15.+Soal Soal+Diferensial Pembahasan

15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL 15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL

EBTANAS2000 EBTANAS2000

1. Turunan pertama dari

1. Turunan pertama dari f  f (( x x) = ) = 66 x x22 3 3 adalah adalah f  f ′′(( x x) =) =…… A. 3x A. 3x22 1 1 B. 5x B. 5x22 1 1 C. 6x C. 6x22 1 1 D. 9x D. 9x22 1 1 E. 12x E. 12x22 1 1  jawab:  jawab:  f   f (( x x) = ) = 66 x x22 3 3  f   f ′′(( x x) =) = 2 2 3 3 .6 x .6 x22 11 3 3 − − = =9x9x22 1 1 Jawabannya adalah D Jawabannya adalah D EBTANAS1999 EBTANAS1999 2. Turunan pertama f(x)= (2x 2. Turunan pertama f(x)= (2x - x  x 1 1 ))22 adalah f adalah f ''(x) = ….(x) = …. A. A. 8x 8x -- x  x 2 2 C. C. 8x 8x ++  x  x 2 2 E. 8x + E. 8x + 22₃₃  x  x B. B. 8x 8x ++  x  x 1 1 D. D. 8x 8x -- 22₃₃  x  x Jawab: Jawab: f(x)=(2x f(x)=(2x - x  x 1 1 ))22 f  f ''(x) = 2 (2x -(x) = 2 (2x - x  x 1 1 ) . (2 – (-x ) . (2 – (-x−−22 )) )) = 2 (2x = 2 (2x - x  x 1 1 ). (2 + ). (2 + 11₂₂  x  x )) = 2 = 2 (4x + (4x + {({(22₂₂  x  x  x  x -- x  x 2 2 ) -) - 11₃₃  x  x } )} ) = 2 (4x -= 2 (4x - 11₃₃  x  x ) = 8x -) = 8x - 33 2 2  x  x  jawabannya adalah D  jawabannya adalah D EBTANAS1995 EBTANAS1995 3. Diketahui f(x) = 3. Diketahui f(x) = ₂₂ 3 3 1 1  x  x , maka, maka 00 lim lim → → t  t  t t   x  x  f   f  t  t   x  x  f   f (( ++ ))−− (( )) adalah…. adalah…. A. A. ₃₃66  x  x − − C. C.  x  x 3 3 2 2 − − E. E.  x  x 6 6 1 1 − − C. C. ₃₃ 3 3 2 2  x  x − − D. D. ₂₂ 2 2 3 3  x  x Jawab: Jawab: Cara 1: f(x) = Cara 1: f(x) = ₂₂ 3 3 1 1  x  x == 33 1 1 x x−−22 f  f ''(x) =(x) = 3 3 1 1 . -2 x . -2 x−−33 = = ₃₃ 3 3 2 2  x  x − −

Cara 2: Merupakan pembuktian dari: Cara 2: Merupakan pembuktian dari:

f  f ''(x) =(x) = 0 0 lim lim → → t  t  t t   x  x  f   f  t  t   x  x  f   f (( ++ ))−− (( )) = = 0 0 lim lim → → t  t  t t   x  x t  t   x  x 22 33 22 1 1 )) (( 3 3 1 1 − − + + = = 0 0 lim lim → → t  t  t t   x  x t  t   x  x t  t   x  x  x  x 2 2 2 2 2 2 2 2 )) (( 3 3 )) (( + + + + − − = = 0 0 lim lim → → t  t  t t   x  x t  t   x  x t  t   xt   xt   x  x  x  x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )) (( 3 3 )) 2 2 (( + + + + + + − − = = 0 0 lim lim → → t  t  t t   x  x t  t   xt   xt   x  x t  t   xt   xt  2 2 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( 3 3 )) 2 2 (( + + + + + + − − = = 0 0 lim lim → → t  t  t t  t  t   x  x t  t   x  x  x  x t  t   x  x t  t  )) 2 2 (( 3 3 )) 2 2 (( 2 2 2 2 3 3 4 4 + + + + + + − − = = 0 0 lim lim → → t  t  33(( 22 )) )) 2 2 (( 2 2 2 2 3 3 4 4 t  t   x  x t  t   x  x  x  x t  t   x  x t  t  + + + + + + − − .. t  t  1 1 = = 0 0 lim lim → → t  t  33(( 22 )) )) 2 2 (( 2 2 2 2 3 3 4 4 t  t   x  x t  t   x  x  x  x t  t   x  x + + + + + + − − = = )) 0 0 .. 0 0 .. 2 2 (( 3 3 )) 0 0 2 2 (( 2 2 3 3 4 4  x  x  x  x  x  x  x  x + + + + + + − − = = ₄₄ 3 3 2 2  x  x  x  x − − = = ₃₃ 3 3 2 2  x  x − − Jawabannya adalah C Jawabannya adalah C

EBTANAS1995

4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = (2-3x)3 5 adalah f '(x) = ….. A. 3 5 (2-3x)3 5 D. -5 (2-3x)3 2 B. 8 3 − _(2-3x)3 8 E. 5 (2-3x)3 2 C. 8 3 (2-3x)3 8 (2-3x)3 8  jawab: f(x) = (2-3x)3 5 f '(x) = 3 5 (2-3x)3 1 5 − . -3 = - 5 (2-3x)3 2  jawabannya adalah D UN2006

5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1)2 1 adalah…. A. 1 4 2 −  x C. 2 4 1 3 − −  x  x E. 1 4 2 5 2 − −  x  x B. 1 4 5 2 − −  x  x D. 1 4 7 6 − −  x  x Jawab: y = u. v → _y' _{= u}' _{v + v}' _u  y = (x-3)(4x-1)2 1 y' = 1 .(4x-1)2 1 + 2 1 (4x-1) 2 1 − . 4 . (x-3) = (4x-1)2 1 + 2 1 ) 1 4 ( ) 3 ( 2 − −  x  x = 2 1 ) 1 4 ( ) 3 ( 2 ) 1 4 ( − − + −  x  x  x = 1 4 6 2 1 4 − − + −  x  x  x = 1 4 7 6 − −  x  x Jawabannya adalah D EBTANAS1999 6. Diketahui fungsi f(x) =  x  x2 +6

Turunan pertama fungsi f ( x) adalah f ′( x) = …

A.  x  x  x + 6_{2 D.  x}  x  x ₂ 3 1 2 3 + B.  x  x  x − 3_{2 E.  x}  x  x 3₂ 2 3 − C.  x  x  x ₂ 3 1 − Jawab: y = v u → _y' ₌ 2 ' ' v u v v u − f(x) =  x  x2 +6 f '(x) = 2 2 2 1 ) ( ) 6 ( 2 1 . 2  x  x  x  x  x − + − =  x  x  x  x  x 2 1 2 3 3 2 1 . . 2 − − − = 2  x -2 1  x - 3 x 2 3 − = 2 3  x - x  x 3 = 2 3  x - (  x  x 3 .  x  x ) = 2 3  x - (3 ₂  x  x ) = 2 3  x -3 ₂  x  x  jawabannya adalah E

EBTANAS1998

7. Diketahui fungsi f ( x) = sin2 (2 x+ 3) dan turunan dari  f  adalah f ′. Maka f ′( x) = …

A. 4 sin (2 x + 3) cos (2 x + 3) B. 2 sin (2 x+ 3) cos (2 x + 3) C. sin (2 x + 3) cos (2 x+ 3) D. –2 sin (2 x + 3) cos (2 x + 3) E. –4 sin (2 x+ 3) cos (2 x + 3) Jawab:

. y = sinnf(x) → _y' _{= n sin}n−1_{f(x). cos f(x) . f} '_(x)

f(x) = sin2 (2 x + 3)

f ' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2 = 4 sin (2x+3) . cos(2x+3)  jawabannya adalah A

EBTANAS1997

8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos3(3-2x) adalah f '(x) =…. A. -3 cos2(3-2x) sin (3-2x) B. 3 cos2(3-2x) sin (3-2) C. -6 cos (3-2x) sin (3-2x) D. -3 cos (3-2x) sin (6-4x) E. 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawab:

y = cosnf(x) → _y'_{=- n cos}n−1 _{f(x). sin f(x) f} '_(x)

f(x) = cos3(3-2x)

f '(x) = - 3 cos2(3-2x) . sin (3-2x) . -2 = 6 cos2 (3-2x) . sin (3-2x)

(jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!) Ingat rumus trigonometri:

sin 2A = 2 sin A cosA terapkan dalam soal ini :

f '(x) = 6 cos2(3-2x) . sin (3-2x)

= 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x)

= 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x)

= 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawabannya adalah E

EBTANAS1986

9. Persamaan garis singgung pada kurva

 x2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah… A. 3 x+ y - 1 = 0 B. 2 x - y= 0 C. –  x + 2 y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x –  y – 3 = 0  jawab:

Persamaan garis singgung y – b = m(x –a) Diketahui a = 1 dan b = -2  x2 - 4x – 2y – 1 = 0 2y =  x2- 4x – 1 y = 2 1  x2 - 2x –  2 1

m(gradien) = y' = x - 2 (di titik (1,-2)  x = 1 ) = 1 - 2 = -1

 persamaan garis singgungya adalah : y – (- 2) =-1 (x – 1)

y + 2 = - x + 1 ⇔ _{x + y +1 = 0}

 jawabannya adalah D EBTANAS2000

10. Garis singgung pada kurva x2 –  y + 2 x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2 y+ 3 = 0 mempunyai  persamaan … A. y + 2 x + 7 = 0 B. y + 2 x + 3 = 0 C. y + 2 x + 4 = 0 D. y + 2 x – 7 = 0 E. y + 2 x – 3 = 0  jawab:  x2 –  y+ 2 x – 3 = 0 → _{y = x}2 _{+ 2x – 3}

Persamaan garis  x – 2 y+ 3 = 0 → _{2y = x + 3}

y = 2 1 x + 2 3 didapat m₁ = 2 1

garis singgung tegak lurus maka : m₁. m₂ = -1 2 1 . m₂ = -1m₂ = -2 kurva y = x2+ 2x – 3 y' = 2x + 2 = m₂ = -2 2x + 2 = -2 2x = -4 x = -2  jika x = -2 maka y = (-2)2 + 2 . (-2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 didapat (x₁, y₁) = (-2,-3)

sehingga garis singgungnya adalah: y - y₁ = m₂ ( x - x₁) y +3 = -2 ( x + 2) y + 3 = -2x – 4 y = -2x - 7 ⇔ _{y + 2x – 7 = 0}  jawabannya adalah D EBTANAS1991

11. Fungsi f yang dirumuskan dengan

 f ( x) = x3 + 3 x2 – 9 x – 1 naik dalam interval … A. x < –3 atau x > 1 B. x < –1 atau x> 1 C. –3 < x < 1 D. –1 < x < 1 E. x < –3 atau x > –1 Jawab: f(x) = x3 + 3 x2 – 9 x – 1 f '(x) = 3x2+ 6x – 9 = x2 + 2x – 3 ⇔ _{(x + 3 ) (x -1 )} x₁= -3, x₂ = 1 + + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1

 jika f '(x) >0 maka f(x) naik (bertanda +) yaitu x < -3 atau x > 1

Jawabannya adalah A

EBTANAS2003

12. Fungsi f ( x) = x3+ 3 x2 – 9 x – 7 turun pada interval .. A. 1 < x < 3 B. –1 < x < 3 C. –3 < x < 1 D. x< –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3 Jawab :

fungsi turun jika f '(x) < 0 f(x) = x3+ 3 x2 – 9 x – 7 f '(x) = 3x2+ 6x – 9 = x2+ 2x – 3 ⇔ _{(x + 3 ) (x -1 )} x₁= -3, x₂ = 1 + + -- - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1

 jika f '(x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -) yaitu x > -3 dan x < 1

dapat ditulis dengan -3< x < 1  jawabannya adalah C

EBTANAS2000

13. Nilai maksimum fungsi f ( x) = x4 – 12 x pada interval –3≤ x≤ _{1 adalah …}

A. 16 B. 9 C. 0 D. -9 E. -16 Jawab:

Tentukan nilai stasioner yaitu f '(a) = 0 f(x) = x4 – 12 x f '(x) = 4x3 -12x ⇔ _x3 _{- 3x} ⇔_{x (x}2 _{- 3)} ⇔ _{x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0} - - + + - - + + • • • - 3 0 3 max min Jika x < - 3  . . = -- 3 < x < 0- . - . + = + 0 < x < 3 +. . + = -x > 3  +. + . + = +

terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0 (interval –3 ≤ _x ≤₁₎

sehingga nilai maksimumnya : f(x) =  x4 – 12 x

 f(0) = 0 – 0 = 0

 jawabannya adalah C EBTANAS2000

14. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 - 27x pada interval -1 ≤ _x ≤ _{4 adalah….} A. 26 B. 0 C. -26 D. -46 E. -54  jawab: f(x) = x3 - 27x f '(x) = 3x2 - 27 ⇔_x2 _{- 9} ⇔ _{(x – 3 ) (x + 3) = 0} x = 3 ; x = -3 +++ - - - - +++ • • -3 3 max min

nilai minimum jika nilai x = 3 (interval -1 ≤ _x ≤ ₄₎

sehingga nilai minimumnya adalah: f(x) = x3 - 27x f(3) = 33 - 27. 3 = 27 - 81 = -54  jawabannya adalah E UN2005

15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka(p) tersebut, adalah :

l l  p A. 16m B. 18m C. 20m D. 22m E. 24m  jawab: Luas = L = p  l _{+ p .} l _{= 2 p.} l  Panjang kawat = 120 m 120 = 3. p + 4. l  3p = 120 – 4. l   p = 40 -3 4 . l  L = 2. l (₄₀ -3 4 . l ₎ = 80 l  -3 8 . l 2

Luas maksimum jika L' =₀

L = 80 l  -3 8 . l 2 L' =₈₀ -3 16 . l _{= 0} 3 16  l =₈₀  l ₌ 16 240 = 15

agar luas maksimum maka p =  p = 40 -3 4 . l  = 40 -3 4 . 15 = 40 -20 = 20 m Jawabannya adalah C UN2005

16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x - 800 +

 x

120

) ratus ribu rupiah . Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu ... A . 40 jam B . 60 jam C . 100 jam D . 120 jam E . 150 jam

Jawab:

Diketahui biaya perjam = (4x - 800 +

 x

120 )

ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ? Waktu pengerjaan = x

Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan = (4x - 800 +

 x

120 ) . x = 4x2 - 800 x + 120 agar biaya minimum maka B' = 0

B' = 8 x – 800 = 0 8x = 800

x = 100 jam  jawabannya adalah C