BAB 6.
DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT
6.1. Deret Taylor
Misal fungsi f(z) analitik pada | z - z0 | < R ( lingkaran dengan pusat di z0
dan jari-jari R). Maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu, f(z) dapat dinyatakan
sebagai :
∑
∞ =− =
0
0) ( )
(
n
n n z z
a z
f , z−z0 <R dengan ,
! ) ( 0 ) (
n z f a
n
n = n = 0, 1, 2, ...
Atau ditulis f z = f z0 + f z0 z−z0 + f z0 (z−z0)2 +..., z−z0 <R
! 2
) ( '' ) ( ! 1
) ( ' ) ( )
( .
Deret diatas disebut Deret Taylor di titik z0 dan daerah | z - z0 | < R disebut daerah kekonvergenan atau keanalitikan deret. Bila f(z) fungsi entire maka daerah keanalitikan deret yaitu : | z - z0 | < ∞.
Bila z0 = 0, maka deret disebut Deret Mac laurin , berbentuk
∑
∞ = =0 ) (
! ) 0 ( )
(
n
n n
z n f z
f , z <R.
Dalam memperderetkan atau mengekspansikan suatu fungsi, akan lebih mudah
dilakukan asalkan kita sudah mempunyai perderetan dari fungsi tertentu. Caranya
dengan melihat pola dasar bentuk perderetan suatu fungsi tertentu tersebut dan
daerah keanalitikannya.
Contoh 1
Nyatakan )f(z = ez dalam deret Mac Laurin. Penyelesaian :
Dengan demikian =
∑
<∞Penyelesaian :
Fungsi f (z) = ze2z merupakan fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan adalah
| z | <∞ Dengan mengunakan bentuk =
∑
<∞Tentukan deret Mac Laurin dari fungsi
z
Penyelesaian :
Fungsi f (z)tidak analitik di z = 1, sehingga daerah keanalitikan:| z | < 1.
Dengan demikian , 1
1
Deret-deret penting lainnya:
1
Soal Latihan
(Nomor 1 – 5 )Gunakan bentuk deret yang sudah ada untuk menentukan
perderetan fungsi berikut ke dalam deret Mc Laurin dan tentukan daerah
konvergensinya.
1. f(z) = sin z
2. f(z) = cos z
3. f(z) = ln (1 - z )
4.
z z
f
+ =
2 3 )
( .
5.
3 )
( 2
+ =
z z z f
( Nomor 6 - 9 ) Gunakan bentuk deret yang sudah ada untuk menentukan
perderetan fungsi berikut ke dalam deret Taylor di pusat yang diketahui dan
tentukan daerah konvergensinya
6. z i
z z
f =
−
= ,
1 1 )
( .
7. z i
z z
f =−
+
= ,
1 1 )
( .
8. z i
z z z
f =
− +
= ,
1 1 )
( .
9. f(z)=sinz,z=π1 .
6.2. Deret Laurent
Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan
dalam deret Taylor di z = z0. Agar f(z) dapat diperderetkan di z = z0 maka
dilakukan dengan cara membuang titik singular z = z0 dari daerah | z - z0 | < R
sehingga didapatkan daerah R1 < | z - z0 | < R2 ( cincin / anulus ) yang merupakan
dijelaskan berikut.
Misal f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada anulus, R1 < | z – z0 | <
R2. Maka fungsi f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi bentuk deret ( deret Laurent ) sebagai berikut :
∑
∑
∞= ∞
= −
+ − =
1 0
0
0
) ( )
( )
(
n n n n
n n
z z
b z
z a z
f ,R1 < z−z0 <R2 dengan
, ) (
) ( 2
1
1 0
0 dz
z z
z f i a
C
n n
∫
+− =
π n = 0,1,2, ...dan ( ) ,
) ( 2
1
1 0
0 dz
z z
z f i b
C
n n
∫
− +− =
π n = 1,2,3,
...
Suku pertama di ruas kanan tidak lain adalah deret Taylor, dan suku
keduanyayang berupa polinomial berpangkat negatif disebut sebagai bagian
utama dari deret Laurent. Jadi secara umum deret Laurent terdiri dari dua bagian :
deret Taylor dan bagian utamanya.
Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana yang terletak di dalam anulus
yang melingkupi z0. Anulus itu kemudian menjadi daerah konvergensi deret
Laurent.
Notasi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan bentuk deret Laurent
yaitu :
∑
∞ −∞ =− =
n
n n z z
C z
f( ) ( 0) ,R1< z−z0 <R2
dengan , 0, 1, 2,...
) (
) ( 2
1
1 0
0 = ± ±
−
=
∫
+ dz nz z
z f i C
C
n n π
Untuk menghindari perhitungan integral lintasan, maka dalam
memperderetkan fungsi ke dalam deret Laurent kita tidak menggunakan rumusan
Mc Laurin yang sudah kita pelajari. Agar lebih jelas diberikan contoh berikut.
Contoh 1
Perderetkan fungsi f (z) = e1/ zdengan pusat di z = 0 dan tentukan daerah keanalitikannya.
Penyelesaian :
Fungsi f (z) = e1/ z tidak analitik di z = 0. Sehingga fungsi f(z) diperderetkan ke dalam deret Laurent dengan daerah keanalitikan : 0 < | z | < ∞ atau < <
z
1
0 ∞ .
Maka
f (z)= e 1/ z
=
∑
∞=0( !) 1
n n zn
, 0 < | z | < ∞.
Contoh 2
Perderetkan
2 3
1 )
( 2
+ −
− =
z z z
f di titik z = 1 dan tentukan daerah
konvergensinya.
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa fungsi
2 3
1 )
( 2
+ −
− =
z z z
f =
2 1 1 1
− −
− z
z tidak analitik di z = 1
dan z = 2. Sehingga deret dengan pusat di kedua titik tersebut merupakan deret
Laurent, sedangkan di z = 0 merupakan deret Mc Laurin.
Bila f(z) diperderetkan dengan pusat z = 1 maka daerah konvergensi yang
mungkin yaitu : 0 < | z - 1 | < 1 dan 1< | z - 1 |.
Disini kita tinggal memperderetkan suku kedua dari f(z) =
Pada daerah ini, diperoleh
∑
∞f diperderetkan dengan pusat z = 2 maka daerah
Jadi f(z) = , 0 2 1
f diperderetkan dengan pusat z = 0 maka daerah
konvergensinya yang mungkin yaitu : | z | < 1 , 1 < | z | < 2, dan 2 < | z |.
Selanjutnya diserahkan pembaca sebagai latihan.
Soal latihan
( Nomor 1 – 4 ) Perderetkan fungsi berikut pada daerah yang diketahui :
( Nomor 5 sd 7 ) Ekspansikan dalam deret Laurent dengan daerah konvergensinya
berbentuk R0 < | z | < R1 dari fungsi berikut dan tentukan daerah konvergensinya:
5.
) 1 (
1 )
( 3
z z z f
− =
6. 3
4 2 8 ) (
z z
z z
f
− − =
7. 6 2
) 1 (
1 )
(
z z z f
+ =
( Nomor 7 – 10 ) Perderetkan dalam deret laurent pada daerah R0 < | z - z0 | < R1
dari :
8. z i
z z
f =
+ = 2 , 0
1 1 ) (
9. , 1
1 1 )
( 4 0 =−
−
= z
z z
f .
10. z i
i z
z z
f , 2
) 2 ( )
( 2 0
4
− = +
=
( Nomor 11 – 13 ) Perderetkan 2
1 1 ) (
z z
f
−
= pada daerah
11. z <1
12. z >1
13. 0< z−1 < 2
(Nomor 14 – 15) Perderetkan fungsi berikut dengan pusat diketahui :
14. , 1
1 2 )
( 2 =
−
= z
z z
f
15. , 1
) 1 (
sinh )
( 2 =
−
= z
z z z
