#3 PEMODELAN JARINGAN DAN SISTEM

(1)

Hal. 1 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id

#3 PEMODELAN JARINGAN DAN SISTEM

3.1. Pendahuluan

Untuk mengevaluasi keandalan dari suatu komponen atau sistem yang pertama kali harus dilakukan adalah dengan memodelkan komponen atau sistem tersebut kedalam diagram blok keandalan (reliabiliy block diagram). Dari diagram blok keandalan ini kemudian dihitung keandalan dari komponen atau sistem yang bersangkutan. Hal ini sangat mungkin dilakukan untuk sistem yang sederhana. Untuk sistem yang lebih kompleks, evalusi keandalan dapat dilakukan dengan memakai teknik lain seperti pendekatan probabilitas kondisional (conditiional probabilistic approach), himpunan pemotong (cut set), himpunan pengumpul (tie set) dan pendekatan-pendekatan probabilistik lain.

Dalam mengevaluasi keandalan dari sistem, indeks keandalan dari masing-masing komponen yang ada didalam sistem yang akan dievaluasi dapat diekspresikan dengan nilai yang konstan untuk didurasi waktu tertentu. Cara mengevaluasi keandalan sistem seperti ini dikategorikan sebagai evaluasi model keandalan statis.

Evaluasi keandalan dari suatu sistem dengan memakai model statis biasanya dilakukan pada analisa pendahuluan untuk mendesain suatu sistem. Model stastis dipakai untuk mengeveluasi berbagai kemungkinan desain dan dipakai untuk menentukan level keandalan yang diperlukan baik untuk subsistem dan komponen yang ada didalam sistem.

Untuk membuat blok diagram keandalan dari suatu sistem, antara bentuk fisik sistem dan model blok diagram keandalan dari sistem tidak harus selalu sama. Blok diagram keandalan dari sistem akan sangat tergantung dari kepiawaian sang analisis dalam memahami cara kerja suatu sistem dan menerjemahkannya kedalam blok diagram keandalan. Susunan diagram blok keandalan ini untuk sistem yang sederhana pada dasarnya terdiri dari susunan seri dan paralel atau kombinasi susunan seri dan paralel.

Sebagai contoh yang sederhana akan dipakai sebuah subsistem yang terdiri dari dua buah filteer. Jika didefinisikan agar sistem itu dapat berfungsi diperlukan dua buah filter yang bekerja

bersamasama, maka

diagram bllok keandalan dengan susunan seri adalah yang paling tepat untuk dipakai sebagai model. Sedang bila sistem itu akan berfungsi dengan

baik bila hanya

membutuhkan satu buah filter yang bekerja, maka diagram blok keandalan dengan susunan paralel adalah yang paling tepat untuk dipakai sebagai model. Gambar 3.1 menunjukan blok diagram keandalan dengan susunan seri dan paralel dari dua buah filter yang dipakai sebagai contoh penjelasan.

(2)

Hal. 2 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id 3.2. Sistem Dengan Susunan Seri

Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika kompponen-komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja atau berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan misinya. Atau dengan kata lain bila ada satu komponen saja yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya. Sistem yang mempunyai susunan seri dapat dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant system). Blok diagram keandalan untuk sistem yang terdiri dari dua komponen dengan susunan seri dapat dilihat pada Gambar 3.1.a.

Misal keandalan untuk komponen 1 pada Gambar 3.1.a adalah R1 dan keandalan untuk komponen 2 adalah R2. Jika keandalan ini mewakili probabilitas suatu komponen untuk tidak mengalami kegagalan atau probabilitas sukses dari komponen pada periode waktu yang telah ditentukan, maka keandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspesikan sebagai perkalian indeks keandalan kedua komponen. Secara matematis, jika Rs menyatakan keandalan dari sistem diatas maka:

(3.1)

Dari sistem selain diekspresikan dalam keandalan, sistem itu juga bisa diekspresikan dalam bentuk ketakandalan (unreliability). Indeks ketakandalan ini mewakili probabilitas dari suatu komponen yang akan mengalami kegagalan pada periode waktu tertentu. Ketakandalan dari sebuah komponen i dinotasikan dengan notasi Qi. Hubungan antara indeks keandalan dan indeks ketandalan dari suatu

komponen dapat diekspresikan kedalam rumusan sebagai berikut.

(3.2)

Gambar 3.2. Diagram Blok Keandalan Dari n Buah Komponen Dalam Susunan Seri

Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki indeks keandalan R1, R2, …, Rn, seperti terlihat pada gambar 3.2, maka ekspresi keandalan dari

sistem itu adalah:

∏

(3.3)

Sedang ekspresi ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dari n buah komponen adalah:

(3)

∏

(3.4)

Contoh 3.1

Sebuah sistem kontrol terdiri dari lima buah unit dimana semua unit pendukungnya ini bekerja seluruhnya agar sistem kontrol tersebut dapat berfungsi. Jika indeks keandalan dari kelima unit itu masing-masing adalah 0,9; 0,95; 0,87; 0,93 dan 0,9. Tentukan indeks keandalan dari sistem kontrol tersebut.

Solusi

Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari sistem kontrol tersebut adalah blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing unit diekspresikan dalam Ri maka keandalan dari sistem kontrol itu adalah

∏

∏( )( )( )( )( )

Contoh 3.2

a. Dari contoh 3.1, jika masing-masing komponen mempunyai keandalan 0,9. Tentukan keandalan dari sistem kontrol diatas.

b. Jika seorang desainer sanggup menyederhanakan sistem kontrol tersebut diatas hanya menjadi tiga unit, dengan nilai keandalan untuk masing-masing unit tetap 0,9. Hitung keandalan dari sistem kontrol yang baru.

c. Beri komentar tentang nilai keandalan dari dua sistem tersebut diatas.

Solusi

a. Untuk sistem kontrol dengan susunan seri dari lima unit yang memiliki keandalan yang sama R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R = 0,9

∏

( )

b. Untuk sistem kontrol dengan susunan seri dari tiga unit yang memiliki keandalan yang sama R1 = R2 = R3 = R = 0,9

∏

( )

c. Dari hasil perhitungan diatas jelas terlihat bahwa komponen yang identik dengan keandalan yang sama bila disusun secara seri, maka semakin banyak komponen yang

(4)

disusun dalam susunan seri semakin banyak komponen yang disusun dalam susunan seri semakin turun keandalan dari sistem itu. Ini adalah karakteristik utama dari sistem dengan susunan seri.

Gambar 3.3. Keandalan Dari Komponen-Komponen Dengan Susunan Seri

(Angka di dekat kurva menunjukkan keandalan untuk masing-masing komponen) Hubungan antara jumlah komponen dalam susunan seri dengan nilai keandalannya untuk tiap-tiap komponen dengan keandalan 0,9 ; 0,95 ; 0,97 ; 0,98 ; 0,99 ; 0,999 ; dan 0,9999 dapat dilihat pada gambar 3.3.

Contoh 3.3

Sebuah sistem terdiri dari 10 buah komponen yang identik. Agar sistem ini dapat bekerja kesepuluh komponen ini harus bekerja seluruhnya. Jika sistem ini didesain agar memiliki keandalan 0,95. Tentukan nilai minimum dari masing-masing komponen.

Solusi

Jika keandalan masing-masing kompponen adalah R, keandalan untuk sistem itu adalah

(5)

Keandalan yang disyaratkan adalah 0,95 ; sehingga keandalan dari masing-masing komponen dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan

Keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dalam susunan seri dapat pula didapatkan dengan cara pendekatan. Cara pendekatan ini diturunkan dari persamaan 3.3 dan persamaan 3.2. Secara umum keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dengan keandalan untuk masing-masing komponen adalah R dan ketakandalan untuk masing-masing komponen adalah Q dapat diekspresikan kedalam persamaan:

(3.5)

Persamaan 3.5 diatas dapat juga ditulis dalam bentuk ketakandalan sebagai

( ) (3.6)

Dengan menerapkan teorema binomial, persamaan diatas dapat diselesaikan menjadi:

( ) ( )( ) ( ) (3.7)

Jika nilai dari Q adalah sangat kecil, maka keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dalam susunan seri adalah

(3.8)

Persamaan (3.8) dapat pula dipakai untuk menyelesaikan contoh soal

Hasil perhitungan ini 0,012% lebih tinggi dari hasil perhitungan eksak. Untuk perhitungan dengan metode pendekatan, hasil yang diperoleh ini tidak terlalu jelek.

3.3. Sistem Dengan Susunan Paralel

Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan paralel jika seluruh komponen-komponen yang ada didalam sistem itu gagal berfungsi maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya. Sistem yang memiliki konfigurasi paralel dapat dikategorikan sebagai sistem yang sangat berlebihan (fully redundant system). Blok diagram keandalan untuk sistem yang terdiri dari dua komponen dengan susunan paralel dapat dilihat pada gambar 3.1.b.

(6)

Misal ketakandalan untuk komponen 1 pada gambar 3.1.b adalah Q1 dan ketakandalan untuk komponen 2 adalah Q2. Jika ketakandalan ini mewakili probabilitas suatu komponen untuk mengalami kegagalan dari komponen pada periode waktu yang telah ditentukan, maka ketakandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspresikan sebagai perkalian ketakandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspresikan sebagai perkalian ketakandalan kedua komponen. Secara matematis, jika Qp menyatakan

ketakandalan dari sistem diatas maka:

(3.9)

Sedangkan ekspresi keandalan dari sistem dengan susunan paralel untuk gambar 3.1.b adalah

(3.10)

atau

( )( ) (3.11)

Sedang untuk n komponen yang tersusun dalam susunan paralel dengan ketakandalan untuk masing-masing komponen adalah Qi maka ekspresi ketakandalan dari sistem ituu

adalah

∏

(3.12)

Gambar 3.4. Blok Diagram Keandalan n Buah Komponen Dalam Susunan Paralel

Sedang ekspresi keandalan dari n buah komponen yang tersusunan secara paralel adalah

∏

(7)

Hal. 7 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id Contoh 3.4

Sebuah sistem yang terdiri dari tiga buah komponen dengan keandalan untuk masing-masing komponen adalah R1 = 0,9 ; R2 = 0,95 ; dan R3 = 0,97. Ketiga kompponen inii akan disusun secara paralel. Hitung keandalan dari sistem ini.

Solusi

Ketakandalan dari sistem ini adalah:

Keandalan dari sistem ini adalah:

Contoh 3.5

Seorang system engineer akan mendesain sebuah subsistem yang merupakan bagian dari sebuah sistem pengolahan minyak. Subsistem ini hanya memerlukan satu buah komponen agar dapat menunjang proses pengolahan minyak. Untuk meningkatkan keandalan dari subsistem ini insiyur tadi merencanakan akan memasang komponen yang identik dalam subsistem ini secara paralel. Karena keterbatasan dana hanya ada tiga buah alternatif subsistem yang akan ia desain, masing-masing desain terdiri dari 2, 3, dan 4 komponen. Keandalan dari masing-masing komponen ini adalah 0,98. Jika sasaran dari pemilihan desain ini adalah untuk mendapatkan tingkat keandalan yang tinggi, susunan mana kira-kira yang akan dipilih oleh insinyur tadi.

Solusi

Untuk subsistem dengan dua komponen keandalan dari subsistem itu adalah:

Untuk subsistem dengan tiga komponen keandalan dari subsistem itu adalah:

Untuk subsistem dengan empat komponen keandalan dari subsistem itu adalah:

Dari hasil perhitungan diatas jelas insiyur tadi akan memilih desain ketiga yaitu buah komponen dalam susunan paralel.

Dari contoh desain diatas, jelas terlihat bahwa keandalan dari sistem dengan susunan paralel akan bertambah seiring dengan bertambahnya jumalh komponen. Hal inii merupakan seiring dengan bertambahnya jumlah komponen. Hal ini merupakan

(8)

sifat utama dari suatu sistem dengan susunan paralel. Reprensentasi grafis dari sifat utama ini dapat dilihat pada gambar 3.5.

Gambar 3.5. Keandalan Dari Komponen-Komponen Dengan Susunan Seri

Angka di dekat kurva menunjukkan keandalan untuk masing-masing komponen

3.4. Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri – Paralel

Untuk menganalisa suatu sistem sederhana dengan susunan seri atau paralel sudah didiskusikan pada seksi terdahulu. Susunan seri atau paralel merupakan susunan dasar yang akan dipakai untuk menganalisa sistem yang mempunayai susunan yang lebih kompleks. Blok diagram keandalan yang lebih kompleks akan mempunyai struktur gabungan antara susunan seri dan paralel.

Prinsip dasar yang dipakai untuk menyelesaikan konfigurasi yang komplek ini adalah dengan mereduksi konfigurasi yang komplek ini secara berurutan dengan jalan menyederhanakan blok yang mempunayi struktur seri atau paralel terlebih dahulu menjadi blok diagram yang ekuivalen. Blok diagram yang ekuivalen ini akan mewakili konfigurasi asli sebelum konfigurasi ini disederhanakan. Untuk jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 3.6

Gambar dibawah inii menunjukan blok diagram keandalan dari suatu sistem. Keandalan untuk masing-masing kompponen adalah R1=0,95 ; R2=0,97 ; R3=0,99 ; R4=0,94 ; R5=0,98 ; R6=0,93. Hitung keandalan dari sistem tersebut.

(9)

Gambar 3.6. Diagram Blok Keandalan Untuk Contoh 3.6 Solusi

Untuk menyelessaikan konfigurasi seperti ini, terlebih dahulu komponen 1, 2, dan 3 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yaitu komponen 7. Demikian juga dengan komponen 4, 5 dan 6. Ketiga kompponen ini disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yaitu komponen 8.

Gambar 3.7. Penyerdehanaan Blok Diagram Keandalan Contoh 3.6

Pada akhirnya kedua komponen yang ekuivalen ini, yaitu komponen 7 dan 8 disederhanakan menjadi komponen 9 yang mewakili sistem secara keseluruhan.

atau

( )( )

Contoh 3.7

Dapatkan ekspresi umum untuk sistem yang diwakili oleh blok diagram keandalan seperti pada gambar 3.8 berikut ini, jika semua komponen memilki keandalan R dan ketakandalan Q

(10)

Gambar 3.8. Diagram Blok Keandalan Contoh Soal 3.7 Solusi

Komponen 1 dan 2 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen, yaitu komponen 7. Demikian juga komponen 4 dan 5 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen, yaitu komponen 8.

Gambar 3.9. Penyederhanaan Diagram Blok Keandalan Contoh Soal 3.7

semua komponen mempunyai keandalan R, sehingga:

Untuk komponen 8, yang memiliki konfigurasi dan keandalan masing-masing komponen yang sama dengan komponen 7, keandalannya adalah

(11)

Komponen 7 dan 3 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yitu komponen 9 dengan keandalannya.

. /

Untuk komponen 10, yang memiiki konfigurasi dan keandalan masing-masing komponen yang sama dengan komponen 9, keandalannya adalah:

. /

Keandalannya untuk seluruh sistem adalah:

. /

3.5. Sistem dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial (Partially Redundant System)

Jika sistem dengan susunan seri dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant system) dan sistem dengan susunan paralel dikategorikan sebagai sistem dengan susunan yang sangat berlebihan (fully redundant system), maka ada sebuah sistem yang bisa dikategorikan sebagai sistem dengan susunan berlebihan secara parsial (partially redundant system).

Untuk mengevaluasi keandalan dari sistem yang memiliki konfigurasi berlebihan secara parsial, konsep susunan seri dan susunan paralel yang telah dibahas di seksi terdahulu tidak dapat langsung diterapkan. Untuk menyelesaikan perhitungan keandalan sistem ini, perlu diterapkan konsep distribusi binomial. Contoh berikut akan memperjelas pembahasan mengenai sistem dengan struktur berlebihan secara parsial.

Contoh 3.8

Sebuah sistem yang terdiri dari tiga buah susbsistem dengan keadalan untuk masing-masing subsistem adalah R1 ; R2 ; dan R3. Agar sistem itu dapat berfungsi, minimal harus ada dua sistem yang berfungsi. Diagram blok keandalan untuk sistem ini diilustrasikan pada gambar 3.10. Dapatkan ekspresi umum yang mewakili keandalan sistem tersebut.

(12)

Hal. 12 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id Solusi

Dengan mengaplikasikan konsep distribusi binomial, keandalan dari sistem itu dapat diekspresikan sebagai:

Jika masing-masing subsistem memiliki keandalan yang sama yaitu R, maka ekspresi keandalan dari sistem itu adalah:

3.6. Pertimbangan Desain Antara Susunan Seri dan Paralel

Misalkan ada sebuah sistem yang terdiri dari n buah komponen dalam susunan seri. Untuk meningkatkan keandalan dari sistem ini ada dua cara dasar yang umum dipakai yaitu dengan membuat masing-masing komponen yang ada di sistem berlebihan (component-level redundancy) atau membuat sistemya yang berlebihan (system-level

redundancy). Diagram blok untuk kedua alternatif desain ini dapt dilihat pada gambar

3.11.

Gambar 3.11. Konfigurasi Component-Level Redundancy dan System-Level Redundancy

Untuk konfigurasi pada gambar 3.11.a, jika keandalan untuk masing-masing komponen adalah R, maka keandalan dari sitem itu adalah:

( ( ) ) (3.14)

Sedang untuk konfigurasi pada gambar 3.11.b, jika keandalan untuk masing-masing komponen adalah R, maka keandalan dari sitem itu adalah:

( ( ) ) (3.15)

(13)

Gambar 3.12. Plot Kurva Untuk Persamaan 3.14

Gambar 3.13. Plot Kurva Untuk Persamaan 3.15

Dengan membandingkan kurva 3.12 dan 3.13 jelas terlihat bahwa

component-level redundancy akan memberikan keandalan sistem yang lebih tinggi untuk berbagai

harga m dan n yang dicoba. Dari kedua kurva yangsudah diplot, dapat pula disimpulkan bahwa dengan memberikan cadangan pada tiap komponen akan memberikan keandalan yang lebih tinggi secara keseluruhan dibandingkan dengan memberi cadangan pada tiap sistem.

(14)

Hal. 14 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id 3.7. Standby Redundant System

Pada sistem paralel redundancy, seluruh komponen dioperasikan secara simultan, sedangkan pada sistem standby redundant, unit standby akan dioperasikan hanya ketika dalam keadaan normal unit operasi dalam keadaan gagal. Perbedaan antara dua hal itu digambarkan dalam gambar 3.14 dibawah ini.

Gambar 3.14. Sistem Dengan Susunan Paralel Dan Sistem Dengan Susunan Standby

Secara umum ada dua buah kasus dasar yang berhubungan dengan switching. Pertama, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch yang sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang sempurna (perfect

switching) serta yang kedua, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch

yang tidak sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang tidak sempurna (imperfect switching)

Perfect switching

Pada kasus ini, switch diamsusikan tidak pernah gagal pada saat pengoperasian dan juga tidak akan mengalami kegagalan pada saat melakukan pengalihan dari pengoperasian normal ke posisi standby. Gambar 3.14 merupakan contoh tipikal dari sebuah sistem yang memiliki susunan standby.

Jika diasumsikan bahwa komponen 2 tidak mengalami kegagalan pada saat sedang dalam kondisi standby, maka sistem hanya akan mengalami kegagalan bila komponen 1 satu telah gagal sebelumnya dan setelah pengoperasiannya dialihkan ke komponen 2, komponen 2 juga gagal beroperasi.

Karena itu probabilitas kegagalan sistem dapat dinyatakan ke dalam persamaan berikut ini.

( ) ( | ̅) (3.16)

Jika diasumsikan komponen 1 dan komponen 2 saling bebas (independent), maka persamaan (3.16) dapat disederhanakan menjadi:

(15)

Persamaan (3.17) memberikan kesan seolah-olah sama dengan persamaan ketakandalan sistem yang memiliki dua komponen dengan susunan paralel. Hal ini tidaklah benar karena nilai numerik dari ketakandalan untuk komponen 2 tidak sama, karena komponen 2, yang merupakan komponen standby, hanya dipakai dalam waktu yang sangat singkat, sehingga indeks ketakandalan komponen 2 bila difungsikan sebagai komponen aktif dan standby akan memiliki indeks yang berbeda.

Imperfect Switching

Untuk kasus ini, kemungkinan switch mengalami kegagalan dalam mengalihkan tugas dari komponen aktif ke komponen standby akan dimasukkan dalam perhitungan. Jika Ps menyatakan probabilitas dari sukses dari switch untuk mengalihkan tugas, maka

probabilitas kegagalan dari switch untuk melakukan pengalihan tugas dapat dinyatakan oleh ̅ .

Dengan menggunakan persamaan (2.21), maka untuk kasus imperfect switching dapat diformulasikan ke dalam persamaan berikut ini.

P(sistem gagal) = P(sistem gagal dengan kondisi switch berhasil melakukan pengalihan)

x P(proses pengalihan berjalan sukses) + P(sistem gagal dengan kondisi switch gagal melakukan pengalihan) x P(proses pengalihan gagal)

Atau secara matematis dapat ditulis sebagai:

( ) ( ) (3.18)

Gambar 3.15. Blok Diagram Untuk Kasus Standby Redundancy Dengan Switch Tak Sempurna

Persamaan (3.18) untuk imperfect switching yang telah diturunkan, dapat diperluas lagi dengan menambahkan blok diagram lagi pada gambar 3.14.b, sehingga blok diagram keandalan untuk kasus imperfect switching berubah menjadi seperti pada gambar 3.15. Blok diagram S yang pertama mewakili switch dalam melakukan proses pengalihan dari komponen aktif 1 ke komponen standby 2 dengan probabilitas kesuksesan Ps, sedangkan blok diagram kedua mewakili mode pengoperasian normal

dari switch dengan indeks keandalan Rs dan indeks ketakandalan Qs. Dari gambar 3.15

terlihat bahwa tambahan komponen kedua disusun secar seri dengan susunan komponen yang sudah ada, sehingga persamaan keandalan dari sistem di atas dapat ditulis sebagai:

(16)

* , ( )-+ (3.19)

3.8. Pemodelan Jaringan yang Kompleks

Pada seksi terdahulu telah dibahas bagaimana memodelkan dan mengevaluasi keandalan dari suatu sistem yang memiliki susunan yang sangat sederhana. Pemodelan yang dimaksud adalah pemodelan sistem dengan susunan seri atau paralel. Ada beberapa susunan model yang pengevaluasian keandalannya tidak bisa diselesaikan hanya dengan mengandalkan teknik pengevaluasian susunan seri atau paralel saja. Contoh yang sering dipakai untuk susunan yang kompleks adalah susunan jembatan seperti yang terlihat pada gambar 3.16.

Gambar 3.16. Sistem Dengan Susunan Jembatan

Secara visual, model sistem yang ditunukkan pada gambar 3.16 tidak bisa disederhanakan menjadi sistem dengan susunan seri dan paralel seperti yang telah dijelaskan pada bab 3. Ada berbagai teknik standard yang bisa dipakai untuk mengevaluasi keandalan dari sistem yang memiliki diagram blok keandadalan yang kompleks. Ada beberapa teknik yang bisa dipakai untuk menyelesaikan evaluasi sistem yang memiliki susunan yang kompleks. Teknik-teknik itu antara lain teknik pengevaluasian dengan memakai pendekatan proabilitas kondisonal/bersyarat (conditional probability approach), metode cut set (cut set method) dan analisa pohon kegagalan (event tree analysis).

3.9. Conditional Probability Approach

Teknik pengevaluasian untuk sistem yang kompleks dengan memanfaatkan pendekatan probabilitas bersyarat (conditional probability approach) sebagian telah diulas pada bab 2. Persamaan (2.20) dan (2.21) akan dipakai untuk mengevaluasi keandalan sistem. Kedua persamaan itu adalah:

P(sistem sukses) = P(sistem sukses jika B dalam kondisi baik)P(Bs) +

P(sistem sukses jika B dalam kondisi jelek)P(Bf) (3.20) Sedangkan probabilitas dari kejadian komplemennya adalah:

(17)

P(sistem gagal) = P(sistem gagal jika B dalam kondisi baik)P(Bs) +

P(sistem gagal jika B dalam kondisi jelek)P(Bf) (3.21)

Contoh 3.9

Untuk sistem yang diwakili oleh gambar 3.16, sistem itu akan berfungsi jika salah satu jalur 13, 24, 154, atau 253 dalam kondisi yang bagus. Tentukan ekspresi keandalan dari sistem yang memiliki blok diagram keandalan seperti pada gambar 3.16.

Solusi

Untuk menerapkan pendekatan probabilitas bersyarat, yang pertama harus dilakukan adalah memilih komponen yang akan dipertimbangkan sebagai komponen yang baik dan komponen yang buruk. Semua komponen yang ada yaitu komponen 1 sampai komponen 5 dapat dipilih sebagai komponen yang akan dipertimbangkan sebagai komponen yang baik dan buruk. Pemilihan komponen ini sangat penting, karena pemilihan komponen yang tepat akan sangat membantu untuk mempercepat penyelesaian evaluasi keandalan dari sistem.

Untuk soal diatas, komponen nomor 5 dipilih sebagai komponen yang akan dipertimbangkan. Akibat dari pemilihan komponen ini, maka akan ada dua buah blok diagram keandalan yang masingmasing mewakili kondisi komponen 5 dalam keadaan baik dan buruk. Gambar 3.17 menunjukkan pembagian blok diagram ini.

Gambar 3.17. Blok Diagram Untuk Komponen No.5 Dalam Kondisi Baik dan Jelek

Jika Ri menyatakan keandalan dari komponen i dan Qi menyatakan ketakandalan

dari komponen i, maka secara umum persamaan keandalan untuk blok diagram dengan susunan jembatan seperti terlihat pada gambar 3.17 adalah:

(18)

Untuk blok yang pertama, dimana komponen nomor 5 dianggap dalam kondisi yang bagus, persamaan keandalan dari blok di atas adalah:

Rs(jika komponen no.5 baik) = (1 – Q1Q2)(1 – Q3Q4) (3.23) Untuk blok yang kedua, dimana komponen nomor 5 dianggap dalam kondisi yang jelek, persamaan keandalan dari blok di atas adalah:

Rs(jika komponen no.5 jelek) = 1 – (1 – R1R3)(1 – R2R4) (3.24)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.23) dan (3.24) ke dalam persamaan (3.22), maka akan diperoleh persamaan keandalan dari sistem yang dimaksud. Persamaan keandalan dari sistem itu adalah:

Rs = (1 – Q1Q2) (1 – Q3Q4)Rs + (1 – (1 – R1R3)(1 – R2R4)Qs (3.25) Jika masing-masing komponen memiliki nilai keandalan R = 0,95 ; maka keandalan dari sistem itu adalah:

Rs = (1 – Q2)2R + (1 – (1 – R2)2)Q = (1 – 0,052)2 x 0,95 + (1 – (1 – 0,952)2) x 0,05

Rs = 0,994781

Contoh 3.10

Gambar 3.18 menunjukkan sebuah blok diagram keandalan dari suatu sistem. Diketahui R1=0,80 ; R2=0,85 ; R3= 0,90 ; R4=0,95 ; dan R5=0,97. Dengan menggunakan pendekatan probabilitas bersyarat, tentukan keandalan dari sistem tersebut.

Gambar 3.18. Blok Diagram Keandalan Untuk Contoh Soal 3.10 Solusi

Seperti pada contoh soal terdahulu, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memilih komponen yang akan dipakai sebagai acuan sebagai komponen bersyarat. Untuk soal di atas komponen nomor 2 adalah komponen yang paling cocok untuk dipilih sebagai komponen yang akan dipakai sebagai acuan sebagai komponen bersyarat. Jika komponen 2 dalam keadaan baik, maka blok diagaram keandalan yang

(19)

ditunjukkan pada gambar 3.18 akan berubah menjadi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.19 sedang jika komponen 2 dalam keadaan jelek, maka blok diagaram keandalan yang ditunjukkan pada gambar 3.18 akan berubah menjadi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.20.

Gambar 3.19. Blok Diagram Keandalan Contoh Soal No. 3.10 Untuk Kondisi Komponen No. 2

Dalam Kondisi Baik

Gambar 3.20. Blok Diagram Keandalan Contoh Soal No. 3.10 Untuk Kondisi Komponen No. 2

Dalam Kondisi Jelek

Persamaan keandalan untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar 3.18 adalah:

Rs = Rs(jika komponen no.2 baik)R2 + Rs(jika kompenen no.2 jelek)Q2 (3.26) Untuk kondisi jika komponen 2 dalam keadaan baik, maka keandalan dari sistemnya bisa diturunkan dari blok diagram pada gambar 3.19, yaitu:

Rs(jika komponen no.2 baik) = 1 – Q4Q5

= 1 – (0,05 x 0,03) = 0,9985 (3.27)

Untuk kondisi jika komponen 2 dalam keadaan jelek, maka keandalan dari sistemnya bisa diturunkan dari blok diagram pada gambar 3.20, yaitu:

Rs(jika komponen no.2 jelek) = 1 – (1 – R1R4)(1 – R3R5)

= 1 – (1 – 0,80 x 0,95)(1 – 0,90 x 0,97) = 0,96952

(3.28)

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diperoleh pada persamaan (3.27) dan (3.28) ke dalam persamaan (3.26), maka akan diperoleh keandalan dari sistem. Nilai keandalan dari sistem itu adalah:

Rs = Rs(jika komponen no.2 baik)R2 + Rs(jika kompenen no.2 jelek)Q2 Rs = 0,9985 x 0,85 + 0,96952 x 0,15 = 0,994153

(20)

Hal. 20 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id 3.10. Metode Cut Set

Untuk memahami konsep cut set, perhatikan gambar blok diagram keandalan dari suatu sistem seperti yang terlukis pada gambar 3.21. Pada gambar 3.21, sebuah komponen di hubungkan secara seri dengan dua komponen lain yang telah dihubungkan secara paralel terlebih dahulu. Bila komponen 1 rusak maka akan mengakibatkan sistem tidak berfungsi. Sistem tersebut juga tidak akan berfungsi jika komponen 2 dan 3 dalam keadaan rusak, komponen 1 dan 2 dalam keadaan rusak, komponen 1 dan 3 dalam keadaan rusak, dan bila ketiga komponen dalam keadaan rusak. Bila komponen-komponen yang sudah disebutkan di atas dikumpulkan dalam sebuah himpunan (set) maka terbentuk himpunan yang beranggotakan komponen-komponen yang bila komponen-komponen itu dalam keadaan rusak akan menyebabkan sistem tidak berfungsi. Ini merupakan konsep dari cut set. Jadi cut set dapat didefinisikan sebagai berikut.

Sebuah cut set adalah sekumpulan dari komponen yang bila komponen-komponen itu mengalami kegagalan, maka akan menyebabkan seluruh sistem akan mengalami kegagalan pula.

Sebuah cut set dikatakan sebagai minimal cut set bila salah satu komponen yang terdapat di dalam minimal cut set itu mengalami kegagalan, maka akan menyebabkan seluruh sistem akan mengalami kegagalan pula, tetapi bila salah satu komponen yang terdapat di dalam mininimal cut set bekerja, maka tidak mengakibatkan sistem menjadi gagal.

Cut set dari blok diagram keandalan pada gambar 3.21 adalah: {1}, {2,3}, {1,2},

{1,3}, dan {1,2,3}. Sedang minimal cut set dari blok diagram keandalan pada gambar 3.21 adalah: {1}, {2,3}.

Gambar 3.21. Blok Diagram Keandalan

Metode cut set adalah metode yang sangat berguna untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sistem karena dua alasan utama, yaitu:

 Metode ini dapat dengan mudah di kerjakan dengan menggunakan program komputer untuk mendapatkan penyelesaian yang cepat dan akurat.

 Cut set langsung berkaitan dengan modus-modus kegagalan sistem.

Untuk dapat memahami perhitungan keandalan sistem dengan menggunakan metode cut set, perhatikan kembali gambar 3.16. Minimal cut set dari blok diagram keandalannya adalah {1,2}, {3,4}, {1,4,5}, dan {2,3,5}. Mengingat semua komponen yang

(21)

terdapat di dalam minimal cut set ini harus gagal semuanya maka probabilitas kegagalan untuk semua komponen yang ada di dalam minimal cut set dapat diekspresikan dalam bentuk blok diagram keandalan dengan susunan paralel. Suatu sistem akan mengalami kegagalan jika tiap-tiap cut set mengalami kegagalan, maka semua cut set akan dihubungkan dalam susunan seri dalam blok diagram keandalan untuk mengekspresikannya.

Gambar 3.22. Minimal Cut Set Dari Contoh 3.22

Blok diagram keandalan yang ditunjukkan pada gambar 3.22 yang merupakan susunan seri dari beberapa minimal cut set lainnya tidak bisa dipakai untuk mengevaluasi keandalan sistem. Ini terjadi karena ada beberapa komponen yang muncul lebih dari satu kali di dalam satu kelompok minimal cut set. Selanjutnya untuk mengevaluasi keandalan dari sistem, maka konsep gabungan dari dua himpunan atau lebih akan dipakai. Jika Ci menyatakan minimal cut set ke-i, maka untuk kasus di atas

kita akan memiliki:

C1 = {1,2}, C2 = {3,4}, C3 = {1,4,5}, dan C4 = {2,3,5}.

Dan jika P(Ci) mewakili probabilitas untuk event Ci maka ketakandalan dari sistem

secara umum dapat diekspresikan sebagai: ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ₍ ₎ (3.29) Contoh 3.11

Gunakan formula 3.29 untuk menghitung ketakandalan dari sistem yang memiliki diagram blok keandalan seperti pada gambar 3.16.

Solusi

(22)

C1 = {1,2}, C2 = {3,4}, C3 = {1,4,5}, dan C4 = {2,3,5} Sedangkan ekspresi ketakandalan sistemnya adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.30) dimana ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jadi, ketakandalan dari sistem adalah:

(3.31)

Dengan mengambil nilai keandalan untuk masing-masing komponen dari contoh soal nomor 1 yaitu R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R = 0,95, maka kita akan memeperoleh nilai-nilai ketakandalan dari masing-masing komponen adalah:

Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = Q5 = Q = 0,05.

Ketakandalan dari sistem akan menjadi

Sedang keandalan dari sistem

(23)

Perhitungan keandalan dan ketakandalan dari sistem baik dengan memakai pendekatan probabilitas bersyarat dan metode cut set sama-sama menghasilkan hasil yang presisi. Untuk sistem yang memiliki struktur yang lebih komplek dan jumlah komponen yang lebih banyak, kedua metode perhitungan keandalan yang sudah diuraikan secar teoritis dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Kendala yang dihadapi hanya waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan perhitungan itu sangat lama dan melelahkan. Perhitungan keandalan dengan pendekatan akan mempercepat penyelesaian meski dengan tingkat presisi yang lebih rendah. Tingkat kesalahan (error) yang dibuat dengan metode pendekatan ini masih dalam batas-batas yang masih dapat di terima.

Untuk melakukan perhitungan keandalan dengan metode pendekatan ada dua harga yang akan diperoleh. Harga-harga itu adalah batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound) dari ketakandalan sistem yang dievaluasi. Upper bound dari ketakandalan suatu sistem dapat dihitung dengan mengambil kelompok pertama dari persamaan (3.29) dan lower bound dari ketakandalan suatu sistem dapat dihitung dengan mengambil kelompok pertama dan kedua dari persamaan (3.29).

Formula upper bound dari ketakandalan sistem adalah

∑ ( )

(3.32)

Sedang formula untuk lower bound dari ketakandalan sistem adalah

∑ ( ) ∑ ∑ ( ) (3.33) Contoh 3.12

Dengan menggunakan persamaan (3.32) dan (3.34), hitung keandalan dari sistem yang memiliki blok diagram keandalan seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.16. Bandingkan nilai keandalan yang diperoleh dengan memakai metode pendekatan ini dan nilai keandalan yang telah dihitung pada contoh 3.11.

Solusi

Dengan mengambil nilai keandalan untuk masing-masing komponen dari contoh soal 3.10 yaitu R1 = R2 = R3 = R4 = R5= R = 0,95, maka kita akan memeperoleh nilai-nilai ketakandalan dari masing-masing komponen adalah:

Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = Q5 = Q = 0,05 . Dengan demikian ( ) ( ) ( ) ( )

(24)

Hal. 24 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sehingga upper bound ketakandalan dari sistem adalah:

( ) ( ) dan nilai keandalan dari sistem adalah .

Nilai ketakandalan dari sistem dengan menggunakan pendekatan upper bound adalah 0,59% lebih tinggi dari nilai ketakandalan sistem yang sebenarnya yaitu 0,005219. Sedangkan keandalan sistemnya adalah 0,003% lebih rendah dari nilai keandalan sistem yang sebenarnya.

Lower bound ketakandalan dari sistem adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) dan nilai keandalan dari sistem itu adalah .

Nilai ketakandalan dari sistem dengan menggunakan pendekatan lower bound adalah 0,02% lebih rendah dari nilai ketakandalan sistem yang sebenarnya yaitu 0,005219. Sedangkan keandalan sistemnya adalah 0,0001% lebih tinggi dari nilai keandalan sistem yang sebenarnya.

Dari uraian di atas jelas terlihat bahwa tingkat kesalahan relatif hasil perhitungan keandalan dan ketakandalan sistem dengan memakai metode perhitungan masih dalam batas-batas yang wajar.

Contoh 3.13

Dengan menggunakan blok diagram keandalan pada gambar 3.18, hitung ketakandalan dari sistem dengan menggunakan formula (3.32) untuk upper bound ketakandalan sistem dan formula (3.33) untuk lower bound ketakandalan sistem.

Solusi

Dari soal contoh soal nomor 2 diketahui R1=0,80 ; R2=0,85 ; R3=0,90 ; R4=0,95 ; dan R5=0,97. Berikut ini adalah diagram blok keandalan yang dipakai.

(25)

Minimal cut set dari blok diagram keandalan di atas adalah: C1 = {4,5} ; C2 = {1,2,3} ; C3 = {1,2,5} ; C4 = {2,3,4} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Upper bound ketakandalan sistem adalah:

( ) ( ) ( ) ( )

Lower bound ketakandalan sistem adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.11. Metode Tie Set

Metode tie set adalah merupakan komplemen dari metode cut set. Metode ini digunakan dengan frekuensi yang lebih sedikit, karena secara praktis metode ini tidak secara langsung mengarah ke mode kegagalan dari sistem. Metode ini mempunyai aplikasi yang khusus dan sehingga metode ini tidak didiskusikan didiskusikan dengan rinci.

Tie set adalah jalur minimal dari sistem dan oleh karena itu tie set merupakan

sekumpulan komponen yang ada pada sistem yang dihubungkan secara seri. Akibatnya, sebuah tie set dikatakan gagal jika salah satu komponen didalamnya gagal dan probabilitas ini dapat dihitung mengunakan prinsip dari sistem seri. Oleh karena itu

(26)

agar sistem mengalami kegagalan, seluruh tie set harus gagal dan oleh karena itu seluruh tie set secara efektif akan dihubugkan secara paralel. Dengan menggunakan konsep ini diagram tie set untuk model gambar 3.16 ditunjukan dalam gambar 3.23.

Gambar 3.23. Tie Set Dari Gambar 3.16

Yang perlu dicatat adalah, meskipun tie set dihubungkan secara paralel, konsep sistem paralel tidak dapat digunakan karena komponen sama dapat muncul dalam dua atau lebih tie set. Konsep gabungan (union) akan berlaku seperti yang diaplikasikan pada minimal cut set.

Dari konsep sebelumnya tie set dan gambar 3.16, reliabilitas dari sistem ditunjukan dalam gambar 3.23 memiliki persamaan:

( ) (3.34)

dimana: Ti adalah tie set ke-i dan probabilitas dari kejadian P(Ti).

Persamaan (3.34) dapat dikembangkan dalam cara yang sama dengan persamaaan (3.29). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.35) dimana: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(27)

Hal. 27 / 27 6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Persamaan (3.35) memberikan indeks keandalan dari sistem. Jika R1= R2= R3= R4= R5=R, persamaan (3.35) akan berubah menjadi:

Satu kekurangan dari tie set adalah persamaan (3.35) tidak dapat dipakai untuk menurunkan persamaan pendekatan untuk mengevaluasi indeks keandalan sistem. Hal ini disebabkan, karena secara umum nilai dari R adalah sangat tinggi sehingga hasil pendekatan yang dilakukan akan memiliki tingkat kesalahan yang cukup besar.

3.12. Referensi dan Bibliografi

Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber, Surabaya

Billinton, R. and Ronald N. Allan., [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London

Henley, E. J. and Hiromitsu Kumamoto, [1992], Probabilistic Risk Assessment: Reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York.

Hoyland, Arnljot and Marvin Rausand, [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods, John Willey & Sons, Inc.

Kececioglu, D., [1991], Reliability Engineering Handbooks Volume 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Ramakumar. R, [1993], Engineering Reliability: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.