TINJAUAN PUSTAKA
Statistical Proses Control
Statistical Proses Control adalah salah satu cabang ilmu statistika yang
mempelajari tentang penerapan teknik statistika untuk mengukur dan menganalisis variasi yang terjadi selama proses produksi berlangsung (Wetherill & Brown 1991).
Dalam praktiknya, Statistical Proses Control dibedakan atas dua metode, yaitu metode off-line dan metode online. Metode off-line digunakan untuk mengurangi penyebab potensial dari perubahan selama proses atau produk dimodifikasi. Metode on-line dibagi menjadi dua, yaitu screening dan
preventative. Metode screening memeriksa output suatu proses produksi apakah
kualitasnya memuaskan atau tidak, sedangkan metode preventive memeriksa proses suatu produksi menggunakan alat pengendali seperti Shewhart control
chart, CUSUM control chart, sampling inspection of input material, dan continous production inspection of product (Wetherill & Brown 1991).
Control Chart
Control chart adalah alat yang digunakan untuk memantau berjalannya
proses produksi sehingga bisa diketahui proses tersebut dalam kondisi terkontrol ataukah tidak (Okasatria.blogspot.com 2007). Control chart pertama kali dikenalkan oleh Dr. Walter Shewhart. Setiap control chart mempunyai batas atas (Upper Control Limit = UCL) dan batas bawah (Lower Control Limit = LCL) yang digunakan untuk memantau nilai tengah karakteristik dari suatu proses produksi. Dalam hal ini, suatu proses dikatakan tetap terkontrol (in control) bila seluruh data observasi masih berada dalam batas-batas yang diperbolehkan (Control Limit = CL), artinya tidak ada observasi yang melebihi UCL yang sudah ditetapkan dan tidak ada observasi yang kurang dari LCL yang sudah ditetapkan (Wetherill & Brown 1991).
Selama proses berlangsung, bila terdapat data observasi yang jatuh di luar CL yang diperbolehkan, maka control chart ini akan memberi tanda bahwa sistem
proses perlu dihentikan untuk pemeriksaan. Dalam hal ini penentuan CL menjadi sangat penting. Jika CL terlalu sempit, misalnya ditetapkan LCL = -A2 dan
UCL= A2 pada Gambar 1, maka kemungkinan akan sering terjadi false alarm.
Artinya, control chart akan mengeluarkan tanda out of control padahal sesungguhnya sistem masih dalam keadaan terkontrol. Sementara itu, bila CL dibuat terlalu lebar, misalnya ditetapkan LCL = -A1 dan UCL = A1 pada Gambar
1, maka kemungkinan control chart tidak pernah memberi tanda out of control padahal sebenarnya proses sudah menjadi tidak terkontrol lagi (Nurdiati 2005).
Gambar 1 Bagan Shewhart Control Chart (Nurdiati 2005)
LCL Center Line UCL
-A1 -A2 A1 A2 * * * * * * * * * * * * * * * * * : observasi 1 5 10 15 25 Banyaknya sampel/subgrup 2 0 UCL= 2, p
Gambar 2 Bagan 2 Control Chart untuk dua variabel t Nilai tengah
Penyebab Variasi
Produk yang dihasilkan dari suatu proses produksi itu tidak akan 100% sama. Hal ini terjadi karena adanya variasi selama proses produksi berlangsung. Variasi dapat didefinisikan sebagai ketidakseragaman produk yang dihasilkan tidak memenuhi spesifikasi standar yang telah ditetapkan.
Ada dua macam penyebab variasi yaitu penyebab umum variasi dan penyebab khusus variasi. Penyebab umum variasi diartikan sebagai fluktuasi yang disebabkan oleh faktor yang tidak diketahui yang menimbulkan gangguan di dalam sistem. Penyebab umum variasi sulit dihilangkan. Contoh dari penyebab umum variasi adalah kelembaban udara, suhu ruangan yang berubah-ubah, getaran mesin, voltage yang berubah-ubah, mesin yang tidak sesuai dengan pekerjaannya seperti dalam hal pencahayaan, kebersihan dan temperatur dan pemeliharaan mesin yang kurang baik dan lain-lain. Penyebab khusus variasi adalah suatu perubahan yang tak terduga di dalam suatu operasi yang normal dari suatu proses sehingga menimbulkan sinyal. Penyebab khusus variasi merupakan penyebab yang masih mungkin bisa dihilangkan. Contoh dari penyebab khusus variasi seperti kesalahan operator, bahan baku di bawah standar, operator lengah, terbatasnya peralatan, kegagalan pemakaian mesin, dan lain-lain.
Average Run Length (ARL)
Run Length adalah banyaknya sampel observasi sampai muncul sinyal out of control karena adanya perubahan parameter. Average run length (ARL) adalah
rata-rata dari nilai run length (Wetherill & Brown 1991).
Misalkan T menyatakan periode yang mana proses monitoring mengeluarkan sinyal yang pertama kali, maka T merupakan suatu peubah acak yang disebut sebagai run length. Jadi ARL adalah
ARL = ET = T = 1
q (1)
dengan ET adalah nilai harapan dari T dan q adalah peluang titik observasi yang pertama kali melebihi batas control limit. Jika ARL nya cukup besar maka dikatakan proses dalam kondisi yang cukup stabil dan jika ARL cukup kecil maka
2
control chart
2
control chart adalah alat yang digunakan untuk memonitor karakteristik
dari suatu proses yang multivariate (Montgomery 1991).
Misalkan x1 dan x2 adalah variabel dari proses yang berdistribusi normal bersama (bivariate normal distribution) dan misalkan 1 dan 2 adalah rata-rata populasi dari variabel-variabel tersebut. Standar deviasi dari x1 dan x2 adalah 1 dan 2 dan peragam adalah 12. Rata-rata dari sampel adalah x , 1 x . Persamaan 2
[ ( ) ( )2 2 12( 1 1)( 2 2)] 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2 0 x x x x n , (2)
mempunyai distribusi 2 dengan derajat bebas dua dan dapat digunakan sebagai dasar control chart untuk proses rata-rata dengan rata-rata 1 dan 2. Monitoring proses dan pendeteksian titik out of control bergantung pada pembentukan batas limit yang benar. Batas atasnya yaitu UCL (Upper Control Limit) dari 2 control chart adalah
UCL = 2
,2, (3)
dengan adalah taraf nyata yang digunakan (Montgomery 1991).
Penghitungan 02 dilakukan untuk tiap subgrup. Hasil di atas bisa diperluas di mana variabelnya lebih dari 2 dan berdistribusi normal dengan banyaknya variabel p dan ukuran subgrup n.
Misalkan x = ' [x1 x2 x3 xp] maka penghitungan uji pada Chi Kuadrat untuk tiap subgrup adalah
02= n(x )' 1(x ), (4) dengan ' = 1 , 2,...., p adalah vektor rata-rata dalam keadaan in control dari tiap karakteristik. Batas atas control chart adalah
UCL = 2 ,p, (5)
dan
Jarak antara 0 dengan 1 pada multivariate adalah
2 n 1 0 ' 1 2 0 , (7) (Johnson & Wichern 2002).
Pendugaan dan
Di dalam praktek biasanya diperlukan pendugaan dan dari sampel terdahulu yang berukuran n dengan asumsi proses dalam keadaan terkontrol. Misalkan m adalah banyaknya subgrup yang diobservasi, maka rata-rata dan ragam dapat dihitung dengan menggunakan rumus
n i ijk jk x n x 1 1 , (8) 2 1 2 ( ) 1 1 n i jk ijk jk x x n S , (9) dengan j = 1, 2, 3,..., p, k = 1, 2, 3,..., m, (Montgomery 1991). ijk
x adalah observasi yang ke-i pada karakteristik yang ke-j dan subgrup yang ke– k. Peragam antara karakteristik yang ke-j dan karakteristik yang ke-h pada
subgrup yang ke-k adalah
n i hk ihk jk ijk jhk x x x x n S 1 ) )( ( 1 1 , (10) dengan k = 1, 2, 3,..., m, j h, (Montgomery 1991).
Nilai rata-rata dari x , jk 2
jk
S , S jhk untuk subgrup yang berukuran m adalah
m k jk j x m x 1 1 , (11) m k jk j S m S 1 2 2 1 , (12) dan m jhk jh S m S 1 , (13)
Bentuk matriks ragam-peragam adalah = 2 1 12 13 1 2 21 2 23 2 2 31 32 3 3 2 1 2 3 p p p p p p p S S S S S S S S S S S S S S S S (14) (Montgomery 1991).
Penduga Kemungkinan Maksimum
Misalkan f(x ) menyatakan fungsi kepekatan peluang bersama dari sampel
X= (X1, ..., Xn) dan X = x diobservasi maka fungsi didefinisikan oleh
L( x)=f(x ), ini yang disebut fungsi likelihood. Misalkan X1, X2, ..., Xn
adalah barisan peubah acak yang iid N( , 1), dan L( x) menyatakan fungsi
likelihood, maka L( x) = n i xi e 1 ) )( 2 / 1 ( 2 / 1 2 ) 2 ( 1 = n i i x n e 1 2 ) ( ) 2 / 1 ( 2 / ) 2 ( 1 . (15)
(Casella & Berger 1990).
Misalkan vektor X1, X2, ..., Xn yang berdimensi p 1 menyatakan sampel acak dari yang menyebar normal dengan vektor rata-rata dan matriks ragam peragam . Karena X1, X2, ..., Xn saling bebas dan masing-masing berdistribusi
, (
p
N ), fungsi kepekatan bersama (fkb) dari semua observasi adalah:
fkb = 1 1 1/ 2( ) ( ) 1/ 2 / 2 1 1 (2 ) j j n x x p j e
= 1 1 1 1/ 2 ( ) ( ) / 2 / 2 1 (2 ) n j j j x x n np e (16)
(Johnson & Wichern 2002).
Prosedur penghitungan untuk mencari nilai parameter populasi yang dapat menerangkan data observasi dengan memaksimumkan fungsi kepekatan bersama disebut penduga kemungkinan maksimum (Johnson & Wichern 2002).
Untuk mendapatkan penduga parameter proses dari penduga kemungkinan maksimum diperlukan teorema berikut ini:
Teorema 1:
Misalkan A adalah matriks simetrik berukuran k k dan x adalah vektor berukuran k 1, maka x’Ax = tr (x’Ax) = tr (Axx’) (Johnson & Wichern 2002).
Bukti:
Misalkan x’Ax adalah adalah sebuah skalar, maka x’Ax = tr (x’Ax). Untuk sebarang matriks B dan C yang masing-masing mempunyai ordo m k dan
m
k , maka untuk setiap elemen ke-i di diagonal utama BC mempunyai bentuk
k j ij ijc b 1 , sehingga tr(BC) 1 1 m k ij ji i j
b c . Dengan cara yang sama di setiap
elemen ke-j di diagonal utama CB mempunyai bentuk
m i ij jib c 1 , sehingga tr(CB) = k j m i ij jib c 1 1 = m i k j ji ijc b 1 1
= tr (BC). Misalkan x’ sebagai B dan Ax sebagai
C maka (tr x’(Ax)) = tr((Ax)x’) ¦
