PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DALAM MERAMALKAN TINGKAT PENCEMARAN UDARA DI KOTA BANDUNG PERIODE 2003-2012.

(1)

Vanissa Hapsari,2013

Perbandingan Metode Dekomposisi Klasik Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter_{Dalam Meramalkan Tingkat Pencemaran Udara Di Kota Bandung Periode 2003-2012} Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DALAM

MERAMALKAN TINGKAT PENCEMARAN UDARA DI KOTA BANDUNG PERIODE 2003-2012

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Bidang Matematika

Oleh :

Vanissa Hapsari 0905655

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

Vanissa Hapsari,2013

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DENGAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DALAM

MERAMALKAN TINGKAT PENCEMARAN UDARA DI KOTA BANDUNG PERIODE 2003-2012

Oleh Vanissa Hapsari

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oktober 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

Vanissa Hapsari,2013

(4)

Vanissa Hapsari,2013

ABSTRAK

Data yang diamati berdasarkan urutan waktu merupakan data runtun waktu. Peramalan pada data runtun waktu dapat dilakukan untuk memprediksi sejumlah data di masa mendatang. Akan dilakukan peramalan tingkat pencemaran udara di kota Bandung menggunakan metode Dekomposisi Klasik dan metode Eksponensial Holt-Winter. Pengambilan sampel partikulat kasar berukuran secara berkala dilakukan untuk mengetahui tingkat pencemaran udara di suatu tempat. Metode Dekomposisi merupakan suatu metode yang memecah data berdasarkan komponen musiman, trend dan siklus, dengan persamaan . Pada metode Holt-Winter memiliki 3 parameter pembobotan untuk pemulusan unsur musiman, trend dan keseluruhan data, diperoleh persamaan

( ( .

Untuk mengetahui metode mana yang paling baik untuk meramalkan suatu data, digunakan alat ukur diantaranya Mean Squared Deviation (MSD),

Mean Absolute Deviation (MAD), dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dan metode yang memiliki tingkat kesalahan terkecil yang dipilih.

Berdasarkan hasil perhitungan didapatkan untuk metode Dekomposisi memiliki nilai MSD = 51831705,862, MAD = 5487,835 dan MAPE = 31,904 sementara untuk metode Holt-Winter memiliki nilai MSD = 34749831, MAD = 4170,602 dan MAPE = 28,411.

(5)

Vanissa Hapsari,2013

ABSTRACT

Observed data based upon time is called time series data. Forecasting time series data is done to predict data in a future as preventive action. Clasic decomposition method and Holt-Winter’s method will be used to forecast air pollution level in Bandung. Coarse particulat ( ) sampling conducted regularly to know air pollution level in some place. Decomposition method try to identify seasonality, trend and cycle component which assumes that the data has the form . Holt-Winter’s method involves three smoothing parameters to smooth the data, the trend and the seasonal index, in this case the form is

( ( .

Several measurement tools are used which is Mean Squared Deviation (MSD), Mean Absolute Deviation (MAD), and Mean Absolute Percentage Error (MAPE) A method that has the least number of measurement will be the best method to predict the data. Based on the calculation, Decomposition method have MSD = 51831705,862, MAD = 5487,835 and MAPE = 31,904 while Holt-Winter’s method have MSD = 34749831, MAD = 4170,602 and MAPE = 28,411.

(6)

Vanissa Hapsari,2013

DAFTAR ISI Abstrak...i Kata Pengantar...iii Ucapan Terimakasih...iv Daftar Isi...vi Daftar Tabel...viii Daftar Gambar...ix

BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang...1

1.2Rumusan Masalah...4

1.3Batasan Masalah...4

1.4Tujuan Penelitian...5

1.5Manfaat Penulisan...5

1.5.1 Manfaat Praktis...5

1.5.2 Manfaat Teoritis...5

1.6Sistematika Penulisan...5

BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Peramalan...7

2.2. Metode Runtun Waktu...10

2.3. Stasioneritas...10

2.3.1 Fungsi Autokovariansi...12

2.3.2 Fungsi Autokorelasi (FAK)...12

2.3.3 Funsi Autokorelasi Parsial (FAKP)...13

2.4 Metode Perataan...14

2.4.1 Nilai Tengah...14

2.4.2 Rata-Rata Bergerak Tunggal (Single Moving Average)...16

2.4.3 Rata-Rata Bergerak Ganda (Double Moving Average)...18

2.5 Metode Pemulusan...25

2.5.1 Pemulusan Eksponensial Tunggal...25

2.5.2 Pemulusan Eksponensial Ganda : Metode Linier Satu Parameter dari Brown...27

2.5.3 Pemulusan eksponensial Ganda : Metode Linier Dua Parameter dari Holt...29

2.5.4 Pemulusan eksponensial Tripel : Metode Kuadratik Satu Parameter dari Brown...30

2.6 Analisis Regresi...31

2.6.1 Metode Tangan Bebas...32

2.6.2 Metode Kuadrat Terkecil...34

(7)

Vanissa Hapsari,2013

2.6.4 Regresi Non Linier...34

2.6.4.1Model Parabola Kuadratik...34

2.6.4.2Model Parabola Kubik...35

2.6.4.3Model Eksponen...35

2.6.4.4Model Logistik...36

2.6.4.5Model Hiperbola...36

BAB III METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK 3.1Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter...38

3.1.1 Holt-Winter Multiplikatif...38

3.1.2 Proses Inisialisasi...40

3.1.3 Holt-Winter Aditif...40

3.2Metode Dekomposisi Klasik...41

3.2.1 Indeks Musiman...43

3.2.2 Nilai trend...45

3.2.3 Indeks Siklus...48

3.2.4 Menentukan Error (Keacakan)...48

3.3Ketepatan Metode Peramalan...48

BAB IV STUDI KASUS 4.1Plot Data...50

4.2Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter...52

4.2.1 Proses Inisialisasi...52

4.2.2 Pemilihan Konstanta Pemulusan...54

4.2.3 Peramalan...54

4.3Metode Dekomposisi...56

4.3.1 Indeks Musiman...56

4.3.2 Menentukan Trend...60

4.3.3 Indeks Siklus...65

4.3.4 Peramalan...65

4.4Perbandingan Hasil Peramalan...67

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1Kesimpulan...68

5.2Saran...69

Daftar Pustaka...70

Lampiran...71

(8)

Vanissa Hapsari,2013

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Langkah-Langkah Peramalan dangan Nilai Tengah...16

Tabel 2.2 Peramalan Deret yang Mengandung Trend dengan Menggunakan Rata-Rata Bergerak Tunggal Orde 3...19

Tabel 2.3 Peramalan Deret yang Mengandung Trend dengan Menggunakan Rata-Rata Bergerak Ganda (MA )...20

Tabel 3.1 Uji ANOVA...46

Tabel 4.1 Inisialisasi Indeks Musiman...53

Tabel 4.2 Hasil Peramalan Data Partikulat Udara Kasar Periode Januari 2003-Desember 2012...56

Tabel 4.3 Nilai Rata-Rata Bergerak untuk Data Partikulat Udara Kasar dengan N = 12...57

Tabel 4.4 Indeks Musiman...60

Tabel 4.5 Output SPSS untuk mengetahui R-square dan Standard Error...61

Tabel 4.6 ANOVA output SPSS...61

Tabel 4.7 Nilai Koefisien output SPSS...62

Tabel 4.8 Taksiran Trend dengan Metode Eksponensial...63

Tabel 4.9 Nilai Trend untuk Ramalan Periode 2013...65

Tabel 4.10 Indeks Siklus...65

Tabel 4.11 Hasil Perhitungan Indeks Musiman, Trend, Indeks Siklus untuk Periode 2013...66

Tabel 4.12 Hasil Peramalan Data Partikulat Udara Kasar di Kota Bandung Periode Januari 2013-Desember 2013...66

Tabel 4.13 Hasil Perbandingan Peramalan Data Partikulat Udara Kasar di Kota Bandung Periode Januari 2013-Desember 2013...67

(9)

Vanissa Hapsari,2013

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Skenario Peramalan...9

Gambar 2.2 Plot Data Runtun Waktu Stasioner...11

Gambar 2.3 Plot Data Runtun Waktu Non Stasioner...11

Gambar 2.4 Regresi Linier Berdasarkan Metode Tangan Bebas...33

Gambar 2.4 Regresi Non Linier Berdasarkan Metode Tangan Bebas...33

Gambar 4.1 Plot Data Partikulat Udara Kasar di Kota Bandung Periode Januari 2003-Desember 2012...50

Gambar 4.2 Grafik Fungsi Autokorelasi Data Partikulat Udara Kasar di Kota Bandung Periode Januari 2003-Desember 2012...51

Gambar 4.3 Grafik Fungsi Autokorelasi Parsial Data Partikulat Udara Kasar di Kota Bandung Periode Januari 2003-Desember 2012...51

(10)

Vanissa Hapsari,2013

Perbandingan Metode Dekomposisi Klasik Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter_Dalam Meramalkan Tingkat Pencemaran Udara Di Kota Bandung Periode 2003-2012

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Tingkat pencemaran udara di beberapa kota besar cenderung meningkat dari

tahun ke tahun. Hal ini disebabkan oleh beberapa faktor diantaranya jumlah transportasi

terus meningkat yang disebabkan oleh aktifitas masyarakat di kota besar yang

cenderung tinggi, ketergantungan masyarakat terhadap bahan bakar minyak dan aktifitas

perekonomian yang berkembang pesat diiringi dengan meningkatnya kegiatan pada

sektor industri.

Tanpa disadari, penurunan kualitas udara di kota besar akan berakibat pada

kesehatan masyarakat. Beberapa penyakit yang terkait dengan pencemaran udara

diantaranya Infeksi Saluran Pernapasan Atas (ISPA), iritasi mata, penyakit jantung dan

paru-paru. Jika tidak ada tindakan pengurangan pencemaran udara, dikhawatirkan

kesehatan masyarakat akan terus menurun yang berakibat pada menurunnya

produktivitas kerja dan meningkatnya pengeluaran untuk urusan kesehatan.

Sebagai instansi milik pemerintah, Pusat Teknologi Nuklir Bahan dan

Radiometri, Badan Tenaga Nuklir Nasional (PTNBR BATAN), berkepentingan untuk

melakukan kajian terhadap kualitas udara di beberapa kota besar di Indonesia. PTNBR

BATAN mengambil sampel partikulat udara di beberapa kota besar di Indonesia yang

dilakukan selama 24 jam setiap bulan menggunakan Gent stacked filter unit sampler,

mengumpulkan partikulat udara halus (PM2,5 yang berukuran 2,5m) pada filter halus

dan partikulat udara kasar (berukuran 2,5-10m) pada filter kasar. PM2,5 merupakan

partikulat udara halus yang berukuran mikron atau submikron dan diperkirakan

memiliki kontribusi besar pada angka kematian yang diakibatkan oleh gangguan

kesehatan terkait pencemaran udara.

Data jumlah partikulat udara untuk mengetahui tingkat pencemaran udara dicatat

dan diamati berdasarkan urutan waktu (bulan) sehingga data ini merupakan data runtun

(11)

2

intrepretasinya dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan oleh pemerintah atau

instansi terkait dalam pengambilan kebijakan untuk mengatasi tingkat pencemaran

udara.

Untuk menentukan metode peramalan yang tepat, perlu diketahui pola dari data

runtun waktu tersebut. Pola data runtun waktu dibedakan menjadi empat jenis, yakni

pola musiman, pola siklus, pola trend dan pola irregular (Hanke dan Wichern,

2005:158). Pola musiman merupakan data yang berfluktuasi secara periodik dalam

kurun waktu satu tahun, seperti triwulan, kuartalan, bulanan, mingguan atau harian.

Pola siklis merupakan data yang berfluktuasi secara periodik dan tidak dapat dipisahkan

dari trend sehingga sulit untuk dideteksi. Pola trend merupakan kecenderungan arah

data dalam jangka waktu yang panjang, baik berupa kenaikan atau penurunan. Pola

irregular merupakan kejadian yang tak terduga dan bersifat acak, tetapi kemunculannya

dapat mempengaruhi fluktuasi data runtun waktu.

Pada tahun 1920 ditemukan suatu metode dekomposisi klasik sebagai salah satu

metode peramalan. Metode ini pada dasarnya memecah pola data runtun waktu menjadi

unsur trend, siklus dan musiman serta mengidentifikasi masing-masing unsur tersebut

secara terpisah. Pemisahan ini dilakukan untuk membantu meningkatkan ketepatan

peramalan dan membantu pemahaman atas perilaku runtun data secara lebih baik

(Makridakis, Wheelwrigt dan Hyndman, 1998). Metode dekomposisi mempunyai

asumsi bahwa data tersusun sebagai berikut:

Data = Pola + error

= f(trend, siklus, musiman) + error (1.1)

Selain metode dekomposisi, ada pula metode pemulusan eksponensial yang

tingkat kompleksitasnya lebih rendah dari ARIMA sehingga populer digunakan.

Metode pemulusan eksponensial menghilangkan sifat acak sehingga pola dapat

diproyeksikan ke depan dan dipakai sebagai dasar peramalan (Reksohadiprodjo, 1988).

Keuntungan dari penggunaan metode pemulusan eksponensial adalah banyak

mengurangi masalah penyimpanan data, sehingga tidak perlu lagi menyimpan semua

data historis atau sebagian, hanya pengamatan terakhir, ramalan terakhir, dan suatu nilai

(12)

3

Apabila data yang dianalisa bersifat stasioner, maka penggunaan metode

rata-rata bergerak (moving average) atau metode pemulusan eksponensial tunggal (single

exponential smoothing) cukup tepat. Akan tetapi apabila datanya menunjukkan suatu

trend linier, maka model yang baik untuk digunakan adalah metode pemulusan

eksponensial ganda (double exponential smoothing linier) dari Brown atau model

pemulusan eksponensial linier dari Holt. Pada kedua tipe tersebut, terdapat kelemahan

yakni tidak bisa menangani data yang memiliki kecenderungan musiman.

Salah satu penemuan penting dalam bidang peramalan, yakni ditemukannya

metode pemulusan eksponensial Holt-Winter’s yang mampu menangani data berpengaruh trend dan musiman, yang merupakan penyempurnaan dari metode

Holt-Brown yang hanya mampu menangani data yang memiliki unsur trend. Sebagai

gambaran, apabila metode pemulusan eksponensial tunggal dan ganda diterapkan pada

data musiman, maka pada hasil yang diperoleh akan terlihat pola kesalahan (selisih data

aktual dengan ramalan) yang sistematis. Misalnya kesalahan seluruhnya bernilai positif

pada periode tertentu dan bernilai negatif pada periode lainnya. Persamaan dasar untuk

metode Holt-Winter’s adalah sebagai berikut:

(1.2)

dimana Lt merupakan konstanta pemulusan keseluruhan, bt merupakan konstanta

pemulusan trend dan St merupakan konstanta pemulusan musiman.

Data partikulat udara diyakini ada kecenderungan musiman dikarenakan jumlah

partikulat udara dipengaruhi oleh curah hujan setiap bulannya. Metode dekomposisi

memisahkan suatu runtun waktu menjadi beberapa pola dan mengidentifikasi

masing-masing komponen dari runtun waktu tersebut secara terpisah. Metode dekomposisi

dilandasi oleh asumsi bahwa data yang ada merupakan gabungan dari komponen trend,

siklus, musiman dan irregular. Metode pemulusan yang akan digunakan adalah metode

pemulusan eksponensial tripel (Holt-Winter’s Exponential Smoothing) karena metode

ini digunakan ketika data menunjukkan pola tren dan musiman.

Kelemahan pada metode Holt-Winter yakni metode ini membutuhkan tiga

parameter pemulusan ( yang dapat bernilai antara 0 dan 1 untuk meminimumkan

galat, sehingga banyak kombinasi yang mungkin digunakan pada persamaan (1.2). Oleh

(13)

4

optimal. Metode ini jarang digunakan dikarenakan untuk mendapatkan nilai parameter

yang optimal akan menyita waktu dan biaya.

Sebagaimana telah diketahui bahwa tidak ada metode peramalan yang dapat

dengan tepat meramalkan data yang akan datang. Jika tingkat kesalahan semakin kecil,

maka hasil peramalan akan semakin mendekati data aktualnya. Alat ukur yang

digunakan untuk mengetahui metode mana yang memiliki tingkat kesalahan terkecil

diantaranya Mean Squared Deviation (MSD), Mean Absolute Deviation (MAD), dan

Mean Absolute Percentage Error (MAPE).

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk melakukan penelitian yang

berhubungan dengan analisis runtun waktu dalam suatu skripsi dengan judul

“PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DENGAN METODE

PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DALAM MERAMALKAN

TINGKAT PENCEMARAN UDARA DI KOTA BANDUNG PERIODE 2003-2012”

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimana model peramalan partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat

pencemaran udara di kota Bandung menggunakan metode Dekomposisi?

2. Bagaimana model peramalan partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat

pencemaran udara di kota Bandung menggunakan metode Pemulusan

Eksponensial Holt-Winter ?

3. Metode manakah yang paling baik dalam meramalkan partikulat udara kasar untuk

mengetahui tingkat pencemaran udara di kota Bandung?

1.3. Batasan Masalah

Penulis hanya membahas penerapan metode Dekomposisi dan metode

Pemulusan Eksponensial dari Holt-Winter, serta perbandingan keduanya untuk

peramalan jumlah partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat pencemaran udara

dengan Mean Squared Deviation (MSD), Mean Absolute Deviation (MAD) dan Mean

(14)

5

1.4. Tujuan Penelitian

1. Mengetahui model peramalan partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat

pencemaran udara di kota Bandung menggunakan metode Dekomposisi.

2. Mengetahui model peramalan partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat

pencemaran udara menggunakan metode Holt-Winter’s Exponential Smoothing.

3. Membandingkan hasil peramalan partikulat udara kasar untuk mengetahui tingkat

pencemaran udara di kota Bandung dengan menggunakan metode Dekomposisi dan

Holt-Winter’s Exponential Smoothing.

1.5. Manfaat Penulisan

1.5.1 Manfaat Praktis

Sebagai bahan pertimbangan PTNBR BATAN dan atau instansi terkait dalam

pengambilan kebijakan untuk mengatasi pencemaran udara selama 12 bulan ke depan.

1.5.2 Manfaat Teoritis

Penulis dapat memperkaya dan memperluas pengetahuan tentang analisis runtun

waktu, serta memahami cara mengidentifikasi metode peramalan yang tepat digunakan

untuk meramalkan data berdasarkan pola data runtun waktu tersebut. Skripsi ini sebagai

evaluasi terhadap kemampuan penulis dalam mengaplikasikan teori analisis runtun

waktu yang disampaikan semasa perkuliahan.

1.6. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Mencakup latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan serta skema penyusunan tugas

skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI

Mengemukakan tinjauan kepustakaan diantaranya menjelaskan dasar-dasar teori

(15)

6

BAB III PEMBAHASAN

Menjelaskan tentang metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter dan metode

Dekomposisi klasik serta alat ukur yang digunakan untuk mengetahui metode mana

yang memiliki tingkat kesalahan terkecil.

BAB IV STUDI KASUS

Studi kasus membandingkan metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter dan

metode Dekomposisi Klasik dalam meramalkan data runtun waktu.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini terdiri dari kesimpulan yang merupakan hasil dari studi kasus yang

dilakukan serta saran praktis dan teoritis dari penulis seperti metode lain yang dapat

digunakan untuk menganalisis data runtun waktu, sesuai dengan kapasitas dan

(16)

Vanissa Hapsari,2013

BAB III

METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTER DAN

METODE DEKOMPOSISI KLASIK

3.1Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter

Metode rata-rata bergerak dan pemulusan Eksponensial dapat

digunakan untuk data stasioner maupun data nonstasioner. Namun apabila

data mengandung unsur musiman, seringkali ditemukan galat yang bersifat

sistematis. Salah satu penemuan penting dalam bidang peramalan yakni

ditemukannya metode pemulusan Eksponensial Holt-Winter yang mampu

menangani data yang memiliki unsur trend dan musiman, yang merupakan

penyempurnaan dari metode Holt-Brown.

Metode Winter didasarkan pada tiga persamaan pemulusan;

stasioneritas, trend dan musiman. Metode ini serupa dengan Metode Holt,

dengan satu persamaan tambahan untuk mengatasi musiman. Metode

Holt-Winters menggunakan tiga pembobotan atau parameter pemulusan yakni ,

dan dimana parameter-parameter tersebut berada pada interval (0,1).

Sebenarnya ada dua metode Holt-Winter yang berbeda, bergantung pada

sifat musiman itu sendiri apakah aditif atau multiplikatif.

3.1.1 Holt-Winter’s Multiplikatif

Persamaan dasar untuk metode Holt-Winter’s Multiplikatif adalah

sebagai berikut :

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

dimana s merupakan panjang musiman (seperti bulan atau kuartal pada

(17)

39

trend, St merupakan komponen musiman, dan Ft+m merupakan peramalan

untuk m periode berikutnya.

Persamaan (3.3) adalah pemulusan untuk indeks musiman yang

merupakan rasio antara nilai aktual dan deret data, Yt, dibagi dengan Lt

yang merupakan nilai pemulusan tunggal terbaru untuk deret data. Jika

lebih besar dari , rasionya akan lebih dari 1, namun apabila lebih kecil

dari maka rasionya akan kurang dari 1. Perlu dipahami bahwa pada

metode ini merupakan nilai pemulusan (rata-rata) dari deret data yang

tidak mengandung unsur musiman. Selanjutnya dengan membagi oleh ,

diperoleh taksiran untuk indeks musiman tanpa pemulusan untuk periode t

sebagai berikut :

(3.5)

Perlu diperhatikan bahwa masih berunsur musiman dan keacakan.

Untuk memuluskan deret data , persamaan (3.3) memboboti faktor

musiman terakhir dengan dan angka musiman paling akhir pada musim

yang sama dengan . Faktor musiman sebelum ini ditentukan pada

periode – , karena s merupakan panjang musiman. Berdasarkan hal

tersebut, maka persamaan (3.3) dimuluskan menjadi :

Persamaan (3.2) sama dengan persamaan (2.42) dari Holt’s untuk

pemulusan trend. Persamaan (3.1) sedikit berbeda dengan persamaan (2.41)

dari Holt’s dimana unsur pertamanya yaitu nilai aktual dibagi dengan

indeks musiman . Hal ini dilakukan untuk mengeliminasi unsur

musiman pada . Ketika lebih besar dari 1, perlu dilakukan

penyesuaian karena nilai periode t-s lebih besar dari rata-rata pada

musimannya. Apabila dibagi dengan angka yang lebih besar dari 1, maka

akan menghasilkan nilai yang lebih kecil dari nilai aktual. Lawan dari

penyesuaian terjadi ketika angka musiman lebih kecil dari 1. Penggunaan

nilai sangatlah penting karena nilai tidak dapat dihitung apabila

tidak diketahui dari persamaan (3.1). Oleh karena itu diperlukan suatu

(18)

40

3.1.2 Proses Inisialisasi

Sama halnya dengan metode pemulusan Eksponensial lainnya,

dibutuhkan nilai awal komponen untuk memulai perhitungan. Untuk

menginisialisasi metode peramalan Holt-Winter’s, diperlukan nilai awal

untuk pemulusan , trend dan indeks musiman . Untuk mendapatkan

estimasi nilai awal dari indeks musiman, diperlukan setidaknya data lengkap

selama satu musim. Dengan demikian, nilai trend dan pemulusan

diinisialisasi pada periode s. Nilai awal konstanta pemulusan didapatkan

dengan menggunakan nilai rata-rata musim pertama, sehingga :

(3.6)

Perlu diingat bahwa persamaan (3.6) merupakan rata-rata bergerak

berorder s yang akan mengeliminasi unsur musiman pada data. Untuk

menginisialisasi trend, lebih baik menggunakan data lengkap selama 2

musim (2 periode), sebagai berikut :

(3.7)

Kemudian didapatkan nilai inisialisasi indeks musiman dengan

menggunakan rasio dari data tahun pertama dengan rata-rata data tahun

pertama, sehingga

(3.8)

Penentuan parameter , dan dilakukan untuk meminimumkan

MSE atau MAPE. Pendekatan untuk mendapatkan nilai-nilai parameter

tersebut dilakukan dengan menggunakan algoritma optimasi non-linear

untuk menemukan nilai parameter yang optimal.

3.1.3 Holt-Winter’s Aditif

Komponen musiman pada metode Holt-Winter’s dapat bersifat

aditif, namun jarang terjadi. Persamaan dasar untuk metode Holt-Winter’s

aditif adalah sebagai berikut :

(3.9)

(3.10)

(19)

41

(3.12)

Persamaan (3.10) identik dengan persamaan (3.2). Pada metode

Holt-Winter’s aditif, data dikurangi indeks musiman lalu dikalikan dengan

bobotnya, sementara pada Holt-Winter’s multiplikatif data dibagi dengan

indeks musiman lalu dikalikan dengan bobotnya.

Proses inisialisasi untuk dan identik dengan metode

multiplikatif. Berikut proses inisialisasi indeks musiman untuk metode

aditif:

3.2 Metode Dekomposisi Klasik

Metode dekomposisi memisahkan tiga komponen terpisah dari pola

dasar, yakni komponen trend, komponen siklus dan komponen musiman.

Faktor trend menggambarkan perilaku data dalam jangka panjang, dan dapat

meningkat, menurun, atau tidak berubah. Faktor siklus menggambarkan

kenaikan atau penurunan pada periode tertentu. Faktor musiman berkaitan

dengan fluktuasi periodik dengan panjang konstan yang disebabkan oleh

beberapa hal. Perbedaan antara musiman dan siklus adalah musiman

berulang dengan sendirinya pada interval yang tetap seperti tahun, bulan

atau minggu, sedangkan faktor siklus mempunyai jangka waktu yang lebih

lama dan lamanya berbeda dari siklus yang satu ke siklus yang lain.

Dekomposisi mempunyai asumsi bahwa data tersusun sebagai berikut :

Selain komponen pola, terdapat pula unsur galat atau keacakan.

Galat dianggap sebagai perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga

sub-pola deret tersebut dengan data yang sebenarnya.

Metode dekomposisi termasuk pendekatan peramalan yang tertua.

Dasar dari metode dekomposisi saat ini muncul pada tahun1920-an ketika

konsep rasio-trend (ratio-to-trend) diperkenalkan. Sejak saat itu pendekatan

dekomposisi telah digunakan secara luas baik oleh para ahli ekonomi

(20)

42

Terdapat beberapa pendekatan alternatif untuk mendekomposisi

suatu deret berkala, yang bertujuan untuk memisahkan setiap komponen

deret data seteliti mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat

empiris dan tetap, mula-mula memisahkan musiman, trend dan siklus.

Residu yang ada dianggap sebagai unsur acak yang tidak dapat ditaksir

namun teridentifikasi.

Penulisan matematis umum dari pendekatan dekomposisi adalah :

(3.13)

dimana :

menyatakan data runtun waktu (data yang aktual) pada periode t,

menyatakan komponen musiman (atau Indeks) pada periode t,

menyatakan komponen trend pada periode t,

menyatakan komponen siklus pada periode t, dan

menyatakan komponen galat atau keacakan pada periode t.

Metode dekomposisi dapat berasumsi pada model aditif atau

multiplikatif, bergantung pada pola unsur musiman pada data. Sebagai

ilustrasi, dekomposisi rata-rata sederhana berasumsi pada model aditif :

(3.14)

sementara dekomposisi rata-rata bergerak berasumsi pada model

multiplikatif :

(3.15)

Metode dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio-trend pada masa

lalu telah digunakan terutama karena perhitungannya mudah. Tetapi metode

tersebut kehilangan daya tariknya dengan dikenalnya komputer secara luas,

yang mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan metode rasio rata-rata

bergerak lebih disukai.

Sejak dikembangkan pada tahun 1920-an, metode rasio rata-rata

bergerak merupakan prosedur dekomposisi yang telah banyak digunakan

dalam beberapa kurun waktu, metode ini berasumsi pada model

multiplikatif. Metode rasio rata-rata bergerak diawali dengan memisahkan

unsur trend-siklus dari data dengan menghitung rata-rata bergerak yang

(21)

43

panjang seperti ini tidak mengandung pengaruh musiman dan tanpa atau

sedikit sekali unsur acak. Berikut akan dibahas metode-metode untuk

mendapatkan komponen-komponen deret waktu.

3.2.1 Indeks Musiman

Gerakan musiman terjadi pada waktu yang sama atau sangat

berdekatan, dengan kata lain gerakan musiman merupakan gerakan yang

teratur yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur.

Kecenderungan musiman dapat berupa tahunan, kuartalan atau mingguan.

Karena jumlah hari pada setiap bulan tidak sama, dan jumlah hari kerja

tidak sama untuk setiap bulannya, maka perlu diadakan penyesuaian data.

Untuk keperluan analisis, data runtun waktu dapat dinyatakan dalam

bentuk angka indeks. Indeks musiman merupakan angka yang menunjukkan

nilai relatif dari variabel Y, dimana Y adalah data runtun waktu selama

seluruh bulan dalam satu tahun. Rata-rata angka indeks musiman untuk satu

periode adalah 100% (tanda % sering dihilangkan atau tidak ditulis).

Dengan kata lain indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi

terhadap nilai dasar 100.

Ada beberapa metode untuk menghitung angka indeks musiman,

antara lain metode rata-rata sederhana (simple average method), metode

rasio terhadap trend (ratio to trend method) dan metode rasio terhadap

rata-rata bergerak (ratio to moving average method).

Pada metode rata-rata sederhana, akan ditentukan rata-rata bulanan

untuk seluruh tahun, dengan kata lain angka rata-rata dipakai untuk

mewakili bulan Januari, Februari dan seterusnya. Hal ini dilakukan karena

angka dari bulan tertentu berubah dari tahun ke tahun, sehingga perlu dicari

rata-ratanya. Untuk mencari rata-rata bagi bulan tertentu dilakukan dengan

cara menjumlahkan angka dari bulan tersebut kemudian membaginya

dengan banyaknya tahun pada data. Rata-rata tiap bulan dinyatakan sebagai

persentase terhadap total rata-ratanya. Pengambilan rata-rata tiap bulan

dimaksudkan untuk menghilangkan pengaruh trend.

Pada metode rasio terhadap trend, data asli untuk setiap bulan

(22)

44

persentase ini merupakan indeks musiman. Apabila rata-rata indeks tidak

sama dengan 100 atau jumlahnya tidak sama dengan 1200%, maka perlu

diadakan penyesuaian. Akan tetapi indeks musiman yang dihasilkan tidak

murni karena masih mengandung unsur siklus dan keacakan.

Perhitungan indeks musiman dengan menggunakan metode rata-rata

sederhana dan metode rasio terhadap trend digunakan karena

perhitungannya yang mudah. Tetapi metode ini kehilangan daya tariknya

seiring dengan dikenalnya komputer yang membantu perhitungan dengan

cepat sehingga metode rata-rata bergerak lebih disukai.

Berikut adalah prosedur untuk mencari indeks musiman pada proses

dekomposisi dengan metode rasio terhadap rata-rata bergerak :

i. Hitung rata-rata bergerak yang panjangnya (N) sama dengan panjang

musiman.

ii. Rata-rata bergerak digunakan untuk menghilangkan unsur musiman dan

unsur keacakan.

iii.Rata-rata bergerak yang dihasilkan adalah :

(3.16)

iv.Dengan membagi data aktual pada persamaan (3.15) oleh persamaan

(3.16), maka dan dapat dipisahkan, yaitu :

(3.17)

v. Pisahkan unsur keacakan pada persamaan (3.17) untuk mendapatkan

indeks musiman dengan cara sebagai berikut :

a. Gunakan rata-rata bergerak medial untuk menghilangkan unsur

keacakan dan yang tersisa hanya faktor musiman.

b. Rata-rata medial adalah nilai rata-rata untuk setiap deret waktu

setelah dikeluarkan nilai terbesar dan nilai terkecil.

c. Indeks musiman diperoleh dari rata-rata medial dikalikan dengan

(23)

45

3.2.2 Nilai Trend

Penghitungan nilai trend dapat dilakukan dengan beberapa metode,

diantaranya metode linier, metode trend kuadratis dan metode eksponensial.

Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi dimana variabel bebas

merupakan variabel waktu. Ketiga metode tersebut menggunakan

pendekatan metode kuadrat terkecil dengan asumsi ∑ , dan

terdapat dua cara agar jumlah nilai variabel waktu adalah nol.

i. Untuk n ganjil

Misalkan terdapat tiga buah data yaitu . Pada umumnya,

yang diberi nilai 0 adalah variabel yang di tengah, sehingga ,

. Jika banyak data adalah ganjil, maka diperoleh :

dimana k adalah suatu bilangan bulat dan n adalah banyaknya data.

Berdasarkan hal tersebut, data yang akan diberi nilai nol terdapat pada data

ke- .

Misalkan terdapat 3 buah data, maka:

sehingga , artinya titik 0 terletak pada .

Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan. Untuk nilai yang

berada di atas nilai 0 diberi tanda + dan untuk nilai yang berada di bawah 0

diberi tanda –, menjadi

ii. Untuk n genap

Jika banyak data adalah genap, maka diperoleh

dimana k adalah suatu bilangan bulat dan n adalah banyaknya data.

Sehingga data yang akan diberi nilai 0 terletak antara dan

(24)

46

Misalkan , dengan maka diperoleh

sehingga terletak antara data ke-2 dan ke-3. Jarak antara dua

waktu diberi nilai dua satuan dan untuk nilai yang berada di atas nilai 0

diberi tanda + dan untuk nilai yang berada di bawah 0 diberi tanda –,

menjadi Setelah nilai-nilai X diketahui,

maka selanjutnya akan ditentukan nilai trend dengan metode-metode yang

telah dijelaskan pada Bab 2.

Metode yang dipilih adalah metode yang mempunyai nilai R-square

paling besar dan memiliki tingkat kesalahan paling kecil. Adapun pengujian

metode untuk memilih trend yang harus dilakukan adalah sebagai berikut.

1. Uji Kecocokan (lack of fit)

Berikut ini disajikan tabel ANOVA untuk pengujian model regresi.

Tabel 3.1 Uji ANOVA

Sumber Variasi df Jumlah Kuadrat Rata-Rata Kuadrat Test F

Regresi k SSR MSR

F

Kesalahan n-k-1 SSE MSE

Total n-1

Hipotesis pada uji kecocokan ini adalah

: Kontribusi variabel independen terhadap variabel dependen tidak

signifikan

: Kontribusi variabel independen terhadap variabel dependen

signifikan

dengan uji statistik

, dengan derajat bebas

Pengambilan keputusan menggunakan angka pembanding

dengan kriteria pengujian tolak jika , dengan .

2. Pengujian Signifikansi Parameter Regresi

Pengujian parameter regresi pada hasil pengamatan dilakukan dengan

menggunakan uji t. Hal ini dilakukan untuk menguji signifikansi parameter

(25)

47

a. Uji Keberartian Intersep

Perumusan hipotesis :

: Intersep untuk model regresi tidak signifikan.

: Intersep untuk model regresi signifikan.

dengan uji statistik :

dengan:

√ √

∑

(∑ )

∑ ̂ ∑ ∑ ∑

Pengambilan keputusan menggunakan angka pembanding t tabel

dengan kriteria sebagai berikut:

 Jika atau , maka ditolak dan diterima

 Jika – , maka diterima dan ditolak

b. Uji Keberartian Koefisien Regresi

Perumusan hipotesis :

: Koefisien regresi untuk model regresi tidak signifikan.

: Koefisien regresi untuk model regresi signifikan.

dengan uji statistik :

dengan:

√ √

∑

(∑ )

(26)

48

Pengambilan keputusan menggunakan angka pembanding t tabel

dengan kriteria sebagai berikut:

c. _Jika _atau _{, maka} _{ditolak dan}

diterima

d. _Jika– _{, maka} _{diterima dan} _ditolak

3.2.3 Indeks Siklus

Siklus merupakan suatu perubahan atau gelombang naik dan turun

dalam suatu periode serta berulang pada periode lain. Dalam perekonomian,

siklus dikenal sebagai resesi, recovery, boom dan krisis.

Suatu siklus biasanya mempunyai periode tertentu untuk kembali ke

titik asalnya. Siklus juga memiliki frekuensi, yaitu siklus yang dapat

diselesaikan dalam satu periode waktu. Untuk memperoleh indeks siklus

ditentukan dengan cara membagi moving average dengan trend seperti yang

ditunjukkan pada persamaan (3.19).

(3.18)

(3.19)

3.2.4 Menentukan Error (Keacakan)

Variasi gerak tak beraturan merupakan suatu perubahan berupa

kenaikan dan penurunan yang tidak beraturan baik dari sisi waktu maupun

lamanya siklus. Penyebab kondisi ini misalnya perang, krisis dan bencana

alam. Penentuan indeks error dapat dilakukan dengan cara memisahkan

komponen , yaitu dengan membagi data asli dengan faktor dan .

(3.20)

3.3 Ketepatan Metode Peramalan

Dalam peramalan, ketepatan dipandang sebagai kriteria penolakan

untuk memilih suatu metode peramalan. Kata ketepatan (accuracy) merujuk

(27)

49

data. Jika metode yang digunakan sudah dianggap benar untuk melakukan

peramalan, maka pemilihan metode peramalan terbaik didasarkan pada

tingkat kesalahan prediksi (Santoso, 2009:40).

Alat ukur yang digunakan untuk menentukan besarnya kesalahan

prediksi antara lain :

1. Mean Squared Deviation (MSD)

∑ (3.21)

2. Mean Absolute Deviation (MAD)

∑ | | (3.22)

3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

∑| | (3.23)

dengan menyatakan banyaknya data,

menyatakan data aktual pada waktu ,

menyatakan data hasil peramalan pada waktu .

Semakin kecil nilai yang dihasilkan oleh ketiga alat ukur tersebut,

(28)

Vanissa Hapsari,2013

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis data yang telah dilakukan

pada bab - bab sebelumnya, maka diperoleh beberapa kesimpulan

diantaranya :

1. Model peramalan data partikulat udara kasar menggunakan metode dekomposisi pada periode 2013 adalah sebagai berikut :

dimana adalah indeks musiman pada periode t, adalah trend pada

(29)

69

2. Model peramalan data partikulat udara kasar menggunakan metode

Holt-Winter adalah

3. Dapat disimpulkan bahwa metode Holt-Winter lebih baik dalam

meramalkan data partikulat kasar di kota Bandung periode Januari

2003-Desember 2012 karena memiliki nilai MSD, MAD dan MAPE yang lebih

kecil dari metode Holt-Winter yakni MSD = 34749831, MAD =

4170,602 dan MAPE = 28,41108

5.2Saran

1. Apabila tertarik dengan pembahasan metode pemulusan eksponensial,

dapat dipelajari Metode Pemulusan Tiga-Parameter Box-Jenkins dan

Metode Pemulusan Harmonis dari Harrison serta pemilihan metode

pemulusan eksponensial menggunakan klasifikasi Pegel. Dan untuk

mengukur tingkat kesalahan, dapat digunakan Sistem Pemantauan dari

Trigg (Tracking Signal).

2. Untuk PTNBR BATAN atau instansi terkait lainnya, perlu diwaspadai

kenaikan jumlah partikulat udara setiap bulan Juni yang merupakan

musim kemarau dimana jarang terjadi hujan. Dan disarankan untuk

pencatatan data dilakukan secara rutin misalkan setiap hari dalam 1 bulan

(30)

Vanissa Hapsari,2013

Perbandingan Metode Dekomposisi Klasik Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winter_Dalam Meramalkan Tingkat Pencemaran Udara Di Kota Bandung Periode 2003-2012

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu DAFTAR PUSTAKA

Hanke, J. E. & Wichers, D. W. (2005). Business Forecasting Eight Edition. New Jersey: Pearson Prentice hall

Kalekar, Prajakta S. (2004). Time series Forecasting using Holt-Winters Exponential

Smoothing.

http://www.it.iitb.ac.in/~praj/acads/seminar/04329008_ExponentialSmoothing.pdf

(diakses tanggal 14 Maret 2013)

Makridakis, S., Wheelwright, S.C. & Hyndman, R. J. (1998). Forecasting: Methods and

Applications, 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Montgomery, D.C., Jennings, C.L. & Kulahci, M. (2008). Introduction to Time Series

Analysis and Forecasting. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Nurtini, H. (2008). Peramalan Deret Waktu Menggunakan Metode Dekomposisi dengan

Rasio pada Rata-Rata Bergerak. Skripsi S1 Jurusan Pendidikan Matematika

FPMIPA. UPI:(Tidak diterbitkan)

Rohimah (2009). Metode Pemulusan Eksponensial Tripel dari Winter (Studi Kasus pada

Data Kunjungan Wisatawan Manca Negara ke Bali Periode Januari 1999-Agustus 2008). Skripsi S1 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA. UPI:(Tidak

diterbitkan)

Santoso, M. (2008). Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir Indonesia. Hlm 53-59 Soejoeti, Z. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta : Karunika

Zucchini, W. & Nenadié, O. (2003). Time Series Analysis with R.

http://www.statoek.wiso.uni-goettingen.de/veranstaltungen/zeitreihen/sommer03