KETERDIFERENSIALANedit

(1)

TUGAS KALK

TUGAS KALKULUS LANJUT

ULUS LANJUT

KETERDIFERENSIA

KETERDIFERENSIALAN,

LAN, TURUNAN BERARAH,

TURUNAN BERARAH,

DAN GRADIEN

Oleh:

Ni

Ni Luh Luh Made Made Manik Manik Widayani Widayani (1213011019))(1213011019 S

Siillvviia a RRiissmma a HHeennddrra a PPuuttrrii ((11221133001111002200))

Kelas : III B

urusan Pendidikan

urusan Pendidikan MatematikaMatematika

!akultas Matematika dan "lmu Pen#etahuan $lam !akultas Matematika dan "lmu Pen#etahuan $lam

%niversitas Pendidikan &anesha %niversitas Pendidikan &anesha

2013 2013

(2)

1'

*+,+R-"!+R+NS"$L$N

Pada pembahasan konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah akan dianalogikan Pada pembahasan konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah akan dianalogikan dengan konsep turunan pada fungsi satu

dengan konsep turunan pada fungsi satu peubah.peubah. Ingat kembali bahwa

Ingat kembali bahwa

Untuk fungsi satu peubah, jika

Untuk fungsi satu peubah, jika f f dapat didiferensialkan didapat didiferensialkan di a,a, maka terdapat sebuah garismaka terdapat sebuah garis singgung yang melalui (

singgung yang melalui (a, f(a))a, f(a)) yang mendekati fungsi tersebut untuk nilaiyang mendekati fungsi tersebut untuk nilai x x dekat dengandekat dengan a.a. Dengan kata lain

Dengan kata lain , f , f hampir mendekati linear dekathampir mendekati linear dekat a.a. Sebu

Sebuah fungsi disebut linear setempat diah fungsi disebut linear setempat di aa jika jika terdapat terdapat sebuah konsanta sebuah konsanta m m sedemikiansedemikian rupa sehingga

rupa sehingga

dimana

dimana adalah adalah sebuah sebuah fungsi fungsi yang yang memenuhimemenuhi

Jika

Jika f f linear setempat dilinear setempat di aa, maka, maka

yang berarti bahwa yang berarti bahwa

Dapat disimp

Dapat disimpulakan bahwaulakan bahwa f f pasti pasti dapat dapat didiferensialkan didiferensialkan didi aa dan dan mm sama dengansama dengan f’(a).

f’(a). Sebaliknya jikaSebaliknya jika f f dapat didiferensialkandapat didiferensialkan didi a, a, makamaka

Sehingga

Sehingga f f adalah linear setempat. adalah linear setempat.

Dengan demikian untuk kasus satu peubah berlaku,

Dengan demikian untuk kasus satu peubah berlaku, f f akan linear setempat diakan linear setempat di aa jika jika dandan han

hanya jikaya jika f f dapat didiferensialkan didapat didiferensialkan di a.a. onsep ini juga berlaku untuk fungsi dua peubah.onsep ini juga berlaku untuk fungsi dua peubah. !dapun definisi kelinearan setempat untuk fungsi dua peubah adalah berikut ini.

(3)

D

Deeffiinniissi i ddiiaattaas s ddaappaat t ddiisseeddeerrhhaannaakkaan n ddeennggaan n mmeennddeeffiinniissiikkaann

.

. ("u("ungsngsi i adalah adalah sebsebuahuah fungsi bernilai #ektor dari sebuah peubah #ektor$. Sehingga Definisi dapat disederhanakan fungsi bernilai #ektor dari sebuah peubah #ektor$. Sehingga Definisi dapat disederhanakan menjadi%

menjadi%

Dar

Dari i perpersamsamaan aan sebsebeluelumnymnya, a, dindinyatyatakaakan n sebsebagaagai i #ek#ektor tor yaiyaitu tu #ek#ektortor

yang

yang dilambangkan dilambangkan dengan dengan & & & & dan dan disebut disebut #ektor#ektor

gradien

gradien (gradient)(gradient) dari dari f f . . 'ambang 'ambang dibaa dibaa &del) &del) dan dan sering sering disebutdisebut ./erat.r del./erat.r del SehinggaSehingga f

f dapat didiferensialkan didapat didiferensialkan di // jika dan hanya jika jika dan hanya jika

dimana ketika dimana ketika

*erda

*erdasarkan hal sarkan hal tersebutersebut, t, maka gradien maka gradien dianadianalogiklogikan an dengadengan n turunturunan. *eberapa an. *eberapa aspekiaspeki dari definisi tersebut adalah sebagai berikut.

dari definisi tersebut adalah sebagai berikut. +

+.. uurruunnaann f’ f’ (( x x$ $ adalah adalah sebuah sebuah bilangan, bilangan, sementara sementara gradien gradien adalah adalah sebuah sebuah #etor.#etor.

-.

-. asiasil l kalkali i dan dan adaadalah lah hashasil il kalkali i titititik.k.

Contoh Soal Mencari Gradien Contoh Soal Mencari Gradien



 entukan entukan /radien /radien daridari

Penyelesaian0 Penyelesaian0

-einisi

ita mengatakan bahwa f adalah

ita mengatakan bahwa f adalah linear setem/atlinear setem/at di (a,b$ jika di (a,b$ jika

dimana

(4)

Jika fungsi

Jika fungsi f f dapat didiferensialkan di dapat didiferensialkan di //00, maka ketika h mempunyai besaran yang keil, maka ketika h mempunyai besaran yang keil

Dengan menganggap

Dengan menganggap // 1 1 //00 22hh , maka fungsi  didefinisikan sebagai berikut0 , maka fungsi  didefinisikan sebagai berikut0

Persamaan

Persamaan T T ((//$ 1$ 1 z z yaitu mendefinisikan sebuah yaitu mendefinisikan sebuah persamaan bidang singpersamaan bidang singgung yanggung yang menghampiri

menghampiri f f di dekat di dekat //00

Contoh Soal Mencari Persamaan

Contoh Soal Mencari Persamaan idang Singg!ng idang Singg!ng



 entukan #ektor gradient dari fungsientukan #ektor gradient dari fungsi f(x,") # x f(x,") # x$$_{" % $x"}_{" % $x"}&&_{pada titik}_{pada titik /}_{/ 1 (-,3-$. emudian}_{1 (-,3-$. emudian}

tentukan persamaan bidang singgung di tentukan persamaan bidang singgung di //.. Penyelesaian 0

Penyelesaian 0 a.

a. 4e4engngeeek ek eedidiferferenensisialalanan Perhatikan bahwa0

Perhatikan bahwa0

-einisi

"ungsi

"ungsi dapat dapat didiferensialkan didiferensialkan ((differentia'ledifferentia'le$ di$ di // jika fungsi jika fungsi tersebut linear tersebut linear setempat disetempat di /

/. . "ungsi "ungsi dapat dapat didiferensialkan didiferensialkan pada pada sebuah sebuah himpunan himpunan terbuka terbuka jika jika fungsi fungsi tersebuttersebut dapat didiferensialkan di setiap titik di

dapat didiferensialkan di setiap titik di

,+R+M$ $ ,+R+M$ $

Jika

Jika mempunyai mempunyai turunan3turunan turunan3turunan parsial kontinu parsial kontinu dan dan pada sebuah pada sebuah akram (disk$ akram (disk$ D yanD yangg bagian dalamnya mengandung

(5)

ar

arena ena kedkedua ua perpersamsamaan aan di di atas atas mermerupaupakan kan funfungsi gsi polpolinoinomiamial l dua dua peupeubah bah makmakaa persamaan

persamaan tersebut tersebut akan akan kontinu kontinu dimanapun. dimanapun. Sehingga Sehingga berdasarkan berdasarkan teorema teorema !, !, ff dapat didiferensialkan dimanapun.

dapat didiferensialkan dimanapun. b.

b. 4enentukan /radien4enentukan /radien

arena f dapat dideferensialkan dimanapun maka gradiennya adalah sebagai berikut. arena f dapat dideferensialkan dimanapun maka gradiennya adalah sebagai berikut.

1 1 1 1 1 1 Jadi, Jadi, 1 1 .

. 4e4enenetutukakan *in *idadang Sng Sininggggunungg

Persamaan bidang singgungnya adalah Persamaan bidang singgungnya adalah

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Jadi, persamaan bidang singgunga yang dimaksud adalah

Jadi, persamaan bidang singgunga yang dimaksud adalah 

$,%R$N$,%R$N %N,%* &R$-"+N $,%R$N$,%R$N %N,%* &R$-"+N

(6)

*ukti0 *ukti0

Untuk mempermudah dalam penulisan maka titik

Untuk mempermudah dalam penulisan maka titik // dihilangkan. dihilangkan.

i. i. 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ii. ii. 11 1 1 1 1 1 1 ,+R+M$  ,+R+M$  Sifat3sifatSifat3sifat

adalah operator linear, yakni adalah operator linear, yakni

Demikian pula kita mempunyai aturan hasilkali Demikian pula kita mempunyai aturan hasilkali 55

(7)

1 1 1 1 iii. iii. 11 1 1 1 1 1 1 1 1 *N,"N%",$S 4+RS%S *N,"N%",$S 4+RS%S *+,+R-"!+R+NS"*+,+R-"!+R+NS"$L$N$L$N eterd

eterdifereniferensialan sialan mengimengimpilikmpilikasikan asikan kontikontinuitanuitas s tetapi tetapi tidak tidak sebalisebaliknya. knya. SehinSehinggagga berlaku0 berlaku0 *ukti0 *ukti0 *ukti eorema 6 *ukti eorema 6

arena f dapat didiferensialkan di arena f dapat didiferensialkan di //,,

Jadi, Jadi,

,+R+M$ 5 ,+R+M$ 5

Jika

(8)

edua suku terakhir mendekati 7 ketika h

edua suku terakhir mendekati 7 ketika h7. Jadi7. Jadi

esamaan terakhir adalah ara untuk merumuskan kontinuitas

esamaan terakhir adalah ara untuk merumuskan kontinuitas f f di di //..

M+-$N &R$-"+N M+-$N &R$-"+N

/radien

/radien berhubungan berhubungan dengan dengan setiap setiap titiktitik // dalam daerah asal dalam daerah asal f f sebuah sebuah #ektor #ektor .. impunan dari seluruh #ektor3#ektor ini disebut medan gradien (

impunan dari seluruh #ektor3#ektor ini disebut medan gradien ( gradient field gradient field $.$.

1''

(9)

,%R%N$N +R$R$H -$N &R$-"+N

!nda

!ndaikan ikan dan dan misalmisalkankan ii dan dan   adalah #ektor adalah #ektor ‐‐#ekt#ektor satuan arah pada or satuan arah pada sumbsumbuu x x dan y positif. 4aka turunan parsial di

dan y positif. 4aka turunan parsial di // dapat dituliskan sebagai berikut 0 dapat dituliskan sebagai berikut 0

Po

Posisisisi ii dandan 66 dapat digandapat digantikan dengatikan dengan sebarang #ektor satuan sebarang #ektor satuann uu Sehingga terdapat sebuahSehingga terdapat sebuah definisi sebagai berikut.

definisi sebagai berikut.

H%%N&$N ,%R%N$N +R$R$H -+N&$N &R$-"+N H%%N&$N ,%R%N$N +R$R$H -+N&$N &R$-"+N

Ingat bahwa gradien dilambangkan sebagai% Ingat bahwa gradien dilambangkan sebagai%

Contoh Soal Teorema  Contoh Soal Teorema 

-einisi

Untuk sebarang #etor

Untuk sebarang #etor uumisalkanmisalkan

'imit ini, jika ada, disebut

'imit ini, jika ada, disebut turunan 7erarahturunan 7erarah ((directional deri*ati*e)directional deri*ati*e) daridari f f didi // pada arah pada arah uu

,+R+M$ $ ,+R+M$ $

4isalkan

4isalkan f f dapat didiferensialkan didapat didiferensialkan di //. 4aka. 4aka f f mempunyai turunan berarah dimempunyai turunan berarah di // pada arah pada arah #ektor satuan

#ektor satuan u 8 i  6u 8 i  6 dandan

yakni, yakni,

(10)



 entukan entukan turunan turunan berarah berarah dari dari di di titik titik pada pada arah arah ..

Penyelesaian0 Penyelesaian0 4isal

4isal uu adalah #ektor satuan pada arah adalah #ektor satuan pada arah aa_,_{, sehingga}_sehingga

L$% P+R%$H$N M$*S"M%M L$% P+R%$H$N M$*S"M%M

Untuk suatu fungsi

Untuk suatu fungsi f f di titik di titik / / ,, fungsi berubah paling epat pada arah manafungsi berubah paling epat pada arah mana

mempunyai nilai yang terbesar. mempunyai nilai yang terbesar.

Dari rumus geometri hasil kali titik dapat dituliskan Dari rumus geometri hasil kali titik dapat dituliskan

menyatakan sudut antara

menyatakan sudut antara uu_dan_dan

maksimum pada maksimum pada

minimum pada minimum pada

Pernyataan diatas diringkas dengan eorema *. Pernyataan diatas diringkas dengan eorema *.

,+R+M$  ,+R+M$ 

Sebuah fungsi meningkat paling epat di

Sebuah fungsi meningkat paling epat di // pada pada arah garah gradiennya (dradiennya (dengan engan laju laju $ $ dandan menurun paling epat pada arah yang berlawanan (dengan laju

(11)

Contoh Soal Teorema  Contoh Soal Teorema 



 entukan entukan #ektor #ektor satuan satuan pada pada arah arah dimana dimana meningkat paling meningkat paling epat epat didi

/ 8

/ 8 

Penyelesaian% Penyelesaian%

Sehin

Sehingga gga #ekto#ektor r satuan satuan yang yang dimakdimaksud sud adalah adalah dengdengan an laju laju atau atau kemirkemiringaningan

adalah adalah

*%R4$ *+,"N&&"$N -$N &R$-"+N *%R4$ *+,"N&&"$N -$N &R$-"+N

Contoh Soal Teorema C Contoh Soal Teorema C



 Untuk Untuk paraboloid paraboloid , , tentukan tentukan persamaan persamaan kur#a kur#a ketinggian ketinggian yang yang melaui melaui titik titik didi

P(-,+$. entukan #ektor gradien dari paraboloid tersebut di P. P(-,+$. entukan #ektor gradien dari paraboloid tersebut di P. Penyelesaian0

Penyelesaian0 ur#a

ur#a ketinketinggian ggian paraboparaboloid loid tersebtersebut ut yang yang berhuberhubungbungan an dengadengan n bidanbidang g memilimemilikiki

persamaan

persamaan . . Untuk Untuk menentukan menentukan nilainilai + + yang terdapat di kur#a ketinggian yang terdapat di kur#a ketinggian

yang melalui

yang melalui P P kita dapat mensubtitusikan (-,+$ ke dalam ( kita dapat mensubtitusikan (-,+$ ke dalam ( x x,, " "$0$0 ,+R+M$ 5

,+R+M$ 5 /radien

(12)

+ + 11 1 1 1 1

Jadi persamaan kur#a ketinggian yang melalui P adalah0 Jadi persamaan kur#a ketinggian yang melalui P adalah0

Dimana persamaan tersebut merupakan persamaan bentuk elips. Dimana persamaan tersebut merupakan persamaan bentuk elips.

4isalkan0 maka0

dan dan

Sehingga gradient paraboloid di

Sehingga gradient paraboloid di P P (-,+$ adalah(-,+$ adalah 1 1 1 1 1 1 -"M+NS" :$N& L+"H ,"N&&" -"M+NS" :$N& L+"H ,"N&&" on

onsep sep tententantang g kurkur#a #a ketketinginggiagian n untuntuk uk funfungsi gsi dua dua peupeubah bah dapdapat at ditditeraerapkapkan n padpadaa permukaan

permukaan ketinggian ketinggian untuk untuk fungsi fungsi tiga tiga peubah. peubah. JikaJika f f adalah fungsi tiga peubah, maka adalah fungsi tiga peubah, maka permukaan

permukaan f(x,",z) f(x,",z) 11 + + , , dimandimana a k adalah k adalah konstkonstan, disebut permukaan, disebut permukaan ketinggian untukan ketinggian untuk f f . Di. Di seluruh titik pada sebuah permukaan ketinggian, nilai dari suatu fungsi akan sama, dan #etor seluruh titik pada sebuah permukaan ketinggian, nilai dari suatu fungsi akan sama, dan #etor gr

gradadien dariien dari f(x,",z) f(x,",z) di titik P di titik P(x,",z)(x,",z) pada daerah asalanya adalah bektor normal terhadap pada daerah asalanya adalah bektor normal terhadap permukaan ketinggian dari f yang melaui P. 4asalah3masalah yang terkait dengan permu permukaan ketinggian dari f yang melaui P. 4asalah3masalah yang terkait dengan permukaankaan

ketinggian ini dapat berupa masalah yang terkait dengan konduksi panas pada sebuah benda ketinggian ini dapat berupa masalah yang terkait dengan konduksi panas pada sebuah benda homogen dan juga masalah mengenai potensial elektostatis.