Graf Eulerian

BAB I BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1.1.

1.1. Latar BelakangLatar Belakang

Teori graf merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada Teori graf merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini. Pemakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai masa kini. Pemakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu, antara lain optimisasi jaringan, ekonomi, psikologi, genetika, riset ilmu, antara lain optimisasi jaringan, ekonomi, psikologi, genetika, riset operasi/

operasi/operatioan researchoperatioan research  (OR), dan lain-lain. (OR), dan lain-lain.

Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama

matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teoriLeonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama

bernama KaliningrKaliningrad).ad).

Graf Eulerian dan Graf Hamiltonian adalah jenis graf yang penting dalam Graf Eulerian dan Graf Hamiltonian adalah jenis graf yang penting dalam teori graf dan memiliki peranan penting dalam perkembangan, secara teori graf dan memiliki peranan penting dalam perkembangan, secara khusus dalam perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi khusus dalam perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi Komputer.

Komputer.

Untuk mempelajari tentang bagaimanakah Graf Eulerian dan Graf Untuk mempelajari tentang bagaimanakah Graf Eulerian dan Graf Hamiltonian, dibutuhkan referensi. Makalah ini disusun dalam upaya Hamiltonian, dibutuhkan referensi. Makalah ini disusun dalam upaya menyediakan literasi dalam mempelajari kedua jenis graf tersebut.

menyediakan literasi dalam mempelajari kedua jenis graf tersebut. Makalah ini mengambil sumber utama buku “

Makalah ini mengambil sumber utama buku “ Graphs: Theory andGraphs: Theory and  Al

 Algorgor ithith msms” karya K. Thulasir” karya K. Thulasiraman dan M. N. S. Swamy, dan didukungaman dan M. N. S. Swamy, dan didukung referens

referensi i lainnya.lainnya. 1.2.

1.2. Rumusan MasalahRumusan Masalah

Yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah : Yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah : 1. Bagaimanakah Graf Eulerian tersebut?

1. Bagaimanakah Graf Eulerian tersebut? 2. Bagaimanakah Graf Hamiltonian tersebut? 2. Bagaimanakah Graf Hamiltonian tersebut?

1.3. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah tersebut, yang menjadi tujuan penulisan makalah ini adalah:

1. Memaparkan teori tentang Graf Eulerian. 2. Memaparkan teori tentang Graf Hamiltonian. 2.1. Manfaat

Makalah ini diharapkan memberikan manfaat bagi pembaca, yaitu memperluas wawasan pembaca tentang teori graf, khususnya tentang Graf Eulerian dan Graf Hamiltonian.

BAB II ISI 2.1. GRAF EULERAN

Dalam pembahasan ini, penting kita ingat kembali tentang def inisi dari trail dan trail tertutup (sirkuit). Suatu lintasan dikatakan trail jika semua jalurnya berbeda (tidak perlu semua simpul berbeda). Jika trail merupakan lintasan tertutup, maka trail itu disebut sirkuit. Jika trail itu berkaitan dengan semua jalur yang ada di G, maka ada hubungannya dengan graf Euler .

Penamaan graf Euler untuk mengenang seorang matematikawan yang ingin memecahkan suatu masalah tentang seseorang yang mengelilingi suatu kota yang memiliki tujuh jembatan. Masalah tersebut menanyakan, mungkinkah seseorang berjalan mengelilingi kota yang dimulai dan diakhiri pada tempat yang sama, dengan melintasi ketujuh jembatan masing-masing satu kali?

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, Euler merepresentasikannya dalam Graf. Titik dalam graf merepresentasikan jembatan, dan titik-titik merepresentasikan kota.

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan uraian berikut: Definisi 3.1:

Trail Euler  dalam graf G adalah trail tertutup yang memuat setiap jalur G. Trail Euler  Terbuka adalah trail terbuka yang memuat semua jalur G. Suatu graf yang memiliki trail Euler disebut sebagai Graf Eulerian. Sementara itu, jika graf tidak memiliki trail Euler, namun memiliki trail Euler terbuka, disebut Graf Semi Euleran.

Graf Euleran atau Graf Semi Euleran termasuk ke dalam Traversable graph. Traversable graph adalah graf yang semua jalurnya masing-masing sekali atau graf yang dapat digambar tanpa tanpa mengangkat pensil.

Perhatikan graf G1 seperti pada pada Gambar 3.3.a. Barisan e1, e 2, e3, e4, e5, e6, e7, e8,

Pada graf G2 pada Gambar 3.3.b, barisan jalur e1, e 2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, el0, e11, e12 ,

dan e13merupakan trail terbuka. Namun, tidak ada trail Euler di G2. Karena itu G2

bukan Eulerian.

Graf non-Eulerian G3  tanpa trail terbuka ditunjukkan pada Gambar 3.3c. Teorema

berikut memberikan karakterisasi graf Eulerian yang sederhana dan bermanfaat.

Gambar 3.3.b. Graf Non-Eulerian yang Memiliki Sebuah Trail Euler Terbuka

Gambar 3.3.c . Graf Non-Eulerian dengan Trail Euler Tidak Terbuka Teorema 3.1. Pernyataan berikut ekuivalen untuk graf terhubung G:

1. G adalah Eulerian.

3. G adalah gabungan sirkuit yang tak terhubung. Bukti

1 => 2 Misalkan T  adalah trail Euler di G. Misalkan kita melintasi T  yang dimulai dari suatu simpul, katakanlah v 1, di G. Misalkan T  menjadi





= 



, 



, 



, 



, 



,

. .. , 

r−

, 

r

, 

r

, 

r+

= 



Di mana, tentu saja, semua jalur-jalur berbeda; simpul  x 2, ... ,  x r  mungkin tidak

semuanya berbeda dan beberapa simpul ini mungkin  x 1. Maka jelaslah bahwa

pasangan jalur berturut-turut ei dan ei+1, 1

≤

 i

≤

 r - 1, memberikan kontribusi 2 pada

derajat simpul  x i+1. Selain itu, simpul v 1, mendapat kontribusi 2 terhadap derajat

awalnya dan jalur terakhir e1, dan er. Jadi semua simpul berderajat genap.

 Alternatif pembuktian (1 => 2):

Karena G merupakan graf Euler, maka setiap jalur dalam G itu dilalui sekali saja dan kembali ke simpul awal. Oleh karenanya, trail Euler yang melalui simpul v   akan mengakibatkan banyak jalur yang masuk ke v   sama dengan banyak jalur yang meninggalkan v  tanpa mengulangi suatu jalur. Jadi, v  pastilah berderajat genap.  2 => 3  Karena G  terhubung dan setiap simpul di G  memiliki derajat genap, maka

derajat masing-masing simpul pada G lebih besar dari 1. Jadi G tidak memiliki simpul liontin; simpul yang berderajat satu. Oleh karena itu G bukanlah pohon sesui dengan Teorema 2.5. Ini berarti bahwa G memiliki sirkuit terakhir, misalkan C 1.

Perhatikan graf G1 = G - C 1. Karena setiap simpul di C 1  juga merupakan berderajat

genap, maka setiap titik pada G1  harus memiliki derajat yang sama. Namun, G1

mungkin tak terhubung.

Jika G1 benar-benar terputus, artinya, G1 hanya berisi simpul terasing, maka G = C 1

dan pernyataan 3 terbukti. Jika tidak G1 memiliki setidaknya satu sirkuit C  2.

Perhatikan graf G 2 = G1 - C  2  = G - C 1 - C  2  berikut. Sekali lagi setiap simpul di G 2

memiliki derajat genap. Jika G 2 benar-benar terputus, maka G 2 = C 1

∪

C  2. Jika tidak,

- C 1 - C  2 , - ... - C n, di mana C 1 , C  2 , ... ,C n adalah sirkuit G, tidak ada dua yang memiliki

jalur yang sama. Kemudian

G = C 1

∪

 C  2

∪

  ...

∪

C n

dan pernyataan 3 terbukti.

3 => 1  Misalkan G  adalah gabungan sirkuit-sirkuit yang tak terhubung C 1 , C  2 , ... ,C n.

Pertimbangkan salah satu dari sirkuit-sirkuit ini, katakanlah C 1. Karena G terhubung,

setidaknya ada satu sirkuit, katakanlah C  2, yang memiliki simpul yang sama v 1

dengan C 1. Biarkan T 12 menjadi trail tertutup yang dimulai pada v 1 dan melintasi C 1

dan C  2 secara berurutan. Trail ini jelas berisi semua jalur C 1 dan C2.

Sekali lagi, karena G terhubung, T l2 haruslah memiliki simpul yang sama v  2 dengan

setidaknya satu sirkuit, katakan C 3, berbeda dengan C 1, dan C  2.  Trail tertutup T 123

yang dimulai pada v  2 dan melintasi T 12 dan C 3berturut-turut akan mencakup semua

jalur C 1, C  2, dan C 3.

Ulangi prosedur ini sampai trail tertutup T 123 ... n berisi semua jalur C 1 , C  2 , ... , C n

diperoleh. Trail tertutup ini adalah trail Euler di G. Karena itu G adalah Eulerian. [] Dengan teorema ini, graf G1, pada Gambar 3.3a adalah Eulerian karena setiap simpul

pada G1  adalah berderajat genap, sedangkan graf G 2  dan G3  pada Gambar 3.3b  dan

3.3c bukan Eulerian karena mengandung beberapa simpul berderajat ganjil. Ini juga dapat diverifikasi bahwa graf Eulerian G1 adalah gabungan dari sirkuit-sirkuit yang

tak terhubung yang ujung jalurnya adalah

{e4 , e5 , e6},

{e3 , e7 , e8},

{e2 , e9 , e10},

Implikasi 1 =>2, 1. G  adalah Eulerian. 2. Derajat setiap simpul di G genap, akan menyatakan bahwa jika ada simpul pada graf G yang berderajat ganjil, maka graf G bukanlah Graf Eulerian.

Hasil berikut adalah konsekuensi dari pernyataan 3 dari Teorema 3.1.

Corollary 3.1.1. Setiap simpul graf Eulerian dimuat dalam beberapa sirkuit. []

Meskipun Trail Euler tidak berada dalam graf yang memuat beberapa simpul derajat ganjil, adalah mungkin untuk membuat graf dengan satu set trail terbuka yang tak terhubung yang bersama-sama mengandung semua simpul graf. Hal ini terbukti pada teorema berikutnya.

Teorema 3.2. Misalkan G = (V, E) menjadi graf terhubung dengan simpul berderajat  2k  ganjil,

 ≥

 1. Maka E dapat dipartisi menjadi subkumpulan E 1 , E  2 , ... , E k  sehingga

setiap E 1 merupakan trail terbuka di G.

Bukti. Misalkan r i, dan si, 1

≤  ≤ 

, jadilah simpul derajat 2k   yang ganjil dari G.

Sekarang ke G menambahkan simpul baru w 1 , w 2 , . . . , w k  bersama dengan

2k  jalur-jalur (r i, w i) dan ( si, w i),

1 ≤  ≤ 

. Dalam graf yang dihasilkan G' setiap simpul

adalah berderajat genap, dan karenanya G'  adalah Eulerian.

Dapat dicatat bahwa dalam trail Euler G', jalur (r i, w i) dan (si, w i) untuk setiap 1

≤

 ≤ 

  muncul berturut-turut. Penghapusan jalur-jalur 2k   ini kemudian akan menghasilkan trail terbuka yang tak terhubung dari G sedemikian sehingga setiap jalur G hadir tepat di salah satu trail ini. Trail terbuka ini memberikan partisi yang dibutuhkan E. []

Corollary 3.2.1. Misalkan G adalah graf terhubung dengan tepat dua simpul berderajat ganjil. Maka G  memiliki trail terbuka (yang dimulai pada salah satu simpul berderajat ganjil dan berakhir di simpul lain) yang berisi semua jalur G. [] Sebagai contoh, graf G 2  pada Gambar 3.3b  memiliki tepat dua simpul berderajat

ganjil v 6 dan v 3, dan trail terbuka {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 , e11 , e12 , e13} memuat

Grafik G3  pada Gambar 3.3c  memiliki empat simpul berderajat ganjil. Graf ini

memiliki dua trail terbuka yang terpisah yang dibentuk oleh rangkaian jalur berikut ini:

{ e1, e2 , e3 , e4, e5 }

{ e6, e7, e8, e9 , e10, e11 , e12 , e13 }

Sebuah graf G  dikatakan Eulerian dari sebuah simpul v random  jika, kapanpun kita mulai dari v   dan melintas sepanjang jalur-jalur G  dengan cara tak teratur, kita akhirnya mendapatkan trail Euler.

Perlu dicatat bahwa jika graf G  Eulerian dari sebuah titik v random, maka dimungkinkan untuk memperpanjang setiap trail tertutup v-v   yang tidak mengandung semua ujung pada trail Euler G. Dengan kata lain, jika graf Eulerian G adalah bukan Eulerian dari sebuah titik v  random, maka harus ada trail v-v  tertutup yang berisi semua jalur yang ada pada v  namun tidak mengandung semua jalur G. Sebagai contoh, perhatikan graf Eulerian pada Gambar 3.4. Graf ini Eulerian random dari simpul v 1  dan v 2  . Hal ini bukan Eulerian acak dari simpul lainnya. Dapat

diverifikasi bahwa untuk setiap simpul v i yang berbeda dari v 1 dan v 2 terdapat v 1-v  2

tertutup, trail yang berisi semua jalur yang bersisian pada v 1, namun tidak

mengandung semua jalur G. Sebagai contoh, trail tertutup v 3-v 3 yang dari jalur e4 , e1 ,

e2, dan e3 memiliki properti ini.

Gambar 3.4. Graf Euler Acak dari Dua Simpul

Teorema selanjutnya memberikan karakterisasi graf yang secara acak Eulerian dari sebuah simpul v .

Teorema 3.3.  Graf Eulerian G  secara acak Eulerian dari sebuah simpul v   jika dan hanya jika setiap sirkuit G mengandung v .

Bukti

Syarat Perlu Anggaplah graf G secara acak Eulerian dari sebuah simpul v . Asumsikan bahwa ada sirkuit C   dalam G  yang tidak mengandung v . Perhatikan graf G' = G - C . Setiap simpul di G'  adalah berderajat genap. G' mungkin tidak terhubung. Namun, G", komponen G'memuat v , adalah Eulerian, dan mengandung semua jalur yang bersisian pada v . Jadi pada G", terdapat trail Euler T yang dimulai dan berakhir pada simpul v . Trail ini tentu berisi semua jalur yang bersisian dengan v . Oleh karena itu tidak dapat diperluas untuk mencakup jalur-jalur C . Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa G secara acak berasal dari v .

Syarat cukup  Misalkan simpul v   dalam graf Eulerian G  hadir di setiap sirkuit G. Asumsikan bahwa G tidak secara acak Eulerian dari v . Kemudian ada trail tertutup v-v   yang berisi semua jalur yang bersisian pada pada v-v   tetapi tidak mengandung semua jalur G  Selanjutnya, ada sebuah simpul

 ≠ 

  sedemikian rupa sehingga simpul akhir jalur tidak di T .

Saat melepaskan dari G  jalur-jalur T , graf G'di mana v   adalah simpul terasing. Di G'setiap simpul adalah berderajat genap. Jadi komponen G' yang mengandung u adalah graf Eulerian. Dengan Corollary 3.1.1, terdapat circuit yang berisi u. Sirkuit ini jelas tidak mengandung simpul v . Ini bertentangan dengan hipotesis bahwa v  ada di setiap circuit G.[]

Hal ini dapat diverifikasi bahwa pada graf G pada Gambar 3.4, simpul v 1 dan v 2 hadir

di setiap rangkaian G. Jadi G secara acak Eulerian dari kedua simpul ini. Di sisi lain, untuk masing-masing simpul lain terdapat sirkuit yang tidak memuatnya.

Suatu graf adalah Eulerian acak  jika secara acak Eulerian masing-masing simpulnya. Kemudian berdasarkan Teorema 3.3 bahwa semua simpul dari graf Eulerian G secara acak berada pada satu sirkuit C  dari G dan tidak ada sirkuit lain di G. Dengan kata lain, G  secara acak adalah Eulerian jika dan hanya jika ia merupakan suatu sirkuit.

Karakterisasi graf Eulerian yang diberikan dalam Teorema 3.1 tidak bersifat konstruktif secara alamiah. Algoritma yang efisien untuk membuat jejak Euler dalam grafik Euler akan disajikan pada Bab 11 (Bagian 11.6) di mana kita juga akan membahas, antara lain, masalah tukang pos China yang terkenal, sebuah aplikasi penting dari graf Eulerian.

2.2. GRAF HAMILTONIAN

Sirkuit Hamilton dalam graf G adalah rangkaian yang berisi semua simpul G. Jalur Hamilton di G adalah jalur yang berisi semua simpul G.

Grafik G didefinisikan sebagai Hamiltonian jika memiliki sirkuit Hamilton. Grafik G, yang ditunjukkan pada Gambar 3.5a adalah Hamiltonian karena urutannya tepi



 ,



,



 ,



 ,



,



6

,

merupakan sirkuit Hamilton di G, Grafik dari Gambar 3.56

memiliki jalur Hamilton yang dibentuk oleh tepinya



_{ ,}



_,



_{ ,}



_ tapi sudah tidak ada sirkuit Hamilton Sedangkan jejak Euler adalah jalan tertutup yang melewati masing-masing tepinya Sekali, sirkuit Hamilton adalah jalan tertutup yang melewati setiap titik puncak sekali. Dengan demikian ada kesamaan yang mencolok antara grafik Euler dan a Grafik Hamilton. Hal ini dapat menyebabkan seseorang untuk mengharapkan bahwa ada yang sederhana, berguna, dan elegan dari grafik Hamiltonian, seperti dalam kasus ini.

grafik Euler. Begitulah yang tidak terjadi; Sebenarnya, perkembangan seperti itu Karakterisasi adalah masalah yang belum terpecahkan dalam teori grafik. Namun, beberapa kondisi yang cukup telah ditetapkan untuk grafik sederhana Hamiltonian. (Ingat bahwa grafik itu sederhana jika tidak memiliki tepi sejajar atau loop diri.) Kami mempertimbangkan beberapa kondisi di bagian ini. Urutan



_

≤ 

_

≤ ⋯ ≤



_ dikatakan grafis jika ada grafik G dengan simpul ç



_

, 

_

… . 

_ sedemikian rupa sehingga derajatnya

 

_



  dari



_ sama dengan



_  untuk setiapm i. (



_

, 

_,…..



_

 

kemudian disebut urutan derajat G.

Jika :

 ∶ 

_

≤ 

_

 ≤ ⋯ ≤ 

_

Dan

 ∗∶ 

∗

≤ 

∗

 ≤ ⋯ ≤ 



∗

adalah urutan grafis seperti itu



_∗

≥ 

_untuk 1

≤  ≤ ,

kemudian S * dikatakan majorize S

Hasil berikut adalah karena Chvatal [3.1].

Theorem 3.4 Grafik sederhana G = (V, E) dari urutan n dengan urutan derajat



_

≤ 

_

  ≤ ⋯ ≤ 

_ adalah Hamiltonian jika

Bukti. Pertama perhatikan bahwa jika



_

≤ 

maka jumlah simpul dengan derajat. tidak melebihi k   paling sedikit k . Demikian pula jika



_−

≥   

berapa jumlahnya simpul yang derajatnya tidak terlampaui oleh

  

setidaknya k + 1.

grafis yang mengutamakan majorizes. Kami sekarang membuktikan teorema itu dengan kontradiksi. Biarlah ada grafik non-Hamilton sederhana yang urutannya berurutan memuaskan (3.1). Maka grafik ini adalah subgraph spanning yang sederhana maksimal grafik non-Hamilton G = (V, E) yang memiliki urutan derajat



,

≤ 



, ≤ ⋯ ≤ 

juga memuaskan (3.1). Biarkan



  dan



menjadi dua simpul

nonadjacent di G sedemikian rupa

    

 adalah sebagai

yang besar dan mungkin

  ≤  

 Karena G adalah maksimal non-Hamiltonian, itu berikut bahwa penambahan tepi yang bergabung dengan u dan õ akan menghasilkan Hamiltonian grafik. Jadi di G ada jalur Hamilton

 =

 



, 



, 



, … . 



= 

dengan

  

sebagai simpul akhir (Gambar 3.6).

Membiarkan :

Sekarang ada no

  ∈  ∩ 

Untuk jika

  ∈  ∩ 

lalu ujungnya

( 



, 

+

 



, 



)

akan berada di G, dan begitu urutan siklis simpul



_

, 

_−

… 

_

, 

_+

 

_+

… , 

_

 

_ akan membentuk sirkuit Hamilton di G. Karena titik puncak



_

= 

tidak dalam S atau di T hal itu mengikuti

 ∪ ⊂ {1,2 ….2  

1}

Karena itu,

    ││  ││ < 

Dan :

   <

_

 

Dimana

│ │

menunjukkan jumlah elemen dalam himpunan X 

Dari

 ∩  = ∅

tidak



_  dengan

  ∈ 

  bersebelahan dengan



  Pilihan dari

    

  maka menyiratkan bahwa untuk

  ∈ ,  (

_

) ≤  .

Jadi

setidaknya ada ││

=

 

 simpul yang derajatnya tidak melebihi

 .

 Jadi kalau kita atur

 =  ,

  maka kita dapatkan



_

≤  <





  ,  ℎ   ℎ 3.1 

−

≥  

         1

simpul yang derajatnya tidak terlampaui

  

Sudut u bisa berdekatan dengan paling banyak k ini

 

1     = .

  Jadi ada simpul w dengan

  ≥    ,

yang mana bukan bersebelahan dengan



Tapi kemudian

     ≥  >    

bertentangan dengan pilihan dari

    .

.

Kami menetapkan, dalam konsekuensi wajar berikut, kondisi yang cukup berkembang oleh Dirac

[3.2]  [3.3]  [3.4]   [3.5]

  untuk graf ke Hamiltonian.

Corollary 3.4.1.

Grafik sederhana G = ( V, E ) dari pesanan

 ≥ 3

dengan gelar

Urutan



_

≤ 

_

… … 

_ adalah Hamiltonian jika salah satu dari kondisi berikut :

Bukti. Kami membuktikan dengan menunjukkan bahwa semua kondisi ini menyiratkan : (3.1)

1 2 Jelas setiap deret derajat yang memenuhi kondisi 1 juga memuaskan kondisi 2.

 ℎ        



, 



 .

Kemudian



_

 

_

≤ 2 

_

< 2.

_

  = .,

kondisi kontradiktif 2. Dengan demikian subgraf induksi G pada simpul



,





… … . 



 ℎ  

.

Sejak



_

≤    

_

,1 ≤  ≤ ,

berdekatan dengan paling banyak satu titik



_

,   1 ≤  ≤  .

Lebih lanjut,

 <







menyiratkan itu

   <  .

 Jadi ada a di

puncak



_

,   1 ≤  ≤  ,

yang tidak berdekatan dengan apapun



_,

1 ≤  ≤

.

Demikian



_

  ≤     1.

Tapi kemudian,



_

 

_

≤       1 <  .

Demikianlah adanya (



_

, 

_

 ∉   

_

 

_

< 

kondisi yang bertentangan 2. 3 4 Jika ini tidak benar, maka itu ada a j 

< 

seperti yang



_

≤ 





≤   1  







< .

Kemudian





<

_

 .

Jika kita sekarang mengaturnya

 =

 



<

_

 

kita mendapatkan





= 



≤ 

 = t.

Karena itu kita punya

 <





   



≤ 

kondisi 3 yang bertentangan

4 (3.1) Jika ini tidak benar, maka itu ada a



  seperti yang



_

≤  <





   

−

≤     1 .

Tapi kemudian



_

 

_−

     1

=   1

kondisi 4 yang bertentangan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika urutan grafik memenuhi salah satu dari kondisi yang disebutkan dalam Teorema 3.4 dan Corollary 3.4.1, begitu juga setiap grafik urutan yang mengutamakan itu. Kondisi Chvatal, yang paling lemah dari kelima penyakit ini Kondisi, memiliki properti menarik bahwa itu adalah kondisi terbaiknya jenis. Artinya, jika urutan grafis gagal memenuhi kondisi Chvatal, maka itu adalah majorised oleh urutan derajat grafik non-Hamilton [3.1 ].

Padahal, secara umum sulit untuk membangun alam non-Hamiltonian dari grafik, dalam kasus tertentu dimungkinkan untuk melakukannya dengan penggunaan beberapa argumen yang cerdik Ini diilustrasikan di Liu [3.6] melalui berikut ini

contoh :

Perhatikan grafik G yang ditunjukkan pada Gambar 3.7. Kami menunjukkan bahwa tidak ada Jalur Hamilton di G. Di antara semua sisi yang terjadi pada setiap titik paling banyak dua dapat disertakan di jalur Hamilton manapun. Pada grafik G, vertex



8 adalah derajat 5, dan karenanya pada Setidaknya tiga dari sisi-sisi yang ada pada



8 tidak dapat disertakan dalam Hamilton manapun Hal yang sama berlaku untuk simpul



 l0 dan



 12. Sejak derajat



_

, 

_

 , 

₆

,  

_6sama dengan 3, setidaknya satu dari tiga sisi insiden pada masing

–

 masing

Simpul ini tidak dapat dimasukkan dalam jalur Hamilton. Jadi setidaknya 13 dari 27 tepi G tidak dapat disertakan dalam jalur Hamilton manapun. Makanya tidak ada cukup tepi untuk membentuk jalur Hamilton pada 16 simpul G. Jadi G tidak ada jalan Hamilton.

Grafik secara acak Hamiltonian dari sebuah titik õ jika ada jalan yang dimulai dari õ dapat diperluas menjadi sirkuit Hamilton v-v. Grafik secara acak Hamiltonian jika secara acak Hamiltonian dari masing-masing simpulnya. Teorema berikut sepenuhnya mencirikan Hamiltonian secara acak grafik. Bukti dari teorema ini dapat ditemukan di Behzad dan Chartrand [3.7].

Theorema 3.5.

Grafik sederhana dari pesanan ç adalah secara acak Hamiltonian jika dan hanya jika itu adalah rangkaian atau grafik lengkap atau grafik bipartit lengkap



_

,/

′ yang terakhir mungkin hanya bila ç genap.

Kami menyimpulkan bagian ini dengan mengacu pada salesman keliling masalah. Masalahnya adalah sebagai berikut :

Seorang salesman diharuskan mengunjungi sejumlah kota. Apa rute dia?harus mengambil, jika ia harus mulai di kota asalnya, mengunjungi setiap kota tepat sekali, dan kemudian kembali ke rumah menempuh jarak terpendek? Misalkan kita mewakili kota-kota dengan simpul grafik dan jalan-jalan di tepinya menghubungkan simpul Panjang jalan dapat digambarkan sebagai berat terkait dengan tepi yang sesuai. Jika antara setiap pasangan simpul Ada jalan yang menghubungkan mereka, maka bisa dilihat bahwa perjalanan Masalah salesman sama dengan menemukan rangkaian Hamilton terpendek di a grafik lengkap di mana masing-masing tepi dikaitkan dengan berat / Dalam grafik lengkap order ç ada (n - l)! / 2 Hamilton sirkuit.

Pendekatan "brute force" untuk memecahkan masalah salesman adalah buat semua sirkuit (n - l)! / 2 Hamilton lalu pilih yang terpendek. Tenaga kerja dalam pendekatan ini terlalu besar (bahkan untuk komputer), bahkan untuk nilai ç sekecil 50. Untuk nilai sewenang-wenang n, tidak ada algoritma yang efisien untuk memecahkan masalah ini.

BAB III PENUTUP

Graf Euler dan Graf Hamiltonian adalah graf penting dalam Teori Graf yang memiliki manfaat dalam kebutuhan manusia. Topik Graf Euler dan Hamiltonian ini, dari sundung pandang matematika, adalah Graf yang terdiri dari banyak teorema, lemma dan corollary.

Daftar Pustaka

Diestel, R. 2005. Graph Theory . New York: Springer-Verlag Heiderlberg

Siahaan, S. 2013. Matematika Diskrit . Medan : Juruan Matematika

–

 FMIPA UNIMED Thulasiraman, K. & Swamy. 1992. Graphs; Theory and Algoritms. Canada: A

Wiley-Interscience Publication

Wilson, R. 2010. 5th Edition Introduction to Graph Theory . England: Pearson Education Limited