MAKALAH
APROKSIMASI TAYLOR TERHADAP FUNGSI Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Lanjut
Dosen Pengampu : Asmianto
KELOMPOK 4 OFFERING : G
Penyusun:
Mashela Nur Nilam Sari (230312608072) Muhamad Ridho Nurmawan ( 230312603936)
PRODI S1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG
2024
Aproksimasi Taylor Terhadap Fungsi
➢ Polinomial Taylor Orde 1
Pada suatu fungsi f dapat didekati di dekat titik a dengan garis singgung yang melalui titik (a, f(a)). Garis tersebut disebut sebagai pendekatan linier
terhadap f dekat a. kemudian ditemukan bahwa.
P1(x) = f (a) + f ‘ (a) (x-a)
Setelah mempelajari deret Taylor pada bagian 9.8 kita mengetahui bahwa Pi (x) terdiri dari dua suku pertama, yaitu suku berirde 0 dan 1, dari deret taylor f yang diperluas di sekitaran a.
Pada gambar di atas ditunjukkan bahwa kita dapat memperkirakan P1 (x) merupakan perkiraan yang tepat terhadap f (x).
Example 1:
Cari P1(x) dari jika a=1 untuk f(x) =In x dan gunakan aproksimasi In 0.9 dan In 1.5.
Solution : jika f(x) =In x, f”(x) = 1/x, sehingga f (1) = 0 dan f”(1)= 1. Maka
P1(x) = 0 +1(x-1) = x-1 In x = x-1 dan
In 0,9 = (0,9 – 0,1 ) = - 0,1 In 1,5 = (1,5 – 1 ) = 0,5
Nilai untuk In 0,9 dan In 1,5 adalah -0,1054 dan 0,4055. Aproksimasi yang lebih mendekati adalah In 0,9 daripada In 1,5. Jadi nilai 0,9 lebih dekat ke 1 daripada 1,5.
➢ Polinimoal Taylor Orde ke-n
Menjumlahkan suku-suku Tingkat tinggi dalam deret Taylor biasanya memberikan perkiraan yang lebih akurat, dengnan demikian, berikut bnetuk dari polynomial kuadrat.
Terdapat tiga suku pertama pada deret Taylor untuk f akan memberikan aproksimasi f yang lebih baik dibandingkan aproksimasi linier pada P1(x).
Polynomial Taylor berorde-n berdasarkan a
Example 1
Cari P2(x) jika a = 1 untuk f(x) = In x dan gunakan aproksimasi pada In 0.9 dan In 1,5.
Solution : terdapat f(x) = In x, f’(x) = 1/x, f”(x) = -1/ x2, jadi f(1) = 0, f’(x)= 1 dan f”(x) = -1, sehingga
P2(x) = 0+1 (x – 1) – ½ (x – 1 )2 Untuk x mendekati 1, maka
In x = (x – 1) – ½ (x – 1)2
In x = (0,9 – 1) – ½ (0,9 – 1)2 = - 0.1050
In 0,9 = (1.5 – 1) – ½ ( 1,5 – 1)2 = 0.3750
Pada kasus ini approksimasi nya lebih baik daripada aapproksimasi linier pada P1(x) pada contoh 1. Pada gambar di bawah menunjukkan grafik y= In x dan P2(x).
➢ Polinomial Maclaurin
Dimana a = 0, polynomial Taylor ber orde-n disederhanakan menjadi Polinomial Maclaurin berorde-n yang memberikan perkiraan yang lebih dengan x = 0.
Example 1
Cari polynomial Maclaurin dari orde-n untuk ex dan cos x. kemudian approksimasi kepada e0.2 dan cos (0,2) dengan n = 4.
ex = 1+ (1/ 2!) x2 +(1/ 3!) x3 + (1/ 4 !) x4 + ….+ (1/ n!) xn
cos x = 1 – (1/2!) x2 + (1/ 4 !) x4 – …. (-1)n/2 (1/ n!) xn (Dimana n adalah genap).
Jadi dengan menggunakan n=4 dan x=0,2 maka didapatkan:
e0,2 = 1+ 0,2 + (0,2)2/ 2 +(0,2)3/ 6 + (0,2)4/ 24 = 1.2214000 Cos (0,2)= 1 – (0,2)2/ 2 + (0,2)4/ 24 = 0,9800667
Untuk gagasan tentang bagaimana polynomial Taylor memberikan approksimasi terhadap cos x.
Dalam gambar diatas kita menggunakan polynomial Maclaurin orde 4 untuk mengaproksimasi cos (0,2):
Disini mengilustrasikan dua jenis galat yang terjadi dalam proses
approksimasi. Pertama galad metode yang mengaproksimasi cos x dengan
polynomial berderajat empat sebagai garis penghitung jumlah ekstrak deret.
Kedua, terdapat galat perhitungan sebagai contoh setiap mengganti decimal yang tak pernah berakhir 0,9800666 oleh 0,9600667.
Galat Metode rumus mengaproksimasi dengan menggunakan polynomial Taylor- nya. Rumus taylor dengan Suku Sisa adalah
Dimana c suatu bilangan real di antara a dan x dan Ketika a = 0 rumus Taylor disebut rumus Maclaurin. r
Galat Perhitungan ini memberikan kita approksimasi yang kecil. Sumber galat perhitungan yang lebih mungkin adalah akibat kehilangan angka signifikan dalam pengurangan dua bilangan yang hampir sama nilainya. Misalnya. Mengurangkan 0,823421 dari 0,823445 masing-masing dengan enam angka signifikan.
Menghasilkan 0,000024 yang memiliki dua angka singnifikan. Hal ini akan
menimbulkan ketidakpastian maka dapat diilustrasikan dalam aproksimasi lumerik terhadap turunan.
Perhatikan perhitungan f ‘ (2) untuk f(x) = x4 dengan menggunakan hasil bagi beda
Secara teori, Ketika n bertambah besar (dan tentunya h = 10-n mengecil) seharusnya hasil kali semakin dekat dengan nilai yang benar, 32. Tanpa memperhatikan
banyaknya angka signifikan yang digunakan dalam perhitungan., hasilbagi dalam table berikut akan berupa 0 untuk n yang cukup besar
Soal – soal aproksimasi taylor terhadap fungsi 1. f(x) = tan-1 x
2. In (2+x) ; a= 0
3. Uraikan x4-3x3+ 2x2+ x – 2 dalam polynomial Taylor orde 4 berdasarkan pada 1 dan perhatikan bahwa R4(x)=0 untuk semua x.
Scan barcode dibawah untuk mendapatkan kunci jawaban.
DAFTAR PUSTAKA
Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2010). Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Jagostat(2023) Deret Taylor dan Deret MacLaurin - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan. https://jagostat.com/kalkulus2/deret-taylor-dan-maclaurin [diakses 2024 Feb 19].
ITB(2015) 9.9 Hampiran Taylor terhadap fungsi
https://youtu.be/bmiGJhNmJ10?feature=shared. [diakses 2024 Feb 16]
