Limn= akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

(1)

1

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

LIMIT

4.1. FUNGSI LIMIT Definisi 4.1.1

R

A⊆ Titik c∈R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap δ >0 ada paling sedikit satu titik di x∈A,x≠c sedemikian sehingga x−c <

δ

.

Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :

Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau

ditulis

δ

( )

c yaitu :

( )

{

}

δ δ

+ < < − =

< − < − =

< − ∈ =

c x c

c x

c x R x

c ;

( ) (

δ

)

δ c = c− c+

V , memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan

c.

Catatan : A⊆R, c titik limit dari A jika V_δ

( )

c =∩A yang berbeda dari c.

Teorema 4.1.2

Bilangan real c adalah titik limit dari A, A⊆R, jika dan hanya jika ada barisan

( )

an dalam A dan x≠c,∀n∈N sedemikian hingga Lim

( )

an =c

Bukti :

( ) A⊆R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan

ada barisan (an) dalam A dan x≠c,∀n∈Nsedemikian hingga Lim

( )

an =c

c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n∈N, persekitaran

n

1 dari c, yaitu V₁ _n

( )

c memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c. Jika an, ∀n∈N merupakan titik-titik tersebut, maka an

c x A

(2)

2

(⇐) Jika ada barisan (an) dalam A dan x≠c,∀n∈N sedemikian hingga

( )

a c

Lim _n = akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

(an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,

artinya untuk sembarang

δ

>0,∃K∈N, sehingga jika n≥K

( )

δ

, maka

( )

c

a_n∈

δ

. Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c,

δ

( )

c yang

memuat titik-titik an, ∀n≥K

( )

δ

,a_n∈A dan an c. Jadi, c merupakan titik

limit dari A.

DEFINISI LIMIT 4.1.4. Definisi

R A f R

A⊆ , : → , dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan

limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x∈A

dan 0< x−c <

δ

maka f

( )

x −L <

ε

Catatan :

a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga

kadang-kadang ditulis dengan ( ).

b. Ketaksamaan 0< x−c adalah ekuivalen dapat dikatakan x≠c

Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan

ditulis :

) (x f Lim L

c x→

= atau L Lim f

c x→

=

dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c

Teorema 4.1.5

Jika f :A→R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c. Bukti :

(3)

3

Pilih > 0, sehingga

L1 merupakan limit f di c maka ada

δ

1

(

ε

2

)

>0 dan 0< x−c <

δ

1

(

δ

2

)

maka

( )

x −L₁ <

ε

2

f

L2 mer upakan limit f di c maka ada

δ

2

(

ε

2

)

>0 dan 0< x−c <

δ

2

(

δ

2

)

maka

( )

x −L₂ <

ε

2

f

Ambil

δ

=min

{

δ

₁

(

ε

2

) (

,

δ

₂

ε

2

)

}

maka jika x∈A dan 0< x−c <

δ

, dengan ketaksamaan segitiga didapatkan :

ε

+ =

< − +

− ≤

− ₂ ₁ ( ) ( ) ₂ 2 2

1 L L f x f x L

L

Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1 – L2 = 0 jadi L1 = L2

Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena

( ) (

δ

)

{

δ

}

δ c = c− c+ = x∈R x−c<

V , ;

Ketaksamaan segitiga 0< x−c <

δ

adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan f

( )

x −L₁ <

ε

|

(4)

4

(5)

5

4.1.6 Teorema

Ambil f :A→R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah ini :

1. Lim f x L

c

x→ ( )=

2. Diberikan persekitaran- V(L) dari L, ada persekitaran- V(c) sedemikian

sehingga jika x c adalah titik V_ε

( )

L ∩A, x≠c maka f

( )

x ∈V_ε(L)

Contoh :

1. Limb b

c

x→ =

Bukti :

Tampak bahwa f

( )

x =b ∀x∈R akan ditunjukkan Limb b c

x→ =

Jika > 0, ambil = 1, sehingga jika 0< x−c <1diperoleh

( )

x −b = b−b =0<

ε

f . Terbukti karena > 0 maka dapat disimpulkan

b b Lim

c

x→ =

2. Limx c

c

x→ =

Bukti :

( )

x x x R

g = , ∀ ∈ Jika > 0, ambil = , sehingga jika 0< x−c <

δ

maka diperoleh

ε

< − = −c x c x

g( ) . Karena > 0 maka terbukti bahwa Limx c

c

x→ = .

3. Limx2 c2 c

x→ =

Bukti :

R x x x

h = 2 ∀ ∈

)

( . Untuk menunjukkanLimx2 c2

c

x→ = , maka harus ditunjukkan

ε

< − =

− 2 2 2

)

(x c x c

h

(6)

6

Dimana x2−c2 =(x−c)(x+c) Jika x−c<1. Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :

1 + ≤ c

x sehingga x+c ≤ x+c ≤2c+1

Jika x+c <1, maka akan diperoleh :

(

c

)

x c

c x c x c

x − = + − ≤ 2 +1 −

(*) 2 2 |

dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .

Hal tersebut akan dipenuhi jika x−c <

ε

(

2c+1

)

Oleh karena itu, pilih

( )

+ =

1 2 , 1 inf

c

c ε

δ

sehingga jika 0< x−c <δ

( )

ε 0 maka memenuhi :

1

< −c

x dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh

(

+

)

− <

ε

≤

−c c x c

x 2 1

(*) 2 2

Karena nilai ( ) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai > 0,

maka terbukti bahwa Limx2 c2 c

x→ =

4. tunjukkan ( 2 2 ) 15

3 + =

→ x x

Lim x

Bukti :

Ambil f(x) = x2+2x, ∀x∈R

Maka f(x)−15<

ε

Akdib : x2 +2x−15 = (x+5)(x−3)< x+5 x−3

Misal =1 x−3 <1 atau x∈(2,4)

Jadi x+5∈(7,9) atau x+5 <9

9 ) 3 )( 5 ( 15 2

2

< − + = −

+ x x x

(7)

7

Ambil sebarang ε > 0, pilih min 9 , 1 ε

Jadi, x2 +2x−15 ≤ x+5 x−3

ε ε δ

≤ ≤ ≤

5 . 5 5

Jadi terbukti

Kriteria Barisan Untuk Limit 4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)

R A

f : → , dan c merupakan titik limit dari A maka :

(i) Lim f x L

c

x→ ( )=

(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga

N n c

x_n ≠ ,∀ ∈ , maka barisan

(

f

( )

x_n

)

konvergen ke L

Bukti :

(i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A dengan lim(x_n)=c x_n ≠c,∀n∈N. Kita harus menunjukkan bahwa barisan

( )

(

f xn

)

konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4), jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x∈A memenuhi

δ

< − < x c

0 , maka f

( )

x memenuhi f(x)−L<

ε

. c

x_n)=

lim( , artinya untuk sembarang

δ

>0,∃K

( )

δ

∈N, sehingga untuk n≥K(

δ

) berlaku x_n−c Tetapi setiap x_n memenuhi f(x)−L <

ε

. Jadi, jika n≥K(

δ

) maka berlaku n≥K(

δ

) artinya barisan

(

f

( )

x_n

)

konvergen ke L.

(8)

8

Andaikan Lim f x L c

x→ ( )≠ maka akan ada persekitaran- 0 dari L, Vε0(L) sehingga

untuk setiap persekitaran- dari c, V_ε₀(c) yang diambil, terdapat paling sedikit satu nilai , ( )

0 c

V A

x

δ

∈ ∩ _ε dengan , ( ) ( )

0 L

V x f c

V_δ ≠ ≠ _ε . Oleh karena itu, ∀n∈N , persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

n c

x_n 1

0< − < dan x∈A Tetapi, f(x_n)−L ≥

ε

₀, ∀n∈N.

Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A−

{ }

c konvergen ke c, tetapi barisan

(

f

( )

x_n

)

tidak konvergen ke L.

Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.

Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan. Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan Kriteria Barisan, fungsi h(x)=x2

mempunyai limit : Limh(x) c2 c

x→ =

Kriteria Divergensi

Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada suatu titik.

4.1.9 Kriteria Divergensi R

A f R

A⊆ , : → dan c merupakan titik limit dari A.

(9)

9

b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, x_n ≠c,∀n∈N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi

(

f

( )

xn

)

tidak konvergen di R.

Contoh : 1.

( )

_x

x Lim 1

0

→ tidak ada di R.

Bukti :

Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n∈N, maka lim (xn) = 0, tetapi (xn) = 1/(1/n) = n, dan barisan

(

ϕ

( )

xn

) ( )

= n merupakan barisan yang tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9 (b) disimpulkan bahwa

( )

_x

x Lim 1

0

→ tidak ada di R.

2. sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak ada.

Bukti :

Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :

< −

= > +

=

0 1

0 0

0 1

) sgn(

x untuk

x

Ingat bahwa sgn(x)=x x untuk x≠0 (lihat gambar 4.1.2). Akan ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan

ditunjukkan sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)

dan lLim sgn(x)=0, tetapi

(

sgn(x)

)

tidak konvergen.

(10)

10

Ambil xn =

( )

−1n n untuk n∈N, maka lim(xn)=0 dan

( )

n

x) 1

sgn( = −

untuk n∈N

Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(x)tidak konvergen. Jadi, sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak

ada.

3.

( )

_x

x

Lim 1

0 sin

→ tidak ada di R.

Bukti :

Jika g(x)=sin(1n), untuk x≠0. (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan (xn) dan (yn), dimana xn 0 dan yn 0, ∀n∈N sedemikian hingga

0 )

lim(xn = dan lim(yn)=0 tetapi lim(g(xn))=0≠lim(g(yn)) hal itu

menunjukkan bahwa Lim g

x→0 tidak ada.

Fungsi g(x_n)=sin

( )(

1 x x≠0

)

Ingat : sint =0 jika t =nπ , dan sint=+1jika t=12

π

+2n

π

untuk n∈Z

Ambil xn=1n

π

∀n∈N, maka lim(xn)=0 dan g(xn)=sinn

π

=0 ∀n∈N,

sehingga lim

(

g

( )

xn

)

=0 Ambil yn π 2nπ

1

2 1 ₊

(11)

11

dan_g(_y )₌sin

(

₂1

π

₊2_n

π

)

₌1

n ∀n∈N sehingga lim

(

g

( )

yn

)

=1 maka

( )

x x

Lim 1

0 sin

→ tidak ada di R.

4.2 TEOREMA LIMIT 4.2.1 Definisi

Diberikan A⊆R, f :A→ R, dan diberikan c∈R titik limit dari A. Kita

katakan bahwa f terbatas pada persekitaran cjika terdapat persekitaran δ ,V_δ(c)

dan konstanta M >0 seperti yang kita miliki f(x)≤Muntuk semua

) (c V A

x∈ ∩ _δ .

4.2.2 Teorema

Jika A⊆R dan f :A→Rmempunyai sebuah limit di c∈R, maka f

terbatas pada suatu persekitaran pada c

Bukti :

Jika L f

c x→

=lim

: , maka untuk e=1, terdapat δ >0 sedemikian hingga jika

δ < − < x c

0 , kemudian f(x) <1 ( oleh corollary 2.2.4(a)),

1 )

( )

(x − L ≤ f x −L <

f

Karena itu, jika x∈A∩V_δ

( )

c,x≠c, maka f

( )

x ≤ L +1. Jika c∉A, kita ambil M = L+1, sementara jika c∈A kita ambil M :=sup

{

f

( )

c , L+1

}

. Maka

bila ada x∈A∩V_δ

( )

c , kemudian f

( )

x ≤M. Ini menunjukkan bahwa f terbatas

pada suatu persekitaran pada c.

Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian

dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.

(12)

12

Diberikan A⊆R, f dan gfungsi yang terdefinisi pada A ke R. Didefinisikan

jumlah f + g, selisih f − gdan perkalian fg pada A ke Rdengan fungsi

(

f +g

)( )

x = f

( )

x +g

( )

x

(

f −g

)( )

x = f

( )

x −g

( )

x

( )( )

fg x = f

( ) ( )

x g x

untuk semuax∈A. Selanjutnya jika b∈Rdidefinisikan perkalian bf dengan

fungsi

( )( )

bf x =bf

( )

x untuk semua x∈A.

Akhirnya, jika h

( )

x ≠0 untuk x∈A, kita definisikan pembagi f /h dengan

fungsi

( )

x h

x f x h

f

= untuk semua x∈A

4.2.4 Teorema

Diberikan A⊆R, diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R, dan

diberikan c∈R tertimbun dari A. Lebih lanjut diberikan b∈R.

a. Jika f L

c

x→ =

lim dan g M

c

x→ =

lim , maka :

(

f g

)

L M c

x→ + = +

lim ,

(

f g

)

L M

c

x→ − = −

lim

( )

fg LM c

x→ =

lim

( )

bf bL

c

x→ =

lim

b. Jika h:A→R, jika h

( )

x ≠0untuk semua x∈A, dan jika lim = ≠0

→ch H

x ,

maka

H L h

f

c

x→ =

lim

Bukti :

Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat

(13)

13

biarkan

( )

x_n menjadi urutan apapun di A sehingga x_n ≠cuntuk n∈N, dan

( )

xn

c=lim . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa

( )

(

f x

)

=L

lim , lim

(

g

( )

x

)

=M

Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa

( )( )

fg xn = f

( ) ( )

xn g xn untuk n∈N

Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya

( )( )

(

fg xn

)

lim

(

f

( ) ( )

xn g xn

)

lim =

=

[

lim

(

f

( )

x_n

)

]

[

lim

(

g

( )

x_n

)

]

=LM

Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan

rincian untuk pembaca.

Komentar

1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa =lim ≠0

→ h

H c x

dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit

( )

x h

x f c x→

lim

mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat

menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.

2. Diberikan A⊆R, dan f1,f2,...fndengan fungsi A ke R, dan diberikan c

titik timbun dari A. Jika

k c x

k f

L

→

=lim untuk k =1,...n

Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa

(

n

)

c x

n f f f

L L

L1+ 2 +...+ =lim 1+ 2 +...

→

Dan

(

n

)

c x

n f f f

L L

L₁⋅ ₂... =lim ₁⋅ ₂...

(14)

14

Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika L f

c x→

=lim dan n∈N, maka

( )

(

)

n c

x n

x f L

→

=lim

4.2.5 Contoh

1. Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan

teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa x c c

x→ =

lim ,

kemudian limx2 c2 c

x→ = dan jika c>0, maka

c x

c x c x

1 lim

1 1

lim = =

→ →

2. lim

(

2 1

)(

3 4

)

20

2 + − =

→ x x

x

Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa

(

1

)(

4

)

(

lim

(

1

)

(

lim

(

4

)

lim 3

2 2

2 3

2

2 + − = → + → −

→ x x x x x x

x

=

(

22 +1

)(

23 −4

)

=

(

4+1

)(

8−4

)

= 5⋅4

= 20

3.

5 4 1 4 lim ₂

3

2 ₊ =

−

→ _x

x x

(15)

15

(

)

(

)

5

4 1 lim 4 lim 1 4 lim 2 2 3 2 2 3

2 ₊ =

− = + − → → → x x x _x x x x

Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e lim

(

2 1

)

5

2 + =

→ x

x ) tidak sama dengan

0, maka teorema 4.2.b berlaku.

4. 3 4 6 3 4 lim 2

2 − =

−

→ _x

x

x ,

Jika diberikan f

( )

x =x2 −4 dan h

( )

x =3x−6 untuk x∈R maka tidak dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi

(

f

( ) ( )

x h x

)

x 2

lim

→ karena

( )

lim(3 6) lim

2

2 = −

=

→

→ h x x

H

x x

= 3lim 6 3.2 6 0

2 − = − =

→ x

x

Bagaimanpun, jika x≠2, maka

) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 ) 2 )( 2 ( 6 3 4 2 + = − − + = − − x x x x x x

Maka dari itu

(

)

3 4 2 lim 3 1 ) 2 ( 3 1 lim 6 3 4 lim 2 2 2

2 ₋ = + = + =

−

→ →

→ _x x x

x

x x

x

Catatan bahwa fungsi g(x)=(x2 −4) (3x−6) mempunyai limit di x=2 meskipun tidak ada definisinya.

5. x x 1 lim 0

(16)

16

Tentu saja lim1 1

1 =

→

x dan H =limx→0x=0. Bagaimanapun, ketika H =0, tidak

dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi lim(1 )

0 x

x→ . Dalam

faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi

ϕ

(x)=1 x tidak mempunyai sebuah limit di x=0. Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi

x x) 1

( =

ϕ

tidak terbatas dipersekitaran x=0

6. Jika padalah sebuah fungsi polynominal, maka limp(x) p(c)

c

x→ =

Biarkan pmenjadi fungsi polynominal diR maka

0 1 1

1 ....

)

(x a x a x a x a

p n

n n

n + + + +

= −

− untuk semua x∈R. Berdasarkan

teorema 4.2.4 dan fakta bahwa k k

c x→ x =c

lim , maka

0 1 1 1 ... [ lim ) (

limp x a_nxn a_n xn a x a

c x c

x = + + + +

− − →

→

= lim(a x ) lim(a ₁x 1) ... lim(a₁x) lima₀ c x c x n n c x n n c

x → →

− − →

→ + + + +

= 1 ₁ ₀

1c ... ac a

a c

a_n n + _n− n− + + +

= p(c)

Karenanya limp(x) p(c)

c

x→ = untuk setiap fungsi polynominal p

7. Jika p dan qadalah fungsi polynominal di R dan jika q(c)≠ 0 maka

) ( ) ( ) ( ) ( lim c q c p x q x p c

x→ =

Ketika q(x)adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah

teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real

m

α

₁,... [bilangan real nol di q(x)] maka q(αj)= 0 dan jika

) ,...

( ₁ _m

(17)

17

) ( ) ( ) ( x q x p x r =

Jika c tidak nol di q(x), maka q(c)≠ 0, dan mengikuti dari bagian vi bahwa

0 ) ( ) (

lim = ≠

→cq x q c

x . Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b

untuk menyimpulkan bahwa

) ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim c q c p x q x p x q x p c x c x c

x = =

→ → →

Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6

4.2.6 Teorema

Diberikan A⊆R, f :A→ R, dan diberikan c∈R titik limit dari A. Jika

b x f

a≤ ( )≤ untuk semua x∈A,x ≠c dan jika terdapat f

c x→

lim , maka

b f a c x ≤ ≤ → lim .

Bukti :

Memang, jika f

c x→

lim , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika (x_n)

adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa c≠ x_n∈A untuk semua n∈N

dan jika barisan (x_n)konvergen ke c, maka barisan

(

f

( )

x

)

konvergen ke L. Ketika a≤ f(x)≤b untuk semua n∈N, berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa

b L a≤ ≤ .

Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7. untuk

(18)

18

4.2.7 Teorema Squeeze

Diberikan A⊆R, f,g,h:A→R, dan c∈R titik limit di A. Jika

) ( ) ( )

(x g x h x

f ≤ ≤ untuk semua x∈A,x ≠ c, dan jika f L h

c x c

x→ = =lim→

lim , maka

L g c

x→ =

lim

4.2.8 Contoh

0 lim 2

3 =

→cx

x (x >0)

Diberikan 2

3

)

(x x

f = untuk x>0 sejak ketidaksamaan 2 1

1 ≤ <x

x memegang

untuk 0< x≤1. Hal berikut bahwa x ≤ f x = x2 ≤ x 3 2

)

( untuk 0<x≤1. Maka

0 lim 2

0 =

→ x

x dan limx→0x=0

Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa lim 2 0

3 =

→cx x

4.2.9 Teorema

Diberikan A⊆R, f :A→ Rdan diberikan c∈Rcmempunyai sebuah limit di A,

jika lim >0

→c f

x [masing-masing, limx→c f <0]. Maka terdapat sebuah

persekitaran V_δ(c)di c sehingga f(x)> 0 [masing-masing, f(x)<0] untuk semua x∈A∩V_δ

( )

c ,x≠c.

Bukti :

Diberikan L f

c x→

=lim dan menduga bahwa L>0. Kita ambil 0

2 1

> = L

ε

di

definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah δ >0 sehingga jika 0< x−c <

δ

dan

A

x∈ , maka f x L L

2 1 )

(19)

19

( )

c x c V

A

x∈ ∩ _δ , ≠ , maka 0

2 1 )

(x > L>

f . Jika L<0 berlaku argumen yang

sama.

4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit 4.3.1 Definisi

Diberikan A∈R dan f :A→ R

i. Jika c∈R adalah titik limit dari bagian A∩(c,∞)={x∈A:x >c} maka kita

katakan bahwa L∈R adalah limit kanan f di c dan kita tulis

L f c xlim→ + =

f x L

c

xlim→ + ( )=

Jika diberi ε >0terdapat sebuah δ =δ(ε)>0 sehingga untuk semua x∈A

dengan 0< x−c<δ maka f(x)−L <

ε

.

ii. Jika c∈R adalah titik limit dari bagian A∩(−∞,c)={x∈A:x<c} maka kita

katakan bahwa L∈Radalah limit kiri f di c dan kita tulis

L f c x

=

−

→

lim f x L

c x

=

−

→ ( )

lim

Jika diberi ε >0terdapat sebuah δ >0 sehingga untuk semua x∈A dengan

δ < − <x c

0 maka f(x)−L <

ε

.

4.3.2 Teorema

Diberikan A∈R dan f :A→ R dan diberikan c∈R titik limit di A∩(c,∞).

Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :

i. f L

c x

=

+

→

lim

ii. Untuk setiap barisan (x_n) konvergen ke c sehingga x_n ∈A dan x_n >c

untuk semua n∈N . Barisan

(

f(x)

)

konvergen ke L

(20)

20

Diberikan A⊆R, f :A→ R dan diberikan c∈R merupakan titik limit dari

himpunan A∩(c,∞) dan A∩(−∞,c). Maka L f c x→

=lim jika dan hanya jika

f L

f

c x c

xlim→ + = = lim→ −

Bukti :

Terdapat lim_x_→_c f(x)= L

Ambil sembarang ε >0 pilih δ >0 sehingga f(x)−L <

ε

apabila

δ

< −c

x Jelas x−c <

δ

⇔c−

δ

< x<x+

δ

Jadi ∀

ε

>0∃

δ

>0∋ f(x)−L <

ε

apabila c−δ <x< x+δdan

δ + < < x x c

Jadi _x _c+ f L _x _c− f

→

→ = = lim

lim

⇐ _Terdapat f L f

c x c

xlim→ + = = lim→ −

Ambil sembarang ε >0 pilih δ >0 sehingga f(x)−L <

ε

apabila

c x

c−δ < < dan c<x<c−δ jelas c−δ < x<c dan c<x<c−δ

Jadi ∀

ε

>0∃

δ

>0∋ f(x)−L <

ε

apabila x−c <

δ

Jadi lim_x_→_c f(x)=L

4.3.4 Contoh

(a). Diberikan f(x)=sgn(x)

Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.

Jelas bahwa limsgn( ) 1

0+ =+

→ x

x

dan limsgn( ) 1

0

− =

−

→

x x

. Karena limit ini satu sisi

yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa sgn(x)tidak

mempunyai limit di 0.

(b). Diberikan 2

1

)

(x e

(21)

21

Gambar 4.3.1 grafik 2

1

)

(x e

g = untuk x≠0

Kami pertama menunjukkan gtidak mempunyai sebuah limit kanan

berhingga di c=0 karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan

) , 0

( δ di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) t

e t < <

0 untuk

0

> t

Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)

bahwa jika x>0, kemudian ₀_<₁ _x_<_e1x_{. Maka jika kita mengambil}

n

x_n = 1 , kemudian g(x_n)>n untuk semua n∈N. Maka dari itu x

x e

1

0

lim₊

→

tidak terdapat di R.

Namun, lim 1 0

0− =

→

x

x e

. Memang jika x<0 dan kita ambil

x

t=−1 di (1)

kita mendapatkan _e x

x 1

1

0<− < − . Ketika x<0, ini berarti ₀_<₋e1x _<₋x

untuk semua x<0. Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa lim 1 0

0 =

−

→

x x

e .

LIMIT TAK HINGGA 4.3.5 Definisi

Diberikan A∈R dan f :A→ R dan diberikan c∈R titik limit di A.

(22)

22

∞ =

→c f x

lim

Jika untuk setiap α∈R terdapat δ =δ(α)>0 sehingga untuk semua x∈A

dengan 0< x−c <

δ

, maka f(x)>α

(ii) Kita katakan bahwa f cenderung −∞sebagai x→c, dan ditulis

−∞ =

→c f x

lim

Jika untuk setiap β ∈R terdapat δ =δ(β)>0 sehingga untuk semua x∈A

dengan 0< x−c <

δ

, maka f(x)< β

Interpretasi geometri limit di tak hingga:

+∞ =

∞ → ( )

lim f x

x limx→∞ f(x)=−∞

+∞ =

∞ → ( )

lim f x

(23)

23

4.3.6 Contoh

(a). =∞

→ )

1 (

lim 2

0 x

x

Jika α >0 diberikan

α

δ = 1 maka bila ada 0< x <

δ

, maka x2 < 1

α

sehingga 1 2 >α

x .

4.3.7 Teorema

Ambil A∈R dan ambil f,g:A→R. dan ambil c∈R menjadi titik limit dari A.

diduga f(x)≤g(x) untuk x∈A,x≠c:

1. Jika =∞

→ f

Lim c

x maka Limx→c g =∞

2. Jika =−∞

→ g

Lim c x

maka =−∞

→ f

Lim c x

Bukti :

a. Jika =∞

→ f

Lim c

x dan α∈R diberikan, maka ada ( ) > 0 sedemikian

sehingga jika 0< x−c <δ

( )

α dan x∈A maka f(x)>a. tetapi karena

) ( ) (x g x

f ≤ untuk semua x∈A, x≠c, berarti jika 0< x−c <δ

( )

α dan

A

x∈ maka g

( )

x >

α

. Terbukti =∞

→ g

(24)

24

4.3.8. Definisi

Ambil A∈R_dan f :A→R_Jika c∈R_{adalah titik limit dari himpunan}

(

c

) {

x

A

x

c

}

A

∩

,

∞

=

∈

,

>

maka dikatakan f cenderung ke

∞

seperti x→c+dan

ditulis

∞ =

→ f

Lim c

x (masing-masing Limx→c f =−∞)

Jika untuk setiap α∈R ada

δ

=

δ

( )

α

>

0

sedemikian sehingga untuk semua

A

x∈ dengan 0< x−c<δ maka f(x)>

α

(masing-masing f(x)<

α

)

Contoh :

1. Ambil

g

( )

x

=

1

x

untuk x≠0. Kita mempunyai catatan dari contoh 4.3.6(b)

bahwa Limg

x→0 tidak ada. Contoh ini menunjukkan : ∞

=

+ →0 (1/x) Lim

x dan Limx→0−(1/x)=−∞

2. Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g(x)=e1x untuk x≠0 adalah tidak terbatas di interval

(

0

,

δ

)

. Limit kanan dari e1x seperti x→0+ tidak ada

definisi, karena 1 x<e1x untuk x>0_Maka =−∞ +

→ x e Lim

x

1

0 dari definisi 4.3.8.

INFINITI LIMIT 4.3.10. Definisi

Ambil A∈R dan f :A→R. Jika c∈R. ada (a, ) ⊆ A untuk semua a ∈ R.

dikatakan bahwa L∈R adalah limit dari f seperti x→∞ dan ditulis

L f Lim

x→∞ = atau Limx→∞ f

( )

x = L

Jika diberikan ε >0 maka ada

K

=

K

( )

ε

>

a

sedemikian sehingga untuk x>K

(25)

25

4.3.11 Teorema

Ambil A∈R_dan f :A→R. Jika c∈R. ada

(

a

,

∞

)

⊆

A

untuk semua a∈R.

maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :

1. Lim f L

x→∞ =

2. Untuk barisan

( )

x_n _di

A

∩

(

a

,

∞

)

sedemikian sehingga limit

(

a

,

∞

)

,

barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Contoh :

1. Ambil

g

(

x

)

=

1

x

untuk x≠0

Jawab :

Ditunjukkan Lim

(

x

)

Lim

(

x

)

x

x→∞ 1/ =0= →−∞1/ lihat 4.3.4

2. Ambil f(x)=1 x2 untuk x≠0

Ditunjukkan bahwaLim

(

1/x2

)

0 Lim

(

1/x2

)

x

x→∞ = = →−∞ (lihat 4.3.3). Jika x≥1

maka 0≤1 x2 ≤1x. dari bagian (1) terbukti bahwa

(

1/ 2

)

=0

∞

→ x

Lim x

4.3.13 Definisi

Ambil A∈R_dan f :A→R. Jika c∈R. ada

(

a

,

∞

)

⊆

A

untuk semua a∈A.

dikatakan bahwa f cenderung ke

∞

seperti x→∞ dan ditulis

∞ =

∞ → f

Lim

x (masing-masing xLim→−∞ f =∞)

Jika diberikan α∈R maka ada

K

=

K

( )

ε

>

a

sedemikian sehingga untuk x>K

maka f(x)>

α

.

4.3.14 Teorema

Ambil A∈R dan f :A→R. Jika c∈R. ada

(

a

,

∞

)

⊆

A

untuk semua a∈A.

(26)

26

1. Lim f L

x→∞ =

2. Untuk barisan (xn) di

(

a

,

∞

)

_{sedemikian sehingga}lim

( )

xn =∞ maka lim

( )

(

f xn

)

=∞.

4.3.15. Teorema

Ambil A∈R dan f :A→R. Jika c∈R. ada

(

a

,

∞

)

⊆

A

untuk semua a∈A.

dimana

g

( )

x

>

0

untuk x>a dan untuk L∈R, L ≠0 maka

L x g

x f Lim

x→∞ ₍ ₎ =

) (

1. Jika L>0 maka =∞

∞ → f

Lim

x jika dan hanya jika Limx→∞ g =∞

2. Jika L<0 maka =−∞

∞ → f

Lim x

jika dan hanya jika =∞

∞

→ g

Lim x

Bukti :

KarenaL>0 Hipotesis ini ada

a

1

>

a

maka :

L x g

x f

L ₂3

2 1

) (

0< ≤ < untuk

x

>

a

₁

Karena

(

12

L

)

g

(

x

)

<

f

(

x

)

<

( )

3L2

g

(

x

)

untuk

x

>

a

1 dari kesimpulan ini maka

terbukti.

Contoh :

1. =∞

∞ →

n

x x

Lim Untuk n∈N

Jawab :

Ambil g(x)= xn untuk

x

∈

(

0

,

∞

)

. Diberikan α ∈R, ambil

K

=

sup

[ ]

1

,

α

Kemudian untuk semua x>K. Maka g(x)=xn ≥ x>

α

. Karena α∈R

maka =∞

∞ →

n

x x

Lim

2. =∞

−∞ →

n

x x

Lim Untuk n∈N, n genap dan =−∞

−∞ →

n

x x

Lim Untuk n∈N, n ganjil

(27)

27

Karena n ganjil maka n=2k+1 dengan k =0,1,...

Diberikan α∈R, ambil

K

=

inf

{

α

,

−

1

}

Untuk x >K karena

( )

x2 k ≥1

Terdapat xn =

( )

x2 k ≤ x<

α

. Karena ε∈R maka =−∞

−∞ →

n xLimx

3. Ambil p:R→R adalah fungsi polinomial :

0 1 1

1 ...

)

(x a x a x a x a

p n

n n

n + + + +

= −

−

kemudian =∞

∞

→ p

Lim

x jika n >0

a dan =−∞

∞

→ p

Lim

x jika n >0

a ambil g(x) = xn

dan gunakan teorema 4.3.15 karena

+ +

= n n− n₋ n

x a x

a x

a a x g

x

p 1 1

... 1 )

( ) (

0 1 1 1

sedemikian sehingga _n

x p x g x a

Lim =

∞

→ ( ( )/ ( )) karena Limx→∞ g =∞

berlaku

teorema 4.3.15

4. Ambil p fungsi polinom dari bagian (3). Ada =∞

∞

→ p

Lim

x (masing-masing - )

(28)

28

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G, dan Sherbert, D.E., 1994. Introduction To Real Analysis, Third Edition. New York:John Wiley & Sons.