BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN

BAB II

TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan

Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pem- buktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat dit- erapkan dalam bidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar. Topik tersebut meliputi konvers, invers, kontrapoisi dan ingkaran kalimat, pengertian tautologi dan kontradiksi beserta rumus-rumus dan pembuktiannya, serta peng- gunaan tautologi sebagai salah satu alat bukti yang sahih dan sangat penting di bidang matematika. Metode pembuktin tersebut terdiri atas bukti langsung dan bukti tak langsung.

Sebagai ”bahasa matematika” dan alat analisa masalah, topik ini sangat berman- faat untuk berlatih dan mengasah cara berfikir yang logis dan sistematis, sehingga mahasiswa memiliki ketajaman analisa, kemampuan beradaptasi yang tinggi, serta daya sintesa yang baik dalam bidang matematika, maupun kehidupan sehari-hari.

Tautologi dan metode pembuktian yang dibahas akan selalu digunakan dalam seluruh topik matematika pada jenjang-jenjang berikutnya.

Untuk itu setelah selesai mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-4 dan 5 ini diharapkan mahasiswa mempunyai learning Outcomes berupa:

1. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontraposisi.

2. Mahasiswa dapat menyusun ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontrapo- sisi.

3. Mahasiswa dapat menerapkan ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontra- posisi.

4. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, menyebutkan rumus-rumus 5. Mahasiswa dapat menentukan kebenaran suatu pernyataan menggunakan

rumus-rumus tautologi dan kontradiksi.

6. Mahasiswa dapat membuktikan kebenaran pernyataan menggunakan bukti

langsung atau bukti tak langsung (kemustahilan)

2.2 Tautologi

Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta (peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa. Agar kita dapat membicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan suatu lambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis dengan ”A”, ”B” dan sebagainya.

Contoh 2.2.1 Jika ”Tono mahasiswa dengan IPK 3,5” mempunyai simbol ”A”

dan ”Tono berasal dari luar Jawa” mempunyai simbol ”B”, maka kalimat

1. ”Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 dan berasal dari luar Jawa” mempunyai simbol ”A ∧ B”.

2. ”Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5”

mempunyai simbol ”B ⇒ A”

Dalam hal ini simbol ”A”, ”B”, ”A ∧ B” dan ”B ⇒ A” merupakan konstanta kalimat atau kalimat konstan.

Definisi 2.2.2 Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut vari- abel kalimat, yang ditulis dengan ”p”, ”q”, ”r” dan sebagainya.

Contoh 2.2.3 Misalkan diberikan bentuk-bentuk

1. ”p ∧ q”

2. ”(p ∧ r) ⇒ q”

Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form);

dan jika variabel ”p”, ”q” dan ”r” diganti dengan kalimat-kalimat konstan akan berubah menjadi suatu pernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1,

1. Jika ”p” disubstitusi dengan kalimat ”Kuadrat bilangan real selalu non negatif”

”q” disubstitusi dengan kalimat ”Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1”

Maka diperoleh pernyataan:

”Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan ada bilangan asli yang lebih

kecil daripada 1”, yang bernilai salah.

2. Jika ”p” disubtitusi dengan kalimat ”Kuadrat bilangan real selalu non negatif”

”q” disubstitusi dengan kalimat ”Tidak ada bilangan asli yang lebih kecil dari- pada 1”

Maka diperoleh pernyataan:

”Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1”, yang bernilai benar.

Definisi 2.2.4 Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menya- jikan hukum-hukum logika kalimat disebut tautologi.

Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengan konstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai benar. Tentu saja dalam suatu penggantian, untuk masing-masing variabel (sim- bol) yang sama harus digantikan dengan konstanta kalimat yang sama.

Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau bukan dapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut dengan mendaftar semua kemungkinan (kombinasi ”p” dan ”q”) dari setiap nilai kebenaran variabelnya.

Contoh 2.2.5 Diberikan bentuk-bentuk

1. ”p ∨ ¯p”

2. ”(p ⇒ q) ⇔ (¯p ∨ q)”.

Pada bentuk ke-1, apapun kalimat konstan yang menggantikan ”p” akan meng- hasilkan pernyataan yang bernilai benar

p p ¯ p ∨ ¯p

T F T

F T T

Demikian juga pada kalimat ke-2. Hal ini dapat dilihat pada halaman...

Bentuk-bentuk kalimat yang memuat variabel kalimat yang selalu bernilai salah untuk setiap penggantian variabel kalimat dengan kontanta kalimat disebut kon- tradiksi. Sebagai contoh bentuk

p ∧ p,

selalu bernilai salah untuk ”p” apapun sesuai tabel

p p ¯ p ∧ ¯p

T F F

F T F

Ingkaran dari tautologi akan merupakan kontradiksi, sebab tautologi selalu bernilai benar untuk setiap penggantian variabel kalimatnya, sehingga ingkarannya akan selalu bernilai salah.

Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi selain menggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel dengan mengamati hasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan

1. p = ⇒ (p ∨ q), dan

2. (p = ⇒ (q =⇒ r)) ⇐⇒ (q =⇒ (p =⇒ r)) Penyelesaian:

1. Bentuk ini merupakan implikasi, sehingga akan bernilai benar jika anteseden bernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinkan yang dapat membuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitu ”p” bernilai benar.

Tetapi jika ”p” bernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi, bentuk ”p ∨ q” pasti bernilai benar apapun ”q”. Akibatnya ”p =⇒ (p ∨ q)”

juga bernilai benar.

2. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.

Karena ”p’ dan ”q” merupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuk- tikan salah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, maka ”p”

bernilai salah atau ”q = ⇒ r” bernilai benar. Jika ”p” bernilai salah, maka apapun ”r”, implikasi ”p = ⇒ r” pasti bernilai benar, sehingga

”q = ⇒ (p =⇒ r))”

pasti bernilai benar. Sedangkan jika ”q = ⇒ r” bernilai benar, maka ”q”

bernilai salah atau ”r bernilai benar, sehingga bentuk

”q = ⇒ (p =⇒ r))”

pasti bernilai benar.

Latihan 2.1

1. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bentuk-bentuk kalimat berikut ini apakah merupakan kalimat terbuka, tautologi atau kalimat yang selalu bernilai salah:

1.1 p ∨ ¯ F 1.4 p ∧ q ∨ q 1.2 p = ⇒ ¯p 1.5 q ¯ ⇐⇒ q 1.3 p ⇒ p ∧ q 1.6 (q ∧ p) ⇒ q

2. Tanpa menggunakan pengisian tabel buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi.

2.1 (p ⇐⇒ q) =⇒ ((p ∧ r) ⇐⇒ (q ∧ r)) 2.2 (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)) 2.3 (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((¯p ∨ q) ∧ (¯q ∨ p)) 2.4 ((p = ⇒ q) =⇒ (q ∧ r =⇒ r ∧ p)

2.3 Rumus-rumus tautologi

Berikut ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikan dengan menggunakan metode tabel nilai.

Rumus 2.1 (Komutatif ) 1. p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p 2. p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p Bukti:

p q p ∧ q q ∧ p

T T T ←→ T

T F F ←→ F

F T F ←→ F

F F F ←→ F

Rumus 2.2 (Distributif )

1. p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 2. p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Bukti: Untuk 1.

p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∨ q p ∨ r

T T T T T ←→ T T T

T T F T T ←→ T T T

T F T T T ←→ T T T

T F F T T ←→ T T T

F T T T T ←→ T T T

F T F F F ←→ F T F

F F F F F ←→ F F F

Rumus 2.3 1. p ∧ T ⇐⇒ T ∧ p ⇐⇒ p 3. p ∨ F ⇐⇒ F ∨ p ⇐⇒ p 2. p ∧ F ⇐⇒ F ∧ p ⇐⇒ F 4. p ∨ T ⇐⇒ T ∨ p ⇐⇒ T Rumus 2.4 1. p ∨ ¯p ⇐⇒ T 2. p ∧ ¯p ⇐⇒ F

Rumus 2.5 (Assosiatif ) 1. p ∧(q∧r) ⇐⇒ (p∧q)∧r 2. p∨(q∨r) ⇐⇒ (p∨q)∨r

Bukti: Untuk 2.

p q r p ∨ q (p ∨ q) ∨ r) p ∨ (q ∨ r) q ∨ r

T T T T T T T

T T F T T T T

T F T T T T T

T F F T T T F

F T T T T T T

F T F T T T T

F F F F F F F

Rumus 2.6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten)

1. p ⇐⇒ p 3. p ∧ p ⇐⇒ p

2. ¯¯ p ⇐⇒ p 4. p ∨ p ⇐⇒ p

Dua rumus berikut ini sudah dibicarakan di dalam Bab I.

Rumus 2.7 Hukum De Morgan 1. p ∧ q ⇐⇒ (¯p ∨ ¯q)

2. p ∨ q ⇐⇒ (¯p ∧ ¯q).

Bukti: Untuk 1.

p q p ∧ q p ∧ q ¯p ∨ ¯q ¯p ¯q

T T T F F F F

T F F T T F T

F T F T T T F

F F F T T T T

Rumus 2.8 1. p = ⇒ q ⇐⇒ (p ∧ ¯q) 2. p ⇐⇒ q ⇐⇒ ((p ∧ ¯q) ∨ (¯p =⇒ q)).

Rumus 2.9 1. (T = ⇒ p) ⇐⇒ p 3. (p ⇐⇒ T ) ⇐⇒ p

2. (F = ⇒ p) ⇐⇒ T 4. (p ⇐⇒ F ) ⇐⇒ ¯p

Rumus 2.10 Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dan disjungsi

1. (p = ⇒ q) ⇐⇒ (¯p ∨ q) 3. (p = ⇒ q) ⇐⇒ ((¯p ∨ q) ∧ (p ∨ ¯q) 2. (p = ⇒ q) ⇐⇒ p ∧ ¯q 4. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (¯p ∧ ¯q)

Rumus 2.11 1. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p))

2. ((p = ⇒ q) ∧ (q =⇒ r)) ⇐⇒ (p =⇒ r). (Sifat Transitif)

Rumus 2.12 1. (p = ⇒ (q =⇒ r)) ⇐⇒ (q =⇒ (p =⇒ r)) 2. (p = ⇒ (q =⇒ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) =⇒ r).

Rumus-rumus di atas dapat juga dijadikan dasar untuk membuktikan tautologi- tautologi bentuk lanjutan tanpa menggunakan pengisian tabel kebenaran. Sebagai contoh akan dibuktikan : (p = ⇒ (q =⇒ r)) ⇐⇒ (q =⇒ (p =⇒ r)).

Bukti: (p = ⇒ (q =⇒ r)) ^R2.10.1 ⇐⇒ p ¯ ∨ (¯q ∨ r)

⇕ R2.5.2

(¯ q ∨ ¯p) ∨ r) ^R2.1.2 ⇐⇒ (¯ p ∨ ¯q) ∨ r)

⇕ R2.5.2

¯

q ∨ (¯p ∨ r) ^R2.10.1 ⇐⇒ (q =⇒ (p =⇒ r))

Suatu tautologi juga dapat dibuktikan dengan cara membawa bentuk kalimat yang akan dibuktikan ekuipolen ke nilai benar (T) dengan menggunakan rumus- rumus dasar.

Contoh 2.3.1 Buktikan, bahwa (p = ⇒ q) =⇒ (q ∧ r =⇒ r ∧ p) merupakan tau- tologi.

Bukti:

(p = ⇒ q) =⇒ (q ∧ r =⇒ r ∧ p) ^R2.10.1 ⇐⇒ p = ⇒ q ∨ (q ∧ r =⇒ r ∧ p)

⇕ R2.10.1

(p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (r ∨ p) ^Ingkaran ⇐⇒ p ∨ q ∨ (q ∧ r ∨ r ∧ p)

⇕ R2.5.2

(p ∧ q) ∨ ((q ∧ r) ∨ r) ∨ p ^R2.2.2 ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ ((q ∨ r) ∧ (r ∨ r) ∨ p

⇕ R2.4.1

(p ∧ q) ∨ (q ∨ r) ∨ p ^R2.3.1 ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ ((q ∨ r) ∧ T ) ∨ p

⇕ R2.5.2&R2.2.2

((p ∨ q) ∧ (q ∨ q)) ∨ r ∨ p ^R2.4.1 ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ T ) ∨ r ∨ p

⇕ R2.3.1

(p ∨ p) ∨ q ∨ r R2.5.2&R2.1.1 ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r ∨ p

⇕ R2.4.1

T ∨ q ∨ r ^R2.4.2 ⇐⇒ T

Latihan 2.2 Buktikan, bahwa Rumus 2.1 - 2.12 di atas merupakan tautologi de- ngan menggunakan pengisian tabel. Jika mungkin buktikan juga tanpa menggu- nakan pengisian tabel.

2.4 Metode Pembuktian

Di dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakan sebagai metode pembuktian yaitu:

1. Modus Ponens 2. Hukum Kontraposisi 3. Reductio ad absurdum.

Modus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi

dan reductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian

suatu teori lebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung.

2.4.1 Modus Ponens

Rumus 2.13 (p ∧ (p =⇒ q)) =⇒ q.

Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut α = ⇒ β

α

β.

Jika implikasi ”α = ⇒ β” merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta ”α”

terjadi, maka dapat disimpulkan fakta ”β” pasti terjadi.

Contoh 2.4.1 Buktikan, bahwa salah satu titik potong grafik fungsi dengan per- samaan y = f (x) = 3x ³ − 3x ² − 1 terhadap sumbu X berada di interval [1, 2].

Penyelesaian: Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika f kontinu pada interval [a, b], dan berlaku f (a) dan f (b) berbeda tanda, maka dapat ditemukan c ∈ [a, b] yang memenuhi f(c) = 0. Jadi implikasi ini bernilai benar.

Fungsi y = f (x) = 3x ³ −3x ² −1 kontinu pada [1, 2] dan f(1) < 0 serta f(2) > 0.

Jadi anteseden implikasi terjadi, maka dapat disimpulkan terdapat x _o ∈ [1, 2] yang berakibat

f (x 0 ) = 3x ³ ₀ − 3x ² 0 − 1 = 0

Jadi salah satu titik potong grafik fungsi f terhadap sumbu X berada di interval [1, 2].

2.4.2 Hukum Kontraposisi

Seringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa ”β”

terjadi dari diketahuinya fakta ”α”. Untuk itu kita bisa menggunakan hukum kontraposisi

Rumus 2.14 (p = ⇒ q) ⇐⇒ (¯q =⇒ ¯p).

Dengan kata lain, jika dari fakta ” ¯ β” dapat dipastikan terjadinya ” ¯ α”, maka da- pat ditarik kesimpulan, bahwa dengan berlakunya fakta ”α” dapat dipastikan ”β”

terjadi. Sebaliknya jika implikasi ”α = ⇒ β” merupakan fakta yang benar, maka

dengan diketahuinya ” ¯ β” terjadi, dapat ditarik kesimpulan ” ¯ α” pasti terjadi, seperti

skema berikut ini:

α = ⇒ β β ¯

¯ α

Contoh 2.4.2 Buktikan, bahwa jika 1 + ( −1) ⁿ ̸= 0, maka n genap.

Penyelesaian: Ingkaran n genap adalah n ganjil. Akibatnya ( −1) ⁿ = −1, se- hingga 1 + ( −1) ⁿ = 0 yang merupakan ingkaran dari 1 + ( −1) ⁿ ̸= 0. Jadi kon- traposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidak langsung juga terbukti.

2.4.3 Reductio ad absurdum

Misalkan kita akan membuktikan pernyataan ”α”. Untuk itu diandaikan yang berlaku adalah ingkaran dari ”α”, yaitu ” ¯ α”. Dari pengandaian tersebut dengan penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanya mungkin terjadi kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar, yaitu ” ¯ α”.

Berikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk reductio ad absurdum:

Rumus 2.15 (¯ p = ⇒ (q ∧ ¯q)) =⇒ p.

Misalkan akan dibuktikan penyataan ”α”. Diandaikan ”α”. Jika dari kalimat

”α” dapat diturunkan ”β ∧ β”, maka dapat disimpulkan ”α” terjadi.

α = ⇒ (β ∧ β) =⇒ α Benar : Tautologi α = ⇒ (β ∧ β) Diturunkan dari ”α”

α T : Modus Ponens Contoh 2.4.3 Buktikan, bahwa √

2 bilangan irrasional.

Bukti:Yang akan dibuktikan pernyataan P : √

2 bilangan irrasional. Diandaikan P berlaku, Dengan kata lain ¯ √

2 bilangan rasional. Di Q berlaku sifat untuk setiap bilangan rasional r dapat dinyatakan dengan

r = m

n ,

dengan m dan n bilangan bulat, n ̸= 0 dan (m, n) yaitu faktor persekutuan terbesar dari m dan n sama dengan 1. √

2 bilangan rasional, maka √

2 = ^m _n , untuk suatu bilangan bulat m dan n dengan n ̸= 0 dan (m, n) = 1 (Modus ponen), sehingga

2n ² = ( √

2n) ² = m ² = mm.

Sesuai modus ponen dapat disimpulkan, m = 2c, dengan c bilangan bulat. Aki- batnya 2n ² = (2c)(2c) dan sesuai sifat kanselasi berlaku nn = n ² = 2c ² , sehingga n = 2d untuk suatu bilangan bulat d. Akbiatnya (m, n) ≥ 2, kontradiksi (m, n) = 1 dan (m, n) ≥ 2. Yang benar ¯¯ P : √

2 bilangan irrasional.

Rumus 2.16 (¯ p = ⇒ p) =⇒ p.

Untuk membuktikan ”α”, terlebih dahulu diandaikan ”α”. Jika dari penganda- ian ”α” dapat diturunkan ”α”, maka terjadi kontradiksi antara ”α” (dari pen- gandaian) dengan ”α” (hasil penurunan dari asumsi). Akibatnya pengandaian harus diingkar dan terbukti ”α”, yaitu ”α”.

(α = ⇒ α) =⇒ α Benar : Tautologi

α = ⇒ α ”α” diturunkan dari ”α”

α T : Modus Ponens

Contoh 2.4.4 Di dalam himpunan semua bilangan bulat notasi (x ₁ , x ₂ , · · · , x n ) adalah simbol faktor persekutuan terbesar dari x ₁ , x ₂ , · · · , x n . Buktikan, bahwa

(x, y) = (y, z) = (x, z) = 1 = ⇒ (x, y, z) = 1.

Bukti: Andaikan (x, y, z) > 1. Karena (x, y, z) faktor persekutuan x, y dan z, maka (x, y, z) |x dan (x, y, z)|y, sehingga (x, y, z) ≤ (x, y). Akibatnya 1 < (x, y) dan terjadi kontradiksi dengan (x, y) = 1.

Contoh 2.4.5 Di dalam semesta himpunan semua bilangan bulat berlaku sifat jika z bilangan prima dan z |ab, dengan a dan b keduanya bulat, maka z|a atau z|b.

Buktikan, bahwa jika z |b ⁿ dengan n bulat positif, maka z |b.

Bukti: Andaikan z ̸ |b. Karena z|bb ^{n −1} , maka sesuai sifat bilangan prima z |b atau

z |b ^{n −1} . Oleh karena z ̸ |b, maka z|b ^{n −1} , dan b ^{n −1} = bb ^{n −2} . Jadi z |b ^{n −2} , z |b ^{n −3} , dan

seterusnya. Pada akhirnya z |b, sehingga dapat disimpulkan z|b.

Rumus 2.17 ((p ∧ ¯q) =⇒ q) =⇒ (p =⇒ q).

Misalkan kita akan membuktikan implikasi ”α = ⇒ β”. Ingkaran ”α =⇒ β”

adalah ”α ∧ β”, sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan ”β”

terjadi. Jika dapat dibuktikan ”β”, maka terjadi kontradiksi.

((α ∧ β) =⇒ β) =⇒ (α =⇒ β) T : Tautologi

(α = ⇒ β) =⇒ β T : ”β” diturunkan dari ”α ∧ β”

α = ⇒ β T : Modus Ponens

Contoh 2.4.6 Dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real, buk- tikan bahwa jika untuk setiap ϵ ≥ 0 berlaku aleqb + ϵ, maka a ≤ b.

Bukti: Misalkan

α : Untuk setiap ϵ ≥ 0 berlaku a ≤ b + ϵ, dan β : a ≤ b,

sehingga yang akan dibuktikan adalah implikasi ”α = ⇒ β”. Diandaikan α =⇒ β berlaku. Jadi α ∧ β terjadi, yaitu berlaku untuk setiap ϵ ≥ 0 memenuhi a ≤ b + ϵ, tetapi a > b. Akibatnya a − b > 0. Dipilih ϵ yang sama dengan ^{a −b} ₂ , maka ϵ > 0 dan

a ≤ b + ϵ = b + a − b 2 .

Akibatnya 2a ≤ 2b + (a − b), sehingga a ≤ b, yaitu terbukti ”β”. Sesuai tautologi tebuktilah ”α = ⇒ β”.

Rumus 2.18 ((p ∧ ¯q) =⇒ ¯p) =⇒ (p =⇒ q).

Misalkan kita akan membuktikan implikasi ”α = ⇒ β”. Ingkaran ”α =⇒ β”

adalah ”α ∧ β”, sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan ”α”

terjadi. Jika dapat dibuktikan ”α”, maka terjadi kontradiksi, sehingga ”α ∧ β”

harus diingkar dan terjadilah ”α = ⇒ β”.

((α ∧ β) =⇒ α) =⇒ (α =⇒ β) T : Tautologi

(α = ⇒ β) =⇒ α T : ”α” diturunkan dari ”α ∧ β”

α = ⇒ β T : Modus Ponens

Contoh 2.4.7 Buktikan, bahwa jika a dan b bilangan real positif, maka 1

2 (a + b) ≥ √ ab.

Penyelesaian:

1. Bukti secara positif : Karena a dan b positif, maka a ² , b ² , a + b dan (a − b) ² posistif, sehingga

(a + b) ² ≥ (a + b) ² − (a − b) ² = (a ² + 2ab + b ² ) − (a ² − 2ab + b ² ) (a + b) ² ≥ 4ab

1

4 (a + b) ² ≥ ab 1

2 (a + b) ≥ √ ab

2. Bukti tidak langsung : Misalkan

α : a dan b positif, dan β : ¹ ₂ (a + b) ≥ √ ab.

Berarti yang harus dibuktikan adalah ”α = ⇒ β”. Diandaikan ingkaran

”α = ⇒ β”, yaitu ”α ∧ β” terjadi. Maka a dan b positif, tetapi ¹ ₂ (a + b) < √

ab.

Akibatnya ¹ ₄ (a ² + 2ab + b ² ) = ¹ ₄ (a + b) ² < ab, sehingga a ² + 2ab + b ² < 4ab.

Jadi

(a − b) ² = a ² − 2ab + b ² < 0,

yang berarti a kompleks atau b kompleks, yaitu ingkaran dari a dan b real positif, sehingga terbukti ”α = ⇒ β”.

Rumus 2.19 p = ¯ ⇒ (p =⇒ q).

Dari tautologi ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa dari sesuatu yang salah

pernyataan apapun dapat dibuktikan (Ex falso sequitur quod libet). Hal ini

berakibat, di bidang matematika jika terjadi suatu kontradiksi α dan α, maka

pernyataan matematika sebarang β (berbentuk rumus, teorema, hukum dan seba-

gainya) dapat dibuktikan bernilai benar.

α = ⇒ (α =⇒ β) T : Tautologi

α T : Karena ketentuan

α = ⇒ β T : Modus Ponens α T : Karena ketentuan

β T : Modus ponens Latihan 2.3

1. Buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi, jika mungkin tanpa menggunakan tabel.

1.1 p = ⇒ ((p =⇒ q) =⇒ q))

1.2 p = ⇒ ((p ∨ q) =⇒ q) Modus tollendo ponens 1.3 ((p ∧ q) =⇒ r) ⇐⇒ ((r ∧ q) =⇒ p)

1.4 ((p = ⇒ q) ∧ (r =⇒ s)) =⇒ ((p ∧ r) =⇒ (q ∧ s)) 1.5 (p = ⇒ q) =⇒ (q ∧ r =⇒ r ∧ p)

2. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa banyaknya bilangan-bilangan prima adalah tak berhingga.

3. Buktikan, bahwa jika ¹ ₂ (1 + ( −1) ⁿ ) ganjil, maka n genap.

4. Buktikan, bahwa jika p bilangan prima, maka √ p merupakan irrasional.

5. Diketahui segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 1 terletak pada bujur sangkar AP QR, yaitu B

terletak pada P Q dan C pada QR. Buktikan, bahwa luas segitiga BQC sama dengan jumlah luas segitiga AP B dan ARC.

6. Buktikan dengan reductio ad absurdum, bahwa akar-akar persamaan x ⁿ + a ₁ x ^{n −1} + · · · + a n −1 x + a _n = 0

bernilai bulat atau irrsional.

7. Tunjukkan, bahwa di dalam himpunan semua bilangan bulat pernyataan- pernyataan berikut ekuivalen

1. (x, y, z) = 1 4. (x, y) = 1

2. (x, z) = 1 5. (x, y) = (y, z) = (x, z) = 1.

3. (y, z) = 1

8. Dengan menggunakan pengetahuan di mata kuliah kalkulus buktikan, bahwa perpotongan grafik fungsi dengan persamaan y = 3x ³ − 3x ² − 1 terhadap sumbu X hanya ada tepat satu titik.

9. Buktikan secara langsung maupun dengan reduction ad absurdum, bahwa jika n bulat dan n ² habis dibagi 2, maka n juga habis dibagi 2.

10. Misalkan diketahui α _i , dengan i = 1, · · · , n adalah penyataan-pernyataan.

Tunjukkan, bahwa untuk membuktikan

α ₁ ⇐⇒ α 2 ⇐⇒ · · · ⇐⇒ α n

cukup dibuktikan

α 1 = ⇒ α 2 = ⇒ · · · =⇒ α n = ⇒ α 1

11. Diberikan 80 koin mata uang, terdiri dari 79 koin asli dengan bobot sama dan 1 koin palsu dengan bobot lebih berat. Dengan menggunakan timba- ngan berlengan sama, tentukan jumlah minimal banyaknya penimbangan dan bagaimana cara menimbangnya agar akhirnya diketahui koin yang palsu.

12. Lima buah kartu yaitu: A, B, C, D, E akan diberi nomor dari 0, 1, 2, 3 atau 4 tanpa ada yang sama dan dimulai dari kartu paling kiri, A. Misalnya A diberi nomor k. Kemudian kartu paling kanan diletakkan disebelah kiri kartu paling kiri, berturut-turut E, D dan seterusnya sampai sebanyak 4 − k kartu.

Kemudian kartu paling kiri diberi nomor l, yaitu satu di antara 0, 1, 2, 3, 4

selain k; selanjutnya secara berurutan dari kartu paling kanan, 4 − l kartu

dipindahkan ke sebelah kiri kartu yang paling kiri. Jika proses dilanjutkan

dengan cara tersebut tunjukkan, bahwa langkah penomoran akan gagal.

Tes Formatif II-1

PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN

Topik Bahasan : TAUTOLOGI DAN METODE PEMBUKTIAN Hari/tanggal :

Waktu : 60 menit

Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.

1. Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataan-pernyataan berikut ?

1.1. (p ⇒ q) ⇐⇒ (¯q ⇒ ¯p)

1.2. (p ⇒ (q ∧ ¯q)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇔ (q ∨ ¯p))

2. Dengan menggunakan tabel kebenaran selidikilah kebenaran dari 2.1. (p ⇒ q ⇒ r ⇒ ¯p) ⇒ ¯p

2.2. p ⇔ (¯p ⇒ (q ∧ ¯q))

Ingat: p ⇒ q ⇒ r yang dimaksud p ⇒ q dan q ⇒ r

Tes Formatif II-2

PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN

Topik Bahasan : TAUTOLOGI DAN METODE PEMBUKTIAN Hari/tanggal :

Waktu : 60 menit

Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.

Petunjuk: Kerjakan 2 (dua) soal dari 3 (tiga) soal

1. Tunjukkan, bahwa √ 3 + √

2 adalah bilangan irasional.

2. Buktikan, bahwa grafik fungsi f dengan persamaan f (x) = 3x ⁴ + 2x ² + x − 10

memotong sumbu X paling sedikit di dua titik yang berbeda.

3. Diketahui p 1 , p 2 , dan p 3 adalah tiga buah bilangan prima. Buktikan, bahwa

(p ₂ p ₃ − 1) ^p

¹

+ (p ₁ p ₃ ) ^p

²

̸= (p 1 p ₂ ) ^p

³

.

Kunci Jawaban

1. Tes Formatif II-1:

Perhatikan kembali proses pembuktian pada contoh-contoh dalam pemba- hasan

2. Tes Foematif II-2, No. 1:

Perhatikan pembuktian dalam Contoh 2.4.3. Perlakukan √

3 seperti √ 2.

Gunakan reductio ad absurdum, dengan mengndaikan √ 3 + √

2 rasional 3. Tes Formatif II-2, No. 2:

Fungsi f kontinu di seluruh bilangan real. Artinya grafik fungsi tidak pernah terpotong.

f (0) = −10 < 0 rm f(2) = 38 > 0

Grafik f menghubungkan ke dua titik, berarti grafik f akan memotong sumbu X di interval [0, 2]

Selanjutnya, f ( −1) < 0 dan f(−100) > 0, sehingga grafik f pasti memotong sumbu X di interval [ −100, −1].

Karena interval [ −100, −1] dan [0, 2] terpisah, maka minimal ditemukan dua titik potong.

Komentar Dan Pengayaan

1. Mahasiswa dinyatakan menguasai topik bahasan ini jika dapat mengerjakan Latihan secara mandiri paling sedikit 80% teori tautologi dan teknik pembuk- tikan. Tapi untuk mendukung kuliah matematika selanjutnya, maka maha- siswa harus mampu menggunakan metode pembuktian secara baik di bidang matematika.

2. Kemampuan mahasiswa dianggap cukup atau lebih jika dapat mengerjakan Tes Foematif II-2 secara mandiri dalam waktu yang ditentukan

3. Untuk melatih kemampuan pembuktian disarankan untuk berlatih menger-

jakan soal-soal Olimpiade yang bisa diakses melalui http://www.imo-official.org,

atau belajar teori logika di http://www.philosopie.uni-osnabrued.de