CCR-314 #2 Pengantar Linear Programming DEFINISI LP

(1)

PENGANTAR

LINEAR PROGRAMMING

DEFINISI LP

• Linear Programming/LP (Program Linear)

merupakan salah satu teknik dalam Riset

Operasional (Operation Research) yang paling

luas digunakan dan dikenal dengan baik.

• LP merupakan metode matematika untuk

mengalokasikan sumber daya untuk mencapai

tujuan

tunggal

seperti

memaksimumkan

keuntungan atau meminimumkan biaya.

2 2 6623

(2)

MODEL LINEAR PROGRAMMING

Adalah

sebuah

model

matematis

yang

bersifat

umum

yang

digunakan

untuk

mengalokasikan faktor produksi atau sumber

daya yang jumlahnya terbatas secara optimal,

sehingga dapat menghasilkan laba maksimal

atau biaya minimal

3 3 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

FUNGSI-FUNGSI DALAM LP

1. Variabel Keputusan

Variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan

yang hendak dicapai.

2. Fungsi Tujuan (objective function)

Di mana tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan

ke dalam sebuah fungsi matematika linear, yang

kemudian

fungsi

itu

dimaksimumkan

atau

diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada.

(3)

FUNGSI-FUNGSI DALAM LP

3. Fungsi Kendala (contrains or subject to)

Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan sebagai suatu

pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin

dibuat

dan

harus

dituangkan

ke

dalam

fungsi

matematika linear yang dihadapi oleh manajemen.

4. Fungsi Status (status function)

Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang

terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh

negatif.

ASUMSI DASAR

1. Certainty

Angka yang diasumsikan dalam f.tujuan dan f.kendala

secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu

dipelajari.

2. Proporsionality

Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai

harus proporsional.

3. Additivity

Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah

dari aktivitas individual

6 6 6623

(4)

ASUMSI DASAR

4. Divisibility

Jumlah

produk

yang

akhirnya

direkomendasikan dalam kondisi optimum,

dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat.

5. Non-negatif variable

Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau

positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d

mustahil)

FORMULASI MODEL

• Permasalahan:

mencari

nilai-nilai

optimal

(maksimum atau minimum) dari fungsi linear

dengan kendala-kendala tertentu

• Fungsi Tujuan: Fungsi linear yang dioptimumkan

• Fungsi Kendala: Fungsi-fungsi linear (lebih dari

satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi

fungsi tujuan.

• Bentuk

fungsi

tujuan:

persamaan

atau

(5)

FORMULASI MODEL

Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap:

1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan dalam

simbol matematika

2. Membentuk suatu fungsi tujuan yang ditunjukkan

sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan.

3. Menentukan

semua

kendala

masalah

dan

mengekspresikan

dalam

persamaan

atau

pertidaksamaan yang juga merupakan suatu hubungan

linear dari variable keputusan.

FUNGSI MATEMATIKA LP

1. Fungsi Tujuan

Max/Min

Z = c

₁

x

₁

+ c

₂

x

₂

+ ... + c

_n

x

_n

2. Fungsi Kendala

a

₁₁

x

₁

+

a

₁₂

x

₂

+

…

+

a

_1n

x

_n

<

b

₁

a

₂₁

x

₁

+

a

₂₂

x

₂

+

…

+

a

_2n

x

_n

<

b

₂

...

a

_m1

x

₁

+

a

_m2

x

₂

+

…

+

a

_mn

x

_n

<

b

_n

3. Fungsi Status

x

₁

; x

₂

……….. X

_n

> 0

(6)

METODE-METODE DALAM LP

Metode Linear Programming

Metode Aljabar

Simpleks Primal

Simpleks M-Besar

Simpleks Dual

Simpleks Dua Fase

Metode Grafik

11 11 6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

PERBEDAAN METODE SOLUSI

Karakteristik Formulasi

Masalah

Grafis Simpleks Simpleks Big – M

Jumlah Variabel 2 > 2 > 2 Jenis fungsi tujuan maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi maksimisasi & minimisasi Jenis fungsi

kendala semua bentuk

Pertidaksamaan bertanda “<“

Pertidaksamaan bertanda “>“ atau

(7)

CONTOH #1

Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut:

Produk

Kebutuhan Sumber Daya Tenaga Kerja (jam/unit) Tanah Liat (kg/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1313

MODEL CONTOH #1

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1414

• X1= jumlah mangkok yang diproduksi

• X2= jumlah cangkir yang diproduksi

Variabel

Keputusan

• Maksimalkan Z = 40X1+ 50X2

• Z = total laba per hari • 40X1= laba dari mangkok

• 50X2= laba dari cangkir

Fungsi

Tujuan

• 1X1+ 2X2≤ 40 (kendala tenaga kerja)

• 4X1+ 3X2≤ 120 (kendala tanah liat)

• X1≥ 0 ; X2≥ 0 (kendala non negatif)

Fungsi

(8)

CONTOH #2

Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut:

Merek Kontribusi Kimia Nitorgen (kg/kantong) Fosfat (kg/kantong) Super-grow 2 4 Crop-quick 4 3

Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan.

6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1515

MODEL CONTOH #2

• X1= jumlah pupuk SG yang dibeli

• X2= jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel

Keputusan

• Minimalkan Z = 6X1+ 3X2

• Z = total biaya pemupukan • 6X1= harga/biaya dari SG • 3X2= harga/biaya dari CQ

Fungsi

Tujuan

• 2X1+ 4X2≥ 16 (kendala nitrogen) • 4X1+ 3X2≥ 24 (kendala fosfat) • X1; X2≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

(9)

Contoh #3

Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1,

dgn sol karet, dan merek I2dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin.

Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1mula-mula dikerjakan di mesin

1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2tidak diproses di

mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000

sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa

lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa

memaksimumkan laba.

17 17 6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Contoh #3 (Uraian Bentuk Tabel)

Merek

Mesin

I

₁

(x

₁

)

I

₂

(x

₂

)

_Maksimum

Kapasitas

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30 Sumbangan laba

3

5 ?

?

(10)

MODEL CONTOH #3

6623

• X1= jumlah merek sepatu I1yang dibuat (lusin)

• X2= jumlah merek sepatu I2yang dibuat (lusin)

Variabel

Keputusan

• Maksimamlkan Z = 3X1+ 5X2

• Z = total laba yang diperoleh • 3X1= laba setiap lusin sepatu merek I1

• 5X2= laba setiap lusin sepatu merek I2

Fungsi

Tujuan

• 2X1 ≤ 16 (kendala mesin 1) • 3X2≤ 24 (kendala mesin 2) • 6X1 + 5X2≤ 30 (kendala mesin 3) • X1; X2≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

CONTOH #4

Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini :

Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum?

Jenis Produk Kebutuhan sumber daya Harga

($/unit) Buruh(jam/unit) Bahan(kg/unit) Meja Kursi 6 6 1 2 4 5

(11)

MODEL CONTOH #4

6623

• X1= jumlah meja yang dihasilkan

• X2= jumlah kursi yang dihasilkan

Variabel

Keputusan

• Maksimamlkan Z = 4X1+ 5X2

• Z = total laba yang diperoleh • 4X1= harga meja • 5X2= harga kursi

Fungsi

Tujuan

• 6X1 + 6X2≤ 36 (kendala buruh) • X1 + 2X2≤ 10 (kendala bahan) • X1; X2≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2222