CCR314 - Riset Operasional Materi #2 Ganjil 2015/2016 CCR314 RISET OPERASIONAL

(1)

6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

CCR314 – RISET OPERASIONAL

Materi #2

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Definisi LP

2

Linear Programming

/LP (Program Linear)

merupakan salah satu teknik dalam Riset

Operasional (Operation Research) yang paling luas

digunakan dan dikenal dengan baik.

LP merupakan metode matematika untuk

mengalokasikan sumber daya untuk mencapai

tujuan tunggal seperti memaksimumkan

keuntungan atau meminimumkan biaya.

(2)

Model LP

Materi #2 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 3

Adalah sebuah model matematis yang

bersifat umum yang digunakan untuk

mengalokasikan faktor produksi atau

sumber daya yang jumlahnya terbatas

secara optimal, sehingga dapat

menghasilkan laba maksimal atau biaya

minimal.

Fungsi-fungsi Dalam LP

4

Variabel Keputusan

• Variabel persoalan yang akan mempengaruhi

nilai tujuan yang hendak dicapai.

Fungsi Tujuan (

objective function

)

• Di mana tujuan yang hendak dicapai harus

diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika

linear,

yang

kemudian

fungsi

tersebut

dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap

kendala-kendala yang ada.

(3)

Fungsi-fungsi Dalam LP

Fungsi Kendala (

contrains or subject to

)

• Kendala dalam hal ini dapat diumpamakan

sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan

keputusan yang mungkin dibuat dan harus

dituangkan ke dalam fungsi matematika linear

yang dihadapi oleh manajemen.

Fungsi Status (

status function

)

• Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel

yang terdapat di dalam model programasi linear

tidak boleh negatif.

Asumsi Dasar

6

• Angka yang diasumsikan dalam

fungsi tujuan dan fungsi kendala

secara pasti diketahui dan tidak

berubah selama waktu dipelajari.

Certainty

• Alokasi

sumber

daya

dengan

goal/tujuan yang ingin dicapai harus

proporsional.

Proporsionality

• Total dari semua aktivitas adalah

sama dengan jumlah dari aktivitas

individual

(4)

Asumsi Dasar

• Jumlah

produk

yang

akhirnya

direkomendasikan dalam kondisi

optimum, dapat berupa pecahan

bukan bilangan bulat.

Divisibility

• Semua variabel bukan negatif, bisa

nol atau positif (negatif dalam

kuantitas fisik a/d mustahil)

Non-negatif

variable

Formulasi Model

8



Permasalahan:

mencari

nilai-nilai

optimal

(maksimum atau minimum) dari fungsi linear

dengan kendala-kendala tertentu.



Fungsi Tujuan: Fungsi linear yang dioptimumkan.



Fungsi Kendala: Fungsi-fungsi linear (lebih dari

satu) yang harus dipenuhi dalam optimalisasi

fungsi tujuan.



Bentuk

fungsi

tujuan:

persamaan

atau

pertidaksamaan.

(5)

Tahap Formulasi Model

Materi #2 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional

9

Formulasi model matematika, yang meliputi 3 tahap:

1. Tentukan variable keputusan dan nyatakan

dalam simbol matematika.

2. Membentuk

suatu

fungsi

tujuan

yang

ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari

variable keputusan.

3. Menentukan semua kendala masalah dan

mengekspresikan

dalam

persamaan

atau

pertidaksamaan yang juga merupakan suatu

hubungan linear dari variable keputusan.

Fungsi Matematika LP

10

1. Fungsi Tujuan

Max/Min

Z = c

₁

x

₁

+ c

₂

x

₂

+ ... + c

_n

x

_n

2. Fungsi Kendala

a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+

…

+ a

_1n

x

_n

<

b

₁

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+

…

+ a

_2n

x

_n

<

b

₂

...

a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+

…

+ a

_mn

x

_n

<

b

_n

3. Fungsi Status

x

₁

; x

₂

……….. X

_n

> 0

(6)

Metode-metode Dalam LP

Metode Linear Programming

Metode Aljabar

Simpleks Primal

Simpleks M-Besar

Simpleks Dual

Simpleks Dua Fase

Metode Grafik

Perbedaan Metode Solusi

12

Karakteristik

Formulasi

Masalah

Grafis

Simpleks

Simpleks Big – M

Jumlah

Variabel

2 > 2

> 2

Jenis fungsi

tujuan

maksimisasi

& minimisasi

maksimisasi &

minimisasi

maksimisasi &

minimisasi

Jenis fungsi

kendala

semua

bentuk

Pertidaksamaan

bertanda “<“

Pertidaksamaan

bertanda “>“ atau

persamaan “=“

(7)

Contoh #1

 Sebuah perusahaan memperkerjakan pengrajin untuk memproduksi

mangkok dan cangkir. Sumber daya utama yang digunakan perusahaan adalah tanah liat dan tenaga kerja. Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan cangkir yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimalkan laba. Parameter kedua produk adalah sebagai berikut:

Produk

Kebutuhan Sumber Daya Tenaga Kerja (jam/unit) Tanah Liat (kg/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 Materi #2 Ganjil 2015/2016 13 CCR314 - Riset Operasional h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Model Contoh #1

14

• X

₁

= jumlah mangkok yang diproduksi

• X

2

= jumlah cangkir yang diproduksi

Variabel

Keputusan

• Maksimalkan Z = 40X

₁

+ 50X

₂

• Z = total laba per hari

• 40X

1

= laba dari mangkok

• 50X

₂

= laba dari cangkir

Fungsi

Tujuan

• 1X

1

+ 2X

2

≤ 40

(kendala tenaga kerja)

• 4X

₁

+ 3X

₂

≤ 120

(kendala tanah liat)

• X

1

; X

2

≥ 0

(kendala non negatif)

Fungsi

Kendala

(8)

Contoh #2

Merek Kontribusi Kimia (kg/kantong)

Nitorgen Fosfat Super-grow (SG) 2 4 Crop-quick (CQ) 4 3 Materi #2 Ganjil 2015/2016 15 CCR314 - Riset Operasional

Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam dan membutuhkan pemupukan. Terdapat dua merek pupuk, Super-grow (SG) dan Crop-quick (CQ). Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu, sebagai berikut:

Lahan petani memerlukan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat. Harga Super-grow $6 per kantong, dan Crop-quick berharga $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa banyak kantong dari setiap merek yang akan dibeli dalam rangka meminimalkan total biaya pemupukan.

Model Contoh #2

16

• X

₁

= jumlah pupuk SG yang dibeli

• X

2

= jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel

Keputusan

• Minimalkan Z = 6X

₁

+ 3X

₂

• Z = total biaya pemupukan

• 6X

1

= harga/biaya dari SG

• 3X

₂

= harga/biaya dari CQ

Fungsi

Tujuan

• 2X

1

+ 4X

2

≥ 16

(kendala nitrogen)

• 4X

₁

+ 3X

₂

≥ 24

(kendala fosfat)

• X

1

; X

2

≥ 0

(kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

(9)

Contoh #3

 Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I₁,

dengan sol karet, dan merek I2 dengan sol kulit. Diperlukan 3 macam

mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula

dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek

I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2

selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek

I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah

menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2

yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Contoh #3 (Uraian Bentuk Tabel)

18

Merek

Mesin

I

₁

(x

₁

)

I

₂

(x

₂

)

Kapasitas

Maksimum

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30 Sumbangan laba

3

5 ?

?

(10)

Model Contoh #3

• X

₁

= jumlah sepatu I

₁

yang dibuat (lusin)

• X

2

= jumlah sepatu I

2

yang dibuat (lusin)

Variabel

Keputusan

• Maksimamlkan Z = 3X

1

+ 5X

2

• Z = total laba yang diperoleh

• 3X

1

= laba setiap lusin sepatu I

1

• 5X

2

= laba setiap lusin sepatu I

2

Fungsi

Tujuan

• 2X

₁

≤ 8

(kendala mesin 1)

• 3X

2

≤ 15

(kendala mesin 2)

• 6X

1

+ 5X

2

≤ 30

(kendala mesin 3)

• X

1

; X

2

≥ 0

(kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

Contoh #4

Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan harga jual per unit, dijelaskan dalam tabel dibawah ini :

Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum?

20

Jenis Produk Kebutuhan sumber daya Harga

($/unit) Buruh(jam/unit) Bahan(kg/unit) Meja Kursi 6 6 1 2 4 5

(11)

Model Contoh #4

• X

1

= jumlah meja yang dihasilkan

• X

₂

= jumlah kursi yang dihasilkan

Variabel

Keputusan

• Maksimamlkan Z = 4X

₁

+ 5X

₂

• Z = total laba yang diperoleh

• 4X

1

= harga meja

• 5X

₂

= harga kursi

Fungsi

Tujuan

• 6X

1

+ 6X

2

≤ 36

(kendala buruh)

• X

1

+ 2X

2

≤ 10

(kendala bahan)

• X

1

; X

2

≥ 0

(kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

66 23 - Ta uf iqu r R ac hman h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d