1
10. PLANUL SI DREAPTA
1.1
A. TEORIE
1.1.1 10.1. Planul in E3
Majoritatea tehnicilor de proiectare apeleaza la geometria analitica. O problema de actualitate in care este folosita masiv geometria analitica este gra…ca pe calculator.
În cele ce urmeaz¼a Rc = O; i; j; k este reperul canonic din E3, iar Ox; Oy; Ozsunt axele ortogonale asociate.
1. Normala la plan. Un vector N nenul din E3 se numeste
normal¼a la planul dac¼aN ?P Q;pentru orice dou¼a puncteP; Q 2 : In acest caz vom mai spune ca vectorul liberN este unvector normal la planul sau
caN estenormala la planul .
2. Planul determinat de un punct si de normala sa. Fie M0(a; b; c)
un punct …xat si N =Ai+Bj+Ckun vector nenul …xat. Planul ce trece prin M0 si are normala N este locul geometric al punctelor M(x; y; z)
din spatiu pentru care N M0M = 0si are ecuatia
A(x a) +B(y b) +C(z c) = 0:
Daca este planul care are ecuatia A(x a) +B(y b) +C(z c) = 0
convenim sa scriem
: A(x a) +B(y b) +C(z c) = 0
si sa spunem, prin abuz de limbaj, ca Ai+Bj+Ckeste normala sa.
Exemplul 10.1.1. Sa determinam ecuatia planului care este paralel cu planul
: 2x 3y+z 5 = 0
si care trece prin punctulM(1;1;1):Remarcam ca N = 2i 3j+keste o normala la planul ;deci si la planul :Prin urmare ecuatia planului este2 (x 1) 3 (y 1) + 1 (z 1) = 0, deci
: 2x 3y+z= 0:
3. Ecuatia generala a planului. Ecuatia
Ax+By+Cz+D= 0;
unde A2+B2+C2
6
Exemplul 10.1.2. Sa determinam 2Rastfel incat puncteleM1( ;0;1);
M2(1; ;0); M3(0;1; ); M4(1;1;1)sa …e coplanare. Pentru aceasta
con-sideram planul :Ax+By+Cz+D= 0care contine cele patru puncte. Atunci
A+B+D= 0; A+ B+D= 0; B+ C+D= 0; A+B+C+D= 0
trebuie sa …e un sistem compatibil. Din conditia de compatibilitate rezulta imediat ca = 0: Remarcam si faptul ca planul celor patru puncte este x+y+z 3 = 0:
4. Plane de coordonate. Planele
xOy: z= 0(care are normalaksi trece prin origine); yOz: x= 0 si
zOx: y= 0
se numescplane de coordonate.
5. Ecuatia planului prin taieturi. Ecuatia planului care taie axele Ox; Oy; Ozin punctele (a;0;0);(0; b;0);respectiv in (0;0; c), cu abc6= 0este
x a+
y b +
z c = 1:
6. Ecuatia planului care trece prin punctele necoliniareMi(xi; yi; zi); i= 1;3 este:
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1 = 0:
7. Planul determinat de un punct si doua directii. Planul ce trece prin punctul M0(a; b; c) si este paralel cu vectorii nenuli si necoliniari
li+mj+nksi l0i+m0j+n0kare ecuatia
x a y b z c
l m n
l0 m0 n0 = 0:
8. Unghiul diedru dintre planele : Ax+By +Cz+D = 0 si 0 :
A0x+B0y+C0z+D0 = 0are masura unghiului dintre normalele lor i.e.
arccosp AA0+BB0+CC0
A2+B2+C2pA02+B02+C02:
9. Distanta de la punctul M0(x0; y0; z0) la planul :Ax+By+Cz+
D= 0este, prin de…nitieminimul distantelor de la punctul M0la punctul
d(M0; ) =j
Ax0+By0+Cz0+Dj p
A2+B2+C2 :
Distanta dintre planele si este, prin de…nitie, minimul distantatelor dintre punctele arbitrareM 2 siP 2 :
Exemplul 10.1.3. Fie planele : 2x 3y+z 5 = 0si : 3x y z+2 = 0
si punctulM0(1;0;0):
1. Sa se determine punctulM a‡at la intersectia dintre planelexOy; si .
2. Sa se determine distantad(M0; ):
3. Sa se determine masura unghiului diedru dintre cele doua plane.
4. Sa se determine planul care este perpendicular pe planele date si trece prinM0:
5. Sa se determine distanta dintre planele date.
Solutie. 1. Sa determinam coordonatelex; y; z ale luiM: CumM 2xOy\ \ rezulta cax; y; zveri…ca sistemul
8 normala la planul . Prin urmare masura unghiului diedru estearccos 6+3 1
p
11p14 = arccos 4q2
77:
4. O normala la planul este
N :=N N =
5. Deoarece planele date nu sunt paralele rezulta ca distanta dintre ele este nula.
Exemplul 10.1.4. Sa determinam distanta dintre planele :x+y+z= 1
distanta dintre cele doua plane este chiar distanta dintre punctul ales si planul care vectorul M0M este coliniar cu vectorul d;adica
d= M jM0M =td; t2R :
Vom spune ca d = li+mj +nk este vector director pentru dreapta
d;coe…cientii l; m; n se numescparametri directori ai dreaptei d; prin abuz de limbaj spunem uneori cal; m; nsunt parametrii directori ai dreptei
d:DeoareceM0M = (x x0)i+ (y y0)j+ (z z0)k=tddaca si numai
daca
x x0=lt; y y0=mt; z z0=nt;
de aici obtinem imediatecuatiile parametrice ale drepteidcare trece prin punctul M0(x0; y0; z0) si are directiad=li+mj+nk:
Sa determinam dreaptad0 paralela cudcare trece prin origine. Deoarece d k d0 rezulta ca un vector director pentru cele doua drepte este d =
3. Dreapta care trece prin punctele M0(x0; y0; z0) si M1(x1; y1; z1)
(M06=M1) are ecuatia
(a) d: x x0
x1 x0 =
y y0
y1 y0 =
z z0
z1 z0:
4. Ecuatia generala a unei drepte determinata de doua plane (neparalele)
este
d: Ax+By+Cz+D= 0
A0x+B0y+C0z+D0= 0
undeAi+Bj+Ck6=t A0i+B0j+C0k ;oricare ar …t2R:
Exemplul 10.2.2. Axa Oz este intersectia planelor yOz (de ecuatie x = 0) si zOx (de ecuatie y = 0). prin urmare ecuatiile axelor de coordonatesunt
Oz x= 0 y= 0 ; Ox
y= 0
z= 0 ; Oy
z= 0
x= 0 :
Exemplul 10.2.3. Sa determinam un plan care trece prin origine si este perpendicular pe dreapta
d: x y+ 2z= 0 2x+y z= 3: :
Deoarece d ? , un vector director al dreptei d este normala la planul : Pe de alta parte planul de ecuatiex y+ 2z= 0 admite normala d1 =i j+2k, planul de ecuatie2x+y z= 3admite normalad2= 2i+j k,
iar d=d1 d2= i+ 5j+ 3k? : Prin urmare ecuatia planului este
x+ 5y+ 3z= 0:
5. Ecuatia fascicolului de plane care trec prin dreapta
d: Ax+By+Cz+D= 0
A0x+B0y+C0z+D0= 0:
este
; : (Ax+By+Cz+D) + (A0x+B0y+C0z+D0) = 0; unde ; 2R:
6. Perpendiculara comuna a doua drepte. Fie dreptele d1 si d2 care
trec prinM1(x1; y1; z1), respectiv prin M2(x2; y2; z2)de vectori directori
d1=l1i+m1j+n1k; respectivd2 =l2i+m2j+n2k si produsul vectorial
d1 d2 =li+mj+nk: Ecuatiile dreptei perpendiculare pe dreptele d1 si
d2sunt:
x x1 y y1 z z1
l1 m1 n1
l m n
= 0;
x x2 y y2 z z2
l2 m2 n2
l m n
Distanta dintre dreptele d1 si d2 este, prin de…nitie, minimul
distan-telor dintre punctele arbitrareM12d1 siM2 2d2 si se poate calcula cu
ajutorul formulei
d(d1; d2) =
M1M2; d1; d2
d1 d2
:
Exemplul 10.2.4. Fie dreaptad : x+y+z= 3
x y+z= 1 si planul : x+
y z= 3:Sa se arate ca dreapta data este paralela cu planul dat, apoi sa se determine cea mai apropiata dreaptad0 din planul care este paralela
cu dreaptad.
Rezolvare. Deoarece dreaptadeste inclusa in planul :x y+z= 1si
este paralel cu rezulta cadk . Dreaptad0este chiar proiectia drepteid pe planul :O metoda de determinare a acestei proiectii este urmatoarea: din fascicolul de plane care trec prin d alegem planul perpendicular pe planul ; intersectia acestuia cu este dreapta cautata. Fie deci
a(x+y+z 3) +b(x y+z 1) = 0
fascicolul de plane ce trec prind. Normala(a+b)i+ (a b)j+ (a+b)k a unui plan din fascicol trebuie sa …e ortogonala pe normala planului i j+ka planului , deci(a+b) (a b) + (a+b) = 0, oria= 3b. In consecinta dreapta cautata este
d0 x+y z= 3 x 2y+z= 4 :
Veri…cati corectitudinea rezultatului rezolvand problema prin alta metoda.
7. Volumul V tetraedrului M1M2M3M4 este
V =1 6
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
x4 y4 z4 1
;
undeMi(xi; yi; zi); i= 1;4 sunt varfurile acestuia.
Exemplul 10.2.5. Sa determinam distantad(P; Oz), undeP este punc-tul de coordonate(1;2;3). Deoareced(P; Oz) = d(P; P0); unde P0 este
proiectia punctului P pe axa Oz; o metoda de determinare a distantei cautate este urmatoarea:
- scriem ecuatia planului perpendicular peOz care trece prinP: cum keste normala la acest plan obtinem imediat ca
:z 3 = 0;
- distanta cautata ested(P; Oz) =d(P; P0) =p1 + 4 + 0 =p5:
Veri…cati rezultatul rezolvand problema prin alta metoda (de exemplu folosind proiectia punctuluiP in planulxOy).
Exemplul 10.2.6. Sa determinam planul care trece prin punctul P(1;2;3)si prin dreapta
d: x y= 0
x+z= 1 :
Din fascicolul de plane care trec prin dreapta data il vom alege pe acela care contine punctulP. Fascicolul cautat este
; : (x y) + (x+z 1) = 0:
CumP(1;2;3)2 ; avem + 3 = 0. Planul care trece prinP sid are, asadar, ecuatia3 (x y) + (x+z 1) = 0, ori
: 4x 3y+z= 4:
1.1.3 B. Probleme rezolvate
1. Fie :x+ 2y z+ 1 = 0. S¼a se veri…ce dac¼aA2 , undeA( 1;2;2)¸si în caz contrar s¼a se scrie ecua¸tia unui plan 0k cuA2 0
REZOLVARE:
Veri…c¼am dac¼a coordonatele luiA satisfac ecua¸tia planului. Avem xA+ 2yA zA+ 1 = 26= 0, deciA =2 .
Pentru c¼a 0 k , putem alege pentru 0 acela¸si vector normal ca cel al
planului , adic¼a N = (1;2; 1). Deci 0 este planului determinat de
punctulA¸si vectorul normalN , astfel
0 : 1(x+ 1) + 2(y 2) 1(z 2) = 0
sau echivalent,alpha0:x+ 2y z 1 = 0.
2. S¼a se veri…ce dac¼a planul 1: 2x 4y+ 2z+ 3 = 0este paralel cu planul
din problema precedent¼a. REZOLVARE:
k 1 dac¼a ¸si numai dac¼a N ¸si N 1 sunt vectori coliniari, adic¼aN =
N 1 ceea ce e echivalent cu faptul c¼a cei doi vectori au coordonate
pro-por¸tionale. Veri…c¼am acest lucru: 2 1 =
4 2 =
2
1 e adev¼arat, deci k 1.
3. S¼a se veri…ce dac¼a 1k 2, unde
REZOLVARE:
Cele dou¼a plane au normaleleN 1= (1;2;1)¸siN 2 = (2; 4;2). Calcul¼am
produsul scalarN 1 N 2 = 2 4+2 = 0¸si vedem c¼a normalele sunt vectori
ortogonali, deci planele sunt perpendiculare.
4. S¼a se scrie ecua¸tia planului(ABC)cuA(1;2; 1),B(1;2;3)¸siC(2;1;1). REZOLVARE:
Planul(ABC)este determinat de punctulA¸si vectorii directori
AB=OB OA= (1 1;2 2;3 + 1) = (0;0;4)
se scrie ecua¸tiile unei drepte d1 k dcu A2d1 ¸precum ¸si ale unei drepte
d2cud2? ,A2d2.
REZOLVARE:
d1 k d, deci putem alege ca vector director al dreptei d1 acelasi vector
director ca cel al drepteid, adic¼av = (1;1;0). Astfeld1 e dreapta
deter-minat¼a de punctulA¸si vectorul directorv, deci
d1:
Avem d2? deci putem alege ca vector director al dreptei d2, vectorul
N = (2;1; 1) normal la planul . Astfel d2 e dreapta determinat¼a de
punctulA¸si vectorul directorN , deci
d2:
AB este dreapta determinat¼a de punctulA¸si de vectorul directorAB=
7. S¼a se scrie ecua¸tia unui plan , cu kd1, kd2¸siA2 , undeA(1;2;3)
al drepteid1. Analog kd2 deciN va … un vector ortogonal pe vectorul
directorv= (1; 2; 1)al drepteid2. A¸sadarN este un vector simultan
ortogonal peu¸si pev. Putem alege
N =u v=
i j k
2 1 3
1 2 1 = 5i+ 5j 5k
Astfel, este planul determinat de punctulA¸si de vectorul normalN = (5;5; 5). Deci
: 5(x 1) + 5(y 2) 5(z 3) = 0
sau :x+y z= 0. alternativ, se putea scrie ecua¸tia planului ca …ind determinat de punctulA¸si vectorii directoriu¸siv.
8. Fie 1 :x+y 2z 1 = 0, 2 : 2x+y+z 2 = 0¸siA(1;2; 1). S¼a se
scrie ecua¸tiile unei drepted, cuA2d,dk 1,dk 2.
REZOLVARE: METODA I:
Fieuvectorul director al drepteid. Pentru c¼adk 1 avem c¼au N 1 ¸si
pentru c¼adk 2avem c¼au N 2, deciueste un vector simultan ortogonal
peN 1 ¸si peN 2. Putem alege
u=N 1 N 2
i j k
1 1 2
2 1 1 = 3i 5j k
Astfel, de dreapta determinat¼a de punctul A¸si de vectorul directoru= (3; 5; 1)¸si în …nal g¼asim
Fied0 dreapta de intersec¸tie a celor dou¼a plane,d0=
1\ 2, deci
d0: (
Rangul sistemului e 2 ¸si not¼am z =t, necunoscut¼a secundar¼a. Sistemul
dkd0 ¸si putem alege pentrudacela¸si vector directoru. Astfel
d: x 1
O dreapt¼a e determinat¼a de dou¼a puncte. În particular, proiec¸tia dreptei ABpe planul va … determinat¼a de proiec¸tiile A0,B0 ale punctelorA¸si respectivB pe planul .
Proiec¸tia A0 a lui A pe este punctul de intersec¸tie dintre ¸si dreapta
d1ce con¸tine punctul A¸sid1? . Dreapta va avea direc¸tia dat¼a deN = (2;1; 1)¸si va avea ecua¸tiile parametrice:
d1:
Punctul A0 este ob¸tinut pentru acel t pentru care x; y; z din ecua¸tiile
dreptei satisfac ecua¸tia planului, adic¼a pentru2(1+2t)+(2+t) (3 t)+1 = 0, mai precis pentru t = 1=3. Înlocuind în ecua¸tiile dreptei d1, g¼asim
A0(5=3;7=3;8=3).
Analog, construim o dreapt¼ad2 cuB 2d2¸sid2? . Astfel, B0 =d2\ .
Repetând ra¸tionamentul de mai sus, g¼asim
10. S¼a se determine simetricul punctuluiAfa¸t¼a de planul , undeA¸si sunt cele din problema precedent¼a.
REZOLVARE:
Dac¼a not¼am cuA00simetricul luiAîn raport cu planul , avem c¼a proiec¸tia
A0 este mijlocul segmentului[AA00], deciA0= 1
1, apoi s¼a se calculeze distan¸ta de la punct la dreapt¼a
REZOLVARE:
Fie planul ?d,A2 . Atunci, punctul A0= \dva … proiec¸tia luiA
ped. Planul esste determinat de punctulA¸si de vectorul normalN = (2;1; 1)care e vectorul director al drepteid. G¼asim : 2x+y z+1 = 0. Scriem ecua¸tiile drepteidîn form¼a parametric¼a:
d: 1e determinat de punctulA1¸si de vectorii directori liniar independen¸ti
Atunci 2 e determinat de punctulA2¸si de vectorii directori liniar
inde-penden¸tiu2¸siA2A=OA OA2= (3;2;3). Deci
2:
x+ 2 y z
1 2 3
3 2 3 = 0 () 1: 3y 2z= 0
Dar dar pentru c¼ad1 1¸siA2 1, vom avea c¼ad 1, iar cumd2 2
¸siA2 2, rezult¼a c¼ad 2. Decid 1\ 2, dar cum intersec¸tia a dou¼a
plane distincte nu poate … mai mult decât o dreapt¼a, rezult¼a c¼a:
d: (
8x y+ 6z 8 = 0 3y 2z= 0
13. S¼a se scrie ecua¸tiile perpendicularei comune a dreptelor d1 ¸si d2 de la
problema precedent¼a. REZOLVARE:
Dac¼ad1con¸tine punctulA1( 1;0;0)¸si are direc¸tia dat¼a deu1= (1; 2;1)
iar d2 con¸tine punctulA2( 2;0;0)¸si are direc¸tia dat¼a de u2= ( 1;2;3),
atunci perpendiculara comun¼adva avea direc¸tia dat¼a de vectorul
w=u1 u2=
i j k
1 2 1
1 2 3 = 8i 4j
¸si intersecteaz¼a cele dou¼a drepte date.
În particular, de con¸tinut¼a în planul 1 determinat de punctul A1 ¸si de
vectorii directoriu1¸siw. Avem
1:
x+ 1 y z
1 2 1
8 4 0 = 0 () 1:x+ 2y 5z+ 1 = 0
Analog,de con¸tinut¼a în planul 2determinat de punctulA2¸si de vectorii
directoriu2¸siw¸si avem
2:
x+ 2 y z
1 2 3
8 4 0 = 0 () 2: 3x+ 6y+ 5z+ 6 = 0
Decid= 1\ 2, adic¼a
d: (
x 2y 5z+ 1 = 0 3x+ 65 + 5z+ 6 = 0
14. S¼a se scrie eccua¸tiile unei drepte d cu A 2 d¸si d intersecteaz¼a dreptele
d1; d2, cud1: (
x+ 2y+z 1 = 0
2x+y+ 2z 4 = 0 ¸sid2: (
x+y z+ 5 = 0
x+y+ 3z 1 = 0
REZOLVARE:
Evident, se poate rezolva ca ¸si problema 12. Dar cum ecua¸tiile dreptelor d1; d2sunt scrise ca intersec¸tie de plane, ne e mai u¸sor s¼a folosim fascicole.
Fie
a;b:a(x+ 2y+z 1) +b(2x+y+ 2z 4) = 0 (1) fascicolul de plane ce con¸tin dreapta d1. Vrem s¼a determin¼am acel plan
din fascicol care con¸tine punctul A. Observ¼am c¼a pentru b = 0, planul a;0 : x+ 2y+z 1 = 0 nu con¸tine punctul A, deci planul pe care
îl c¼aut¼am are b 6= 0. Împ¼ar¸tind ecua¸tia (1) cu b ¸si notând c = b=a, ecua¸tia fascicolului devinec(x+ 2y+z 1) + (2x+y+ 2z 4) = 0, adic¼a
(c+2)x+(2c+1)y+(c+2)z (c+4) = 0. 1, planul din fascicol care con¸tine
punctulAeste cel pentru care (c+ 2) + 2(2c+ 1) + 3(c+ 2) (c+ 4) = 0, adic¼a cel cuc= 6=7. Rezult¼a c¼a
1: 8x 5y+ 8z 22 = 0
.
Repet¼am ra¸tionamentul pentru fascicolul de plane ce con¸tine dreapta d2
¸si g¼asim c¼a planul ce con¸tine dreaptad2¸si punctulAeste 2: 3x+ 3y 13z+ 30 = 0. Dard=d1\d2, deci
(
8x 5y+ 8z 22 = 0 3x+ 3y 13z+ 30 = 0
1.1.4 C. Exercitii
1. Gasiti planul care trece prin P( 3;0;7) si este perpendicular pe N = 5i+ 2j k:
Raspuns. 5x+ 2y z+ 22 = 0:
2. Determinati un set de ecuatii parametrice ale dreptei ce trece prinP( 2;0;4)
si este paralela cua= 2i+ 4j 2k:
Raspuns.E.g. x= 2 +t; y= 2t; z= 4 t:
3. Aratati ca x= 3 + 4t; y= 2 3t; z = 3 + 7t sunt ecuatii parametrice ale dreptei care trece prinP( 7;6; 10)siQ(1; 1;4).
4. Determinati punctul in care dreapta x = 8
3 + 2t; y = 2t; z = 1 +t
intersecteaza planul3x+ 2y+ 6z= 6:
5. Se dau planele de ecuatii : 3x 2y+z = 0si Ax+By+Cz+D = 0: Sa se determine constanteleA; B; C; D2Rastfel incat planele date sa …e
paralele, iar punctulM(1;1;1)sa se gaseasca intr-unul dintre ele.
Raspuns. A= 3; B=D= 2; C = 1:
6. Calculati distanta de la punctulP(1;1;3)la planul3x+ 2y+ 6z= 6:
Raspuns. 17 7:
7. Aratati ca masura unghiului dintre planele de ecuatii3x 6y 2z = 15
si2x+y 2z= 5estearccos 4 21 :
8. Fie punctulP(1; 2;2)si planul :x+ 2y+ 2z+ 5 = 0:
(a) Sa se determine ecuatia planului ce trece prinP si este paralel cu : (b) Sa se calculeze distanta dintre cele doua plane.
Raspuns. a. :x+ 2y+ 2z= 1:b. d( ; ) = 2: 9. Fie planele :x y= 5si : 2x y+ 2z= 0.
(a) Sa se determine ecuatia planului ce trece prin P(3;4; 2) si este perpendicular pe cele doua plane.
(b) Sa se calculeze masura unghiului dintre planele si :
Raspuns. a. 2x+ 2y z= 16: b. 4:
10. Care este ecuatia planului care trece prin mijlocul segmentului de capete P(2;1; 3)siQ(0; 3;3);este paralel cu dreapta d: x 1
2 =y 4 =
z 1
3
si este perpendicular pe planul :z= 5?
Raspuns. x 2y= 3:
11. Care este ecuatia planului ce trece prin P(2;1; 3) si este perpendicular pe vectorulOP?
Raspuns. 2x+y 3z= 14:
12. Determinati ecuatii parametrice ale dreptei de intersectie a planelor 3x
6y 2z= 15si2x+y 2z= 5:
13. Calculati distanta de la punctulP la dreaptad;unde:
(a) P(0;0;0); d:x=t; y= 2t; z= 3t;
(b) P(1;2;3); d:x=t; y= 2t; z= 3t;
(c) P(0;0;0); d:x=y=z 3;
(d) P(1;2;3)d:x+y z 3 = 0; x+ 2y z= 0:
14. Determinati distanta de la planul de ecuatie x+ 2y+ 3z= 4la planul de ecuatie2x+ 4y+ 6z= 13:
15. Determinati distanta de la planul de ecuatie x+ 2y+ 6z= 10 la dreapta
de ecuatiix= 2 +t; y= 1 +t; z= 1+t
2 :
16. Sa se determine care dintre cele trei drepte luate cate doua sunt paralele, sunt concurente, sau oblice (i.e. nici concurente, nici paralele).
(a) d1:x= 3 + 2t; y= 1 + 4t; z= 2 t;d2:x= 1 + 4s; y= 1 + 2s; z= 3 + 4s;d3:x= 3 + 2r; y= 2 +r; z= 2 + 2r:
(b) d1:x= 1 + 2t; y= 1 t; z = 3t;d2:x= 2 s; y= 3s; z= 1 +s;
d3:x= 5 + 2r; y= 1 r; z= 8 + 3r:
17. Determinati punctele de intersectie ale dreptei d: x= 1 + 2t; y = 1
t; z= 3tcu planele de coordonate.
18. Care sunt ecuatiile dreptei din planulz= 3care face un unghi de6 radiani cu vectorulisi un unghi de 3 radiani cu vectorulj?
19. Sa se scrie ecuatia planului care contine dreaptad: x 2
2 =y+1 =
z
3si este
paralel cu dreapta determinata de puncteleP(2;1;1)siQ( 1; 2; 1):
Raspuns. x+y z= 1:
20. Sa se scrie ecuatia planului care contine dreapta d: 2x=y+z; y z+ 2 = 0si este perpendicular pe planul care trece prin punctele P(2;0;0), Q(0; 1;0)siR(0;0; 1):
Raspuns. y z 2 = 0:
21. Sa se demonstreze ca dreapta care trece prin simetricul punctuluiP(1;1;1)
fata de dreapta d:x 2z+ 4 = 0; y=z si este perpendiculara pe planul
: 2x+y+z= 4are ecuatiiley=z;2x y z+ 8 = 0:
22. Dreapta care trece prin proiectia punctului P(1; 1;2)pe planul :x+
y+z = 5 si este paralela cu dreapta d:z = 3; x y = 3 are ecuatiile z= 3six y= 2?
23. Daca dreapta care se sprijina pe dreptele d1:x+y z+ 2 = 0; y+z = 5x+9; d2:y= 2x+3; z= 3x+5si este paralela cu dreaptad: 2x y+2 = 0;2x z+ 2 = 0are ecuatiileD: 2x y+ 3 = 0; y z+ 1 = 0 sa se a‡e distanta dintre punctele de intersectie dintreD sid1;respectivd2:
Raspuns. 3:
24. Justi…cati existenta perpendicularei comune a doua drepte disjuncte si neparalele.
25. Determinati perpendiculara comuna a dreptelord1:y z= 7x 7; y+z=
x+ 3sid2:y= 4x+ 3; z= 3x 5si distanta dintre ele.
26. In computer graphics este nevoie sa reprezentam in plan obiectele din
spatiu. Sa presupunem ca ochiul privitorului este inQ(x0;0;0)si vrem sa
reprezentam punctulP1(x1; y1; z1)ca un punctP(0; y; z)din planulyOz;
realizam acest lucru proiectandP1 pe plan. de-a lungul drepteiQP1:
(a) Determinati coodonatele punctuluiP in functie dex0; x1; y1; z1:
(b) Examinati comportarea coordonatelor gasite candx1= 0;candx1=
x0 si candx0! 1:
27. O problema in computer graphics este depistarea liniilor ascunse. Sa
presupunem ca ochiul tau este inQ(4;0;0)si privesti o placa triunghiulara de varfuri (1;0;1);(1;1;0) si ( 2;2;2): Segmentul ce uneste (1;0;0) cu
