Computer Vision Sejauh Ini

(1)

Computer Vision

Camera and Perspective Imaging

(2)

Computer Vision

Sejauh Ini

Bagian 1

(3)

20 May 2018 Dennis Christie - Universitas Gunadarma 3

(4)

Lebih dalam Tentang

Kamera

Bagian 2

(5)

Apa itu Gambar

• Sampai sekarang kita memahami bahwa gambar merupakan sebuah fungsi 2D dari nilai

intensitas cahaya.

• Mulai hari ini, kita akan memahaminya sebagai proyeksi 2D dari lingkungan 3D.

(6)

Apa itu Kamera

• Sebuah alat yang mengijinkan proyeksi cahaya dari tiga dimensi jatuh ke sebuah medium

yang akan merekam pola cahaya tersebut.

• Bisa film, bisa sensor, dan lain lain.

• Kata kunci disini adalah proyeksi.

(7)

(8)

(9)

Cara Kerja Lensa

Focal Length

Optical Axis

(10)

Asumsi Thin Lens

(11)

Asumsi Thin Lens

(12)

Asumsi Thin Lens

(13)

Asumsi Thin Lens

(14)

• Diketahui sebuah lensa memiliki focal

length = 50mm.

• Terdapat sebuah objek berjarak :

• 1 meter

• 2 meter

• Berapa

𝑧′

agar objek berada dalam fokus

pada gambar?

(15)

Varying in Focus

(16)

Field of View

(17)

Depth of Field

(18)

(19)

Zooming vs. Moving

(20)

Zooming and Moving Bersamaan

(21)

Projective Geomtery

Bagian 3

(22)

Projective Geometry

(23)

Motivasi Utama dalam Projective Geometry

• Hubungan antara objek yang ada di Lingkungan 3D dan objek yang ada di Gambar 2D.

• Hubungan antara poin (pixel) dalam Gambar asal arah cahayanya dari Objek 3D.

• Orientasi kamera relatif terhadap sudut referensi tertentu.

• Menerka struktur geometri dari objek berdasarkan informasi dari gambar.

(24)

• Kamera

memproyeksikan

dunia 3D

menjadi 2D.

• Menyebabkan hilangnya informasi.

• Informasi apa yang hilang?

• Kedalaman!

• Informasi 3D bisa didapatkan kembali jika

tersedia informasi tambahan.

• Detail mengenai kamera.

• Ukuran objek.

(25)

(26)

Properti Geometri dari Gambar

• Line Preserving

• Garis lurus di Lingkungan 3D akan tetap garis lurus Gambar 2D

• Bukan Length-Preserving

• Objek besar di Lingkungan 3D akan menjadi kecil di Gambar 2D

• Bukan Angle-Preserving

• Sudut antar dua buah garis di Lingkungan 3D akan berubah di Gambar 2D

• Dua buah garis parallel di Lingkungan 3D

akan berpotongan

di Gambar 2D

(27)

Vanishing Point

Point at Infinity

(28)

Vanishing Points dan Horizon

• Garis parallel menjadi tidak parallel lagi.

• Seluruh garis parallel berpotongan di

vanishing point

.

• Vanishing point,

merupakan poin pada posisi tak terhingga

–

Point at Infinity

.

• Setiap garis yang terbentuk dalam

projective geometry

selalu bertemu di

vanishing point

.

• Bagaimana cara mendeskripsikan

poin pada posisi tak terhingga

?

(29)

Vanishing Points dan Horizon

(30)

Masalah dengan Euclidean Geometry

• Dalam

Euclidean Geometry

, kita bisa saja menuliskannya dengan

𝑝 = (𝑥, 𝑦, ∞)

.

• ∞

bukanlah angka, melainkan konsep,

∞

tidak dapat dioperasikan dalam matematika.

• Kalau kita mau transformasikan (rotasi, translasi) objek pada posisi

∞

?

• Masalah!

(31)

Masalah dengan Euclidean Geometry

• Dilakukan secara terpisah, sedemikian sehingga

𝑝

′

= 𝑹𝑝 + 𝒕

• Saat transformasi semakin kompleks, komputasi juga semakin kompleks.

• Masalah!

(32)

Projective Geometry vs. Euclidean Geometry

• Di

Projective Geometry

, matematika akan lebih sederhana dibanding

Euclidean Geometry

.

• Komputasi sebenarnya bisa saja dilakukan di

Euclidean Geometry

, tapi lebih sulit.

• Sistem koordinat yang digunakan oleh

P.G

. disebut sebagai

Homogeneous Coordinate

.

• Dengan Homogeneous Coordinate, poin pada posisi tak terbatas dapat di representasikan

dengan koordinat yang terbatas.

• Dengan Homogeneous Coordinate, transformasi (rotasi dan translasi) bias dilakukan hanya

menggunakan satu matrix.

(33)

Projective Geometry

• Secara matematis,

Projective Geometry

didefinisikan sebagai :

• Saya yakin, dalam hati kalian sekarang berkecamuk melihat definisi diatas.

• Tenang, tugas saya adalah menerangkan apa maksud pengertian diatas secara intuitif



(34)

Homogeneous Coordinate

Bagian 4

(35)

Homogeneous Coordinate

• Representasi

x

, koordinat sebuah objek, adalah

homogeneous

jika

x = 𝜆x

merepresentasikan objek yang sama untuk

𝜆 ≠ 0

.

Homogeneous Coordinate

x = 𝜆x

Cartesian Coordinate

(36)

Homogeneous Coordinate

• Homogeneous Coordinate menggunakan

𝑛 + 1

dimensi, untuk mendeskripsikan

𝑛

dimensi.

• Poin 2D di Cartesian Coordinate, direpresentasikan dengan 3D di Homogeneous Coordinate

𝒙 =

𝑥

_𝑦

x =

𝑥

𝑦

1

(37)

Homogeneous Coordinate

• Untuk konversi kembali dari Homogeneous Coordinate ke Cartesian Coordinate

(38)

Projective Geometry & Homogeneous Coordinate

Hanya itu?

(39)

Motivasi Mengapa Homogeneous Coordinate Diciptakan

• Matematikawan tidak suka pengecualian! Mereka benar-benar benci.

• Goal dalam membuat sebuah teorema adalah harus berlaku untuk seluruh situasi.

• Dalam

Euclidean Geometry

: Dua garis berbeda, akan selalu berpotongan di satu poin.

• Kecuali

, dua garis tersebut parallel.

(40)

Part 1: Ide Impresif Matematikawan

• “Sebentar, Bagaimana jika kita generalisir Euclidean Geometry?”

• “Kita perkaya dimensi Euclidean Geometry

menjadi +1 nya,

• “Kita akan menyebut garis

3D yang melewati

Origin

(0,0,0)

sebagai

poin“

• “Juga, kita akan menyebut bidang planar

3D yang melewat

Origin

(0,0,0)

sebagai

garis”

• Jadi, matematikawan menyarankan kita untuk meningkatkan dimensi.

• Poin

menjadi garis

• Garis

menjadi bidang planar

(41)

Part 1: Ide Impresif Matematikawan

(42)

Part 1: Ide Impresif Matematikawan

(43)

• “Poin”

dapat ditulis dengan

𝜆 𝑥, 𝑦, 𝑧

• Ini berarti

3,2,1

akan sama dengan

6,4,2

• Karena

6,4,2 = 2 3,2,1

• Contoh:

• 5, 3, 1

akan sama dengan

10, 6, 2

• 5, 3, 1

akan sama dengan

2.5, 1.5, 0.5

• Karena

5,3,1 = 2 5,3,1 = 0.5(5,3,1)

Part 2: Poin dalam H.C.

(44)

Part 3: H.C. dan C.C.

• Pandang “poin” (

garis hijau

),“garis” (

planar merah

), dan planar

𝑧 = 1

(

Projective Plane

)

(45)

• Lihat pada “poin”

(

garis hijau

).

• Kedua “poin” yang terbentuk dari

_{𝜆 𝑥, 𝑦, 𝑧}

dengan

𝑧 ≠ 0

, akan selalu berpotongan

dengan

Projective Plane

.

• _{𝜆 𝑥, 𝑦, 𝑧}

kita sebut sebagai Homogeneous

Coodinate dari sebuah “poin”.

• Dan titik perpotongan

“poin” dengan

Projective Plane adalah yang kita pahami

sebagai poin di Cartesian Coordinate

(46)

• Lihat pada “poin”

(garis hijau).

• Kedua “poin” yang terbentuk dari

_{𝜆 𝑥, 𝑦, 𝑧}

dengan

𝑧 ≠ 0

, akan selalu berpotongan

dengan

Projective Plane

.

• _{𝜆 𝑥, 𝑦, 𝑧}

kita sebut sebagai Homogeneous

Coodinate dari sebuah “poin”.

• Dan titik perpotongan

“poin”

dengan

Projective Plane

adalah yang kita pahami

sebagai poin di Cartesian Coordinate

(47)

Part 4: H.C. dan Point at Infinity

• Pandang sebuah

“poin”

dengan

𝑧 > 0

, maka

“poin”

akan berpotongan dengan

Projective

Plane

.

• Semakin kecil

𝑧

:

• Semakin sejajar

“poin”

dengan planar kuning

• Semakin besar (jauh) nilai perpotongan

dengan Projective Plane

(C.C).

• Jika

𝑧 = 0

maka tidak ada perpotongan

dengan

Projective Plane

.

(48)

• Pandang sebuah

“poin”

dengan

𝑧 > 0

, maka

“poin” akan berpotongan dengan

Projective

Plane

.

• Semakin kecil

𝑧

:

• Semakin sejajar “poin”

dengan planar kuning

• Semakin besar (jauh) nilai perpotongan

dengan

Projective Plane

(C.C).

• Jika

𝑧 = 0

maka tidak ada perpotongan

dengan

Projective Plane

.

• Nilai perpotongan dengan

Projective Plane

(C.C) adalah

∞

(49)

Part 4: H.C. dan Point at Infinity

• Maka, Homogeneous Coordinate

dapat merepresentasikan poin pada posisi tak terhingga

.

• Hal yang tidak dapat dilakukan oleh Cartesian Coordinate.

x =

𝑥

𝑦

0 𝒙 =

𝑥 0

(50)

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

• Mari kita ingat kembali permasalahan tentang pengecualian perpotongan untuk garis

paralel yang telah membuat matematikawan kita panik.

(51)

• Jika kita membuat dua “garis” (

bidang

planar

), maka mereka akan selalu

berpotongan di sebuah “poin” (garis

).

• Jika “garis” tidak paralel, maka

perpotongan “poin”

antar 2 “garis”

tersebut juga akan berpotongan dengan

Projective Plane

.

(52)

• Jika 2

“garis”

tersebut paralel.

• Dalam C.C. tidak ada poin perpotongan.

• Dalam H.C. terdapat “poin”

perpotongan!

• Dimana?

• Diluar Projective Plane (C.C.)

• “Poin” tersebut sejajar Projective Plane.

• Tepatnya di

𝜆 1,0,0

, yakni sumbu

𝑋

(53)

• Jika 2

“garis”

tersebut paralel.

• Dalam C.C. tidak ada poin perpotongan.

• Dalam H.C. terdapat “poin”

perpotongan!

• Dimana?

• Diluar Projective Plane (C.C.)

• “Poin” tersebut sejajar Projective Plane.

• Tepatnya di

𝜆 1,0,0

, yakni sumbu

𝑋

(54)

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

• Maka Homogeneous Coordinate

dapat menghilangkan pengecualian perpotongan garis

paralel

.

• Hal yang tidak dapat dilakukan oleh Cartesian Coordinate.

(55)

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

• 𝑧 = 1

merupakan salah satu sudut pandang

Projective Plane

kita.

• Apa yang terjadi jika kita mengubah posisi

Projective Plane

menjadi sedikit miring.

(56)

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

• Saat

Projective Plane

kita berubah posisi,

“poin”

akan berpotongan dengan

Projective Plane

.

(57)

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

(58)

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

(59)

Rangkuman

Bagian 5

(60)

Computer Vision dengan H.C.

• Computer Vision mempelajari bagaimana Mata / Kamera bekerja.

• Kamera adalah alat yang memproyeksikan Lingkungan 3D ke Gambar 2D.

• Untuk memahami proyeksi maka harus mempelajari Projective Geometry.

• Projective Geometry menggunakan sistem koordinat bernama Homogeneous Coordinate.