Sistem bilangan
N : bilangan asli
Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real
N :
1,2,3,…. Z :
…,-2,-1,0,1,2,..
0 ,
,
,
a b Z b
b a q
Q :
Irasional Q
R
, 3 , 2
Garis bilangan
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real)
-3
2
Selang
Himpunan selang
x x a
,a
x x a
,a
xa x b
a, b
xa x b
a, b
x x b
b,
x x b
b,
x x
,Jenis-jenis selang
Grafik
a a
a b
a b
Sifat–sifat bilangan real
•
Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
x
E
x
D
x
B
x
A
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :
0) (
) (
x Q
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya
2.
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3.
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
5
3
2
13
x
3
5
2
3
13
x
8
2
16
x
4
8
x
8
4
x
4
,
8
Hp =
4
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
8
4
6
2
x
2
4
8
x
2
4
8
x
8
4
2
x
2
2
1
x
,
2
2
1
2 2
1
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
0
3
5
2
x
2
x
2
x
1
x
3
0
Titik Pemecah (TP) :
2
1
x
dan
x
3
3
++ -- ++
2 1
3
Hp =
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6
3
7
6
4
2
x
x
x
x
x
4
6
7
2
dan
6
7
x
3
x
6
4
6
7
2
x
x
dan
7
x
3
x
6
6
4
10
9
x
dan
10
x
0
9
10
x
dan
10
x
0
9
10
Hp =
0
,
9
10
,
0
9 10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10
,
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
3
2
1
1
x
x
0
1
3
2
1
1
x
x
1
3
1
0
2
2
1
3
x
x
x
x
5.
1
3
1
0
3
x
x
x
1
, 33 ++ -- ++ -1 --3 1
Hp =
,
3
3
1
1
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
x
x
x
x
3
2
1
0
3
2
1
x
x
x
x
2
3
0
2
3
1
x
x
x
x
x
x
2
3
0
Untuk pembilang
2
22
3
x
x
mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++
--
,
3
2
,
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutlak
x
(|
x
|) didefinisikan sebagai
jarak
x
dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0
,
0
,
x
x
x
x
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2
x
x
a
x
a
a
a
x
,
0
a
x
a
a
x
,
0
ataux
a
y
x
x
2
y
26. Ketaksamaan segitiga
y
x
y
x
1 2 3 4
5
y
x
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4
1
x
Contoh :
3
5
2
x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3
x
5
3
2
3
5
x
8
2
2
x
Hp =
1
,
4
1 4Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2 2
4
0 x x
3
5
2
x
2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
5
2
9
x
9
25
20
4
2
4
x
20
x
16
0
2
x
x
0
8
10
2
2
x
x
TP : 1, 4
1 4
++
--++
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
5
4
3
2
x
x
3.
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
25
4
3
2
x
x
25
40
16
9
12
4
2
2
x
x
x
x
0
16
28
12
2
x
x
0
4
7
3
2
x
x
3
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp =
,
,
1
3
4
Jika digambar pada garis bilangan :
-1 3
4
++
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2 7
2
x
2 7
2
x 7 2
2
x
5
2
x
92
x
10
x
x
18
10
,
,
18
4.
atau
atau
atau
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
1 1 1 1 1 x x x x xJadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III
, 1
1,2
2,
5. 3 x 2 x 1 2
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
x
, 1
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
2
7
x
9
2
x
9
2
x
2
9
x
2 9 ,
I. Untuk interval atau
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
, 1
2 9
,
2 9
-1 Jadi Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
, 1
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
1
x
1,2
II. Untuk interval atau
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
4
5
x
7
4
x
7
4
x
4 7
x
4 7 ,
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp2 =
1
,
2
4
7
,
-1 2
4 7
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
4
7
,
1
sehingga Hp2 =
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
x
2
,
2 1
2
3 x x
2
1
2 3 x x
2
1
6
3
x
x
2
7
2
x
5
2
x
III. Untuk interval atau
2 5
x
, 2 5
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 =
2
,
,
2
5
2 52
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
, 2 5
sehingga
Hp3 =
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
,
2 5 4
7 , 1 1
, Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp =
,
2
5
4
7
,
4 7
2 5
-1
4
7 52
-1
4 7
2 5
Soal Latihan
5 4
3
2x x
2 2
2
12
x
x
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3 2
3
2 x x
