

6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔ ÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ... 120

6.3. âÉÎÏÍîØÀÔ ÏÎÁ ... 128

ëÒÁÔËÏÅ Ó ÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù... 135

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×... 136

çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ... 141

7.1. çÒÁÆÙÉÔ ÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ... 142

7.2. çÁÍÉÌØÔ ÏÎÏ×ÙÇÒÁÆÙ... 147

7.3. äÅÒÅ×ØÑ... 152

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.óÏÒ ÔÉÒÏ×ËÁÉ ÏÉÓË... 165

çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ... 171

8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅÇÒÁÆÙ... 171

8.2. ðÕÔÉ ×ÏÒÇÒÁÆÁÈ... 175

8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊÕÔØ... 181

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.ëÏÍÍÕÎÉËÁÉÏÎÎÙÅÓ Å ÔÉ... 189

çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ... 194

9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇ ÅÂÒÁ... 194

9.2. ëÁÒ ÔÁëÁÒÎÏ ... 200

9.3. æÕÎËÉÏÎÁÌØÎÙÅÓÈÅÍÙ... 205

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ.ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ2-ÂÉÔÎÏÇ Ï ÓÕÍÍÁÔ ÏÒÁ... 212

òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ... 217

äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ... 275

ä.1.çÅÎÅÒÁÔ ÏÒÓÌÕÞÁÊÎÙÈÇÒÁÆÏ×... 275

(5)

ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎ-ä.1.2. áÌÇ ÏÒÉÔÍÏÓÔÒÏÅÎÉÑÓÌÕÞÁÊÎÏÇ ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇ Ï

ÇÒÁÆÁ... 278

ä.1.3. áÌÇ ÏÒÉÔÍÏÓÔÒÏÅÎÉÑÓÌÕÞÁÊÎÏÇ ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇ Ï ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇ ÏÇÒÁÆÁ... 279

ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ ×ÇÒÁÆÁÈ... 281

ä.2.1. áÌÇ ÏÒÉÔÍõÏÒÛÅÌÌÁ,×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊÍÁÔÒÉÕÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ282 ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ... 286

ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ... 288

ä.3.1. áÌÇ ÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ× ÇÒÁÆÅ... 289

ä.3.2. áÌÇ ÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ... 292

ä.4. ïÅÒÁÉÉ ÎÁ ÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ... 294

ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×... 300

äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ... 305

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ... 305

ä.5. äÏÏÌÎÉÔ ÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ... 305

÷×ÅÄÅÎÉÅ... 305

ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÏÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ... 306

îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊä.5.1... 317

ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙÔ ÅÏÒÉÉÒÅËÕÒÓÉÉ... 318

ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅÒÁÚÎÏÓÔÉ.òÁÚÎÏÓÔÎÙÊÉÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅ-ÒÁÔ ÏÒÙ... 333

ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅÆÕÎËÉÉ ÉËÏÍÂÉÎÁÔ ÏÒÎÙÅÏÄÓÞÅ ÔÙ.. 345

ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏ Ô ÏÒÙÅÔ ÏÞÎÙÅ ÍÅ Ô ÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁ ÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇ Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ... 359

÷×ÅÄÅÎÉÅ... 359

ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇ Ï Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇ Ï ÒÏ-ÓÔÒÁÎÓÔ×Á... 361

ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁÉÑ É ÒÉÍÅÒÙÚÁ ÄÁÞ Å-ÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇ Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ... 362

ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁ ÄÁÞÉ ÉÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ... 366

ä.6.4. ïÂÚÏÒÔ ÏÞÎÙÈÍÅ Ô ÏÄÏ×ÒÅÛÅÎÉÑÚÁ ÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏ-Ç Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ... 368

ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅÚÁ ÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅ Ô Ï-ÄÏÍÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇ Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ... 372

ä.6.6. íÅ Ô ÏÄ×Å Ô×ÅÊ É ÇÒÁÎÉÉÚÁ ÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ... 381

îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊä.6... 392

(6)

:=

ÏÅÒÁÔ ÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ 15

ÎÅP Ï ÔÒÉÁÎÉÅ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P 24

P É Q ËÏÎßÀÎËÉÑ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q 25

P ÉÌÉ Q ÄÉÚßÀÎËÉÑ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P ÉQ 25

P

⇒

Q P ×ÌÅÞÅ Ô Q 27

∀

Ë×ÁÎÔ ÏÒ ×Ó ÅÏÂÝÎÏÓÔÉ ÄÌÑ×Ó ÅÈ 28

∃

Ë×ÁÎÔÏÒÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 28

n! nÆÁËÔ ÏÒÉÁÌ 37

{

P

}

A

{

Q

}

ÒÅÄ-ÉÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÑ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁA 39

a

∈

S a| ÜÌÅÍÅÎÔÍÎÏÖÅÓÔ×ÁS 45

a

6∈

S aÎÅ ÒÉÎÁ ÄÌÅÖÉÔÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S 45

{

x: P(x)

}

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈx,ÄÌÑ ËÏ Ô ÏÒÙÈ

P(x)ÉÓÔÉÎÎÏ 45

∅

ÕÓÔ ÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 46

N

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈÞÉÓ ÅÌ 46

Z

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈÞÉÓ ÅÌ 46

Q

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÉÏÎÁÌØÎÙÈÞÉÓ ÅÌ 46

R

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈÞÉÓ ÅÌ 46

A

⊂

S A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏS 46

A

∪

B ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍÎÏÖÅÓÔ× AÉ B 47

A

∩

B ÅÒÅÓ ÅÞÅÎÉÅÍÎÏÖÅÓÔ× A ÉB 47

A

\

B ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× AÉ B 48

U ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 48

A ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍÎÏÖÅÓÔ×Á A 48

A

△

B ÓÉÍÍÅ ÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ A ÉB 49

|

S

|

ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁS 54

(a; b) ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ 55

A

×

B ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅA ÉB 55

R

2

ÄÅËÁÒ Ô Ï×ÁÌÏÓËÏÓÔØ 56

A n

ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅn

ÜËÚÅÍ-ÌÑÒÏ× A 57

P

(A) ÏËÁÚÁÔ ÅÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 61

M(i; j) ÑÞÅÊËÁÍÁÔÒÉÙ, ÓÔ ÏÑÝÁÑ

(7)

R

∗

ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑR 75

E x

ËÌÁÓ Ó ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉÜÌÅÍÅÎÔÁ x 78

x

≺

y x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ

ÒÅÄÛÅÓÔ-×ÅÎÎÉËy 80

ÒÏÅËÔ ÏÅÒÁÉÑ ÒÏÅËÔ 87

Ó ÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÅÒÁÉÑ Ó ÏÅÄÉÎÅÎÉÅ 88

×ÙÂÏÒ ÏÅÒÁÉÑ ×ÙÂÏÒ 89

R

−

1

ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ï ÔÎÏÛÅÎÉÅ 91

S

◦

R ËÏÍÏÚÉÉÑÏ ÔÎÏÛÅÎÉÊ R ÉS 92

MN ÂÕÌÅ×ÏÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍÁÔÒÉM É N 94

f(x) ÏÂÒÁÚÜÌÅÍÅÎÔÁx 97

f:A

−→

B ÆÕÎËÉÑÉÚ A × B 97

f(A) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÉÉf 97

f

−

1

:

−→

A ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎËÉÑ 102

g

◦

f ËÏÍÏÚÉÉÑÆÕÎËÉÊ f É g 104

|

x

|

ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁx 110

⌊

x

⌋

ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØÞÉÓÌÁ x 110

P(n;k) ÞÉÓÌÏ ×Ó ÅÈ(n; k)-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊÂÅÚ

Ï×Ô ÏÒÅÎÉÊ 121

C(n;k) ÞÉÓÌÏ ×Ó ÅÈ(n; k)-Ó ÏÞÅ ÔÁÎÉÊÂÅÚ

Ï×Ô ÏÒÅÎÉÊ 123

O(g(n)) ËÌÁÓ Ó ÆÕÎËÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ

ÂÙ-ÓÔÒÅÅ,ÞÅÍ g(n)

137

Æ(v) ÓÔ ÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ 143

G=(V;E) ÇÒÁÆ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ×ÅÒÛÉÎ V É

ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍÒÅÂÅÒE 143

(G) ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ 146

K n

ÏÌÎÙÊÇÒÁÆ Ó n×ÅÒÛÉÎÁÍÉ 148

íïä ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅÏÓÔ Ï×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï 154

P ÇÒÁÆ ðÅ Ô ÅÒÓ ÅÎÁ 160

ðåò ÓÉÓÔ ÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑÉ

ÒÕËÏ×ÏÄ-ÓÔ×ÁÒÁÚÒÁÂÏ ÔËÁÍÉ 171

M k

ÂÕÌÅ×ÏÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅkÜËÚÅÍÌÑÒÏ×

ÍÁÔÒÉÙM 176

M

∗

ÍÁÔÒÉÁÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ 176

d[v℄ ÒÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙv 182

p Ï ÔÒÉÁÎÉÅÂÕÌÅ×ÏÊÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p 195

p

∨

q ÄÉÚßÀÎËÉÑÅÒÅÍÅÎÎÙÈp É q 195

p

∧

q ËÏÎßÀÎËÉÑÅÒÅÍÅÎÎÙÈ pÉ q 195

(8)

a

b

a

b

ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊÜÌÅÍÅÎÔéìé 205

a

ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊÜÌÅÍÅÎÔîå 205

a

b

a b

ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊÜÌÅÍÅÎÔé 205

ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊÜÌÅÍÅÎÔîå{é 205

(9)

ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ ÜÔ ÏÊ ËÎÉÇÉ | ÒÁÓ ÓËÁÚÁÔØ ÏÂ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔ

ÅÍÁÔÉÞÅ-ÓËÏÊ Ô ÅÈÎÉËÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ.

ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ Ô ÅÍÙ ÉÎÔ ÅÒÅÓÎÙ É ÓÁÍÉ Ï Ó ÅÂÅ, É × Ó×ÑÚÉ Ó

ÉÈÛÉÒÏËÏÊÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔØÀËÁËÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ×ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÅ,ÔÁË

É×ÄÉÓÉÌÉÎÁÈ,ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊÁÁÒÁÔ.÷

ÞÁÓÔÎÏ-ÓÔÉ,ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅÍÅ Ô ÏÄÙ,ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ×ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ,ÏÉÒÁÀÔÓÑ

ÎÁ ÔÁËÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË

ÌÏÇÉËÁ,ÍÎÏÖÅÓÔ×Á,Ï ÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÆÕÎËÉÉ.

ÅÏÒÉÑÉÚÌÁÇÁÅ ÔÓÑÒÅÄÎÁÍÅÒÅÎÎÏËÒÁÔËÏ,Á ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÅ ÚÄÅÓØ

ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅÉÄÅÉ ×ÏÌÎÅÄÏÓÔÕÎÙ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ Ó Ï ÓËÒÏÍÎÏÊ

ÍÁ-Ô ÅÍÁÍÁ-ÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇ Ï Ô Ï×ËÏÊ. ÷ ÍÎÏÇ ÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ

ÏÂÏÂÝÁ-ÀÔÓÑÉÒÁÚ×É×ÁÀÔÓÑËÌÀÞÅ×ÙÅ ÉÄÅÉËÕÒÓÁ,Á ËÁÖÄÁÑÇÌÁ×Á,ÎÁÞÉÎÁÑ

Ó Ï ×Ô ÏÒÏÊ,ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ Ô ÅÏÒÉÉË ÒÁËÔÉËÅ.ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ

ÎÁÇÌÑÄÎÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ,ËÁËÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÁ,ÏËÏ Ô ÏÒÏÊÒÁÓ ÓËÁÚÙ×ÁÅ

Ô-ÓÑ × ËÎÉÇ Å,ÒÅÛÁÅ Ô ÚÁ ÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ.ëÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á

ÚÁËÁÎÞÉ×Á-Å ÔÓÑÎÁÂÏÒÏÍÕÒÁÖÎÅÎÉÊ,Á ÞÔ ÏÂÙÏÏÝÒÉÔØÞÉÔÁÔ ÅÌÑ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ

ÉÍÉ,ÏÌÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅÒÉ×ÏÄÉÔÓÑÔ ÏÌØËÏ ×ËÏÎÅËÎÉÇÉ.

ïÓÎÏ×ÎÏÊÍÁÔ ÅÒÉÁÌËÎÉÇÉÏÑ×ÉÌÓÑÒÉÏÄÇ Ï Ô Ï×ËÅËÞÔ ÅÎÉÀ

ÎÁ-ÞÁÌØÎÏÇ Ï(Ç ÏÄÏ×ÏÇ Ï)ËÕÒÓÁÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ×ïËÓ ÆÏÒÄÅ.ïÎÒÁÓ ÓÞÉÔÁÎ

ÎÁ20ÌÅËÉÊ.úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÇÌÁ× ÄÒÕÇÏ ÔÄÒÕÇÁÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁÎÁ

ÄÉÁ-ÇÒÁÍÍÅ,ËÏ Ô ÏÒÁÑÏËÁÚÙ×ÁÅ Ô,ÞÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ ÔÎÅËÏ Ô ÏÒÁÑÓ×ÏÂÏÄÁ

×Ù-ÂÏÒÁÏÞÅÒÅÄÎÏÓÔÉÉÚÕÞÅÎÉÑÍÁÔ ÅÒÉÁÌÁ.üÔ Ï ×ÍÅÓÔ ÅÓ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ

ÏÕÓËÁÔØÏ ÔÄÅÌØÎÙÅÒÉÌÏÖÅÎÉÑÉÌÉÚÁÍÅÎÑÔØÉÈÁÌØÔ ÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ,

ÄÅÌÁÅ Ô ËÎÉÇÕÂÏÌÅÅ ÇÉÂËÏÊ É ÕÄÏÂÎÏÊÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ.

çÌÁ×Á 1

✲

çÌÁ×Á 2

✲

çÌÁ×Á 3

✲

çÌÁ×Á 6

❄

çÌÁ×Á 9

✻

çÌÁ×Á 4

✲

çÌÁ×Á 5

✻

çÌÁ×Á 7

✲

çÌÁ×Á 8

♣

(10)

åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÏÓÔÕÎÙÈÔ ÅËÓÔ Ï× Ï ÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÅ,

ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÈÓÈÏÖÉÊÍÁÔ ÅÒÉÁÌ.éÈÓÉÓ ÏËÄÌÑÄÁÌØÎÅÊÛÅÇ Ï

ÉÚÕÞÅ-ÎÉÑÒÅÄÍÅ ÔÁÒÉ×ÅÄÅÎ×ËÏÎÅËÎÉÇÉ.âÏÌÅÅÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅÕÞÅÂÎÉËÉ

Ï ÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÂÏÌØÛÅÊ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ

ÚÒÅ-ÌÏÓÔÉ,ÉÑÎÁ ÄÅÀÓØ,ÞÔ ÏÞÉÔÁÔ ÅÌÉ,ÕÓÅÛÎÏÏ×ÌÁ ÄÅ×ÛÉÅÓ ÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ

ÎÁÓÔ ÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ,ÓÍÏÇÕÔ ÉÚÕÞÁÔØÉÈÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ ÉÕ×ÅÒÅÎÎÏ.

ñ ÈÏ Ô ÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇ ÏÄÁÒÉÔØ Ó×ÏÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔ Ï×, ËÔ Ï ×ÙÄÅÒÖÁÌ ×Ó Å

ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÜÔ ÏÇ Ï ÍÁÔ ÅÒÉÁÌÁ É ÞÅÊ ÒÏÓÔ Ó ÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÁÔ

ÅÍÁÔÉÞÅ-ÓËÉÈÓÏÓ ÏÂÎÏÓÔ ÅÊ ÏÏÝÒÑÌ ÍÅÎÑÉÓÁÔØËÎÉÇÕ.íÏÑÂÌÁÇ ÏÄÁÒÎÏÓÔØ

Á ÄÒÅÓ Ï×ÁÎÁÔÁËÖÅÒÅÅÎÚÅÎÔÁÍÒÅÄ×ÁÒÉÔ ÅÌØÎÏÇ Ï×ÁÒÉÁÎÔÁ,

ÓÄÅÌÁ×-ÛÉÍÍÎÏÇ ÏÏÌÅÚÎÙÈÚÁÍÅÞÁÎÉÊ,ÉÓ Ï ÔÒÕÄÎÉËÁÍÉÚÄÁÔ ÅÌØÓÔ×Á

Pear-sonEduationÚÁÉÈÕÓÉÌÉÑ, ÒÅÄÒÉÎÑÔÙÅÒÉÏÆÏÒÍÌÅÎÉÉÔ ÅËÓÔÁ.

é ÎÁËÏÎÅ, ÍÏÑ ÒÉÚÎÁÔ ÅÌØÎÏÓÔØ | ÓÕÒÕÇ Å, ÚÁ ÅÅ ÎÅÉÚÍÅÎÎÕÀ

ÚÁ-ÂÏ ÔÕÉ ÏÄÄÅÒÖËÕ.

òÏÄ èÁÇÇÁÒÔÉ

ïËÓÆÏÒÄ

(11)

÷÷åäåîéå

äÉÓËÒÅ ÔÎÁÑÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÁ ÉÌÏÇÉËÁ ÌÅÖÁÔ × ÏÓÎÏ×Å ÌÀÂÏÇ Ï Ó

Ï×ÒÅÍÅÎ-ÎÏÇ Ï ÉÚÕÞÅÎÉÑÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ.óÌÏ×Ï ÄÉÓËÒÅ ÔÎÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅ Ô Ó

ÏÓÔÁ-×ÌÅÎÎÙÊÉÚÏ ÔÄÅÌØÎÙÈÞÁÓÔ ÅÊ,ÁÄÉÓËÒÅ ÔÎÁÑÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÁÉÍÅÅ ÔÄÅÌÏ

ÓÓ Ï×ÏËÕÎÏÓÔÑÍÉÏÂßÅËÔ Ï×,ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ,É

ÏÒÅÄÅÌÅÎ-ÎÙÍÉ ÎÁ ÎÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ. üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ

ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇ Ï Ô ÄÒÕÇÁ É Ç ÅÏÍÅ ÔÒÉÞÅÓËÉÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ.

äÅÊÓÔ×É-Ô ÅÌØÎÏ,ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÎÔ ÅÒÅÓÕÀÝÉÈÎÁÓ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÏÎÅÞÎÙÉÌÉ, Ï

ËÒÁÊÎÅÊÍÅÒÅ,ÓÞÅ ÔÎÙ.

üÔÁ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅ ÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁ ÄÁÞÉ ÎÁ

ËÏÍØÀÔ ÅÒÅ×Ô ÅÒÍÉÎÁÈÁÁÒÁÔÎÙÈÓÒÅÄÓÔ×ÉÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇ Ï

ÏÂÅÓ-ÅÞÅÎÉÑ ÓÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÅÍÏÒÇÁÎÉÚÁÉÉÓÉÍ×ÏÌÏ× ÉÍÁÎÉÕÌÑÉÉ

ÄÁÎ-ÎÙÍÉ.óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊÉÆÒÏ×ÏÊËÏÍØÀÔ ÅÒ| ÏÓÕÝÅÓÔ×Õ ËÏÎÅÞÎÁÑ

ÄÉÓËÒÅ ÔÎÁÑÓÉÓÔ ÅÍÁ. ðÏÎÉÍÁÎÉÑÔ ÏÇ Ï, ËÁË ÔÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÒÁÂÏ ÔÁÅ Ô,

ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ ËÁË ÄÉÓËÒÅ ÔÎÕÀ

ÍÁ-Ô ÅÍÁÍÁ-ÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔ ÅÍÕ. ðÏÜÔ ÏÍÕ ÎÁÛÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÅÌØ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ

ÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ|ÒÉÏÂÒÅÓÔÉÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙÉÔ ÅÈÎÉËÕ,

ÎÅ-ÏÂÈÏÄÉÍÙÅÄÌÑÏÎÉÍÁÎÉÑÉÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑËÏÍØÀÔ ÅÒÎÙÈÓÉÓÔ ÅÍ.

ëÏÇÄÁÉËÁËÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÜÔÉÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙÉÔ ÅÈÎÉËÕ|ÏÓÎÏ×Á

ÒÁÚ-ÄÅÌÁÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ,ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇ ÏËÁË ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ.

÷ ÎÁÓÔ ÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÂÒÏÓÉÍ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÏÅÓ Ó

ÍÏÄÅÌÉÒÏ×Á-ÎÉÑ É ÒÉÍÅÎÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒ ÔÎÙÊ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ

ÚÁ ÄÁÞÉ. ÷ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅ Ô ÎÅ Ô ÏÌØËÏ ×ÉÄ ÍÁÔ

Å-ÍÁÔÉËÉ, Ï ËÏ Ô ÏÒÏÊ ÉÄÅ Ô ÒÅÞØ × ÜÔ ÏÊ ËÎÉÇ Å, ÎÏ É ÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ

ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÁÓÕÝÎÙÈ ÚÁ ÄÁÞ. úÁÔ ÅÍ ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ

ÁÓËÁÌÅÏÄÏÂ-ÎÙÊ 1

Ó Å×ÄÏËÏÄ ×ËÁÞÅÓÔ×ÅÓÒÅÄÓÔ×Á×ÙÒÁÖÅÎÉÑÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×,

××ÏÄÉ-ÍÙÈÄÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊÔÒÁËÔ Ï×ËÉÉÈËÏÍÁÎÄ.

1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ

ðÒÏÅÓÓÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑÎÁÄÉÁÇÒÁÍÍÅÍÏÖÎÏ

ÒÅÄ-ÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË,ËÁË ÏËÁÚÁÎÏÎÁ ÒÉÓ.1.1.

÷ËÁÞÅÓÔ×ÅÒÉÍÅÒÁÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑÒÁÓ ÓÍÏ ÔÒÉÍÓÌÅÄÕÀÝÕÀÚÁ ÄÁÞÕ:

òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÍÉ

ÇÏÒÏ-ÄÁÍÉ: áÂÅÒÄÉÎ, üÄÉÎÂÕÒÇ, æÏÒÔ õÉÌØÑÍ, çÌÁÚÇÏ, éÎ×ÅÒÎÅÓÓ

(12)

É ðÅÒÔ ÄÁÎÏ × ÔÁÂÌ. 1.1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ

ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×.

úÁ ÄÁÞÁ

òÅÛÅÎÉÅ

ÍÏÄÅÌØ áÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ

ÍÏÄÅÌØ ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ

òÉÓÕÎÏË1.1.óÈÅÍÁÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ

óÁÍÁÔÁÂÌÉÁ Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊÍÏÄÅÌØÀÒÅÁÌØÎÏÊÚÁ ÄÁÞÉ.

ïÄ-ÎÁËÏÄÌÑÎÁÛÅÇ Ï ÒÅÛÅÎÉÑÍÙÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍÅÅ×Ç ÅÏÍÅ ÔÒÉÞÅÓËÕÀ

ÍÏ-ÄÅÌØ.

ÁÂÌÉÁ1.1

áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒ ÔõÉÌØÑÍ çÌÁÚÇ Ï éÎ×ÅÒÎÅÓ Ó ðÅÒ Ô

áÂÅÒÄÉÎ | 120 147 142 107 81

üÄÉÎÂÕÒÇ 120 | 132 42 157 45

æÏÒ ÔõÉÌØÑÍ 147 132 | 108 66 105

çÌÁÚÇ Ï 142 42 108 | 168 61

éÎ×ÅÒÎÅÓ Ó 107 157 66 168 | 112

ðÅÒ Ô 81 45 105 61 112 |

íÙÎÁÒÉÓÕÅÍÇÒÁÆ,ÞØÉ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÇ ÏÒÏÄÁ,ÁÒÅÂÒÁ |

ÄÏÒÏÇÉÉÈÓ×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ.âÏÌÅÅÏÄÒÏÂÎÏÏÇÒÁÆÁÈÒÁÓ ÓËÁÚÁÎÏ×

ÇÌÁ-×Å 7.ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÁÛÅÇ Ï ÇÒÁÆÁ,ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇ Ï ÎÁÒÉÓ.1.2,

ÓÎÁÂ-ÖÅÎÏ×ÅÓÏÍ,ËÏ Ô ÏÒÙÊÏÚÎÁÞÁÅ ÔÒÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅÍÅÖÄÕÓ ÏÏ Ô×Å

ÔÓÔ×ÕÀÝÉ-ÍÉÇ ÏÒÏÄÁÍÉÓ ÏÇÌÁÓÎÏ ÔÁÂÌ. 1.1.

äÌÑÒÅÛÅÎÉÑÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊÚÁ ÄÁÞÉÓÏÍÏÝØÀÏÄÈÏÄÑÝÅÇ Ï

ÁÌÇÏ-ÒÉÔÍÁ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÉÎÓÔÒÕËÉÊ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ

ËÏ Ô ÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅ Ô ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ), ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÎÏ×ÙÊ

ÇÒÁÆ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÏÂÝÉÊ ×ÅÓ, × ËÏ Ô ÏÒÏÍ ×Ó Å ÛÅÓÔØ Ç

Ï-ÒÏÄÏ× ÂÕÄÕÔ Ó ÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÏÒÏÇÁÍÉ.

áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ

(13)

ûÁÇ 2 îÁÊÄÉÔ Å ÎÅ ÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÕÀ (ÅÝÅ) ×ÅÒÛÉÎÕ, ÂÌÉÖÅ ×Ó ÅÇ Ï

ÌÅÖÁÝÕÀ ËÏÄÎÏÊÉÚ ÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ, ÉÓ ÏÅÄÉÎÉÔ ÅÓ ÎÅÊ.

ûÁÇ 3 ðÏ×Ô ÏÒÑÊÔ ÅÛÁÇ 2 ÄÏ Ô ÅÈ ÏÒ ÏËÁ ×Ó Å×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÂÕÄÕÔ

ÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÙ.

132 112

168 108

42 61

66

142

105 157

45 107

147 120 81

çÌÁÚÇ Ï

æÏÒ ÔõÉÌØÑÍ üÄÉÎÂÕÒÇ áÂÅÒÄÉÎ

éÎ×ÅÒÎÅÓ Ó ðÅÒ Ô

•

òÉÓÕÎÏË1.2.

îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 1.3, 1.4 É 1.5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÏ×,

ËÏ Ô ÏÒÁÑÏÌÕÞÁÅ ÔÓÑ ×ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Å ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁðÒÉÍÁ,

ÅÓ-ÌÉ ÎÁÞÉÎÁÔØÓ ×ÅÒÛÉÎÙ ðÅÒ Ô.ðÏÓÌÅÄÎÉÊÇÒÁÆ(ÓÏÂÝÉÍ×ÅÓ ÏÍ 339)

ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅ Ô Ó ÏÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ Ó Å ÔØ ÄÏÒÏÇ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×Ó Å

ÛÅÓÔØ Ç ÏÒÏÄÏ×.

42

õÉÌØÑÍ 45

çÌÁÚÇ Ï

æÏÒ Ô üÄÉÎÂÕÒÇ áÂÅÒÄÉÎ

•

õÉÌØÑÍ 45

çÌÁÚÇ Ï

•

òÉÓÕÎÏË1.3.

áÌÇ ÏÒÉÔÍ,ËÏ Ô ÏÒÙÊÍÙÒÉÍÅÎÑÌÉ,ÎÁÉÓÁÎÎÁÏÂÙÞÎÏÍÒÕÓ ÓËÏÍ

ÑÚÙËÅ.òÁÚÇ Ï×ÏÒÎÙÊÑÚÙËÍÏÖÅ ÔÏËÁÚÁÔØÓÑÓÌÉÛËÏÍÍÎÏÇ ÏÒÅÞÉ×ÙÍ,

(14)

ÚÁÕÔÁÎ-ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀÁÌÇ ÏÒÉÔÍ,ÎÏËÁËÏÊÑÚÙË×ÙÂÒÁÔØ? ëÒÏÍÅÔ ÏÇ Ï, ÑÚÙË

ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓËÒÙ×ÁÅ ÔÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ

Ï Ô ÎÅÏÙÔÎÏÇ Ï ÞÉÔÁÔ ÅÌÑ! ðÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÍÒÏÍÉÓ Ó × ÜÔ ÏÊ

ÓÉÔÕÁ-ÉÉ| ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÅ×ÄÏËÏÄ, Ó ÏÓÔ ÏÑÝÉÊ ÉÚ

ÎÅ-ÂÏÌØÛÏÇ Ï ÞÉÓÌÁÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈÑÚÙËÏ×ÙÈÜÌÅÍÅÎÔ Ï× ×ÍÅÓÔ ÅÓ ÒÕÓ

ÓËÏ-ÏÄÏÂÎÙÍÏÉÓÁÎÉÅÍÄÅÊÓÔ×ÉÊÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇ ÏÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ.ïÎÅÍÉÄÅ Ô

ÒÅÞØ ×ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ.

105 81 81

42 42

õÉÌØÑÍ 45

çÌÁÚÇ Ï

•

õÉÌØÑÍ 45

çÌÁÚÇ Ï

•

òÉÓÕÎÏË1.4.

66 105 81

42

õÉÌØÑÍ 45

çÌÁÚÇ Ï

•

òÉÓÕÎÏË1.5.

1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ

íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ Ó Å×ÄÏËÏÄ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ðÁÓËÁÌÅ. áÌÇ

Ï-ÒÉÔÍ×ÎÅÍ ×ÙÇÌÑÄÉÔÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.

begin

ÏÅÒÁÔ ÏÒÙ ÉÓÏÌÎÑÅÍÙÈÄÅÊÓÔ×ÉÊ

ÏÅÒÁÔ ÏÒÙ,ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅÏÒÑÄËÏÍ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ

end

óÔÒÏÉÔ ÅÌØÎÙÍÉÂÌÏËÁÍÉÁÌÇ ÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÇ ÏÑÚÙËÁÑ×ÌÑÀÔÓÑ

(15)

ÒÉ-ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔÅÒÅÍÅÎÎÙÍÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ

×ÅÌÉÞÉÎÙÉ ÉÍÅÀÔÔÁËÕÀÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕ:

ÉÍÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

:=

×ÙÒÁÖÅÎÉÅ

ðÒÉÍÅÒ 1.2.1. (áÌÇ ÏÒÉÔÍÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈÞÉÓ ÅÌ, First É Seond, É

ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊSum.)

begin

InputFirst and Seond;

Sum:=First +Seond;

end

õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅ ÔÏÒÑÄÏË,×ËÏ Ô ÏÒÏÍÄÏÌÖÎÙ

×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ.ïÅÒÁÔ ÏÒÙÕÒÁ×ÌÅÎÉÑÂÙ×ÁÀÔÔÒÅÈ

ÔÉÏ×:

•

Ó ÏÓÔÁ×ÎÙÅÏÅÒÁÔ ÏÒÙ;

•

ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔ ÏÒÙ;

•

ÏÅÒÁÔ ÏÒ ÉËÌÁ.

óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ Ó ÏÂÏÊ ÓÉÓ ÏË ÏÅÒÁÔ ÏÒÏ×,

ËÏ Ô ÏÒÙÅÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁËÏ ÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ×Ô ÏÍ

ÏÒÑÄ-ËÅ, × ËÏ Ô ÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔ ÏÒÙ ÉÍÅÀÔ

ÓÌÅÄÕÀ-ÝÉÊ×ÉÄ:

begin

ÏÅÒÁÔ ÏÒ 1;

ÏÅÒÁÔ ÏÒ 2;

...

ÏÅÒÁÔ ÏÒ n;

end

ðÒÉÍÅÒ 1.2.2. (áÌÇ ÏÒÉÔÍÏÂÍÅÎÁÚÎÁÞÅÎÉÊÄ×ÕÈÅÒÅÍÅÎÎÙÈ:One

É Two.)

begin

InputOne and Two;

Temp :=

One;

One :=

Two;

Two:=Temp;

end

þÔ ÏÂÙÒÏÓÌÅÄÉÔØÚÁÒÁÂÏ Ô ÏÊÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ,ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔ Ï

(16)

ÔÓÔ×ÅÎ-ÁÂÌÉÁ1.2

Temp One Two

óÔÒÏËÁ1 | 5 7

óÔÒÏËÁ2 5 5 7

óÔÒÏËÁ3 5 7 7

óÔÒÏËÁ4 5 7 5

õÓÌÏ×ÎÙÅÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔÄÅÌÁÔØ×ÙÂÏÒÍÅÖÄÕÄ×ÕÍÑ

ÁÌØ-Ô ÅÒÎÁÁÌØ-ÔÉ×ÎÙÍÉ ÓÉÔÕÁÉÑÍÉ. ïÎÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ if-then ÉÌÉ

if-then-else.îÁ Ó Å×ÄÏËÏÄÅ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔ ÏÒÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÔÁË:

begin

ifÕÓÌÏ×ÉÅ thenÏÅÒÁÔ ÏÒ

end

ÉÌÉ ÔÁË:

begin

ifÕÓÌÏ×ÉÅ thenÏÅÒÁÔ ÏÒ 1

elseÏÅÒÁÔ ÏÒ 2

end

ðÒÉÍÅÒ 1.2.3. (áÌÇ ÏÒÉÔÍ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑÞÉÓÌÁ nÉ

ÒÉÓ×ÏÅ-ÎÉÅÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÅÒÅÍÅÎÎÏÊab.)

begin

Inputn;

ifn<0 thenab:=

−

n elseab

:= n;

Outputab;

end

÷ÜÔ ÏÍÁÌÇ ÏÒÉÔÍÅÏÅÒÁÔ ÏÒ,ÓÔ ÏÑÝÉÊ×Ï×Ô ÏÒÏÊÓÔÒÏËÅ,×ÙÏÌÎÑÅ ÔÓÑ

ÒÉ Ï ÔÒÉÁÔ ÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n, Á × ÔÒÅ ÔØÅÊ | ÒÉ

ÏÌÏÖÉÔ ÅÌØÎÙÈ (É ÎÕÌÅ×ÏÍ). íÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ É ÄÒÕÇ ÏÊ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ,

ÒÅÛÁÀÝÉÊÔÕ ÖÅÚÁ ÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊelse:

begin

Inputn;

ifn<0 thenn :=

−

n;

ab :=

n;

Outputab;

end

(17)

ÔÒÉÁ-÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅ ÔÓÑ ÏÅÒÁÔ ÏÒ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÔÒÅ ÔØÅÊ

ÓÔÒÏËÅ.

ïÅÒÁÔÏÒ ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔ Ï ÉËÌ ÍÏÖÅ Ô ÉÍÅ ÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍ

ÚÁÉÓÉ:

for X

:=

A to Z doÏÅÒÁÔ ÏÒ; (1)

while ×ÙÒÁÖÅÎÉÅdo ÏÅÒÁÔ ÏÒ; (2)

repeat

ÏÅÒÁÔ ÏÒ 1;

ÏÅÒÁÔ ÏÒ 2;

...

ÏÅÒÁÔ ÏÒ n;

untilÕÓÌÏ×ÉÅ.

(3)

úÄÅÓØX|ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ,ÁAÉZ|ÅÅÎÁÞÁÌØÎÏÅÉËÏÎÅÞÎÏÅÚÎÁÞÅÎÉÑ.

÷ÓÌÕÞÁÅ (1) ÉËÌÏ×Ô ÏÒÑÅ ÔÓÑÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ.åÇ Ï

ÒÁÚ-ÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ×ÙÇÌÑÄÉÔÓÌÅÄÕÀÝÉÍÏÂÒÁÚÏÍ:

for×Ó ÅÈÜÌÅÍÅÎÔ Ï× ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁdoÏÅÒÁÔ ÏÒ

÷ ÓÌÕÞÁÅ (2) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅ ÔÓÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, Á ÄÏ

ÔÅÈÏÒ,ÏËÁ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ,ÏËÏÔÏÒÏÍ×ÎÅÍÉÄÅÔÒÅÞØ,ÏÓÔÁÅÔÓÑ×ÅÒÎÙÍ.

ëÁËÔ ÏÌØËÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑÌÏÖÎÙÍ, ÉËÌÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅ ÔÓÑ.

é ÎÁËÏÎÅ, × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÔÕÁÉÉ (3) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅ ÔÓÑ ÄÏ Ô ÅÈ

ÏÒ, ÏËÁËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÅ ÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ

ÒÁÚÌÉ-ÞÉÅ ÍÅÖÄÕ (2) É (3) ÚÁËÌÀÞÁÅ ÔÓÑ × Ô ÏÍ, ÞÔ Ï × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉËÌ

×Ù-ÏÌÎÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊÍÅÒÅ ÏÄÉÎÒÁÚ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ

× ÎÅÍÒÏ×ÅÒÑÅ ÔÓÑÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇ ÏÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ.

ðÒÉÍÅÒ 1.2.4. (áÌÇ ÏÒÉÔÍ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÓÕÍÍÙË×Á ÄÒÁÔ Ï×ÅÒ×ÙÈn

ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ.)

begin

sum :=

0;

for i:=1 tondo

begin

j :=

i

∗

i; sum

:=

sum+j;

end

Outputsum;

(18)

ÁÂÌÉÁ1.3

i j Sum

ðÅÒÅÄ×ÙÏÌÎÅÎÉÅÍÉËÌÁ | | 0

ðÅÒ×ÙÊÒÏÈÏÄÉËÌÁ 1 1 1

÷Ô ÏÒÏÊÒÏÈÏÄÉËÌÁ 2 4 5

ÒÅ ÔÉÊÒÏÈÏÄÉËÌÁ 3 9 14

þÅ Ô×ÅÒ ÔÙÊÒÏÈÏÄÉËÌÁ 4 16 30

÷Ù×ÏÄÉÍÙÊÒÅÚÕÌØÔÁÔ: sum=30.

ðÒÉÍÅÒ1.2.5.(áÌÇ ÏÒÉÔÍ×ÙÄÅÌÅÎÉÑÇÒÁÆÁÓÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÏÂÝÉÍ

×ÅÓ ÏÍ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇ Ï ×Ó Å ×ÅÒÛÉÎÙ × ÄÁÎÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÍ

ÇÒÁÆÅ.)

begin

v:=ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ;

u :=

ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ó ÏÓ ÅÄÎÑÑ ×ÅÒÛÉÎÁ;

Ó×ÑÚÁÔØ v É u;

while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ×ÅÒÛÉÎÙ do

begin

u:=ÎÅÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ,ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ

ËÏÄÎÏÊ ÉÚÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ×ÅÒÛÉÎ;

Ó ÏÅÄÉÎÉÔØu ÓÂÌÉÖÁÊÛÅÊ

ÉÚ ÒÉÓ ÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ×ÅÒÛÉÎ;

end

üÔ Ï | ÎÁÉÓÁÎÎÁÑÎÁÓÅ×ÄÏËÏÄÅ×ÅÒÓÉÑÁÌÇÏÒÉÔÍÁðÒÉÍÁ,Ó

ËÏ-Ô ÏÒÙÍ ÍÙÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ ÒÁÎÅÅ.

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ

ÓÕÝÅ-ÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (Ï ÒÅÂÒÁÍ) ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ

(Ï-ÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 7, ÓÔÒ.146).

ðÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÅÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ×ÒÁÂÏ ÔÁÀÝÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ|ÄÅÌÏ

ÒÏ-ÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑÉÌÉËÕÒÓÁÓÔÒÕËÔÕÒÙÄÁÎÎÙÈ,ÏÜÔ ÏÍÕÍÙÎÅÂÕÄÅÍ

ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÜÔ Ï Ô ÒÏÅÓ Ó× ÎÁÛÅÊ ËÎÉÇ Å. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ

Ó Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×, ÎÅËÏ Ô ÏÒÙÅÉÚ ËÏ Ô ÏÒÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ×

ÆÏÒÍÅ Ó Å×ÄÏËÏÄÁ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÏÆÏÒÍÌÅÎÙ ËÁË ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ Ô

ÅÏ-ÒÅÍÙ.äÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÔ ÅÏÒÅÍ| ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ ÉÄÁÌÅËÏ

ÎÅ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇ Ï ÒÏÅÓ ÓÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ

ÎÅÏÂ-ÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇ Ï ÎÁ Ó Å×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇ

(19)

ÒÉÍÅ-÷ Ô ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×,

ÒÅ-ÛÁÀÝÉÈ ÏÄÎÕÉÔÕÖÅÚÁ ÄÁÞÕ, ×ÏÚÎÉËÁÅ Ô×ÏÒÏÓ:ËÁËÏÊÉÚÎÉÈ

Ñ×ÌÑ-Å ÔÓÑÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ?÷ÕÒÁÖÎÅÎÉÉ1.5 ÒÉ×ÅÄÅÎÅÝÅÏÄÉÎ

ÁÌ-Ç ÏÒÉÔÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ Ë×Á ÄÒÁÔÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ (ËÁË É ×

ÒÉ-ÍÅÒÅ1.2.4).ïÂÁÒÁÂÏ ÔÁÀÔ.îÏËÁËÏÊÜÔ ÏÄÅÌÁÅ ÔÂÙÓÔÒÅÅ,ÉÓÏÌØÚÕÅ Ô

ÒÉÜÔ ÏÍÍÅÎØÛÅÁÍÑÔÉ?ëÏÒÏÞÅÇ Ï×ÏÒÑ,ËÁËÏÊÉÚÜÔÉÈÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×

Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ?

ïÂÅÜÔÉÒÏÂÌÅÍÙ:ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉÉÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×|

ÂÕÄÕÔÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ×ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈÇÌÁ×ÁÈÏÓÌÅÔ ÏÇ Ï,ËÁËÍÙÏÓ×ÏÉÍ

ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊÄÌÑ ÜÔ ÏÇ Ï ÁÁÒÁÔÄÉÓËÒÅ ÔÎÏÊÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÉ.

îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ1

1.1. çÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ.1.6 ÉÚÏÂÒÁÖÁÅ Ô Ó Å ÔØ ÄÏÒÏÇ,

Ó×ÑÚÙ×ÁÀ-ÝÉÈ Ó ÅÍØ ÄÅÒÅ×ÅÎØ. òÁÓ ÓÔ ÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ ÚÁ ÄÁÎÏ ×

ÍÉÌÑÈ. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, ÎÁÊÄÉÔ Å Ó Å ÔØ ÄÏÒÏÇ

ÍÉ-ÎÉÍÁÌØÎÏÊÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ,ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×Ó ÅÄÅÒÅ×ÎÉ.

A

2

3 B

Ñ

D

E

F

G

3

6

3

4

3

1

2

3

5

òÉÓÕÎÏË1.6.

1.2. îÁÊÄÉÔ Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇ Ï ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ×

ÓÌÕÞÁÑÈ

(Á) n=3;

(Â) n=5.

begin

f :=

1;

Inputn;

for i:=1 to ndo

f :=

(20)

þÔ Ï ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ

ÎÁ-ÔÕÒÁÌØÎÏÍÞÉÓÌÅ n?

1.3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔ Å ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ iÉ j ×

ÓÌÅ-ÄÕÀÝÅÍÁÌÇ ÏÒÉÔÍÅ ÒÉm=3 Én=4:

begin

Inputm, n;

i :=

1;

j:=m;

while i

6

=n do begin

i :=

i+1;

j :=

j

∗

m; end

Output j;

end

ïÉÛÉÔ Å ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÔ ÏÇ Ï ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ÒÉ

ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈÅÌÙÈm É n>0.þÔ Ï ÏÌÕÞÉÔÓÑÒÉn=0?

1.4. îÁÊÄÉÔ Å ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Å ÒÁÂÏ ÔÙ

ÓÌÅÄÕÀÝÅÇ Ï ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ:

begin

first :=

1;

Output first;

seond :=

1;

Output seond;

next :=

first+seond;

while next<100 do

begin

Outputnext;

first :=

seond;

seond :=

next;

next :=

first+seond;

end

ïÉÛÉÔ Å ÏÌÕÞÅÎÎÕÀÏÓÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓ ÅÌ × Ô ÅÒÍÉÎÁÈ

ÅÅÞÌÅÎÏ×.

1.5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔ Å Ü×ÏÌÀÉÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊÅÒÅÍÅÎÎÙÈl,sumÉk ×

(21)

begin

Inputn;

k :=

1;

l :=

0;

sum:=0;

while k <2ndo

begin

l :=

l+k;

sum :=

sum+l;

k :=

k+2;

end

Output sum;

end

ïÉÛÉÔ ÅÒÅÚÕÌØÔÁÔÒÁÂÏ ÔÙÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁÒÉ××ÏÄÅ

ÒÏÉÚ×ÏÌØ-ÎÏÇ ÏÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑ n.

1.6. ðÒÏÓÌÅÄÉÔ Å ÒÁÂÏ ÔÕ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ Ó Å ÔÉ ÄÏÒÏÇ, ÉÚ

ÕÒ.1.1. ëÁËÏÊ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ?

begin

õÏÒÑÄÏÞÉÔ ÅÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ Ï ÕÂÙ×ÁÎÉÀ×ÅÓÁ

É ÒÏÎÕÍÅÒÕÊÔ ÅÉÈ ÞÉÓÌÁÍÉ:1, 2,3, ...ÉÔ.Ä.;

m :=

ÞÉÓÌÏ×ÅÒÛÉÎ;

ÏÓÔÁÔÏË:=ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ;

ÔÅËÕÝÅÅ :=

1;

while ÏÓÔÁÔÏË>m

−

1do begin

ifÕÄÁÌÅÎÉÅ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍÔÅËÕÝÅÅ

ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅ Ô Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ then

begin

ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ ÔÅËÕÝÅÅ;

ÏÓÔÁÔÏË :=

ÏÓÔÁÔÏË

−

1;

end;

ÔÅËÕÝÅÅ:=ÔÅËÕÝÅÅ+1;

end

ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù

äÉÓËÒÅ ÔÎÁÑ ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÁÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÏÂÏÊÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ

(22)

íÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ|ÜÔ ÏÒÏÅÓ Ó,ÒÉ×ÌÅËÁÀÝÉÊ

ÍÁÔ ÅÍÁÔÉËÕÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈÚÁ ÄÁÞ.

çÒÁÆ (ÍÏÄÅÌØ) ÄÁÎÎÏÊ Ó Å ÔÉ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕÇ ÏÒÏÄÁÍÉ Ó ÏÓÔ ÏÉÔ ÉÚ

ÎÁ-ÂÏÒÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ Ç ÏÒÏÄÁ, Ó ÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇ ÏÍ

(×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ) ÒÅÂÒÁÍÉ,ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÄÏÒÏÇÉ.

áÌÇ ÏÒÉÔÍ|ÜÔ ÏÏÓÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏÓÔØÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈËÏÍÁÎÄ,

×ÙÏÌ-ÎÅÎÉÅ ËÏ Ô ÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅ Ô ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁ ÄÁÞÉ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ

×ÒÅÍÑ.

áÌÇ ÏÒÉÔÍðÒÉÍÁÍÏÖÅ ÔÂÙÔØÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÄÌÑ×ÙÄÅÌÅÎÉÑÓ Å ÔÉ

ÒÅ-ÂÅÒÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇ Ï ÏÂÝÅÇ Ï ×ÅÓÁ, Ó ÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ×Ó Å×ÅÒÛÉÎÙ ÄÁÎÎÏÇ Ï

×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇ Ï ÇÒÁÆÁ.

ðÓ Å×ÄÏËÏÄÏÍÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑÎÁÂÏÒÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈÜÌÅÍÅÎÔÏ×ÑÚÙËÁ,

ÏÄ-ÈÏÄÑÝÉÊ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ×ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈÔ ÅÒÍÉÎÁÈ.

ïÅÒÁÔ ÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅ ÔÅÒÅÍÅÎÎÙÍÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ

ÚÎÁÞÅÎÉÑ.

õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔ ÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅ Ô ÏÒÑÄÏË,× ËÏ Ô ÏÒÏÍÄÏÌÖÎÙ

×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ.

óÏÓÔÁ×ÎÏÊÏÅÒÁÔ ÏÒÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅ ÔÓ ÏÂÏÊÓÉÓ ÏËÉÎÓÔÒÕËÉÊ

(ÏÅ-ÒÁÔ ÏÒÏ×), ËÏ Ô ÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË Ï ÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ ×

Ô ÏÍ ÏÒÑÄËÅ,× ËÏ Ô ÏÒÏÍ ÏÎÉÚÁÉÓÁÎÙ.

õÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔ ÏÒ ÄÁÅ Ô×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ

ÁÌØ-Ô ÅÒÎÁÁÌØ-ÔÉ×ÎÙÍÉ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ.

ïÅÒÁÔ ÏÒ ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔ Ï ÉËÌ ÏÚ×ÏÌÑÅ Ô ×ÙÏÌÎÉÔØ

(23)

ìïçéëá é

äïëáúáåìøó÷ï

ìÏÇÉËÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ × ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÄÉÓÉÌÉÎÅ É Ó ÏÓÔ ÏÉÔ ÉÚ

ÒÁ×ÉÌÏÌÕÞÅÎÉÑÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ×Ù×ÏÄÁ(ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ).ìÏÇÉËÕ

ÍÏÖ-ÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÚ ËÏÎÔ ÅËÓÔÁ Ô ÅÈ ÄÉÓÉÌÉÎ, × ËÏ Ô ÏÒÙÈ ÏÎÁ

ÉÓÏÌØ-ÚÕÅ ÔÓÑ,ÉÉÚÕÞÁÔØËÁËÏ ÔÄÅÌØÎÙÊÒÁÚÄÅÌÎÁÕËÉ.áËÅÎÔ×ÜÔ ÏÊÇÌÁ×Å

ÂÕÄÅ ÔÓÄÅÌÁÎÉÍÅÎÎÏÎÁÌÏÇÉËÅ,ÌÅÖÁÝÅÊ×ÏÓÎÏ×ÅÎÅÏÓÏÒÉÍÙÈ

ÒÁÓ-ÓÕÖÄÅÎÉÊ ÉÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×.

íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑÓ ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ,ÉÍÅÀÝÅÊ ÄÅÌÏ Ó

ÉÓ-ÔÉÎÎÏÓÔØÀ (ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØÀ) ÒÏÓÔÙÈ ÏÉÓÁÔ ÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ,

ÞÔ Ï ÍÏÖÎÏ ÒÁÓ ÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÏ ÔËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÌÏÇÉËÕ

ÒÅÄÉ-ËÁÔ Ï×. óËÁÖÅÍ ÓÒÁÚÕ, ÞÔ Ï ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ ÒÉÎÑÔ Ï ÎÁÚÙ×ÁÔØ

ÕÔ×ÅÒ-ÖÄÅÎÉÑ, Ó ÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ

1

. ëÒÏÍÅ Ô ÏÇ Ï, × ÜÔ ÏÊ

ÇÌÁ×ÅÏÉÓÁÎÙÒÁÚÌÉÞÎÙÅÍÅ Ô ÏÄÙÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×(ÒÑÍÏÅÒÁÓ

ÓÕÖÄÅ-ÎÉÅ, ÍÅ Ô ÏÄ Ï Ô ÒÏ ÔÉ×ÎÏÇ Ï É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÅ), ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÅ

ÒÏÓÔÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÒÏ×ÅÒËÉ ÆÁËÔ Ï× Ï ÞÅ ÔÎÙÈ É ÎÅÞÅ ÔÎÙÈ

ÞÉ-ÓÌÁÈ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÍÉ ÍÅ Ô ÏÄÏÌÏÇÉÀ ÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÊ. îÁËÏÎÅ, ÍÙ

ÒÁÓ ÓÍÏ ÔÒÉÍ ÓÉÌØÎÙÊ ÍÅ Ô ÏÄ ÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÅ Ô ÏÄÏÍ

ÍÁÔ ÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊÉÎÄÕËÉÉ.

ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ËÏÎÅ ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ×ÓÔÒÅ

ÔÉÍ-ÓÑ Ó ÅÒ×ÙÍÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÉÚÕÞÁÅÍÙÈ ÍÅ Ô ÏÄÏ× Ë ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ.

÷ÎÉÈ ÍÙÕ×ÉÄÉÍ,ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅÍÅ Ô ÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×

ÉÓÏÌØÚÕ-ÀÔÓÑÒÉÒÏ×ÅÒËÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×.

2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ

óÔÁÎÄÁÒ ÔÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ

×ÙÓËÁÚÙ×Á-ÎÉÑ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏ Ô ÏÒÏÅ ÉÍÅÅ Ô

ÚÎÁ-ÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, Ô.Å. ÍÏÖÅ Ô ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅ ÔÓÑ

ÂÕ-Ë×ÏÊé)ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ(ÏÂÏÚÎÁÞÁÅ ÔÓÑ ì). îÁÒÉÍÅÒ,

•

ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ;

•

óÁÒÁ |ÄÏËÔ ÏÒ;

•

29 | ÒÏÓÔ ÏÅ ÞÉÓÌÏ.

1

(24)

ëÁÖÄÏÅÉÚ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊÍÏÖÎÏÏÂÏÚÎÁÞÉÔØÓ×ÏÅÊ ÂÕË×ÏÊ. ðÕÓÔØ,

ÎÁÒÉÍÅÒ, P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅ Ô ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ, Q |

óÁ-ÒÁ |ÄÏËÔ ÏÒ É R | 29| ÒÏÓÔ ÏÅ ÞÉÓÌÏ.

éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁËÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÉÉ, ËÁË ÎÅ, ÉÌÉ, É, ÍÏÖÎÏ

ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÅ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ,

ËÏÍ-ÁÎÕÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ.îÁÒÉÍÅÒ,

•

(ÎÅ P)| ÜÔ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÎÅ ÌÏÓËÁÑ;

•

(P ÉÌÉQ) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ ÉÌÉ óÁÒÁ |ÄÏËÔ ÏÒ;

•

(P ÉQ) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ É óÁÒÁ |ÄÏËÔ ÏÒ.

ðÒÉÍÅÒ 2.1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÇÉËÁ |

ÚÁÂÁ-×Á,ÁÞÅÒÅÚ Q|Ó ÅÇ ÏÄÎÑÑÔÎÉÁ.ÒÅÂÕÅ ÔÓÑ×ÙÒÁÚÉÔØËÁÖÄÏÅÉÚ

ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ó ÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ× ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.

(Á) ìÏÇÉËÁ| ÎÅ ÚÁÂÁ×Á, ÉÓ ÅÇ ÏÄÎÑ ÑÔÎÉÁ.

(Â) óÅÇ ÏÄÎÑÎÅ ÑÔÎÉÁ,ÄÁ ÉÌÏÇÉËÁ| ÎÅ ÚÁÂÁ×Á.

(×) ìÉÂÏÌÏÇÉËÁ| ÚÁÂÁ×Á, ÌÉÂÏ Ó ÅÇ ÏÄÎÑ ÑÔÎÉÁ.

òÅÛÅÎÉÅ.

(Á) (ÎÅ P)É Q.

(Â) (ÎÅ P)É (ÎÅ Q).

(×) P ÉÌÉ Q.

þÔ ÏÂÙÕÍÅ ÔØÏÒÅÄÅÌÑÔØÚÎÁÞÅÎÉÅÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÓ ÏÓÔÁ×ÎÙÈ

×ÙÓËÁ-ÚÙ×ÁÎÉÊ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó Ï ÓÍÙÓÌÏÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ

ÏÅ-ÒÁÉÊ,Ô.Å.ËÁËÏÊÜÆÆÅËÔÏÎÉÏËÁÚÙ×ÁÀÔÎÁÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅÚÎÁÞÅÎÉÅ

ÒÏÓÔÙÈ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. üÔ Ï ÍÏÖÎÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ

ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ.

ïÔÒÉÁÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑP ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ

×ÙÓËÁ-ÚÙ×ÁÎÉÅ×ÉÄÁ(ÎÅP),ÞØÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅÚÎÁÞÅÎÉÅÓÔÒÏÇ ÏÒÏ

ÔÉ×ÏÏ-ÌÏÖÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ P. ïÒÅÄÅÌÑÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ Ï ÔÒÉÁÎÉÑ

×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ× ÔÁÂÌ.2.1.

ÁÂÌÉÁ 2.1

P (ÎÅP)

(25)

ëÏÎßÀÎËÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

P É Q ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó ÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (P É Q). ïÎÏ

ÒÉ-ÎÉÍÁÅ ÔÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅÔ ÏÌØËÏ × Ô ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÙÏÂÅ

ÅÇ ÏÓ ÏÓÔÁ×ÎÙÅÞÁÓÔÉ.ÁËÏÅÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÈÏÒÏÛÏÓ ÏÇÌÁÓÕÅ ÔÓÑÓ

ÏÂÙÞ-ÎÙÍÏÎÉÍÁÎÉÅÍÓ ÏÀÚÁÉ×ÒÁÚÇ Ï×ÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ.óÏÏ Ô×Å ÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ

ÔÁÂÌÉÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ|ÔÁÂÌ. 2.2.

ÁÂÌÉÁ 2.2

P Q (P ÉQ)

é é é

é ì ì

ì é ì

ì ì ì

äÉÚßÀÎËÉÅÊ ÉÌÉÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P

É Q ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ Ó ÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ÉÌÉ Q). ïÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ,

ÅÓÌÉÈÏ ÔÑÂÙÏÄÎÁÉÚÅÅÓ ÏÓÔÁ×ÎÙÈÞÁÓÔ ÅÊÉÍÅÅ ÔÉÓÔÉÎÎÏÅÚÎÁÞÅÎÉÅ,

ÞÔ Ï×ÎÅËÏ Ô ÏÒÏÍÓÍÙÓÌÅ ÔÁËÖÅÓ ÏÇÌÁÓÕÅ ÔÓÑÓÏÂÙÄÅÎÎÙÍ

ÏÎÉÍÁÎÉ-ÅÍÓ ÏÀÚÁ ÉÌÉ.äÒÕÇÉÍÉÓÌÏ×ÁÍÉ, (P ÉÌÉ Q)ÏÚÎÁÞÁÅ Ô, ÞÔ ÏÉÌÉP,

ÉÌÉ Q, ÉÌÉ É Ô Ï, É ÄÒÕÇ ÏÅ. ÁÂÌÉÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÄÉÚßÀÎËÉÉ

ÏÂÏ-ÚÎÁÞÅÎÁËÁË ÔÁÂÌ. 2.3.

ÁÂÌÉÁ2.3

P Q (P ÉÌÉQ)

é é é

é ì é

ì é é

ì ì ì

ðÒÉÍÅÒ2.2. þÔ ÏÍÏÖÎÏÓËÁÚÁÔØÏÂÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÓ ÏÓÔÁ×ÎÏÇ Ï

×ÙÓËÁ-ÚÙ×ÁÎÉÑ: ÌÉÂÏ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅ ÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇ Ï ÓÙÒÁ É çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ

ÛÅÓÔØ ÖÅÎ, ÉÌÉ ÎÅ ×ÅÒÎÏ, ÞÔ ÏÄÒÏÎÔ 1

×ÙÍÅÒ?

òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅ ÔÓÑ ÉÚ

ÚÅ-ÌÅÎÏÇ Ï ÓÙÒÁ, ÞÅÒÅÚ Q | çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅÎ É ÞÅÒÅÚ

R|ÄÒÏÎÔ×ÙÍÅÒ.óÉÍ×ÏÌØÎÁÑÚÁÉÓØÄÁÎÎÏÇ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ

ÉÍÅ-Å Ô×ÉÄ:(P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R ). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÌÏÖÎÏ,

ÁQÉRÉÓÔÉÎÎÙ.ðÏÜÔ ÏÍÕ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ(P ÉQ)ÉÌÉ(ÎÅR )ÉÍÅÅ Ô

ÔÁËÏÅÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅÚÎÁÞÅÎÉÅ: (ì É é)ÉÌÉ ì,ÞÔ ÏÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ì.

1

(26)

Ó×ÉÎØÑ-ä×Á Ó ÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É Ô ÅÈ ÖÅ

ÒÏÓÔÙÈÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ, ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ

ÏÄÉ-ÎÁËÏ×ÙÅÚÎÁÞÅÎÉÑÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÎÁÌÀÂÏÍ×ÏÚÍÏÖÎÏÍÎÁÂÏÒÅÚÎÁÞÅÎÉÊ

ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÓ×ÏÉÈ Ó ÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔ ÅÊ. ÁËÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ

ÎÁÚÙ×Á-ÀÔÓÑÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ.

ðÒÉÍÅÒ 2.3. ðÏËÁÚÁÔØ,ÞÔ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (ÎÅ(P É(ÎÅ Q)))

ÌÏÇÉ-ÞÅÓËÉÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ((ÎÅP) ÉÌÉ Q).

òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ Ó Ï×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.4)

ÄÌÑ Ó ÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:

R=(ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) É S =((ÎÅ P) ÉÌÉ Q):

÷ÓÏÍÏÇÁÔ ÅÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎËÉÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑÏÂÏÉÈ

×Ù-ÒÁÖÅÎÉÊÉÚ P É Q.

ÁÂÌÉÁ2.4

P Q ÎÅP ÎÅQ P É(ÎÅQ) R S

é é ì ì ì é é

é ì ì é é ì ì

ì é é ì ì é é

ì ì é é ì é é

ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅËÏÌÏÎËÉ ÔÁÂÌÉÙÉÄÅÎÔÉÞÎÙ.üÔ Ï ÏÚÎÁÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï

×Ù-ÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ S.

÷ÁÖÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÇ Ï ÏÅÒÁÔ ÏÒÁ,

ÒÅÚÕÌØ-ÔÁÔ ÏÍ ËÏ Ô ÏÒÏÇ Ï Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒÏÍ

ÔÁËÏ-Ç Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÅÓÌÉ ÚÁ×ÔÒÁ ÂÕÄÅ Ô ÓÕÂÂÏ ÔÁ,

Ô Ï Ó ÅÇ ÏÄÎÑ | ÑÔÎÉÁ. ðÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÇ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑ

ÕÓÌÏ×ÎÏÇ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ,ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÒÁÚÌÉÞÁÔØÆÁËÔÉÞÅÓËÕÀ

ÉÓÔÉ-ÎÕÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ.

òÁÓ ÓÍÏ ÔÒÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P, Ô Ï Q. ÷ Ô ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ

ÒÅÄÏÓÙÌËÁP ÉÓÔÉÎÎÁ,ÍÙÎÅÍÏÖÅÍÏÌÕÞÉÔØÌÉÇÉÞÅÓËÉ

ËÏÒÒÅËÔ-ÎÏÇ ÏÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉQ ÌÏÖÎÏ. ïÄÎÁËÏÅÓÌÉÏÓÙÌËÁ P ÌÏÖÎÁ, ÍÙ

ÉÍÅÅÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ É ËÏÇÄÁ Q ÌÏÖÎÏ, É

ËÏ-ÇÄÁÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ.

ðÒÉÍÅÒ 2.4. ðÕÓÔØ P | (ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 = 5, Q |

(Ô ÏÖÅ ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 3 = 7 É R | (ÉÓÔÉÎÎÏÅ)

ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-ÎÉÅ4 =4.ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔ ÏÕÓÌÏ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: ÅÓÌÉ P, Ô Ï Q É

ÅÓÌÉ P,Ô Ï R , | ÏÂÁ ÉÓÔÉÎÎÙ.

(27)

ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. ÷ÙÞÔ ÅÍÔ ÅÅÒØÉÚ ÏÂÅÉÈÞÁÓÔ ÅÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á1=5ÞÉÓÌÏ

3ÉÒÉÄÅÍË

−

2=2.ðÏÜÔ ÏÍÕ(

−

2) 2

=2 2

,Ô.Å.4=4.ÁËÉÍÏÂÒÁÚÏÍ,

ÅÓÌÉ P,Ô Ï R Ô ÏÖÅ ×ÅÒÎÏ.

÷ ÌÏÇÉËÅ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P, Ô Ï Q ÒÉÎÑÔ Ï

ÓÞÉ-ÔÁÔØÌÏÖÎÙÍÔ ÏÌØËÏ ×Ô ÏÍÓÌÕÞÁÅ,ËÏÇÄÁÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ,Á

ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ QÌÏÖÎÏ. ÷ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇ ÏÍÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÓÞÉÔÁÅ ÔÓÑ

ÉÓÔÉÎ-ÎÙÍ.

éÓÏÌØÚÕÑ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÍÌÉËÁÉÉ

⇒

, ÍÙ ÉÛÅÍ P

⇒

Q ÄÌÑ

ÏÂÏ-ÚÎÁÞÅÎÉÑÕÓÌÏ×ÎÏÇ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÅÓÌÉ P,Ô Ï Q. ÁËÁÑ ÚÁÉÓØ

ÞÉ-ÔÁÅ ÔÓÑ ËÁË ÉÚ P ÓÌÅÄÕÅ Ô Q ÉÌÉ, P ×ÌÅÞÅ Ô Q, ÉÌÉ P ÄÏÓÔÁÔ ÏÞÎÏ

ÄÌÑ Q,ÉÌÉ Q ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÄÌÑ P.

ÁÂÌÉÁÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉÉÍÌÉËÁÉÉÒÉ×ÅÄÅÎÁ× ÔÁÂÌ. 2.5.

ÁÂÌÉÁ2.5

P Q (P

⇒

Q)

é é é

é ì ì

ì é é

ì ì é

ðÒÉÍÅÒ 2.5. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ((ÎÅ Q)

⇒

(ÎÅ P)) ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑ

ÒÏ-ÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÉÌÉËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÙÍ Ë×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ(P

⇒

Q).

ðÏËÁÚÁÔØ,ÞÔ Ï((ÎÅQ)

⇒

(ÎÅP))ÌÏÇÉÞÅÓËÉÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ

×ÙÓËÁÚÙ-×ÁÎÉÀ(P

⇒

Q).

òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓ ÓÍÏ ÔÒÉÍÓ Ï×ÍÅÓÔÎÕÀÔÁÂÌÉÕÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ(ÔÁÂÌ.2.6).

ÁÂÌÉÁ2.6

P Q ÎÅP ÎÅQ (P

⇒

Q) ((ÎÅQ)

⇒

(ÎÅP))

é é ì ì é é

é ì ì é ì ì

ì é é ì é é

ì ì é é é é

ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔ ÏÌÂÁ ÜÔ ÏÊ ÔÁÂÌÉÙ Ó Ï×Á ÄÁÀÔ, Ô Ï É

×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ,Ï ËÏ Ô ÏÒÙÈ ÉÄÅ ÔÒÅÞØ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.

2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ

ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉÍÅÎÑÅ ÔÓÑË ÒÏÓÔÙÍ ÄÅËÌÁÒÁÔÉ×ÎÙÍ

(28)

ÂÙÔØ ×ÅÒÎÙÍÉ ÒÉ ÎÅËÏ Ô ÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÌÏÖÎÙÍÉ

ÒÉÄÒÕÇÉÈ.

ðÒÅÄÉËÁÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅ ÔÓÑÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ,Ó ÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ,

ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÅÚÎÁÞÅÎÉÅÉÓÔÉÎÙÉÌÉÌÖÉ ×ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉÏ ÔÚÎÁÞÅÎÉÊ

ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.îÁÒÉÍÅÒ,×ÙÒÁÖÅÎÉÅx| ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ,ÕÄÏ×ÌÅ

Ô×ÏÒÑ-ÀÝÅÅ Ó ÏÏ ÔÎÏÛÅÎÉÀ x = x

2

Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔ ÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ

ÉÓÔÉÎÎÏÒÉx=0 ÉÌÉ x=1É ÌÏÖÎÏ × ÌÀÂÏÍÄÒÕÇ ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ É Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ. ÷

ÏÂ-ÝÅÍÓÌÕÞÁÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Ó ÏÓÔÁ×ÎÏÇ Ï ÒÅÄÉËÁÔÁ×ËÏÎÅÞÎÏÍÓÞÅ Ô Å

ÚÁ-×ÉÓÉÔÏ Ô ÚÎÁÞÅÎÉÊ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÇ ÏÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.ïÄÎÁËÏ

ÓÕÝÅÓÔ×Õ-ÀÔÎÅËÏ Ô ÏÒÙÅ,ÅÝÅÎÅÚÎÁËÏÍÙÅ÷ÁÍÌÏÇÉÞÅÓËÉÅÏÅÒÁÔ ÏÒÙ

(ÎÁÚÙ×Á-ÅÍÙÅË×ÁÎÔÏÒÁÍÉ),ÒÉÍÅÎÅÎÉÅËÏ Ô ÏÒÙÈËÒÅÄÉËÁÔÁÍÒÅ×ÒÁÝÁÅ Ô

ÏÓÌÅÄÎÉÅ ×ÌÏÖÎÙÅ ÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ.

ðÒÉÍÅÒ 2.6. ëÁËÉÅÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊÉÓÔÉÎÎÙ,ÁËÁËÉÅ

ÌÏÖÎÙ?

(Á) óÕÍÍÁ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈÕÇÌÏ× ÌÀÂÏÇ Ï ÔÒÅÕÇ ÏÌØÎÉËÁÒÁ×ÎÁ 180

◦

.

(Â) õ ×Ó ÅÈËÏÛÅË ÅÓÔØ È×ÏÓÔ.

(×) îÁÊÄÅÔÓÑÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏx,ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x 2

=2.

(Ç) óÕÝÅÓÔ×ÕÅ ÔÒÏÓÔ ÏÅÞÅ ÔÎÏÅÞÉÓÌÏ.

òÅÛÅÎÉÅ.

(Á) éÓÔÉÎÎÏ.

(Â) ìÏÖÎÏ. õÂÅÓÈ×ÏÓÔ ÏÊ 1

ËÏÛËÉ È×ÏÓÔÁ ÎÅ Ô.

(×) ìÏÖÎÏ.

(Ç) éÓÔÉÎÎÏ.þÉÓÌÏ 2 Ñ×ÌÑÅ ÔÓÑ ÉÒÏÓÔÙÍ,ÉÞÅ ÔÎÙÍ.

÷ ÒÉÍÅÒÅ 2.6 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÂÏÒÏÍ ÏÂßÅËÔ Ï× É

ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-ÎÉÑÍÉÏ Ô ÏÍ,ÞÔ ÏÎÅËÏ Ô ÏÒÏÅÓ×ÏÊÓÔ×Ï ÉÍÅÅ ÔÍÅÓÔ ÏÄÌÑ×ÓÅÈ ÒÁÓ

ÓÍÁ-ÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÏÂßÅËÔ Ï×, ÉÌÉ ÞÔ ÏÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) Ï ËÒÁÊÎÅÊ

ÍÅÒÅÏÄÉÎÏÂßÅËÔ, ÏÂÌÁ ÄÁÀÝÉÊÄÁÎÎÙÍÓ×ÏÊÓÔ×ÏÍ.

÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ×Ó ÅÈ É ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ Ô)

ÎÁÚÙ×ÁÀÔ-ÓÑ Ë×ÁÎÔ ÏÒÁÍÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ, Ó ÏÏ Ô×Å ÔÓÔ×ÅÎÎÏ,

∀

É

∃

. ÷ËÌÀÞÁÑ ×

ÒÅÄÉËÁÔË×ÁÎÔ ÏÒÙ, ÍÙÒÅ×ÒÁÝÁÅÍ ÅÇ Ï × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔ ÏÍÕ

ÒÅÄÉËÁÔÓ Ë×ÁÎÔ ÏÒÁÍÉ ÍÏÖÅ Ô ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ.

(29)

ðÒÉÍÅÒ 2.7. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P(x) ÒÅÄÉËÁÔx | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É

x 2

=16. ÷ÙÒÁÚÉÔ ÅÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ:

∃

x: P(x) ÉÏÒÅÄÅÌÉÔ Å ÅÇ ÏÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.

òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ

∃

x : P(x) ÏÚÎÁÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï ÎÁÊÄÅ ÔÓÑ Å-ÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅ Ô×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x

2

= 16. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ,

ËÏÎÅÞÎÏ,ÉÓÔÉÎÎÏ,ÏÓËÏÌØËÕÕÒÁ×ÎÅÎÉÅx 2

=16ÒÅ×ÒÁÝÁÅ ÔÓÑ×

×ÅÒ-ÎÏÅ Ô ÏÖÄÅÓÔ×Ï ÒÉ x = 4. ëÒÏÍÅ Ô ÏÇ Ï, x =

−

4 | ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇ ÏÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.ïÄÎÁËÏÎÁÍÎÅÔÒÅÂÕÅ ÔÓÑÒÁÓ ÓÕÖÄÁÔØÏÚÎÁËÅ

Å-ÒÅÍÅÎÎÏÊx,ÞÔ ÏÂÙÒÏ×ÅÒÉÔØÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ

∃

x: P(x).

ðÒÉÍÅÒ 2.8. ðÕÓÔØ P(x) | ÒÅÄÉËÁÔ:x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É

x 2

+ 1=0.÷ÙÒÁÚÉÔ ÅÓÌÏ×ÁÍÉ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ:

∃

x: P(x)ÉÏÒÅÄÅÌÉÔ Å ÅÇ ÏÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.

òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍÏÖÎÏÒÏÞÉÔÁÔØÔÁË:ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ Ô

×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x,ÕÄÏ×ÌÅ Ô×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀx 2

+1=0.

ðÏ-ÓËÏÌØËÕ Ë×Á ÄÒÁÔ ÌÀÂÏÇ Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇ Ï ÞÉÓÌÁ ÎÅÏ ÔÒÉÁÔ ÅÌÅÎ, Ô.Å.

x 2

>

0, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔ Ï x 2

+1

>

1. óÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ

∃

x: P(x) ÌÏÖÎÏ.

ïÔÒÉÁÎÉÅ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÉÚÒÉÍÅÒÁ2.8ÚÁÉÓÙ×ÁÅ ÔÓÑ×

ÓÌÅÄÕÀ-ÝÅÍ×ÉÄÅ: ÎÅ

∃

x: P(x).üÔ Ï,ÅÓÔ ÅÓÔ×ÅÎÎÏ,ÉÓÔÉÎÎÏÅ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ËÏ Ô ÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅ Ô, ÞÔ Ï ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ Ô ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇ Ï ÞÉÓÌÁ x,

ÕÄÏ-×ÌÅ Ô×ÏÒÑÀÝÅÇ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ x 2

+1 = 0. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ

ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ x, x 2

+1

6

= 0. ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÜÔ Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË

∀

xÎÅ P(x).

äÌÑ ÏÂÝÅÇ Ï ÒÅÄÉËÁÔÁP(x)ÅÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ

ÜË×É×Á-ÌÅÎÔÎÏÓÔÉ 2

:

ÎÅ

∃

x: P(x)

⇔ ∀

xÎÅ P(x);

ÎÅ

∀

x P(x)

⇔ ∃

x: P(x).

ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅ Ô ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ, ÎÅËÏ Ô ÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ

×ÏÚ-ÎÉËÁÀÔ,ËÏÇÄÁ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÉÕÞÁÓÔ×ÕÅ Ô ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇ ÏË×ÁÎÔ ÏÒÁ.

ðÒÉÍÅÒ 2.9. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔ Ï x É y | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á

P(x;y) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅ Ô ÒÅÄÉËÁÔx+y=0.÷ÙÒÁÚÉÔ ÅËÁÖÄÏÅ ÉÚ

×ÙÓËÁ-ÚÙ×ÁÎÉÊÓÌÏ×ÁÍÉ É ÏÒÅÄÅÌÉÔ Å ÉÈÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ.

(Á)

∀

x

∃

y : P(x; y);

(Â)

∃

y:

∀

x P(x; y). 2

(30)

òÅÛÅÎÉÅ.

(Á) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ

∀

x

∃

y: P(x;y)Ç Ï×ÏÒÉÔÏ Ô ÏÍ,ÞÔ ÏÄÌÑÌÀÂÏÇ Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇ Ï ÞÉÓÌÁ x ÎÁÊÄÅ ÔÓÑÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y,

ÞÔ Ïx+y=0.ïÎÏ,ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,×ÅÒÎÏ,ÏÓËÏÌØËÕËÁËÏÅÂÙÞÉÓÌÏx

ÍÙ ÎÉ ×ÚÑÌÉ, ÞÉÓÌÏ y =

−

x ÏÂÒÁÝÁÅ Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x +y = 0 × ×ÅÒÎÏÅ Ô ÏÖÄÅÓÔ×Ï.

(Â) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ

∃

y :

∀

x P(x; y) ÞÉÔÁÅ ÔÓÑÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ ÔÔÁËÏÅ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅÞÉÓÌÏy,ÞÔ ÏÄÌÑ ÌÀÂÏÇ Ï

×ÅÝÅ-ÓÔ×ÅÎÎÏÇ ÏÞÉÓÌÁx×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x+y=0.üÔ Ï,

ËÏÎÅÞ-ÎÏ,ÎÅÔÁË:ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÕÅ Ô×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇ ÏÞÉÓÌÁy,ÏÂÌÁ ÄÁÀÝÅÇ Ï

ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.óÌÅÄÏ×ÁÔ ÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÖÎÏ.

2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×

ðÒÉÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×ÅÔ ÅÏÒÅÍÒÉÍÅÎÑÅ ÔÓÑÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÉÑ.

äÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Á × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ | ÎÅÏ ÔßÅÍÌÅÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ

ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉÁÌÇ ÏÒÉÔÍÏ×.îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Á

×ÏÚÎÉËÁ-Å Ô, ËÏÇÄÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ×ÉÄÁ

(P

⇒

Q).óÕÝÅÓÔ×ÕÅ ÔÎÅÓËÏÌØËÏÓÔÁÎÄÁÒ ÔÎÙÈÔÉÏ×ÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×,

×ËÌÀÞÁÀÝÉÈÓÌÅÄÕÀÝÉÅ:

1. ðÒÑÍÏÅ ÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÅ.ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ,ÞÔ Ï×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P

ÉÓ-ÔÉÎÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ Q. ÁËÏÊ ÓÏÓ ÏÂ ÄÏËÁÚÁÔ

ÅÌØ-ÓÔ×ÁÉÓËÌÀÞÁÅ ÔÓÉÔÕÁÉÀ,ËÏÇÄÁP ÉÓÔÉÎÎÏ,ÁQ| ÌÏÖÎÏ,

ÏÓËÏÌØ-ËÕ ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔ ÏÍ É Ô ÏÌØËÏ × ÜÔ ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÌÉËÁÉÑ (P

⇒

Q)

ÒÉÎÉÍÁÅ ÔÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÓÍ.ÔÁÂÌ. 2.5ÎÁ ÓÔÒ.27).

2. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔ Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Q

ÌÏÖÎÏ ÉÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÏÛÉÂÏÞÎÏÓÔØ P.Ï ÅÓÔØ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ,ÒÑÍÙÍ

ÓÏÓ ÏÂÏÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁÉÉ ((ÎÅ Q)

⇒

(ÎÅ P)),

ÞÔ Ï Ó ÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.5, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ

ÉÓ-ÈÏÄÎÏÇ Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ(P

⇒

Q).

3. íÅ Ô ÏÄ Ï Ô ÒÏ ÔÉ×ÎÏÇ Ï. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔ Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P

ÉÓÔÉÎÎÏ,ÁQÌÏÖÎÏ,ÉÓÏÌØÚÕÑÁÒÇÕÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÅ,

Ï-ÌÕÞÁÅÍ ÒÏ ÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.üÔ Ï ÔÓÏÓ ÏÂ ÏÑÔØ-ÔÁËÉÏÓÎÏ×ÁÎÎÁÔ ÏÍ, ÞÔ Ï

ÉÍÌÉËÁÉÑ(P

⇒

Q)ÒÉÎÉÍÁÅ ÔÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅÔ ÏÌØËÏ Ô ÏÇÄÁ, ËÏ-ÇÄÁP ÉÓÔÉÎÎÏ,ÁQ ÌÏÖÎÏ.

(31)

(32)

ÏÂÝÉÍÄÅÌÉÔ ÅÌÅÍ2.åÓÌÉÖÅÔ ÅÅÒØ×ÓÏÍÎÉÔØ,ÞÔ ÏÍÙ

ÒÅÄÏÌÁÇÁ-ÌÉÏ ÔÓÕÔÓÔ×ÉÅÏÂÝÅÇ ÏÄÅÌÉÔ ÅÌÑÕÞÉÓÌÉÔ ÅÌÑÉÚÎÁÍÅÎÁÔ ÅÌÑÄÒÏÂÉ m n ,

Ô Ï Õ×ÉÄÉÍÑ×ÎÏÅ ÒÏ ÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.

îÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÏ ÔÉ×ÏÒÅÞÉÅÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ ËÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍÕ ×Ù×ÏÄÕ:

ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x

2

= 2 ÎÅ ÍÏÖÅ Ô ÂÙÔØ ÒÁÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ,

Ô.Å. ÏÎÏ ÉÒÒÁÉÏÎÁÌØÎÏ.

2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕËÉÑ

ëÏÍØÀÔ ÅÒÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ

ÉÌÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÅÌÁÅ Ô Ô Ï, ÞÔ Ï ÕËÁÚÁÎÏ × ÅÅ

ÓÅÉÆÉËÁ-ÉÉ. îÅÓÍÏ ÔÒÑ ÎÁ Ô Ï, ÞÔ Ï Ô ÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÅ Ô ÄÁ×ÁÔØ

ÏÖÉÄÁÅÍÙÊÒÅÚÕÌØÔÁÔ×ÓÌÕÞÁÅËÁËÉÈ-Ô ÏÏ ÔÄÅÌØÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ

ÄÁÎ-ÎÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÄÏËÁÚÁÔØ ÒÉÅÍÁÍÉÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ, ÞÔ Ï

ÒÁ-×ÉÌØÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅÂÕÄÕÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÒÉÌÀÂÙÈ ××ÏÄÉÍÙÈ

ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ï ÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×ÁÈ ÔÁËÏÇ Ï Ó ÏÒ ÔÁ ÂÕÄÅ Ô

ÒÁÓ-ÓËÁÚÁÎÏ ×ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ,ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÏÍ ×ËÏÎÅÜÔ ÏÊÇÌÁ×Ù.

ðÒÏ×ÅÒËÁËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ,Ó ÏÄÅÒÖÁÝÅÇ ÏÉËÌÙ,

ÎÕÖÄÁ-Å ÔÓÑ×ÄÏ×ÏÌØÎÏÍÏÝÎÏÍÍÅ Ô ÏÄÅÄÏËÁÚÁÔ ÅÌØÓÔ×Á,ËÏ Ô ÏÒÙÊÎÁÚÙ×ÁÅ

Ô-ÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕËÉÑ.ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á

ÜÔ ÏÇ Ï ×ÁÖÎÏÇ Ï ÍÅ Ô ÏÄÁ, ÄÏËÁÚÁ× ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇ Ï

ÒÅËÕÒ-ÒÅÎÔÎÏÇ Ï ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ,ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇ Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÉÚ

ÎÁ-ÂÏÒÁ a 1

;a 2

;a 3

;:::;a n

ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓ ÅÌ.

begin

i:=0;

M :=

0;

whilei<ndo

begin

j :=

j+1;

M:=max(M;a);

end

äÅÊÓÔ×ÉÅ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ÄÁÎÎÙÈ:a 1

= 4,a 2

=7, a 3

=3 É

a 4

=8ÒÏÓÌÅÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 2.7.

ÁÂÌÉÁ2.7

j M j<4?

0 0 äÁ

1 4 äÁ

2 7 äÁ

(33)

÷ËÁÞÅÓÔ×Å×ÙÈÏÄÎÙÈÄÁÎÎÙÈÍÙÏÌÕÞÉÌÉM =8,ÞÔ Ï

ÂÅÚÕÓÌÏ×-ÎÏÒÁ×ÉÌØÎÏ.úÁÍÅ ÔÉÍ, ÞÔ ÏÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇ ÏÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ

ÅÒÅÍÅÎ-ÎÁÑM ÒÁ×ÎÁÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕÉÚÞÉÓ ÅÌÎÁÂÏÒÁ,ÒÏÓÍÏ ÔÒÅÎÎÙÈËÜÔ ÏÍÕ

ÍÏÍÅÎÔÕ.

îÏ ÂÕÄÅ ÔÌÉ ÁÌÇ ÏÒÉÔÍÒÁÂÏ ÔÁÔØÒÁ×ÉÌØÎÏÒÉÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ

ÎÁÂÏÒÅÞÉÓ ÅÌ ÄÌÉÎÙn?

òÁÓ ÓÍÏ ÔÒÉÍ ××ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ a

1 ;a

2 ;a

3

;:::;a n

ÄÌÉÎÙ n É

ÏÂÏ-ÚÎÁÞÉÍÞÅÒÅÚM

k

ÚÎÁÞÅÎÉÅÅÒÅÍÅÎÎÏÊM ÏÓÌÅk-Ç ÏÒÏÈÏÄÁÉËÌÁ.

1. åÓÌÉ ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÎÁÂÏÒ a

1

ÄÌÉÎÙ 1, Ô Ï ÉËÌ ÓÄÅÌÁÅ Ô Ô ÏÌØËÏ

ÏÄÉÎ ÒÏÈÏÄ É M ÒÉÓ×ÏÉÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ 0 É a

1 ,

ËÏ Ô ÏÒÙÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅ Ô a 1

(ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÏÌØÛÅ 0).

÷ÜÔ ÏÍÒÏÓÔ ÏÍÓÌÕÞÁÅ ×Ù×ÏÄÂÕÄÅ ÔÒÁ×ÉÌØÎÙÍ.

2. åÓÌÉ ÏÓÌÅ k-Ç Ï ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ M

k

| ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ

ÎÁÂÏÒÁ a 1

;a 2

;:::;a k

, Ô Ï ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇ Ï ÒÏÈÏÄÁ M

k+1

ÂÕ-ÄÅ ÔÒÁ×ÎÏmax(M k

;a k+1

),Ô.Å.ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕÜÌÅÍÅÎÔÕÎÁÂÏÒÁ

a 1

;a 2

;:::;a k

;a k+1

.

÷ .1 ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔ Ï ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏ ÔÁÅ Ô ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ

ÌÀ-ÂÏÍ××ÏÄÉÍÏÍÎÁÂÏÒÅÄÌÉÎÙ1.ðÏÜÔ ÏÍÕÓ ÏÇÌÁÓÎÏ.2,ÏÎ ÂÕÄÅ Ô

ÒÁ-×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏ ÔÁÔØ É ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ2. ÷ÎÏ×Ø ÒÉÍÅÎÑÑ .2

ÒÁÓ ÓÕÖÄÅÎÉÊ,ÍÙ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔ ÏÁÌÇ ÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏ ÔÁÅ Ô ÒÁ×ÉÌØÎÏ É

ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÄÌÉÎÙ 3, É Ô.Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇ ÏÒÉÔÍ

ÒÁ-×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏ ÔÁÅ Ô ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙn, Ô.Å. ÏÎ

ËÏÒÒÅËÔ ÅÎ.

îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍÑÚÙËÅÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÊÍÅÔÏÄÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á

×Ù-ÇÌÑÄÉÔÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.

ðÒÉÎÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕËÉÉ

ðÕÓÔØ P(n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ

ÎÁÔÕÒÁÌØ-ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n.

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ

1. P(1) ÉÓÔÉÎÎÏ É

2.

∀

k

>

1 ÉÍÌÉËÁÉÑ (P(k)

⇒

P(k+1))×ÅÒÎÁ.

ÏÇÄÁ P(n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉn.

ðÒÉÍÅÒ 2.13. äÏËÁÖÉÔ ÅÏ ÉÎÄÕËÉÉ,ÞÔ ÏÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

1+2+

· · ·

+n=

n(n+1)