Pengantar Teori Peluang

Pengantar Teori Peluang

3 sks

Materi

1. Analisis combinatorial 2. Aksioma Peluang

3. Peluang Bersyarat 4. Peubah Acak

5. Fungsi dan fungsi bersama 6. Nilai Harapan

7. Distribusi peluang diskrit 8. Distribusi peluang Kontinyu 9. Topik Khusus

Referensi

• Sheldon Ross . 19 A first Course in Probability Macmillan Publishing Company

• Walpole RE. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan ITB

• Dudewicz dan S Mishra. 19 . Statistika Matematika Modern.

ITB Bandung.

Ruang Contoh dan Kejadian

• Ruang Contoh (S):

• Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika.

• Contoh:

• 1. Satu dadu dilantunkan

• S= {1,2,3,4,5,6} ; banyaknya titik contoh = 6

• 2. Dua dadu dilantunkan

• S= { (1,1),(1,2),(1,3), …, (6,6)} ; banyaknya titik contoh = 6x6=36

• Kota di dunia yang berpenduduk lebih dari satu juta

• S={x/x= kota di dunia yang berpenduduk lebih dari satu juta}

• Banyaknya titik di dalan lingkaran dengan jari-jari=2

• S={x/

Kejadian

• Kejadian : himpunan bagian dari ruang contoh

• Contoh :

• Penarikan satu kartu bridge

• S= { 2 hati, sekop, … , As keriting}, banyaknya anggota titik contoh

= 52. Misal didifinisikan kejadian

• A = kartu yang ditarik berwarna merah

• B = kartu yang ditarik jsck, queen, atau king diamond

• C = kartu yang ditarik as

• Gambar diagram Venn

ANALISIS KOMBINATORIAL

Kaidah Dasar menghitung

Dalam kombinatorial ada dua kaidah dasar yang digunakan untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product)

1. Kaidah Penjumlahan (rule of sum)

Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan (percobaan 1 “atau” percobaan 2), maka terdapat m+n hasil jawaban (atau memiliki m +n kemungkinan jawaban)

Contoh1:

Seorang mahasiswa akan memilih satu mata kuliah yang ditawarkan pagi dan sore. Untuk pagi ada 7 matakuliah dan sore ada 5 matakuliah yang ditawarkan. Maka mahasiswa tadi mempunyai 7+5 pilihan untuk memilih satu matakuliah tersebut.

2.Kaidah Perkalian (rule of product)

Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila kedua percobaan1 “dan” percobaan 2 dilakukan , maka terdapat mxn hasil jawaban (atau memiliki m xn kemungkinan jawaban

• Contoh ;

• Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan terdiri atas 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi dan 4 macam soto.

• Jawab

• Jumlah hidangan seluruhnya 4x3x5x4 = 240

• Contoh :

• Berapa bilangan genap yang terdiri dari atas 3 angka dapat dibuat dari angka 1,2,5,6 dan 9 bila tiap angka itu hanya boleh digunakan sekali

• Jawab

• Karena bilangan yang hendak dibentuk ialah bilangan genap ( jadi harus berakhir dengan 2 atau 6, maka ada 2 pilihan untuk

bilangan terakhir. Tempat puluhan terdapat 4 pilihan dan 3 pilihan untuk ratusan. Jadi semuanya = 2x4x3 = 24

1. Pengertian Permutasi

suatu susunan data dengan memperhatikan /membedakan urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian.

Rumus:

1. Permutasi dari n objek berlainan seluruhnya:

_nP_n = n! = n. (n-1).(n-2)…2.1 = n.(n-1)!

2. Permutasi sebanyak r dari n objek:

n!

_nP_r =

(n-r)!

3. Permutasi keliling (circular permutation)

Sejumlah n objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! cara

4. Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan:

n n!

=

n₁,n₂,n₃,…,n_k n₁!n₂!n₃!...n_k! Contoh soal:

1. Ada berapa cara 3 buku (A,B,C) dapat diurutkan ? 3! = 3.2.1 = 6 cara

2. Ada berapa cara 2 dari 4 buku dapat disusun ? 4! 4! 4.3.2.1

4P₂ = = = = 4.3 = 12 cara (4-2)! 2! 2.1

3. 4 orang mahasiswa melakukan diskusi dengan membentuk sebuah lingkaran, ada berapa cara urutan dari 4 orang tadi?

Jawab : (4-1)! = 3.2.1 = 6 cara

4. Dalam berapa cara kata “diskrit” dapat diurutkan?

jawab:

7! 7.6.5.4.3.2!

= = 2520 cara 1!2!1!1!1!1! 2!

5. Berapa macam cara untuk menampung 7 petinju dalam 3 kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur 3 sedang 2 lainya punya 2 tempat tidur.

jawab

7!

= 210cara 3!2! 2!

2. Kombinasi

Cara pengambilan r benda dari sekumpulan n benda.

n!

_nC_r =

r!(n-r)!

Contoh:

1. Ada berapa cara akan dipilih 2 orang dari 4 orang siswa?

Jawab:

4! 4.3.2! 12

4C2 = = = = 6 2!(4-2)! 2! 2! 2

Latihan:

1. Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari.

Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.

2. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 (ratusan) angka dari 6 angka berikut: 0,1,2,3,4,5 jika:

i. tidak boleh ada pengulangan angka ii. Boleh ada pengulangan angka.

3. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 (ratusan) angka dapat dibentuk dari 0.1.2.3.4.5 bila tiap angka dapat digunakan dua kali.

4. Dari no 2.i, berapa banyak bilangan ganjil dan genap 5. Dari no 2.i. berapa banyak yang lebih besar dari 330

3. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus

a. terbentuk tanpa persyaratan lain b. terdiri 3 pria dan 2 wanita

c. terdiri 2 pria dan 3 wanita

4. Terdapat 4 macam buku statistik, 3 macam buku pemrograman dan 2 buku hardware. Ada berapa cara menyusun buku-buku tsb?

5. Dari 6 orang pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa macam kemungkinan susunan struktur Pengurus Partai tersebut?

6. Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa kemungkinan urutan keenam orang tersebut?

7. Tentukan permutasi dari huruf-huruf “STATISTIK”

8. Sembilan orang pergi ke gunung dengan 3 mobil, masing masing dapat membawa 2, 4, dan 5 pemumpang. Berapa carakah dapat dibuat membawa kesembilan orang tersebut ke gunung.

9. Dengan berapa carakah 4 pria dan 3 wanita dapat dudk dalam satu baris bila pria dan wanita harus duduk berselingan.

10 Berapa macam antrian masuk ke bis yang terdiri atas lima orang.

Bila dua orang tidak saling mengikuti, berapa cara antrian yang dapat terjadi.

Binomial Theorem

• Contoh : Jabarkan (x+y)³

Multinomial Theorema

Jumlah yang dimaksud adalah jumlah semua nonnegative integer-valued vector sedemikian hingga

Contoh:

Jabarkan

 

^r

r r

n r n

n

n n n

n

n

n r

n

r

x x x

n n

n x n

x

x ...

,...,

... ,

^{1 2}

2 1

1

2 1 ...

) ,...,

( 1 2

2

1











 

 



 







n n

n

n₁  ₂ ... _r 



^x₁ ^{ x}₂ ^{ x}₃



²

Multinomial Coeffisient

Jika n1 + n2 + … + nr = n, dan didefinisikan

Maka merepresentasikan

banyaknya pembagian n objek yang berbeda ke r grup yang berbeda di mana masing masing grup berukuran n1, n2, …, nr

Pengambilan contoh

• r contoh diambil Satu demi satu dikembalikan dari n

• Ruang contoh =

• r contoh diambil Satu demi satu tidak dikembalikan dari n

• Ruang contoh =

• r contoh diambil diambil serentak dari n

• Ruang contoh =

Penempatan

Pembagian Bola dalam Kantong

• Terdapat kemungkinan hasil bila n bola yang berbeda dibagi ke dalam r kantong yang berbeda

• Terdapat positive integer-valued vector (x1, x2,…, xr) yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n, xi>0 i=1,…,r

Terdapat nonnegative integer-valued vector (x1, x2,

…, xr) yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n

Contoh

1. Terdapat 10 anak yang akan dibagi ke dalam 3 tim yaitu tim A, B, dan C. Tim A terdiri dari 3 orang, tim B 3

orang dan tim C 4 orang. Ada berapa pembagian yang mungkin?

2. Terdapat berapa banyak solusi nonnegative integer- valued x1+x2 = 3 yang berbeda

3. Seorang investor memiliki uang 20 ribu dolar yang

akan diinvestasikan ke 4 kemungkinan investasi. Setiap investasi harus dalam ribuan dolar. Jika seluruh

uangnya akan diinvestasikan, berapa banyak strategi investasi yang mungkin? Bagaimana jika tidak harus semua uangnya diinvestasikan

4. Terdapat berapa banyak cara jika 7 hadiah akan dibagikan 3 anak jika anak tertua mendapat 3 hadiah dan yang lain masing – masing 2 hadiah

5. Jika 8 papan tulis yang sama akan dibagikan ke 4 sekolah, berapa pembagian yang mungkin?Bagaimana jika setiap sekolah minimal menerima 1 papan tulis?

6. Jika 8 guru baru akan dibagikan ke 4 sekolah, berapa

pembagian yang mungkin? Bagaimana jika setiap sekolah masing – masing menerima 2 guru