BAB XV DIFERENSIAL (Turunan) - 15. Diferensial

BAB XV

DIFERENSIAL (Turunan)

Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dengan y’ =

dx dy

= f'(x) dengan

dx dy

=

0 →

h Lim

h x f h x

f( + )− ( )

Rumus-Rumus Diferensial:

1. y = k → y'= 0

2. y = k xn → y'= k. n xn−1 3. y = sin x → y' = cos x 4. y = cos x → y'= - sin x 5. y = u ± v → y' = u' ± v' 6. y = u. v → y' = u' v + v' u

7. y =

v u

→ y' = ' ₂ '

v u v v

u −

8. y = k [f(x)]n → y'= k . n [f(x)]n−1 . [f’(x)] 9. y = sin f(x) → y' = f'(x). cos f(x)

10. y = cos f(x) → y' = - f'(x). sin f(x)

11. y = sinnf(x) → y' = n sinn−1f(x). cos f(x) . f'(x) 12. y = cosnf(x) → y' = - n cosn−1f(x). sin f(x) . f'(x) 13. y = af(x) → y' = af(x). ln a . f’(x)

14. y = ef(x) → y' = ef(x). f'(x)

15. y = ln f(x) → y' = ) (

) ( '

x f

x f

16. y = tan x → y' = sec2x =

x

2 cos

1

17. y = cot x → y' = - cosec2x

18. y = sec x → y' = sec x tan x

19. y = cosec x → y' = - cosec x cotan x Penggunaan Turunan :

1. Garis singgung

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f'(x)

apabila terdapat dua persamaan garis y= m₁x + c₁ dan y= m₂x + c₂ dikatakan

- sejajar apabila m₁ = m₂

- tegak lurus apabila m₁ . m₂ = -1 2. Fungsi naik/turun

diketahui y = f(x);

- jika f'(x) < 0 maka f(x) turun - jika f'(x) >0 maka f(x) naik 3. Menentukan titik stasioner diketahui y = f (x).

Bila f'(a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner - (a, f(a) ) titik minimum jika f'' (a) > 0

- (a, f(a) ) titik maksimum jika f'' (a) < 0 - (a, f(a) ) titik belok jika f ''(a) = 0

3. Menentukan Kecepatan dan percepatan S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka

15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL

jawabannya adalah D

EBTANAS1995

Cara 2: Merupakan pembuktian dari:

EBTANAS1995

4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh

f(x) = (2-3x)3

Jawabannya adalah D

EBTANAS1999

EBTANAS1998

7. Diketahui fungsi f(x) = sin2 ₍₂

x + 3) dan turunan

dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …

A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

Jawab:

. y = sinnf(x) → y' = n sinn−1f(x). cos f(x) . f'(x)

f(x) = sin2 (2x + 3)

f'x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2

= 4 sin (2x+3) . cos(2x+3)

jawabannya adalah A

EBTANAS1997

8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3_{(3-2x) adalah f}'_{(x) =….}

A. -3 cos2(3-2x) sin (3-2x) B. 3 cos2(3-2x) sin (3-2) C. -6 cos (3-2x) sin (3-2x) D. -3 cos (3-2x) sin (6-4x) E. 3 cos (3-2x) sin (6-4x)

Jawab:

y = cosnf(x) → y'=- n cosn−1 f(x). sin f(x) f'(x) f(x) = cos3(3-2x)

f'(x) = - 3 cos2(3-2x) . sin (3-2x) . -2 = 6 cos2(3-2x) . sin (3-2x)

(jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!)

Ingat rumus trigonometri: sin 2A = 2 sin A cosA

terapkan dalam soal ini :

f'(x) = 6 cos2(3-2x) . sin (3-2x)

= 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x)

= 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x)

= 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x)

= 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x)

Jawabannya adalah E

EBTANAS1986

9. Persamaan garis singgung pada kurva x2- 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah …

A. 3x+y - 1 = 0 B. 2x -y = 0 C. –x + 2y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x – y – 3 = 0

jawab:

Persamaan garis singgung y – b = m(x –a)

Diketahui a = 1 dan b = -2

x2- 4x – 2y – 1 = 0 2y = x2- 4x – 1

y = 2 1

x2- 2x – 2 1

m(gradien) = y' = x - 2 (di titik (1,-2) Æ x = 1 ) = 1 - 2 = -1

persamaan garis singgungya adalah : y – (- 2) =-1 (x – 1)

y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0 jawabannya adalah D

EBTANAS2000

10. Garis singgung pada kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan …

A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0

jawab:

x2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x2+ 2x – 3

Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3

y = 2 1

x + 2 3

garis singgung tegak lurus maka :

m₁. m₂ = -1

2 1

. m₂ = -1 Æ m₂ = -2

kurva y = x2+ 2x – 3

y' = 2x + 2 = m2 = -2 2x + 2 = -2

2x = -4 x = -2

jika x = -2 maka y = (-2)2 + 2 . (-2) – 3 = 4 – 4 – 3

= -3 didapat (x1, y1) = (-2,-3)

sehingga garis singgungnya adalah:

y - y₁ = m₂ ( x - x₁) y +3 = -2 ( x + 2) y + 3 = -2x – 4

y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0

jawabannya adalah D

EBTANAS1991

11. Fungsi f yang dirumuskan dengan

f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1 naik dalam interval …

A. x < –3 atau x > 1 B. x < –1 atau x > 1 C. –3 < x < 1 D. –1 < x < 1

E. x < –3 atau x > –1

Jawab:

f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1 f'(x) = 3x2+ 6x – 9 = x2 + 2x – 3

⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x₁= -3, x₂ = 1

+ + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f'(x) >0 maka f(x) naik (bertanda +) yaitu x < -3 atau x > 1

Jawabannya adalah A

EBTANAS2003

12. Fungsi f(x) = x3+ 3x2 – 9x – 7 turun pada interval ..

A. 1 < x < 3 B. –1 < x < 3 C. –3 < x < 1 D. x < –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3

Jawab :

fungsi turun jika f'(x) < 0

f(x) = x3+ 3x2 – 9x – 7 f'(x) = 3x2+ 6x – 9 = x2+ 2x – 3

⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x₁= -3, x₂ = 1

+ + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f'(x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -) yaitu x > -3 dan x < 1

dapat ditulis dengan -3< x < 1

jawabannya adalah C

EBTANAS2000

13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x4 – 12x pada interval –3 ≤x ≤ 1 adalah …

A. 16 B. 9 C. 0 D. -9 E. -16

Jawab:

Tentukan nilai stasioner yaitu f'(a) = 0

f(x) = x4 – 12x f'(x) = 4x3 -12x ⇔ x3 - 3x ⇔x (x2 - 3)

⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 - - + + - - + + • • • - 3 0 3

max min

Jika x < - 3 Æ - . - . - = -

- 3 < x < 0 Æ - . - . + = +

0 < x < 3 Æ +. - . + = -

terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0 (interval –3 ≤x ≤ 1)

sehingga nilai maksimumnya : f(x) = x4 – 12x

f(0) = 0 – 0 = 0

jawabannya adalah C

EBTANAS2000

14. Nilai minimum fungsi f(x) = x3

- 27x pada interval -1 ≤ x ≤ 4 adalah….

A. 26 B. 0 C. -26 D. -46 E. -54

jawab:

f(x) = x3 - 27x f'

(x) = 3x2 - 27 ⇔x2 - 9

⇔ (x – 3 ) (x + 3) = 0 x = 3 ; x = -3

+++ - - - - +++ • • -3 3

max min

nilai minimum jika nilai x = 3 (interval -1 ≤ x ≤ 4)

sehingga nilai minimumnya adalah: f(x) = x3 - 27x

f(3) = 33

- 27. 3 = 27 - 81 = -54

jawabannya adalah E

UN2005

15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka(p) tersebut, adalah :

l

l

p

A. 16m B. 18m C. 20m D. 22m E. 24m

jawab:

Luas = L = p l + p . l = 2 p. l Panjang kawat = 120 m

120 = 3. p + 4. l 3p = 120 – 4. l

p = 40 - 3 4

. l

L = 2. l (40 - 3 4

. l )

= 80 l - 3 8

. l 2

Luas maksimum jika L' ₌ 0

L = 80 l - 3 8

. l 2

L' = 80 - 3 16

. l = 0

3 16

l = 80

l = 16 240

= 15

agar luas maksimum maka p =

p = 40 - 3 4

. l

= 40 - 3 4

. 15

= 40 -20 = 20 m

Jawabannya adalah C

UN2005

16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam

(4x - 800 +

x

120

) ratus ribu rupiah . Agar biaya

minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu ...

Jawab:

Diketahui biaya perjam = (4x - 800 +

x

120 )

ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ?

Waktu pengerjaan = x

Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan

= (4x - 800 +

x

120 ) . x

= 4x2 - 800 x + 120

agar biaya minimum maka B' = 0

B' = 8 x – 800 = 0 8x = 800 x = 100 jam

jawabannya adalah C