Lampiran 1 Pembuktian Teorema (Rumus Proyeksi Ortogonal)

(1)

LAMPIRAN

(2)

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.4.15 (Rumus Proyeksi Ortogonal)

Misalkan suatu hiperbidang di ℝ

^𝑁

mempunyai persamaan 𝐚

^𝑇

𝐱 = 𝑏 dan misalkan 𝐱

^∗

adalah sebarang titik di ℝ

^𝑁

, maka proyeksi ortogonal, 𝐱

_𝑝

, dari 𝐱

^∗

terhadap hiperbidang tersebut dinyatakan dengan

𝐱

_𝑝

= 𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚.

Bukti:

Teorema ini dapat dibuktikan dengan membuktikan bahwa (i) titik 𝐱

𝑝

terletak pada hiperbidang 𝐚

^𝑇

𝐱 = 𝑏 (dalam hal ini, 𝐚

^𝑇

𝐱

_𝑝

= 𝑏) dan (ii) vektor 𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

ortogonal terhadap hiperbidang 𝐚

^𝑇

𝐱 = 𝑏 (dalam hal ini, vektor 𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

sejajar dengan vektor 𝐚).

Pertama, karena

𝐱

_𝑝

= 𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚, maka

𝐚

^𝑇

𝐱

_𝑝

= 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚 = 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚

^𝑇

𝐚 = 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚

^𝟐

= 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

= 𝑏.

Jadi, terbukti bahwa titik 𝐱

𝑝

terletak pada hiperbidang 𝐚

^𝑇

𝐱 = 𝑏.

Kedua, karena

𝐱

_𝑝

= 𝐱

^∗

+ 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚, maka

𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

= 𝑏 − 𝐚

^𝑇

𝐱

^∗

𝐚

^𝟐

𝐚.

Karena vektor 𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

merupakan merupakan vektor 𝐚 dikalikan dengan suatu skalar, maka vektor 𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

sejajar dengan vektor 𝐚. Jadi, terbukti bahwa vektor 𝐱

_𝑝

− 𝐱

^∗

ortogonal terhadap hiperbidang 𝐚

^𝑇

𝐱 = 𝑏.

Bukti lengkap. ∎

(3)

Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (6)

Diketahui Persamaan (3), yaitu

𝑓

𝑖

𝐱 = 𝐱 + 𝑏

_𝑖

− 𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

𝑖

untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀.

Akan dibuktikan bahwa Persamaan (3) ekivalen dengan Persamaan (6), yaitu 𝑓

_𝑖

𝐱 = 𝑃

_𝑖

𝐱 + 𝑏

𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀 dengan

𝑃

_𝑖

= 𝐼 − 1

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

𝐚

_𝑖^𝑇

. Bukti:

𝑓

_𝑖

𝐱 = 𝐱 + 𝑏

_𝑖

− 𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱 𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

↔ 𝑓

_𝑖

𝐱 = 𝐱 − 𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

+ 𝑏

𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

↔ 𝑓

_𝑖

𝐱 = 𝐱 − 1

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱 + 𝑏

_𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

↔ 𝑓

𝑖

𝐱 = 𝐼𝐱 − 1

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

𝑖

𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱 + 𝑏

_𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

𝑖

↔ 𝑓

_𝑖

𝐱 = 𝐼 − 1

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

𝐚

_𝑖^𝑇

𝐱 + 𝑏

_𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

_𝑖

.

Bukti lengkap. ∎

(4)

Lampiran 3 Pembuktian Persamaan (9)

Diketahui Persamaan (4), yaitu

𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

₁

∘ 𝑓

₂

∘ ⋯ ∘ 𝑓

_𝑀

𝐱 = 𝑓

₁

𝑓

₂

⋯ 𝑓

_𝑀

𝐱 ⋯ , Persamaan (6), yaitu

𝑓

𝑖

𝐱 = 𝑃

_𝑖

𝐱 + 𝑏

_𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝐚

𝑖

untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀, Persamaan (8), yaitu

𝑅𝐛 = 𝑏

𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝑄

_𝑖−1

𝐚

_𝑖

𝑀

𝑖=1

,

dan

𝑄

𝑖

= 𝑃

1

𝑃

2

… 𝑃

𝑖

(𝑖 = 1, 2, … , 𝑀) dengan 𝑄

0

= 𝐼.

Akan dibuktikan bahwa Persamaan (4) ekivalen dengan Persamaan (9), yaitu 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑄𝐱 + 𝑅𝐛

dengan matriks 𝑄 = 𝑄

_𝑀

. Bukti:

𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑄𝐱 + 𝑅𝐛

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑃

₁

𝑃

₂

… 𝑃

_𝑀

𝐱 + 𝑏

𝑖

𝐚

_𝑖 ²

𝑄

_𝑖−1

𝐚

_𝑖

𝑀

𝑖=1

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑃

₁

𝑃

₂

… 𝑃

_𝑀

𝐱 + 𝑏

1

𝐚

₁ ²

𝑄

₀

𝐚

₁

+ 𝑏

2

𝐚

₂ ²

𝑄

₁

𝐚

₂

+ ⋯ + 𝑏

𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑄

_𝑀−1

𝐚

_𝑀

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑃

1

𝑃

2

… 𝑃

𝑀

𝐱 + 𝑏

₁

𝐚

₁ ²

𝐚

1

+ 𝑏

₂

𝐚

₂ ²

𝑃

1

𝐚

2

+ ⋯ + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑃

1

𝑃

2

… 𝑃

𝑀−1

𝐚

𝑀

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑃

1

𝑃

2

… 𝑃

𝑀

𝐱 + 𝑏

₂

𝐚

₂ ²

𝐚

2

+ ⋯ + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑃

2

… 𝑃

𝑀−1

𝐚

𝑀

+ 𝑏

₁

𝐚

₁ ²

𝐚

1

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

1

𝑃

2

… 𝑃

𝑀

𝐱 + 𝑏

₂

𝐚

₂ ²

𝐚

2

+ ⋯ + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑃

2

… 𝑃

𝑀−1

𝐚

𝑀

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

1

𝑃

2

𝑃

3

… 𝑃

𝑀

𝐱 + ⋯ + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑃

3

… 𝑃

𝑀−1

𝐚

𝑀

+ 𝑏

₂

𝐚

₂ ²

𝐚

2

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

1

𝑓

2

𝑃

3

… 𝑃

𝑀

𝐱 + ⋯ + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝑃

3

… 𝑃

𝑀−1

𝐚

𝑀

⋮

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

1

𝑓

2

⋯ 𝑃

𝑀

𝐱 + 𝑏

_𝑀

𝐚

_𝑀 ²

𝐚

𝑀

⋯

↔ 𝐹 𝐱; 𝐛 = 𝑓

₁

𝑓

₂

⋯ 𝑓

_𝑀

𝐱 ⋯ .

Bukti lengkap. ∎

(5)

Lampiran 4 Bukti Persamaan (10)

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9), untuk 𝐛 = 𝟎 diperoleh 𝐱

^𝑛+1

= 𝐹 𝐱

^𝑛

; 𝟎 = 𝑄𝐱

^𝑛

, Akan dibuktikan (dengan menggunakan Induksi Matematika) bahwa

𝐱

^𝑛

= 𝑄

^𝑛

𝐱

⁰

, untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ.

Bukti:

 Untuk 𝑛 = 1, Ruas kiri:

𝐱

¹

= 𝑄𝐱

⁰

. Ruas kanan:

𝑄𝐱

⁰

.

Ruas kiri sama dengan ruas kanan, berarti benar untuk 𝑛 = 1.

 Anggap benar untuk 𝑛 = 𝑚, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu

𝐱

^𝑚

= 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

.

 Akan dibuktikan bahwa benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu 𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

. Bukti:

𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑄𝐱

^𝑚

= 𝑄𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

. Terbukti benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ.

Bukti lengkap. ∎

(6)

Lampiran 5 Pembuktian Persamaan (11)

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9), untuk 𝐛 = 𝟎 diperoleh 𝐱

^𝑛+1

= 𝐹 𝐱

^𝑛

; 𝟎 = 𝑄𝐱

^𝑛

, dan berdasarkan bagian pertama dari Teorema 4.3.6, diperoleh

𝑄 = 𝑃

𝒦

+ 𝑄 = 𝑃

𝒦

+ 𝑄𝑃

ℐ

. Akan dibuktikan (dengan menggunakan Induksi Matematika) bahwa

𝐱

^𝑛

= 𝑃

𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄

^𝑛

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

,

untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ.

Bukti:

 Untuk 𝑛 = 1, Ruas kiri:

𝐱

¹

= 𝑄𝐱

⁰

. Ruas kanan:

𝑃

_𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄 𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

= 𝑃

_𝒦

+ 𝑄 𝐱

⁰

= 𝑄𝐱

⁰

.

Ruas kiri sama dengan ruas kanan, berarti benar untuk 𝑛 = 1.

 Anggap benar untuk 𝑛 = 𝑚, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu 𝐱

^𝑚

= 𝑃

_𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

.

 Akan dibuktikan bahwa benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu 𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑃

𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

. Bukti:

𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑄𝐱

^𝑚

= 𝑃

_𝒦

+ 𝑄 𝑃

_𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

= 𝑃

𝒦

𝑃

𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑃

𝒦

𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

+ 𝑄𝑃

ℐ

𝑃

𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

= 𝑃

_𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝟎 + 𝑄𝟎 + 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

= 𝑃

_𝒦

𝐱

⁰

∈ Ker 𝐴

+ 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

∈ Im 𝐴^𝑇

.

Terbukti benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ.

Bukti lengkap. ∎

(7)

Lampiran 6 Pembuktian Persamaan (12)

Berdasarkan Persamaan (5) dan (9), diperoleh

𝐱

^𝑛+1

= 𝐹 𝐱

^𝑛

; 𝐛 = 𝑄𝐱

^𝑛

+ 𝑅𝐛.

Akan dibuktikan (dengan menggunakan Induksi Matematika) bahwa 𝐱

^𝑛

= 𝑄

^𝑛

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑛−1

𝑘=0

𝐛,

untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ.

Bukti:

 Untuk 𝑛 = 1, Ruas kiri:

𝐱

¹

= 𝑄𝐱

⁰

+ 𝑅𝐛.

Ruas kanan:

𝑄𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

0

𝑘=0

𝐛 = 𝑄𝐱

⁰

+ 𝑄

⁰

𝑅𝐛 = 𝑄𝐱

⁰

+ 𝑅𝐛.

Ruas kiri sama dengan ruas kanan, berarti benar untuk 𝑛 = 1.

 Anggap benar untuk 𝑛 = 𝑚, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu

𝐱

^𝑚

= 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚 −1

𝑘=0

𝐛.

 Akan dibuktikan bahwa benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ, yaitu

𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚

𝑘=0

𝐛.

Bukti:

𝐱

^{𝑚 +1}

= 𝑄𝐱

^𝑚

+ 𝑅𝐛

= 𝑄 𝑄

^𝑚

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚 −1

𝑘=0

𝐛 + 𝑅𝐛

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

+ 𝑄 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚 −1

𝑘=0

𝐛 + 𝑅𝐛

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

+ 𝑄

^{𝑘 +1}

𝑅

𝑚 −1

𝑘=0

𝐛 + 𝑅𝐛

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚

𝑘=1

𝐛 + 𝑄

⁰

𝑅𝐛

= 𝑄

^{𝑚 +1}

𝐱

⁰

+ 𝑄

^𝑘

𝑅

𝑚

𝑘=0

𝐛.

Terbukti benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ.

Bukti lengkap. ∎

(8)

Lampiran 7 Program MATLAB dari algoritme untuk metode Kaczmarz

Fungsi kaczmarz

function x = kaczmarz(A,b,x0)

%---

% Fungsi kaczmarz menghasilkan penyelesaian hampiran atas sistem persamaan linear

% (SPL) Ax=b :

% a11*x1 + a12*x2 + ... + a1N*xN = b1

% a21*x1 + a22*x2 + ... + a2N*xN = b2

% :

% aM1*x1 + aM2*x2 + ... + aMN*xN = b3

% menggunakan metode Kaczmarz.

%---

% Input:

% A = matriks berorde M x N (matriks koefisien dari SPL)

% a11 a12 ... a1N

% a21 a22 ... a2N

% :

% aM1 aM2 ... aMN

% b = vektor kolom berorde M x 1 (vektor konstanta dari SPL)

% b1

% b2

% :

% bM

% x0 = vektor kolom berorde N x 1 (penyelesaian hampiran awal)

%

% Input tambahan:

% iter = banyaknya iterasi

% harus berupa bilangan asli

% default: 100

% atau

% tol = batas toleransi

% harus berupa bilangan real positif

% default: 10^(-6)

%

% Output:

% x = vektor kolom berorde Nx1 (penyelesaian hampiran)

% x1

% x2

% :

% xN

%---

% Cek banyaknya input if (nargin < 3)

error('Input terlalu sedikit.');

elseif (nargin > 3)

error('Input terlalu banyak.');

end

[M,N] = size(A);

% Orde A, b, dan x0 harus cocok if (size(b,1) ~= M)

error('Orde matriks A dan vektor b tidak cocok.');

elseif (size(b,2) ~= 1)

error('b harus berbentuk vektor kolom.');

elseif (size(x0,1) ~= N || size(x0,2) ~= 1) error('Orde x0 tidak cocok dengan masalah.') end

x = zeros(N,1);

% Penentuan kriteria pemberhentian

disp('Apakah kriteria pemberhentian akan ditentukan sendiri?');

disp('Pilih : 1 atau 0');

disp('1 : Ya');

disp('0 : Tidak');

jawab = input('Jawab : ');

if (isempty(jawab))

error('Tidak ada jawaban.');

(9)

Lampiran 7 (lanjutan)

elseif (jawab ~= 1 && jawab ~= 0)

error('Jawaban harus berupa bilangan 1 atau 0.');

elseif (jawab == 0)

disp('Kriteria pemberhentian:')

disp('Banyaknya iterasi = 100 atau batas toleransi = 10^(-6).');

maksiter = 100; % Nilai default tol = 10^(-6); % Nilai default iter = 1;

for k = 1:M

x = x0+(b(k)-A(k,:)*x0)*A(k,:)'/(norm(A(k,:))^2);

x0 = x;

end

d = norm(A*x-b);

while (iter <= maksiter && d > tol) iter = iter+1;

for i = 1:iter for k = 1:M

x0 = x;

end end

d = norm(A*x-b);

end

disp(['Pada iterasi ke-', num2str(iter)]);

disp(['diperoleh penyelesaian hampiran dengan norm sisaan sebesar ', num2str(d)]);

else

disp('Pilih kriteria pemberhentian (1, 2, atau 3)');

disp('1 : Banyaknya iterasi');

disp('2 : Batas toleransi');

disp('3 : Keduanya');

itertol = input('Pilihan : ');

if (isempty(itertol))

error('Tidak ada kriteria pemberhentian yang dipilih.');

elseif (itertol ~= 1 && itertol ~= 2 && itertol ~=3) error('Input harus berupa bilangan 1, 2 atau 3.');

elseif (itertol == 1)

disp('Masukkan banyaknya iterasi!');

disp('Banyaknya iterasi harus berupa bilangan asli.');

iter = input('Banyaknya iterasi = ');

if (isempty(iter))

error('Tidak ada input sebagai banyaknya iterasi.');

elseif (iter < 1 || (fix(iter)-iter) ~= 0)

error('Banyaknya iterasi harus berupa bilangan asli.');

else

x0 = x;

end end

d = norm(A*x-b);

end

elseif (itertol == 2)

disp('Masukkan batas toleransi!');

disp('Batas toleransi harus berupa bilangan real positif.');

tol = input('Batas toleransi = ');

if (isempty(tol))

error('Tidak ada input sebagai batas toleransi.');

elseif (tol <= 0)

error('Batas toleransi harus berupa bilangan real positif.');

else

iter = 1;

(10)

Lampiran 7 (lanjutan)

for k = 1:M

x0 = x;

end

d = norm(A*x-b);

while d > tol iter = iter+1;

for k = 1:M

x0 = x;

end

d = norm(A*x-b);

end

end else

disp('Pertama, masukkan banyaknya iterasi!');

disp('Banyaknya iterasi harus berupa bilangan asli.');

iter = input('Banyaknya iterasi = ');

if (isempty(iter))

error('Tidak ada input sebagai banyaknya iterasi.');

elseif (iter < 1 || (fix(iter)-iter) ~= 0)

error('Banyaknya iterasi harus berupa bilangan asli.');

else

maksiter = iter;

end

disp('Kedua, masukkan batas toleransi!');

disp('Batas toleransi harus berupa bilangan real positif.');

tol = input('Batas toleransi = ');

if (isempty(tol))

error('Tidak ada input sebagai batas toleransi.');

elseif (tol <= 0)

error('Batas toleransi harus berupa bilangan real positif.');

end iter = 1;

for k = 1:M

x0 = x;

end

d = norm(A*x-b);

while (iter <= maksiter && d > tol) iter = iter+1;

x0 = x;

end end

d = norm(A*x-b);

end

end end end

(11)

Lampiran 8 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari SPL ke-1

Fungsi blur

function [A,b] = blur(N,band,sigma)

%---

% Masalah uji BLUR: Memburamkan gambar digital.

%

% Matriks A adalah matriks simetrik berukuran (N^2)x(N^2), matriks Toeplitz blok

% ganda yang memodelkan pemburaman suatu gambar berukuran NxN dengan suatu fungsi

% pemancaran titik Gauss. Ini disimpan dalam format matriks sparse.

%

% Pada setiap blok Toeplitz, hanya elemen-elemen matriks dalam suatu jarak band-1

% dari diagonal yang merupakan taknol (band adalah setengah bandwidth). Jika band

% tidak dirinci, digunakan band = 3.

%

% Parameter sigma mengontrol lebar dari fungsi pemancaran titik Gauss dan

% akibatnya jumlah pemulusan. Jika sigma tidak dirinci, digunakan sigma = 0.7.

%

% Vektor x adalah suatu versi kolom yang ditumpuk dari suatu gambar uji sederhana,

% sedangkan vektor b adalah suatu versi kolom yang ditumpuk dari gambar yang

% diburamkan, yaitu b = A*x.

%---

% Inisialisasi if (nargin < 2) band = 3;

end

band = min(band,N);

if (nargin < 3) sigma = 0.7;

end

% Mengonstruksi matriks koefisien A

z = [exp(-([0:band-1].^2)/(2*sigma^2)),zeros(1,N-band)];

A = toeplitz(z);

A = sparse(A);

A = (1/(2*pi*sigma^2))*kron(A,A);

% Mengonstruksi vektor konstanta b x = zeros(N,N);

N2 = round(N/2);

N3 = round(N/3);

N6 = round(N/6);

N12 = round(N/12);

T = zeros(N6,N3);

for i = 1:N6 for j = 1:N3

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 1) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T];

T = [flipud(T);T];

x(2+[1:2*N6],N3-1+[1:2*N3]) = T;

T = zeros(N6,N3);

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 0.6) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T];

T = [flipud(T);T];

x(N6+[1:2*N6],N3-1+[1:2*N3]) = x(N6+[1:2*N6],N3-1+[1:2*N3]) + 2*T;

(12)

Lampiran 8 (lanjutan)

f = find(x==3);

x(f) = 2*ones(size(f));

T = triu(ones(N3,N3));

[mT,nT] = size(T);

x(N3+N12+[1:nT],1+[1:mT]) = 3*T;

T = zeros(2*N6+1,2*N6+1);

[mT,nT] = size(T);

T(N6+1,1:nT) = ones(1,nT);

T(1:mT,N6+1) = ones(mT,1);

x(N2+N12+[1:mT],N2+[1:nT]) = 4*T;

x = reshape(x(1:N,1:N),N^2,1);

b = A*x;

end

(13)

Lampiran 9 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari SPL ke-2

Fungsi phillips

function [A,b] = phillips(n)

%---

% Diskretisasi persamaan Fredholm jenis pertama ditemukan oleh D. L. Phillips.

% Didefinisikan fungsi

% phi(x) = | 1 + cos(x*pi/3) , |x| < 3 .

% | 0 , |x| >= 3

% maka kernel K, penyelesaian f, dan ruas kanan g diberikan oleh:

% K(s,t) = phi(s-t) ,

% f(t) = phi(t) ,

% g(s) = (6-|s|)*(1+.5*cos(s*pi/3)) + 9/(2*pi)*sin(|s|*pi/3) .

% Interval integrasi adalah [-6,6].

%

% Didiskretisasi dengan metode Galerkin.

%

% Input : n harus kelipatan 4.

%---

% Cek input if (rem(n,4)~=0)

error('n harus kelipatan 4');

end

% Mengonstruksi matriks koefisien A h = 12/n;

n4 = n/4;

r1 = zeros(1,n);

c = cos((-1:n4)*4*pi/n);

r1(1:n4) = h + 9/(h*pi^2)*(2*c(2:n4+1) - c(1:n4) - c(3:n4+2));

r1(n4+1) = h/2 + 9/(h*pi^2)*(cos(4*pi/n)-1);

A = toeplitz(r1);

% Mengonstruksi vektor konstanta b b = zeros(n,1); c = pi/3;

for i = n/2+1:n

t1 = -6 + i*h; t2 = t1 - h;

b(i) = t1*(6-abs(t1)/2) ...

+ ((3-abs(t1)/2)*sin(c*t1) - 2/c*(cos(c*t1) - 1))/c ...

- t2*(6-abs(t2)/2) ...

- ((3-abs(t2)/2)*sin(c*t2) - 2/c*(cos(c*t2) - 1))/c;

b(n-i+1) = b(i);

end

b = b/sqrt(h);

end

(14)

Lampiran 10 Program MATLAB untuk membangkitkan matriks koefisien dan vektor konstanta dari SPL ke-3

Fungsi tomo

function [A,b,x] = tomo(N,f)

%---

% TOMO: Membuat suatu masalah uji tomografi 2D

%

% Fungsi ini membuat suatu masalah uji tomografi dua dimensi sederhana. Suatu

% domain 2D [0,N]x[0,N] dibagi ke dalam N^2 sel dengan ukuran satuan dan sejumlah

% round(f*N^2) sinar pada arah acak yang menembus domain ini. Nilai default

% adalah f=1.

%

% Setiap sel bersesuaian dengan suatu nilai dalam vektor x dan setiap sinar

% bersesuaian dengan elemen dalam vektor konstanta b, yaitu

% sum_{cells in ray} x_{cell j} * length_{cell j}

% dengan length_{cell j} adalah panjang sinar pada sel ke-j.

%

% Matriks A adalah sparse, dan setiap baris (bersesuaian dengan suatu sinar)

% memegang nilai length_{cell j} pada posisi ke-j. Oleh karena itu:

% b = A*x .

% Apabila suatu penyelesaian x_reg telah dihitung, ini dapat divisualisasikan

% dengan mengartikan imagesc(reshape(x_reg,N,N)).

%

% Penyelesaian eksak, reshape(x,N,N), identik dengan gambar eksak pada fungsi

% blur.

%---

% Nilai default if nargin==1 f = 1;

end

% Mengonstruksi matriks koefisien A

A = spalloc(N,N,2*N);

x = (0:N)';

y = x;

for i = 1:round(f*N^2)

x0 = N*rand;

x1 = N*rand;

y0 = N*rand;

y1 = N*rand;

a = (y1-y0)/(x1-x0);

b = y0 - a*x0;

yp = a*x + b;

xp = (y - b)/a;

xp = [x;xp];

yp = [yp;y];

[xp,I] = sort(xp);

yp = yp(I);

I = find(xp >= 0 & xp <= N & yp >= 0 & yp <= N);

xp = xp(I);

yp = yp(I);

I = find(diff(xp)==0);

xp(I) = [];

yp(I) = [];

d = sqrt( diff(xp).^2 + diff(yp).^2 );

xm = 0.5*(xp(1:end-1)+xp(2:end));

ym = 0.5*(yp(1:end-1)+yp(2:end));

j = ( floor(xm) )*N + floor(ym) + 1;

A(i,j) = d';

end

(15)

Lampiran 10 (lanjutan)

x = zeros(N,N);

N2 = round(N/2);

N3= round(N/3);

N6 = round(N/6);

N12 = round(N/12);

T = zeros(N6,N3);

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 1) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T];

T = [flipud(T);T];

x(2+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) = T;

T = zeros(N6,N3);

if ((i/N6)^2 + (j/N3)^2 < 0.6) T(i,j) = 1;

end end end

T = [fliplr(T),T];

T = [flipud(T);T];

x(N6+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) = x(N6+(1:2*N6),N3-1+(1:2*N3)) + 2*T;

f = find(x==3);

x(f) = 2*ones(size(f));

T = triu(ones(N3,N3));

[mT,nT] = size(T);

x(N3+N12+(1:nT),1+(1:mT)) = 3*T;

T = zeros(2*N6+1,2*N6+1);

[mT,nT] = size(T);

T(N6+1,1:nT) = ones(1,nT);

T(1:mT,N6+1) = ones(mT,1);

x(N2+N12+(1:mT),N2+(1:nT)) = 4*T;

x = reshape(x(1:N,1:N),N^2,1);

% Mengonstruksi vektor konstanta b b = A*x;

end

(16)

Lampiran 11 Norm sisaan dari penyelesaian hampiran atas ketiga SPL yang digunakan yang diperoleh pada iterasi ke-0 sampai iterasi ke-30

Iterasi ke-

Norm sisaan dari penyelesaian hampiran