ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EM SKRIPSI

(1)

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA EM

SKRIPSI

ANNAS RIEZKI ROMADHONI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

(2)

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA

DATA TERSENSOR

PROGRESSIVE

TIPE II DENGAN

MENGGUNAKAN ALGORITMA EM

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui Oleh :

Pembimbing I,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II,

(3)

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan

Algoritma EM

Penyusun : Annas Riezki Romadhoni

NIM : 080810165

Tanggal Ujian : 10 Agustus 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II,

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

Mengetahui :

Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

(4)

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

(5)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia, dan hidayahnya-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan

Algoritma EM”.

Pada kesempatan yang telah diberikan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : pembimbing I dan II yang telah memberikan arahan, masukan, perhatian, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai.

4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali yang telah banyak memberikan nasehat dan saran demi mencapai kesuksesan di dunia dan akhirat.

5. Seluruh dosen Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan.

6. Teman-teman Matematika 2008, kakak-kakak 2007, adik-adik 2009 dan 2010 terima kasih untuk semua bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah terjalin selama ini.

7. Rekan-rekan seperjuangan HMI (Himpunan Mahasiswa Islam) yang telah memberikan pembelajaran yang sangat luar biasa. YAKUSA!!!

8. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuannya selama ini.

Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surabaya, Agustus 2012

Penyusun

(6)

Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Departeman Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK

Distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Distribusi Loglogistik mempunyai dua parameter yaitu parameter skala dan parameter bentuk . Penulisan ini bertujuan untuk memperoleh estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II. Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode Maximum Likelihood dengan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood dan pada tahap M dilakukan perhitungan untuk memaksimalkan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood hingga mendapatkan nilai yang konvergen. Software yang digunakan untuk mempermudah mendapatkan nilai estimator parameter distribusi Loglogistik adalah Mathematica. Pada kasus logaritma natural dari waktu terurainya Isolator Zat Cair pada voltase 34 KV dengan sampel pengamatan dan kegagalan yang diamati masing-masing sebesar 19 dan 8, sedangkan skema penyensorannya adalah diperoleh nilai estimator parameter untuk sebesar 6,526 dan sebesar 1,108.

(7)

Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution based on Progressive Type-II Censoring Using The EM Algorithm. This Skripsi is supervised by Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. and Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University

ABSTRACT

The Loglogistic distribution is a commonly used distribution in lifetime data analysis because natural logarithm of the lifetime variables are logistically distributed. Loglogistic distribution has two parameters, that are the scale parameter and shape parameter . The main objective of this paper is to get parameter estimator of the Loglogistic distribution based on Progressive type-II censoring. The method that used in this paper is Maximum Likelihood method with EM Algorithm. EM algorithm is consist of two steps, that are E-step and M-step. E-step requires the algorithm to calculate conditional expectation of log-likelihood function and M-step calculation to maximize the conditional expectation of log-likelihood function until get a convergen value. Software that used to get the parameter estimator of the Loglogistic distribution easily is Mathematica. On natural logarithm case from the time of disintregation of the isolator fluid at 34 KV voltage with sample observations and observed failure are given respectively by 19 and 8, then the censored scheme is

then obtained the estimator value of parameter for is 6,526 and for is 1,108.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ... i

LEMBAR PERNYATAAN ... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv

KATA PENGANTAR ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR LAMPIRAN ... xi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 4

1.3 Tujuan ... 4

1.4 Manfaat ... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6

2.1 Analisis Data Uji Hidup ... 6

2.2 Distribusi Probabilitas ... 6

2.3 Distribusi Loglogistik ... 8

2.4 Distribusi Logistik ... 8

2.5 Sampel Lengkap ... 9

2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II ... 9

2.7 Nilai Ekspektasi ... 10

2.8 Estimasi ... 11

2.9 Least Squares Estimation ... 14

2.10 Estimasi Kaplan Meier ... 15

(9)

2.12 MINITAB 14 ... 16

2.13 Mathematica ... 16

BAB III METODE PENELITIAN... 17

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 21

4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM ... 21

4.2 Algoritma Program ... 47

4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II ... 49

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 56

5.1Kesimpulan ... 56

5.2Saran . ... 58

(10)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Skema Penyensoran Progressive Tipe II 9

4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV 50 4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

tersensor progressive tipe II 51

4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada

Tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II 52

4.4 Grafik estimasi fungsi survival 54

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul

1. Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34kV.

2. Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34kV.

(12)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Globalisasi ekonomi merupakan suatu keadaan ekonomi dimana kegiatan perekonomian bersifat terbuka tanpa adanya batas-batas wilayah antara daerah yang satu dengan daerah yang lainnya. Hal ini menyebabkan persaingan produk yang diproduksi oleh setiap perusahaan semakin berat. Salah satu yang menjadi tolak ukur keberhasilan persaingan ini adalah kualitas suatu produk. Untuk mengetahui kualitas suatu produk sebelum dipasarkan kepada konsumen, perlu diadakan suatu penelitian yang berkaitan dengan pengamatan suatu keandalan atau daya tahan hidup komponen. Hal ini dikarenakan sangat berguna dalam pengujian tentang bagaimana suatu komponen dapat berfungsi sebagaimana mestinya dalam waktu yang ditentukan.

Analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point

(13)

diperlukan untuk melakukan penelitian sangat lama dan biaya yang diperlukan sangat besar. Hal ini sangat merugikan bagi suatu instansi dalam pengadaan penelitian. Untuk itu, perlu dilakukan penyensoran data agar lebih efisien dari segi waktu dan biaya.

Dalam statistika, ada banyak jenis penyensoran yang dapat digunakan untuk mempercepat suatu penelitian. Pada kesempatan ini penulis menggunakan penyensoran progressive tipe II yang merupakan pengembangan dari penyensoran tipe II. Alasan menggunakan jenis penyensoran ini adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan penelitian relatif lebih cepat, karena dengan cara mengambil sebagaian data untuk tidak diamati. Hal ini menyebabkan biaya yang dikeluarkan relatif sedikit. Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama, dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang survive secara acak dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat

kegagalan diamati dan ini berarti unit yang survive semua dikeluarkan.

(14)

digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Adapun fungsi kepadatan peluang (fkp) distribusi Loglogistik sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, diperlukan suatu metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi yang biasa disebut inferensi statistik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah Maximum Likelihood. Penyelesaian akhir metode ini umumnya membutuhkan iterasi numerik. Salah satu Algoritma yang dapat dipakai adalah algoritma EM. Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M).

Berdasarkan permasalahan diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan studi jurnal estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM yang diambil dari jurnal yang berjudul “Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm” yang ditulis oleh Kus dan Kaya

(15)

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan diatas, maka rumusan masalah yang dibahas adalah:

1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

2. Bagaimana membuat program pada software Matematica untuk mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

3. Bagaimanakah aplikasi estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tahan hidup tersensor Progressive Tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

1.3 Tujuan

1. Mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.

2. Membuat program pada software Mathematica untuk mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.

(16)

1.4 Manfaat

1. Menambah wawasan mengenai estimasi parameter dari distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II menggunakan metode algoritma EM.

2. Hasil kajian dapat diterapkan pada bidang ilmu kesehatan, industri, pendidikan dan sebagainya.

(17)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisa Data Tahan Hidup

Menurut Collet (1994), analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point. Di dalam riset medis, time origin sering digunakan sebagai awal perekrutan suatu individu dalam suatu studi yang bersifat percobaan, sedangkan end-point merupakan kematian suatu individu atau pasien, sehingga data yang

dihasilkan secara harfiah dinamakan waktu survival.

2.2 Distribusi Probabilitas

2.2.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas (FKP)

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi kepadatan probabilitas (fkp) merupakan nilai peluang dari setiap kejadian .

Terdapat 2 jenis fungsi kepadatan probabilitas yaitu, fungsi kepadatan probabilitas (fkp) diskrit dan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu.

suatu variabel random dengan distribusi probabilitas disebut fungsi kepadatan probabilitas (fkp) diskrit apabila :

1)

(18)

Sedangkan disebut fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu apabila :

1)

2)

2.2.2 Cumulative Distribution Function (CDF)

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), Cumulative Distribution Function (CDF) dari suatu variabel acak didefinisikan untuk setiap bilangan real sebagai :

Menurut Walpole dan Myers (1995), terdapat 2 jenis distribusi kumulatif

yaitu:

1. Distribusi kumulatif suatu peubah acak diskrit dengan distribusi peluang dinyatakan oleh

2. Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu dengan distribusi peluang dinyatakan oleh

2.2.3 Fungsi Survival

(19)

2.3 Distribusi LogLogistik

Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya berdistribusi Logistik. Adapun fungsi kepadatan probabilitas (fkp) distribusi Loglogistik dengan parameter skala dan parameter bentuk sebagai berikut:

2.4 Distribusi Logistik

Menurut Kus dan Kaya (2006), jika mempunyai distribusi logistik dengan parameter lokasi dan parameter skala , maka fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dari diberikan masing-masing yaitu:

(20)

2.5 Sampel Lengkap

Menurut Lawless (1982), pada sampel lengkap percobaan uji hidup dilakukan sampai semua individu atau benda mengalami kematian atau kegagalan. Adapun fungsi likelihood dari adalah :

2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II

Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama, dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang survive secara acak dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini berarti unit yang survive semua dikeluarkan. Skema penyensoran progressive tipe II adalah ) dengan

dan . Dengan keterangan :

: jumlah sampel pengamatan.

: banyaknya kegagalan yang diamati.

: banyaknya unit sampel yang masih survive yang dipindahkan dari pengamatan (tidak diamati lagi) pada saat terjadinya kegagalan yang ke – .

(21)

…

Pada penyensoran progressive tipe II, secara umum bentuk fungsi likelihood yang didasarkan pada cara pengamatan terhadap sampel dapat dirumuskan sebagai berikut:

dengan

dan . Pada skema penyensoran progressive tipe II, terdapat beberapa

keadaan khusus yaitu jika sedemikian sehingga

, maka akan diperoleh teknik penyensoran sampel secara tersensor

tipe II, namun jika skema penyensorannya adalah , maka diperoleh sampel lengkap.

2.7 Nilai Ekspektasi

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), nilai ekspektasi dari peubah acak kontinu adalah :

n-1- - n-m-1-

n-1-Dipindahkan (tidak diamati)

Dipindahkan (tidak diamati)

Pengamatan

dimulai Pengamatan berakhir

(22)

Misalkan adalah fungsi acak yang kontinu, maka nilai ekspektasi untuk adalah :

Menurut Graybill et al. (1963), jika adalah dua peubah acak dan

merupakan fungsi dengan domain dan kodomain bilangan real.

Ekspektasi bersyarat dari dimana yang dinotasikan dengan

adalah sebagai berikut:

1.

bila masing-masing diskrit.

2. bila masing-masing kontinu.

2.8 Estimasi

(23)

diobservasi memuat parameter populasi yang tidak diketahui. Nilai sampel yang diobservasi digunakan sebagai dasar untuk mengestimasi nilai .

Estimator yang diinginkan adalah estimator yang dekat dengan . Pengestimasian parameter dapat dilakukan secara Klasik maupun Bayes. Dalam metode Klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada sampel yang diambil secara random dari populasi. Sedangkan pada metode Bayes selain informasi sampel random juga dipergunakan informasi tambahan mengenai nilai parameter yang tidak diketahui.

2.8.1 Maximum Likelihood Estimator

Menurut Hogg dan Craig (1995), misalkan merupakan peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan peluang

, untuk . Fungsi kepadatan peluang bersama antara

adalah

Jika fungsi kepadatan peluang bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan atau ditulis sebagai berikut

dengan .

(24)

2.8.2 Algoritma EM

Menurut Kus dan Kaya (2006), algoritma EM merupakan metode yang sangat tepat digunakan dalam menangani masalah mengenai data yang hilang atau data tersensor. Misalkan adalah vektor acak data lengkap. Pada data lengkap

memuat data yang teramati

yang merupakan suatu vektor yang memuat nilai waktu hidup saat terjadinya kegagalan dari pengamatan terhadap sampel dengan

kegagalan yang diamati, dan data yang tidak teramati

yang merupakan suatu vektor dengan komponen data yang survive atau dianggap sebagai data tersensor, dimana adalah vektor dengan

untuk Vektor

merupakan skema penyensoran progressive tipe II. Fungsi log likelihood untuk data lengkap dinotasikan .

Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E (Ekspektasi) dan tahap M (Maksimasi). Pada tahap Ekspektasi dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat

_{. Tahap Maksimasi dilakukan untuk mendapatkan}

(25)

2.9 Least Squares Estimation

Menurut Lawless (1982), estimasi Least Squares digunakan lebih umum untuk memperoleh estimasi parameter dalam kasus tertentu. Dengan mempertimbangkan model memuat parameter yang tidak diketahui dapat berhubungan linier terhadap beberapa transformasi dari fungsi survival. Agar lebih spesifik, dimisalkan sebagai

adalah telah diketahui dan merupakan bentuk dari himpunan independen linear dari fungsi dan adalah parameter yang tidak diketahui.

Berdasarkan model dari persamaan (2.11) bentuk dari Least Squares dapat digunakan untuk mengestimasi . Misalkan adalah waktu tahan hidup yang teramati pada sampel tersensor. Anggap sebagai estimasi yang sesuai untuk dan anggap [ ]. Maka dapat diestimasi dengan cara meminimumkan

(26)

2.10 Estimasi Kaplan Meier

Menurut Lawless (1982), misalkan terdapat pengamatan pada individu

dan menyatakan waktu kematian yang berbeda dengan .

Akan ada kemungkinan terjadinya lebih dari satu kematian di , dan menunjukkan banyaknya kematian saat . Selain itu, pada waktu tahan hidup

akan ada waktu yang tersensor untuk individu yang waktu

tahan hidupnya tidak teramati. Estimasi dari didefinisikan sebagai :

menyatakan jumlah individu yang beresiko saat , yaitu jumlah individu yang hidup dan tidak tersensor sesaat sebelum .

2.11 Newton-Raphson

Menurut Faires dan Burden, misalkan adalah nilai awal yang mendekati nilai akar dari persamaan dan berada dalam interval yang berisi semua nilai yang mendekati . Gradien dari garis singgung pada grafik di titik

( ) adalah , sehingga persamaan garis singgungnya adalah

Karena garis ini melewati sumbu ketika nilai dari titik pada garis tersebut nol, maka nilai yang mendekati berikutnya adalah

(27)

2.12 MINITAB 14

Irawan dan Astuti (2006), menjelaskan bahwa Minitab 14 merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan Minitab adalah dapat digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial maupun teknik. Minitab juga memungkinkan sebagai fasilitas dalam analisis time series dan peramalannya.

2.13 Mathematica

Ardana (2003) , menjelaskan bahwa Mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS, Computer Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi (simbolik, numerik), visualisasi (grafik), bahasa pemograman, dan pengolahan kata (word processing) ke dalam suatu lingkungan yang sudah digunakan. Pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988, Mathematica kini tersedia pada lebih dari 20 platform komputer. Mathematica merupakan salah satu alat pilihan dalam pendidikan, penelitian bisnis, dan sebagainya. Khususnya untuk melakukan komputasi matematik, baik simbolik maupun numerik, pengembangan algoritma dan aplikasi, pemodelan dan simulasi, eksplorasi, analisis, dan visualisasi data.

Sistem Mathematica terdiri dari dua bagian utama, yaitu front end dan kernel. Front end berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. User memasukkan perintah – perintah atau melakukan pengolahan kata

(word processing) pada notebook, sedangkan komputasi matematik dilakukan

(28)

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor Progressive Tipe II menggunakan metode Algoritma EM dengan

langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengasumsikan sampel waktu daya tahan hidup berasal dari distribusi Loglogistik.

b. Mentransformasikan distribusi Loglogistik dengan _{agar diperoleh distribusi Logistik.}

c. Menentukan fkp dari distribusi Logistik.

d. Menentukan fungsi likelihood pada data lengkap dari fkp distribusi Logistik yaitu :

e. Mengubah fungsi likelihood menjadi bentuk logaritma natural, yaitu

(29)

g. Menentukan nilai maksimum dari fungsi ln likelihood dengan cara mendiferensialkan secara parsial terhadap parameter distribusi Loglogistik yaitu

h. Tahap Ekspektasi

Menghitung ekspekasi bersyarat dari ln likelihood pada fungsi yaitu fungsi data yang tidak teramati atau tersensor progressive tipe II. i. Tahap Maksimasi

1) Mendapatkan fungsi ekspektasi bersyarat dari ln-likelihood dengan cara mensubstitusikan hasil ekspektasi bersyarat dari fungsi ke ekspektasi awal.

2) Mendapatkan estimator dan dengan cara iterasi menggunakan metode Newton-Raphson.

j. Mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan _.

2. Membuat algoritma dan program untuk estimasi parameter dari distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(30)

b. Menginputkan nilai estimator awal _dan _untuk Nilai estimasi awal didapatkan dari Metode Least Squares.

1) Mendapatkan fungsi survival distribusi Logistik dari persamaan (2.1)

2) Mencari

3) Mendapatkan

4) Menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) sehingga diperoleh _dan

5) Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-Meier.

c. Tahap Ekspektasi

Menghitung ekspektasi dengan menggunakan estimator awal dan _{dimana menyatakan iterasi.}

d. Tahap Maksimasi

Mencari dan menghitung estimator _dan _{dengan iterasi} Newton-Raphson dari persamaan yang didapatkan dari langkah c.

(31)

g. Mendapatkan _.

h. Tampilkan dan sebagai estimator dari parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II.

3. Penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Menguji data ilustrasi yang digunakan berdistribusi Loglogistik.

b. Mengestimasi parameter menggunakan program komputer (dengan bantuan software Mathematica) berdasarkan algoritma tersebut.

(32)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.

4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor

Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM.

Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M). Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai estimator adalah sebagai berikut:

4.1.1 Mengasumsikan sampel waktu tahan hidup berasal dari distribusi Loglogistik

Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan , sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

(33)

4.1.2 Fkp dari Distribusi Loglogistik

(34)

maka diperoleh bentuk fkp dari distribusi Logistik yaitu:

4.1.4 Fungsi Likelihood Data Lengkap dari Fkp Distribusi Logistik

Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan , maka merupakan log natural dari waktu tahan hidup yang identik

(35)

maka fungsi ln likelihood didiferensialkan secara parsial terhadap parameter dan . Hasilnya dapat diuraikan sebagai berikut:

(36)

(37)

(38)

bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6), maka terlebih dahulu mencari distribusi bersyarat dari dengan syarat diketahui. Distribusi bersyarat

dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Untuk mendapatkan ekspektasi bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6) maka dapat digunakan distribusi bersyarat dari untuk diketahui

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Berdasarkan lemma 4.1 maka hasilnya sebagai berikut:

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(3) Ekspektasi bersyarat yang ketiga

(49)

(50)

(51)

(52)

Berdasarkan lemma 4.2 maka hasilnya sebagai berikut:

(53)

yang diperoleh yaitu persamaan (4.8), (4.9), (4.10) ke dalam fungsi ln likelihood yaitu persamaan (4.5) dan (4.6). Jadi didapatkan persamaan sebagai berikut:

dan

4.1.6 Tahap Maksimasi

Tahap Maksimasi yaitu menghitung nilai estimasi dari parameter dengan memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi dengan nilai awal

(54)

konvergen. Nilai awal _{didapatkan dari Metode Least Squares. Nilai}

_{diperoleh berdasarkan persamaan berikut:}

Sedangkan _{diperoleh berdasarkan persamaan berikut:}

dengan bantuan software Mathematica. Setelah mendapatkan nilai estimator dan selanjutnya diubah menjadi estimator dari distribusi Loglogistik yaitu

(55)

4.1.7 Nilai Awal Estimasi

Nilai awal estimasi yang diperlukan untuk mencari nilai estimator dan diperoleh dari Metode Least Squares. Langkah pertama yang diperlukan adalah mendapatkan fungsi survival dari distribusi Logistik dari persamaan (2.1).

Setelah mendapatkan fungsi survival maka nilai awal estimasi dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(56)

maka

Selanjutnya dengan menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh:

(57)

Untuk mendapatkan nilai dan pada persamaan dan

(58)

Sehingga didapatkan nilai yaitu

maka:

Nilai estimasi awal yang diperlukan untuk proses iteratif dalam mencari nilai estimator dan yang dinotasikan _dan _adalah

Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-Meier.

4.2 Algoritma Program

(59)

diperoleh sebelumnya. Berikut ini adalah algoritma yang digunakan untuk membuat program dalam Mathematica :

1. Menginputkan data sebanyak yang dinotasikan dengan dan skema penyensoran .

2. Menghitung nilai estimator awal distribusi Logistik berdasarkan OLS menggunakan rumus pada persamaan (4.20) dan (4.21) sehingga diperoleh

_dan _untuk_.

3. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.11). 4. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.12).

5. Mendapatkan estimator _{dengan cara menyelesaikan persamaan} _{menggunakan Newton-Raphson.}

6. Mendapatkan estimator _{dengan cara menyelesaikan persamaan} _{menggunakan Newton-Raphson.}

7. Jika _dan _{maka iterasi dihentikan} dan lanjut ke langkah 8, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka kembali ke langkah 5 dengan mengganti .

8. Menampilkan nilai estimator distribusi Logistik yaitu dan .

9. Mengubah nilai estimator distribusi Logistik menjadi distribusi Loglogistik dengan _.

(60)

4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program menggunakan software Mathematica. Berikut ini akan dibahas mengenai penerapan program pada data ilustrasi tersensor progressive Tipe II dengan software Mathematica.

Misalkan berupa waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data berasal dari pengamatan yang dilakukan terhadap sampel. Pengamatan terhadap sampel dimulai dari start point yaitu ketika zat cair dialiri listrik sebesar 34 KV. Sehingga zat cair dapat menghantarkan listrik ke zat lain. Pengamatan berhenti pada waktu end point yaitu zat cair tidak dapat menghantarkan listrik lagi. Hal ini disebabkan partikel-partikel yang dapat menghantar listrik pada zat cair tersebut telah habis (berubah bentuk). Jadi data yang diperolehkan dari hasil pengamatan berupa ketahanan zat cair dalam menghantarkan listrik ke zat lain. Karena pada pengamatan semua benda diuji sampai terjadinya kegagalan maka pengamatan tersebut disebut sampel lengkap. Data selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

Selanjutnya data tersebut diuji dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari

(61)

data

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KV

Loglogistic - 95% CI

Gambar 4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

Berdasarkan Gambar 4.1, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut berdistribusi Loglogistik.

Pada data ilustrasi akan diadakan penyensoran data menggunakan sampel tersensor progressive tipe II dengan skema penyensoran berdasarkan Kus dan Kaya (2006). Dari skema penyensoran yang telah digunakan maka dapat dijelaskan bahwa

1. Pada saat terjadi kegagalan yang pertama maka sebanyak dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, begitu juga pada saat kegagalan yang kedua dengan .

(62)

yaitu pada kegagalan yang kedelapan maka sebanyak dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan.

Sehingga diperoleh data dari penyensoran sebanyak data. Data selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

Selanjutnya data tersensor progressive tipe II diuji dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk

mengetahui distribusi dari data tersensor progressive tipe II tersebut. Hasil dari uji dengan Probability Plot of data dengan data yaitu sebagai berikut

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KV

Loglogistic - 95% CI

Gambar 4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

Berdasarkan Gambar 4.2, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut berdistribusi Loglogistik.

(63)

berdasarkan data yang berdistribusi Logistik. Misalkan berupa log natural waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2. Berikut ini akan diuraikan langkah-langkah untuk penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik.

Langkah pertama yaitu melakukan pengujian terhadap data tersebut dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan distribusi probabilitasnya dengan mengambil hipotesis sebagai berikut:

H0 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV berdistribusi Logistik.

H1 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

tidak berdistribusi Logistik.

Gambar 4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada tegangan 34kV

(64)

Pada Gambar 4.3, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka keputusannya adalah terima H0 atau dapat disimpulkan bahwa data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV berdistribusi Logistik.

Langkah selanjutnya mencari estimator distribusi Logistik yaitu dan . Setelah itu mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan _. _{Berdasarkan hasil pada Lampiran 2 diperoleh hasil} estimator parameter distribusi Logistik sebesar dan . Sedangkan estimator parameter distribusi Loglogistik diperoleh hasil sebesar dan .

Setelah diperoleh nilai estimator dari disribusi Loglogistik maka salah satu kegunaan aplikasinya adalah dapat menentukan estimasi dari fungsi survival distribusi Loglogistik dengan rumus sebagai berikut:

(65)

maka diperoleh estimasi fungsi survival yaitu

Sebagai contoh, misalkan diberikan maka diperoleh estimator dari fungsi survival sebesar . Angka tersebut menyatakan bahwa probabilitas mengurainya isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV lebih dari 5 satuan waktu adalah sebesar 57,3%. Grafik dan tabel dari estimasi fungsi survival sebagai berikut

Gambar 4.4 Grafik estimasi fungsi survival

20 40 60 80 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(66)

No.

1 0,19 0,981

2 0,78 0,913

3 0,96 0,893

4 1,31 0,856

5 2,78 0,720

6 4,85 0,581

7 6,50 0,501

8 7,35 0,467

(67)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM dilakukan melalui iterasi terhadap dua tahap berikut :

a. Tahap Ekspektasi

(1)

(2)

(3)

(68)

(69)

2. Program yang dibuat dalam software Matematica menggunakan metode Newton-Raphson. Dalam program terdapat tiga kali iterasi Newton-Raphson

untuk mendapatkan nilai estimator.

3. Pada penerapan data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV (Kus dan Kaya, 2006) diperoleh hasil estimasi parameter skala dan parameter bentuk distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II masing-masing sebesar 6,526 dan 1,108.

5.2 Saran

(70)

DAFTAR PUSTAKA

1. Ardana, K. N. K., 2003, Panduan Penggunaan Mathematica, Edisi Pertama, Matematika, IPB, Bogor.

2. Bain,L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont-California.

3. Collet, D., 1994, Modelling Survival Data in Medical Research, First Edition, Chapmann dan Hall, University of Reading, UK.

4. Faires, J. D., and Burden, R., 2003, Numerical Methods, Third Edition, Thomson Learning Academic Resource Center, USA.

5. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan.

6. Hogg, R. V. and Craig, A. T., 1995, Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition, Prentice Hall, Inc, New Jersey.

7. Irawan, N. dan Astuti, S. P., 2006, Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan MINITAB 14, Penerbit Andi, Yogyakarta.

8. Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211.

9. Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methodes for Life Time Data, John Wiley & Sons, New York.

10.Walpole, R.E. dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat, ITB, Bandung.

(71)

Lampiran 1 : Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV

1 0,19

2 0,78

3 0,96

4 1,31

5 2,78

6 3,16

7 4,15

8 4,67

9 4,85

10 6,50

11 7,35

12 8,01

13 8,27

14 12,06

15 31,75

16 32,52

17 33,91

18 36,71

19 72,89

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211.

Keterangan:

(72)

Lampiran 2 : Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya

Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV

j

1 0 0,19 -1,6608

2 0 0,78 -0,2485

3 3 0,96 -0,0409

4 0 1,31 0,2700

5 3 2,78 1,0224

6 0 4,85 1,5789

7 0 6,50 1,8718

8 5 7,35 1,9947

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211.

Keterangan:

: Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke-j pada

kegagalan yang diamati dari buah sampel.

: Log natural dari waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV

ke-j pada kegagalan yang diamati dari buah sampel.

(73)

Lampiran 3 : Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

1. Input Data

2. Program Untuk Mendapatkan Nilai Estimator Awal

(74)

3. Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

(75)

Print "Nilai estimator awal : ", lama, " dan : ", lama ;

Print " " ;

error1 Abs baru lamat ; error2 Abs baru lamat ;

p p 1; q q 1;

Print "Nilai pada iterasi ke ", p, " : ",

baru N , " : ", baru N ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Logistik " ;

Print " : ", baru, " dan : ", baru ;

Print " " ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Loglogistik " ;

Print " : ", baru, " dan : ", 1

baru ;

(76)

4. Output

Nilai estimator awal : 2.56095 dan : 1.46915

iterasi 1 2.01683

Nilai pada iterasi ke 1 : 2.05313 : 1.16442

iterasi 5 2.04563

iterasi 8 1.88664

iterasi 12 1.92774

(77)

iterasi 19 1.89632

iterasi 22 1.8662

iterasi 25 1.8856

iterasi 26 1.88565

iterasi 27 1.88565

iterasi 23 0.904633

iterasi 24 0.904633

(78)

iterasi 31 1.88095

iterasi 32 1.88097

iterasi 33 1.88097

iterasi 28 0.90334

iterasi 29 0.90334

iterasi 34 1.87206

iterasi 37 1.87862

iterasi 38 1.87862

iterasi 39 1.87862

iterasi 33 0.902951

iterasi 34 0.902951

iterasi 40 1.87362

iterasi 41 1.87362

iterasi 42 1.87362

iterasi 35 0.90251

iterasi 36 0.90251

iterasi 43 1.87735

iterasi 44 1.87735

iterasi 45 1.87735

iterasi 37 0.902804

iterasi 38 0.902804

(79)

iterasi 49 1.87665

iterasi 50 1.87665

iterasi 51 1.87665

iterasi 41 0.902736

iterasi 42 0.902736

iterasi 52 1.87505

iterasi 53 1.87505

iterasi 54 1.87505

iterasi 43 0.902603

iterasi 44 0.902603

iterasi 55 1.87625

iterasi 56 1.87625

iterasi 57 1.87625

iterasi 45 0.902702

iterasi 46 0.902702

iterasi 58 1.87534

iterasi 59 1.87534

iterasi 60 1.87534

iterasi 47 0.902626

iterasi 48 0.902626

iterasi 61 1.87603

iterasi 62 1.87603

(80)

iterasi 64 1.87551

iterasi 65 1.87551

iterasi 66 1.87551

iterasi 51 0.90264

iterasi 52 0.90264

iterasi 67 1.8759

iterasi 68 1.8759

iterasi 69 1.8759

iterasi 53 0.902672

iterasi 54 0.902672

iterasi 70 1.87561

iterasi 71 1.87561

iterasi 72 1.87561

iterasi 55 0.902648

iterasi 56 0.902648

iterasi 73 1.87583

iterasi 74 1.87583

iterasi 57 0.902666

iterasi 58 0.902666

iterasi 75 1.87566

iterasi 76 1.87566

iterasi 59 0.902652

iterasi 60 0.902652

(81)

iterasi 79 1.87569

iterasi 80 1.87569

iterasi 63 0.902655

iterasi 64 0.902655

iterasi 81 1.87576

iterasi 82 1.87576

iterasi 65 0.902661

iterasi 66 0.902661

iterasi 83 1.87571

iterasi 84 1.87571

iterasi 67 0.902656

iterasi 68 0.902656

iterasi 85 1.87575

iterasi 86 1.87575

iterasi 69 0.90266

iterasi 70 0.90266

iterasi 87 1.87572

iterasi 88 1.87572

iterasi 71 0.902657

iterasi 72 0.902657

iterasi 89 1.87574

iterasi 90 1.87574

(82)

iterasi 91 1.87573

iterasi 92 1.87573

iterasi 75 0.902658

iterasi 76 0.902658

iterasi 93 1.87574

iterasi 94 1.87574

iterasi 77 0.902659

iterasi 78 0.902659

iterasi 95 1.87573

iterasi 96 1.87573

iterasi 79 0.902658

iterasi 80 0.902658

iterasi 97 1.87574

iterasi 98 1.87574

iterasi 81 0.902658

iterasi 82 0.902658

iterasi 99 1.87573

iterasi 100 1.87573

iterasi 83 0.902658

iterasi 84 0.902658

iterasi 101 1.87574

iterasi 102 1.87574

iterasi 85 0.902658

iterasi 86 0.902658

(83)

iterasi 105 1.87573

iterasi 106 1.87573

iterasi 89 0.902658

iterasi 90 0.902658

iterasi 107 1.87573

iterasi 108 1.87573

iterasi 91 0.902658

iterasi 92 0.902658

iterasi 109 1.87573

iterasi 110 1.87573

iterasi 93 0.902658

iterasi 94 0.902658

iterasi 111 1.87573

iterasi 112 1.87573

iterasi 95 0.902658

iterasi 96 0.902658

iterasi 113 1.87573

iterasi 114 1.87573

iterasi 97 0.902658

iterasi 98 0.902658

iterasi 115 1.87573

(84)

iterasi 117 1.87573

iterasi 118 1.87573

iterasi 101 0.902658

iterasi 102 0.902658

iterasi 119 1.87573

iterasi 120 1.87573

iterasi 103 0.902658

iterasi 104 0.902658

iterasi 121 1.87573

iterasi 122 1.87573

iterasi 105 0.902658

iterasi 106 0.902658

iterasi 123 1.87573

iterasi 124 1.87573

iterasi 107 0.902658

iterasi 108 0.902658

iterasi 125 1.87573

iterasi 126 1.87573

iterasi 109 0.902658

iterasi 110 0.902658

iterasi 127 1.87573

iterasi 128 1.87573

iterasi 111 0.902658

(85)

--- Nilai Estimator Distribusi Logistik

--- Nilai Estimator Distribusi Loglogistik

---

: 1.87573 dan : 0.902658