KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, buku Dasar Statistik untuk Kesehatan ini dapat terselesaikan. Statistik merupakan salah satu cabang ilmu Pengetahuan yang sangat diperlukan dalam suatu kegiatan Penelitian. Usaha-usaha yang dilakukan dalam rangka pengambilan Keputusan dan menentukan kebijakan perlu di dukung oleh hasil penelitian yang akurat.
Dalam Buku ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah-Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta sebagai dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi.
Adapun isi dari Buku Dasar Statistik Untuk Kesehatan ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat, Korelasi, Analisis Regresi, Uji t, dan Anova..
Buku Dasar Statistika Untuk Kesehatan ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian. Dengan adanya buku ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari.
Ucapan Terima Kasih Penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu proses penyelesaian buku ini. Kritik dan saran bersifat membangun dalam penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan. Semoga Buku ini membawa manfaat kepada pembaca. Aamiin.
Kediri, April 2016
DAFTAR ISI
Kata pengantar ... i
Daftar isi ... ii
BAB I KONSEP DASAR PROBABILITAS ... 1
A. PENDAHULUAN... 1
1. Manfaat mempelajari Probabilitas ... 1
2. Pengertian Probabilitas ... 1
B. PENDEKATAN PROBABILITAS ... 2
1. Pendekatan Klasik ... 2
2. Pendekatan Relatif ... 3
3. Pendekatan Subjektif ... 3
BAB 2 KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS ... 4
A. Hukum Penjumlahan ... 4
1. Peristiwa atau kejadian bersama ... 4
2. Kejadian Saling Lepas ... 5
B. Hukum Perkalian ... 6
1. Probabilitas Bersyarat ... 6
2. Peristiwa Pelengkap ... 6
C. Diagram Pohon Probabilitas ... 6
BAB 3 TEOREMA BAYES ... 8
A. Faktorial ... 8
B. Permutasi ... 8
C. Kombinasi ... 9
BAB 4 KARAKTERISTIKDISTRIBUSI KURVA NORMAL ... 11
a. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan dan Simbol ... 11
b. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan sama ... 11
c. Distribusi Probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan berbeda ... 12
d. Distribusi Probabilitas Normal Baku ... 12
e. Luas Dibawah Kurva Normal ... 13
f. Pendekatan Normal Terhadap Binomial ... 13
g. Faktor Koreksi Kontinuitas ... 14
BAB 5 DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL ... 15
A. Pengertian Distribusi Probabilitas ... 15
B. Variabel Acak/Random ... 16
a. Variabel Acak ... 16
b. Variabel Acak Diskret ... 16
c. Variabel Acak Kontinu ... 16
C. Rata-rata hitung, varians, dan standart deviasi ... 16
a. Nilai Rata-rata Hitung ... 16
b. Varians dan Standar Deviasi ... 17
D. Distribusi Probabilitas Binomial ... 18
BAB 6 TEORI KEPUTUSAN ... 21
1. Elemen-elemen Keputusan ... 21
2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko ... 22
A. Nilai yang diharapkan (Expected Value) ... 22
C. Expected Value of Perfect Information ... 23
D. Pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian ... 24
E. Analisis Pohon Keputusan ... 24
BAB 7 MEETODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING ... 25
A. Metode Penarikan Sample ... 25
1. Penarikan Sample Acak Sederhana ... 25
1. Sistem Kocokan ... 25
2. Menggunakan tabel Acak ... 25
2. Penarikan Sampel Acak Terstuktur ... 26
3. Penarikan sampel Cluster ... 26
4. Penarikan Sample secara sistematis ... 27
5. Penarikan Sampel kuota ... 28
6. Penarikan sample purposive ... 28
B. Kesalahan Penarikan Sample (Sampling Error) ... 28
C. Distribusi Sampel Rata-rata dan proporsi ... 29
D. Distribusi Sampel Selisih Rata-rata dan proporsi ... 29
E. Faktor koreksi untuk populasi terbatas... 29
F. Penarikan sampel purposive (purposive sampling) ... 29
BAB 8 HIPOTESIS ... 31
A. Hipotesis ... 31
B. Pengujian Hipotesis ... 31
C. Prosedur Pengujian Hipotesis ... 32
BAB 9 MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR ... 35
BAB 10 PENGUJIAN HIPOTESA SAMPEL KECIL ... 39
BAB 11 UJI CHI KUADRAT ... 41
A. Statistika Non Parametrik ... 41
B. Chi Kuadrat untuk Uji Goodness of Fit ... 41
C. Uji keselarasan ... 41
D. Uji keselarasan dengan frekuensi harapan sama ... 42
E. Uji Chi Kuadrat untuk uji kenormalan ... 44
F. Uji Chi Kuadrat untuk uji Independensi ... 44
BAB 12 DATA STATISTIK ... 46
A. Pengertian Statistik ... 45
B. Data Statistik ... 45
C. Penyajian Data ... 48
BAB 13 KORELASI BIVARIATE ... 51
A. Pengertian Korelasi ... 51
B. Koefisien Korelasi ... 51
C. Interpretasi Dalam Korelasi ... 52
D. Macam Korelasi dan Teknik Penghitungan……… .... 53
a. Korelasi Pearson ... 53
b. Tata Jenjang ... 55
c. Phi ... 56
d. Coefficient Contingency ... 57
BAB 14 REGRESI LINIER SEDERHANA ... 58
B. Metode Regresi Linier Sederhana ... 58
BAB 15 UJI BEDA BIVARIATE ... 62
A. Paired Sample t-test ... 62
B. Independent Sample t-test ... 58
BAB 16 ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) ... 67
A. Anova Satu Arah ... 67
B. Analisis Sesudah Anova ... 70 DAFTAR PUSTAKA
BAB 1
KONSEP DASAR PROBABILITAS A. PENDAHULUAN
Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk suatu kejadian.
1. Manfaat mempelajari probabilitas
sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.
Contoh:
Seluruh mahasiswa STIKes Surya Mitra Husada harus memiliki sertifikat Bahasa Inggris. Di kota Kediri sendiri banyak terdapat tempat kursus Bahasa Inggris diantaranya Mozaik, Mahesa, Elfas dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus.
Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh atau sampel dari populasi keseluruhan.
2. Pengertian Probabilitas
Lind (2002) dalam mendefinisikan probabilitas sebagai :
“Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan anatara 0 sampai 1 atau dalam persentase” Tiga Hal penting dalam membicarakan probabilitas :
a. Percobaan (Experiment)
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
b. Hasil (Outcome)
Suatu Hasil dari sebuah percobaan. Dalam Hasil ini semua Kejadian akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan.
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.
Contoh :
Tabel 1.1 Tabel peristiwa
Percobaan Pertandingan Sepak Bola antara Prodi IKM dan Prodi IKP STIKes SMH
Hasil Prodi IKM menang,
Prodi IKM kalah,
Seri, tidak ada yang menang dan tidak ada yang kalah
Peristiwa Prodi IKM Menang
Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0 menunjukan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa pasti terjadi.
Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase :
1. Pada hari jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0.7 sedangkan membeli 0,3.
2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika Inferensial, maka mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70 % dan kalah 30 %
Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berati peristiwa yang tidak mungkin terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan nilai 1 adalah peristiwa yang terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal.
B. PENDEKATAN PROBABILITAS
Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.
1. Pendekatan Klasik
Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi (equally likely).
Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).
Probabilitas
=
Contoh :
Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan, memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka probabilitas setiap peristiwa 1/3.
Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling lepas.
“Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan”
Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap terbatas kolektif (collectio exhaustive).
“lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang dilakukan”
2. Pendekatan Relatif
Probabilitas suatu keadian tidak dianggap sama, tergantung dari beberapa banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
Dari Kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana Sarjana STIKes SMH tahun 2015 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan predikat terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 = 0.125.
3. Pendekatan Subjektif
Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.
Contoh :
Menurut pengamat politik, Jokowi akan menang dalam Pemilu Indonesia tahun 2019.
BAB 2
KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITAS
Dalam Teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”, apabila kejadian jual saham dilambagkan dengan huruf “A”, Maka probabilitas jual saham dilambagkan dengan P “A”. Sebaliknya apabila kejadian beli saham dilambangkan dengan “B”, Maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P (B). A. Hukum Penjumlahan
Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Hukum ini dilambangkan sebagai :
P (A ATAU B) = P(A) + P(B)
Untuk Kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu: P (A atau ... n) = P (A) + P (B) + ... + P (n) Contoh :
Berikut adalah kegiatan unit mahasiswa untuk tiga sekolah tinggi kesehatan di xediri dengan jumlah total sebanyak 200 kegiatan.
Tabel 2.1 Jenis transaksi Jenis Transaksi
Volume Transaksi
Kegiatan A 120
Kegiatan B 80
Jumlah Total kegiatan 200 Penyelesaian :
Dari data diatas diketahui bahwa :
Probabilitas Kegiatan A = P (A) = 120/200 = 0.60 Probabilitas Kegiatan B = P (B) = 80/200 = 0.40 Sehingga Probabilitas A atau B,
P (A atau B) = P (A) + P(B) = 0.6 + 0.4 = 1.0
1. Peristiwa atau Kejadian Bersama
Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersama-sama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan diagram Venn seperti berikut
D
A AD
Gambar 2.1 Kejadian bersama
Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut :
P (A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD) Dimana :
P (A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersma-sama P (A) : probabilitas terjadinya A
P (D) : probabilitas terjadinya D
P (AD) : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama 2. Kejadian saling lepas (mutually exclusive)
Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:
Gambar 2.2 Kejadian saling lepas
Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang Dinyatakan P (A atau B)
P(A atau b) = P (A) – P (B) – P (AB) Karena P (AB) = 0 maka
P (A atau B) = P (A) + P (B) – 0 Sehingga :
P (A atau B) = P (A) + P (B) Contoh :
Cobalah hitung beberapa probabilitas kegiatan mahasiswa yang meliputi kegiatan A dan kegiatan B disebut P(AB) dan probabilitas kejadian untuk sekolah kesehatan X, Y, dan Z di sebut P(CDE)
Tabel 2.1 Probabilitas Kegiatan di Sekolah kesehatan
Kegiatan Sekolah Tinggi Kesehatan Jumlah
X (C) Y (D) Z (E)
Kegiatan ( A ) 30 50 40 120
Kegiatan ( B ) 40 39 10 80
Jumlah 70 80 50 200
Penyelesaian :
Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB) = 0. maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah :
P (A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.6 + 0.4
= 1.0
probabilitas kejadian ketiga Sekolah Tinggi Kesehatan juga merupakan kejadian saling lepas, maka hukum penjumlahannya adalah :
P (C atau D atau E) = P (C) + P (D) + P (E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0
= 1.0
probabilitas P(C atau D atau E) = P(C) + P (D) + P(E) – P(CDE) = 0.35 + 0.40 +0.25 – 0 = 1.0 probabilitas P(C atau D) P (C atau D) = P (C) + P(D) – P(CD) = 0.35 + 0.40 = 0.75 B. Hukum Perkalian
Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu peristiwa yang terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi.
“ Peristiwa Independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. “
Dapat dinyatakan dalam bentuk :
P(A dan B) = P(A) x P(B) 1. Probabilitas bersyarat (Condicional Probability)
Probabilitas bersyarat adalah suatu peristiwa akan terjadi, dengan kektentuan perstiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut :
P (A dan B) = P(A) x P(B) 2. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa aabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut :
P (A) + P (B) =1 atau P(A) = 1 – P(B ) Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.3 Diagram Venn
A
C. Diagram Pohon Probabilitas
Tahapan dalam menyusun diagram pohon :
1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau bulatan dengan angka, tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya dengan pohon utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah 1.
2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di sekolah kesehatan ada 2 yaitu kegiatan A dan kegiatan B dengan probabilitas kegiatan A = 0,6 dan probabilitas kegiatan B = 0,4. Nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0
3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik kegiatan
A maupun kegiatan B ada 3 ranting jenis saham. Ranting jenis sekolah kesehatan yaitu X , Y dan Z. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1
4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama (joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua C,D dan E. kita bisa menghitung probabilitas P(C|A) atau P(D|B)Secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap empat juga harus sama dengan 1.
Contoh :
Hasil penelitian di jakarta menunjukkan bahwa 60 % dari usaha kecil dan menengah (UKM) tidak berbadan hukum, sedang sisanya berbadan hukum. Bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memperhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80 % kepada UKM berbadan hukum masih mempunyai kesempatan sebesar 20 % untuk mendapatkan kredit. Hitunglah beberapa persen probabilitas UKM mendapat kredit dari Bank ?
Penyelesaian :
Gambar 2.4 Diagram pohon
1 Kegiatan B (0,4) Kegiatan A (0,6) X Y Z X Y Z
BAB 3
TEOREMA BAYES
Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memperhatikan fakta-fakta yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan. Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain, sedang keberadaan
Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes dinyatakan sebagai :
( )
Rumus diataas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P( B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas :
( ) ( )
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG A. FAKTORIAL
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai tiga sekolah kesehatan yaitu SMH, Karya dan Bhakti ada berapa cara menyusun urutan ketiga bank tersebut?
Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga bank sebagai berikut:
SMH, Karya, Bhakti SMH, Bhakti, Karya Karya, Bhakti, SMH Karya, SMH, Bhakti Bhakti, SMH, Karya Bhakti, Karya, SMH
Dari uraian diatas dapata kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama sekolah kesehatan tersebut tersebut, namun apabila jumlah sekolah kesehatan tersebut tersebut 50 buah sekolah kesehatan, tentu kita akan kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dekat pendekatan faktorial, Apabila sekolah kesehatan berjumlah tigas maka cara mengurutkan nama Sekolah Kesehatan Tersebut :
3! = 3 X 2 X 1 = 6 B. PERMUTASI
Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut:
dimana :
P : Jumlah permutasi atau cara Objek disusun n : Jumlah total objek yang disusun
r : Jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama dengan n atau lebih lebih
! : tanda dari faktorial Contoh :
Dari 20 Kelas di STIKes Surya Mitra Husada, ingin dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok yang dapat dibuat ?
Jabab : C. COMBINASI
Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 Sekolah Kesehatan dan kita hanya akan mengambil 3 Sekolah Kesehatan, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memperhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut :
Contoh :
Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan hiburan. Pihak penyelenggara hanya akan memilih 2 orang yang dapat dijadikan pasangan. Ada berapa kombinasi pasangan yang dapat dipilih oleh panitia ?
BAB 4
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva normal bentuk simetris, masing-masing sisi sama
Gambar 4.1 Kurva normal 1. Kurva berbentuk genta (=Md=Mo)
2. Kurva berbentuk simetris
3. Kurva normal berbentuk asimptotis 4. Kurva mencapai puncak pada saat X=
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1 ; ⁄ di sisi kanan nilai tengah dan ⁄ di sisi kiri.
Distribusi probabilitas dan kurva mempunyai persamaan matematika yang sangat tergantung pada nilai tengah () dan standar defiasi (). Distribusi probabilitas dan kurva normal dari suatu variable acak (X) yang nilainya terletak - sampai dinyatakan dengan lambang X ~ N (X; ,).
Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah :
-1/2(x-)/2,
√
untuk -< X < Jenis-Jenis Probabilitas Normal
Jenis-jenis probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya, maka distribusi probabilitas kurva normal diantaranya. a. Distribusi probabilitas dan kurva Normal dengan dan berbeda.
Gambar 4.2 kurva normal dengan dan berbeda 1. Mesokurtik
Kurva normal ini mempunyai = Md dan Mo yang sama, namun berbeda
2. Platykurtik
Nilai semakin tinggi dan kurva semakin pendek. Nilai tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya ().
3. Leptokurtik
Nilai semakin rendah dan kurva semakin runcing. Nilai rendah ini menunjukan data semakin mengelompokkan pad nilai tengahnya () b. Distribusi probabilitas dan kurva Normal dengan Berbeda dan
sama
Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Gambar diataas menunjukan nilai rata-rata berbeda dengan standar daviasi yang sama. Pada contoh dapat dilihat mangga dikelompokkan menjadi mutu “A” dengan berat rata-rata 450 gram, mutu “B” dengan 300 gram dan mutu “C” dengan 150 gram.
Gambar 4.3 kurva Normal dengan Berbeda dan sama
c. Distribusi probabilitas dan Kurva normal dengan Berbeda dan berbeda
Kurva dengan berbeda dan berbeda mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda. Kurva seperti ini relatif sering terjadi karena antara populasi terdapat perbedaan atau setiap populasi juga mempunyai keragaman yang berbeda.
Gambar 4.4 Kurva normal dengan Berbeda dan berbeda d. Distribusi probabilitas Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1. Beberapa hal yang perlu dlakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal baku yang dikenal dengan Z. atau skor Z. rumus nilai Z adalah :
Dimana :
Z = skor Z atau nilai normal baku
μ = Nilai rata-rata hitung suatu Distribusi σ = stndar deviasi suatu distribusi
e. Luas dibawah Kurva Normal
Kurva Normal juga mengikuti hukum empirik. Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng seperti kurva normal diperkirakan 68,26% data akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah dua kali standar deviasi, (X ± 1σ), (X ± 2σ) dan semua data atau 99,74 % akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambahtiga kali standar deviasi, (X ± 3σ).
Gambar 4.5 kurva normal contoh soal
Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26 % dari julah data
Berapa LUas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa ditulis P(0<Z<0, 76) ?
Dapat dicari dari table luas di bawah kurva Normal. Nilainya dihailkan = 0,2764
f. Pendekatan Normal Terhadap Binominal
Pada distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal.
Gambar 4.6 Grafik normal terhadap binomial
Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. Pada saat n = 20 terlihat bahwa distribusi probabilitas binomial mendekati distribusi probabilitas normal yaitu kurva berbentuk lonceng, memiliki puncak tunggal dan simetris.
Bila nilai X dalah distribusi acak Binomial dengan nilai tengah = np dan standar deviasi σ= , maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:
√
Dimana n dan nilai p mendekati 0,5 g. Faktor Koreksi Kontunuitas
Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal (menurut Lind 2002) diperlukan faktor koreksi selain syarat binomial terpenuhi yaitu :
a. Hanya terdapat dua peristiwa b. Peristiwa bersifat independen
c. Besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan d. Data merupakan hasil perhitungan
Apabila telah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5. Faktor koreksi ini diperlukn untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variable acak kontinu.
Contoh :
Sudah merupakan pedagang buah di pusat pasar medan. Setiap hari membeli 300 kg jeruk. Probabilitas buah laku dijual adalah 80 % dan 20 % tidak laku atau busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ?
Jawab :
n = 300; probabilitas laku p = 0,8 dan q = 0,2 μ = np = 300 x 0,80 = 240
σ = = 6,93
diketahui X = 250, dikurang faktor koreksi 0,5 sehingga X = 250 – 0,5 = 249,5 dengan demikian nilai Z menjadi ;
Z = (249,5 – 240)/6,93 = ,37 dan P(Z <1,37) = 0,4147
Jadi probabilitas buah laku 250 kg adalah = 0,5 + 0,4147 = 0,9147 Jadi harapan buah laku 250 kg adalah 91,47%
BAB 5
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
Untuk mempermudah mengetahui probabilitas banyak kejadian atau percobaan dapat dilakukan dengan bantuan distribusi probabilitas. Dimana distribusi probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau terjadi dari sebuah kejadian atau percobaan.
A. Pengertian Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatukegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut. Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil(event).
Contoh:
Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap tahun 2015/2016. Mata kuliah tersebut adalah Biostasistika (BSTK) dan Aplikasi Komputer (Aplikom). Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan diikuti, bisa memilih BSTK semua, BSTK dan Aplikom atau Aplikom semua. Berikut adalah kemungkinan dari ketiga pilihan mahasiswa tersebut.
Tabel 5.1 Tabel pilihan kegiatan
Kemungkinan Pilihan Mahasiswa Jumlah Pilihan BSTK
A B C 1 BSTK BSTK BSTK 3 2 BSTK BSTK Aplikom 2 3 BSTK Aplikom BSTK 2 4 BSTK Aplikom Aplikom 1 5 Aplikom BSTK BSTK 2 6 Aplikom BSTK Aplikom 1 7 Aplikom Aplikom BSTK 1 8 Aplikom Aplikom Aplikom 0
dari tabel dapat dilihat kemungkinan mahasiswa tidak memilih BSTK sama sekali ada satu kejadian, mahasiswa hanya satu yang memilih BSTK ada 3 kejadian, ada 2 mahasiswa yang memilih BSTK ada 3 kejadian. Mahasiswa ada 3 orang yang memilih BSTK ada 1 kejadian. Dari ke 8 kejadian tersebut kita dapat menyusun distribusi probabilitas sebagai berikut :
Tabel 5.2 Tabel distribusi probabilitas Jumlah BSTK di Pilih Mahasiswa Jumlah Frekuensi Total Kemungkinan Distribusi Probabilitas Hasil P(r) 0 1 8 1/8 0,125 1 3 8 3/8 0,375 2 3 8 3/8 0,375 3 1 8 1/8 0,125
Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Biostatistik yaitu 0,125. Dalam bentuk grafik poligon dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 5.1 Distribusi Probabilitas pilihan mahasiswa B. Variabel Acak/Random
a. Variabel Acak
Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.
Contoh:
Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan 4.05 kg. Maka penimbangan berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka adalah variabel acak.
b. variabel acak diskret
variabel acak diskret merupakan hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak diskret ini biasanya berupa bilang bulat dan berasal dari hasil perhitungan. Contoh: jumlah mahasiswa 800 orang, jumlah buah jeruk 20 buah, jumlah telur 300 butir dan sebagainya.
c. variabel acak kontinu
variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval hasil percobaan, biasanya dihasilkan dari hasil pengukuran dan bukan penjumlahan. Semua nilai yang dihasilkan dari kegiatan pengukuran baik bulat maupun pecahan merupakan variabel acak kontinu.
Contoh:
pada buah semangka jumlah buah semangka 10 buah adalah variabel acak diskret, tapi berat semangka misalnya 3,56 kg ini merupakan variabel acak kontinu.
C. Rata-rata Hitung, Varians, dan Standar Deviasi a. Nilai Rata-rata Hitung
Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan (expected value) yang dilambangkan E(x) Rumus nilai rata-rata hitung:
μ = E(x) = ∑ (X). P(X) dimana:
μ : Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas E(x) : Nilai harapan (expected value)
X : Kejadian
P(X) : Probabilitas suatu kejadian ∑ : Lambang operasi penjumlahan b. Varians dan Standar deviasi
Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung. Varian dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
√ Dimana: 2 : Varians : Standar deviasi X : Nilai suatu kejadian
: Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas P(X) : Probabilitas suatu kejadian X
∑ : Lambang operasi penjumlahan Contoh:
Hitunglah nilai rata-rata hitung, Standar deviasi dan Varian pada kasus pilihan tiga mahasiswa pada mata kuliah Biostatistika pada contoh terdahulu?
Penyelesaian : Tabel 5.3 tabel probabilitas
X P(x) x.P(x) X-P (x-p)2 (x-r)2 – P(x) 0 0,125 0,000 -1,500 2,250 0,281 1 0,375 0,375 -0,500 0,250 0,094 2 0,375 0,750 0,500 0,250 0,094 3 0,125 0,375 1,500 2,250 0,281 1,500 2 0,750
Dari data diatas dapat dilihat bahwa :
Rata-rata hitung adalah sebesar 1,500 menunjukan bahwa ada 1,5 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Biostatistika. Namun karena orang tidak dalam bentuk pecahan, maka bisa didekatkan pada 1 atau 2 orang.
Varians 2 = 0,75, maka standar deviasi = = = = 0,87. Ini menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari nilai tengahnya adalah 0,87.
D. Distribusi Probabilitas Binomial
Ini menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan Bernoulli.
Ciri-ciri Percobaan Bernouli:
Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli,
(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.
Probabilitas suatu kejadian untuk sukses atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.
Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.
Data yang dihasilkan adalah data perhitungan. Pembentukan Distribusí Binomial Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial:
a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal Dapat dinyatakan sebagai berikut:
Dimana:
P (r) : Nilai probabilitas binomial
P : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan
r : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n : Jumlah total percobaan
q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p ! : Lambang faktorial
Contoh:
PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah swalaya terkenal di kota Kediri. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80% buah yang dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari mengirim 10 buah Melon setiap harinya
Permintaan:
a. Berapa probabilitas 10 buah diterima b. Berapa probabilitas 8 buah diterima c. Berapa probabilitas 7 buah diterima Penyelesaian:
a. probabilitas 100 buah diterima semua n = 10 p = 0,8
r = 10 q = 0,2
E. Distribusi probabilitas Hipergeometrik
Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.
Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan. Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi
Hipergeometrik.
Pada kasus dimana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas, dan jumlah sampel terhadap populasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik lebih tepat digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:
Dimana:
P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N : Jumlah populasi
S : Jumlah sukses dalam populasi
r : Jumlah sukses yang menjadi perhatian n : Jumlah sampel dari populasi
C : Simbol kombinasi Contoh :
Seorang penjual kelapa muda baru mendapat kiriman 20 buah kelapa yang 5 diantaranya sudah terlalu tua. Jika seseorang mengambil 2 buah kelapa secara acak, tentukanlah peluang bahwa :
a. Kelapa yang terambil kedua-duanya adalah kelapa tua b. Kelapa yang terambil kedua-duanya adalah kelapa muda c. Kelapa yang terambil salah satunya adalah kelapa tua
Jawab : Diketahui : N = 20 S = 15 n = 2 a. r = 2 b. S = 5 r = 2
c. r = 1
F. Distribusi Probabilitas Poisson Dikembangkan oleh Simon Poisson
Distribusi Probabilitas Poisson adalah distribusi yang digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial. Ciri utama dari distribusi poisson adalah untuk menghitung peluang jumlah kedatangan, kunjungan pada suatu tempat menurut satuan waktu. Seperti peluang penambahan orang cacat dari tahun ke tahun, peluang jumlah kendaraan yang lewat per jamnya sampai peluang jumlah penelpon sebuah operator per menitnya.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.
Rumus:
dimana
P(X) : Nilai probabilitas distribusi poisson
μ : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana μ = n.p e : Bilangan konstan = 2,71828
X : Jumlah nilai sukses
P : probabilitas sukses suatu kejadian ! : Lambang faktorial
Contoh soal :
1. Jumlah mobil yang memasuki gerbang jalan tol dalam setiap menit diketahui berdistribusi Poisson. Jika rata-rata jumlah mobil yang memasuki gerbang tol permenitnya adalah 3 buah mobil tentukan peluang bahwa antara jam 10.00 sampai 10.01 terdapat dua mobil yang memasuki gerbang tol tersebut.
2. Survei Komnas PA pada tahun 2015, menunjukkan bahwa dari 8.564 siswa SMP berusia 13-14 tahun, sebanyak 90% sudah terpapar iklan rokok dan 41% dari
yang sudah terpapar rokok tersebut akhirnya mencoba untuk merokok. Apabila diambil 20 siswa SMP di DKI Jakarta secara acak, maka hitunglah peluang: a. Tidak ada siswa yang tidak merokok
b. Lebih dari 5 siswa yang merokok.
3. Pada tahun 2014, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang:
a. Didapat tidak ada yang albino. b. Terdapat ada albino.
BAB 6
TEORI KEPUTUSAN
Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana maupun keputusan jangka panjang. Untuk membantu dalam pengambilan keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes.
Contoh:
Keputusan yang diambil suatu perusahaan atau Universitas Swasta: Barang dan jasa apa yang akan diproduksi,
Metode apa yang dipakai untuk memproduksi, Untuk siapa barang dan jasa di produksi,
Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya, Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran, dan lain-lain.
1. Elemen-elemen Keputusan
Kepastian (certainty): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan valid.
Risiko (risk): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan ada probabilitas atas suatu kejadian.
Ketidakpastian (uncertainty): suatu keputusan dengan kondisi informasi tidak empurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada.
Konflik (conflict): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan. Setiap keputusan dalam atatistika mempunyai tiga elemen atau komponen penting
1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan.
2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau dikendalikan oleh pengambil keputusan.
3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan. Hubungan elemen keputusan menurut Lind (2002)
Peristiwa
Hasil/Payoff Tindakan
Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi
mendatang, Pengambil keputusan tidak mempunyai kendali terhadap kondisi mendatang
Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria tertentu
2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko
Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat informasi Namur tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap statu kejadian. Ada beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu:
1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu keputusan.
2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada. 3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik Contoh:
Ibrahim merupakan apoteker modern, dan menginvestasi sebagian keuntungan untuk membeli saham. Pada tahun 2015 ia berinvestasi sebesar Rp. 10.000.000,-. Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham Aventis, saham Kimia Farma dan Saham Soho.
Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko:
A. Nilai yang diharapkan (Expected Value) Kode
Perusahaan Harga Saham
Juml saham
Kondisi baik Kondisi Buruk Deviden/ lbr Total deviden Deviden/ lbr Total deviden Aventis 9.000 1.111 400 444.444 250 277.778 Kimia Farma 18.500 541 2.000 1.081.081 300 162.162 Soho 30.000 333 4.463 1.487.667 185 61.667 SAHAM OL BAIK P= 0,5 OL BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV Aventis 444.444 277.778 (444.444x0,5) + (277.778x0,5) 361.111
B. Expected Opportunity Loss
Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV
EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan keputusan terbaik.
Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk hasil yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada peristiwa tersebut.
Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah Soho = 0 dan kondisi terburuk Aventis = 0. nilai OL terendah adalah untuk Soho maka dapat direkomendasikan untuk dibeli oleh investor.
3. Ecpected value of Perfect Information
Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara hasilmaksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak pastian
Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah untukmengambil kesempatan yang terbaik.
Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham Aventis adalah pilihan terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham Kimia Farma lebih baik.Apabila hanya membeli saham Soho maka
EV = 1.487.667 x 0,5 + 61.667 x 0,5 = 774.667
Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna denganmembeli harga saham Soho dan Kimia Farma
EVif = 1.487.667 x 0,5 + 277.778 x 0,5 = 822.723
Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih: = 822.723 -774.667 = 108.056.Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi.
Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga dan menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan lain-lain.
4. Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian
Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang sempurna,juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan keputusan untuk kondisi ketidakpastian:
1.Kriteria Laplace Kimia Farma 1.081.081 115.616 Soho 61.667 216.111 SAHAM OL BAIK P= 0,5 OL BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV Aventis 1.043.223 0 (1.043.223 x 0,5) + (0 x 0,5) 521.612 Kimia Farma 406.586 115.616 Soho 0 216.111
Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik. 2.Kriteria Maximin
Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk)
3.Kriteria Maximax
Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya.
4.Kriteria Hurwicz
Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme.
5.Kriteria (Minimax) Regret
Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai OL (opportunity Loss) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang
minimum Contoh :
Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEJ yaitu Aventis, Kimia Farma dan Soho. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom.
a. Kriteria Laplace
1. EV (Aventis) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639 2. EV (Kimia Farma) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 =
1.219
3. 3. EV (Soho) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015 Berdasarkan kriteria Laplace, keputusan terbaik adalah membeli saham Soho.
μ : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana μ = n.p e : Bilangan konstsan = 2,71828
X : Jumlah nilai sukses
P : probabilitas sukses suatu kejadian ! : Lambang faktorial
Perusahaan Kondisi Perekonomian
Boom Normal Krisis
Aventis 1.180 488 250
Kimia Farma 2.000 1.356 300
5. Analisis Pohon Keputusan
BAB 7
METODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING
Populasi dan sampel merupakan aspek penting dalam mempelajari statistika induktif. Populasi adalah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian. Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Hubungan populasi dan sample dapat digambarkan sebagai berikut:
Populasi Sampel
Gambar 7.1 Populasi sampel Populasi dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu:
a. Populasi terbatas (finite) yaitu populasi yang ukurannya terbatas berukuran N. Contoh: semua Sekolah Tinggi Kesehatan yang ada misalnya 140 Sekolah Tinggi Kesehatan.
b. Populasi tidak terbatas (infinite) yaitu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehinga usuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya.
2880 836 1372 2880 250 188 0 185 4463 300 2000
Keputusan EV Probabilitas PayOff
Membeli saham Aventis
Membeli saham kimia farma
Membeli Saham Soho
Boom (0,63) Krisis (0,37) Krisis (0,37) Krisis (0,37) Boom (0,63) Boom (0,63)
Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda). Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.
a. Akurasi atau ketepatan, yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi.
b. Presisi, Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi. Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik populasi. Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang dikenal dengan nama “sampling error” Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error). Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan simpangan baku dari populasi (s), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah ( Kerlinger, 1973 ).
Sampel dapat dibedakan menjadi dua yaitu: Sampel probabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
Sampel nonprobabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel. A. Metode penarikan sample
Metode Penarikan Sampel
Sampel Non Probabilitas (NonProbabilitas Sampling) Sampel Probabilitas
(Probability Sampling)
1. Penarikan sampel acak sederhana (Simple random sampling)
2. Penarikan sampel acak terstruktur (Stratified random sampling)
3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling)
4. Penarikan sampel sistematika (Systematic random sampling)
1. Penarikan sampel sistematis 2. Penarikan sampel kuota
3. Penarikan sampel purposive (Purposive Sampling)
Sampel Probabilitas (Probability Sampling)
1. Penarikan sampel acak sederhana (simple random sampling) 2. Penarikan sampel acak terstruktur (stratified random sampling) 3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling)
4. Penarikan sampel sistematika (Systematic Random Sampling) Sampel Nonprobabilitas (Nonprobability Sampling)
1. Penarikan sampel sistematis (systematic sampling) 2. Penarikan sampel kuota (kuota sampling)
3. Penarikan sampel purposive (purposive sampling) 1. Penarikan Sampel Acak Sederhana
Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.
Ada dua cara pengambilan sampel acak sederhana 1. Sistem Kocokan
Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama sistem arisan. 2. Menggunakan tabel acak
Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel. Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik awal (starting point).
2. Penarikan sampel acak terstruktur:
Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum.
Dari table diatas terlihat bahwa jumlah sample setiap stratumnya didasarkan pada jumlah proporsi persentsae setiap stratum terhadap jumlah totalnya.
Gambar 7.2 penarikan sampel terstruktur Sampel acak terstruktur terbagi menjadi dua, yaitu :
Teknik sampling random strata proporsional digunakan apabila proporsi ukuran subpopulasi atau jumlah satuan elementer dalam setiap strata relatif seimbang atau relatif sama besar. Dalam sampel strata proporsional, dari setiap strata diambil sampel yang sebanding dengan besar setiap strata dengan berpatokan pada pecahan sampling (sampling fraction) yang sama yang digunakan. Pecahan sampling adalah angka yang menunjukkan persentase ukuran sampel yang akan diambil dari ukuran populasi tertentu. Cara pengambilan sample dilakukan dengan menyeleksi setiap unit sampling yang sesuai dengan ukuran unit sampling. Keuntungannya ialah aspek representatifnya lebih meyakinkan sesuai dengan sifat-sifat ynag membentuk dasar unit-unit yang mengklasifikasinya, sehingga mengurangi keanekaragamannya. Karakteristik-karakeristik masing-masing strata dapat diestimasikan sehingga dapat dibuat perbandingan. Kerugiannya ialah membutuhkan informasi yang akurat pada proporsi populasi untuk masing-masing strata. Jika hal tersebut diabaikan maka kesalahan akan muncul. b. Disproporsional
Pada Sampel Strata Disproporsional, ukuran sampel yang diambil dari setiap subpopulasi (strata) sama besarnya, yang berbeda adalah pecahan samplingnya. Strategi pengambilan sample sama dengan proporsional. Perbedaanya ialah terletak pada ukuran sample yang tidak proporsional terhadap ukuran unit sampling karena untuk kepentingan pertimbangan analisa dan kesesuaian.
3. Penarikan sample Cluster (cluster sampling)
Penarikan cluster adalah teknik memilih sampel dari kelompok unit-unit kecil (cluster) dari sebuah populasi yang relatif besar dan tersebar luas. Anggota dalam setiap cluster bersifat tidak homogen berbeda dengan penarikan sampel terstruktur. Pemilihan sampel pada metode ini adalah dengan metode acak sederhana, dengan harapan akan mengurangi biaya penarikan sampel populasi yang tersebar pada area geografis yang terlalu besar.
4. Penarikan sampel secara sistematis (systematic Random Sampling)
Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal secara acak lalu setiap anggota ke K dari populasi dipilih sebagai sampel.
Sebagai contoh apabila akan dipilih 5 perusahaan reksadana, maka perusahaan mana yang akan menjadi sampel dengan menggunakan metode sistematis, beberapa langkah yang harus dilakukan adalah:
a. memberikan nomor urutan misalnya dari aset terbesar sampai terkecil atau sebaliknya
b. jumlah populasi misalnya 59, dan jumlah sampel 5, maka jarak antara sampel adalah 12
c. nomor sampel adalah 1, 13, 25, 37, dan 49 (setiap sampel berjarak secara sistematis yaitu 12)
5. Penarikan sampel Kuota (Kuota sampling)
Penarikan sampel kuota adalah pengambilan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah atau kuota yang diinginkan. Tujuan penarikan sampel kuota adalah untuk memperbaiki keterwakilan seluruh komponen dalam populasi. Sebagai contoh apabila akan dilakukan penelitian terhadap tingkat kehadiran mahasiswa yang mengambil matakuliah statistika dari populasi 150 orang ditentukan kuota 20 orang. Kalau pengumpulan data belum mencapai 20 orang maka penelitian belum dianggap selesai.
6. penarikan sampel purposive (purposive sampling)
Penarikan sampel purposive adalah penarikan sampel dengan pertimbangan tertentu. Pertimbangan tersebut berdasarkan pada kepentingan atau tujuan penelitian. Penarikan sampel dengan purposive ada dua cara:
a. convenience sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan keinginan peneliti sesuai dengan tujuan penelitian.
b. Judment sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan penilaian terhadap karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian.
B. Cara Menentukan Ukuran Sampel 1. Dengan Tabel
Salah satu cara menentukan ukuran sampel yang di kembangkan oleh Isaac dan Michael dengan menggunakan pendekatan statistic untuk tingkat Kesalahan 1%, 5%, dan 10% adalah sebagai berikut :
2. Dengan Rumus
a. Dengan asumsi jumlah populasi diketahui
d : presisi absolut N : jumlah populasi
Z1-α/2 = nilai pada table Z sesuai dengan nilai d yang telah di
tentukan
b. Dengan asumsi jumlah populasi tidak di ketahui
Dengan pendekatan rumus Lemeshow
Dengan pendekatan kohort dan case control (retrospektif) c. Dengan pendekatan eksperimen
Menurut Supranto J (2000) untuk penelitian eksperimen dengan rancangan acak lengkap, acak kelompok atau faktorial, secara sederhana dapat dirumuskan:
(t-1) (r-1) > 15
dimana : t = banyaknya kelompok perlakuan j = jumlah replikasi
Contohnya: Jika jumlah perlakuan ada 4 buah, maka jumlah ulangan untuk tiap perlakuan dapat dihitung:
(4 -1) (r-1) > 15 (r-1) > 15/3 r > 6
Untuk mengantisipasi hilangnya unit ekskperimen maka dilakukan koreksi dengan 1/(1-f) di mana f adalah proporsi unit eksperimen yang hilang atau mengundur diri atau drop out.
Merupakan perbedaan antara nilai statistik sampel dengan nilai parameter dari populasi. Dalam pemilihan sampel, dimana jumlah sampel adalah sebagian dari populasi, mungkin akan terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dan standar deviasi sampel terhadap rata-rata hitung dan standar deviasi populasi. Perbedaan nilai statistik ini yang dikenal dengan kesalahan penarikan sampel (sampling error). Dengan menggunakan sampel bisa ditemukan kesalahan penarikan sampel pada saat hasil sampel tersebut digunakan untuk menduga parameter suatu populasi. Untuk menentukan tingkat keyakinan akan hasil menggunakan sampel untuk menduga parameter dapat dipahami dengan mentusun distribusi sampel (sampling distribution) dan rata-rata hitung sampel (sampel means).
D. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi
Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel dan populasi adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel.
a. Distribusi sampel rata-rata dan proporsi menpunyai nilai hitung rat-rata: ∑
b. Distribusi sampel rata-rata dan proporsi mempunyai standar deviasi √ ∑ √
c. Hubungan antara standar deviasi sampel x dan proporsi pada kondisi sampel terbatas √ √
d. Hubungan standar deviasi sampel x dan proporsi pada kondisi sampel tidak terbatas
√
e. Distribusi sampel rata-rata dan porposi merupakan distribusi normal, sehingga dapat diketahui nilai Znya yaitu
E. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi
Distribusi sampel selisih apabila terdapat dua atau lebih populasi yang diambil sebagai sampel
a. Distribusi sampel selisih rata-rata
Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua
sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1
dan n2 yang cukup besar (n1, n2 > 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata
sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standart.
1. Nilai rata-rata
2. Nilai standar deviasi
√ √
3. Nilai Z
F. Distribusi Sampel Selisih Proporsi
Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi dari selisih proporsi dua sampel ang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya.
1. Nilai Rata-rata
2. Nilai Standar Deviasi
√ √ 3. Nilai Z
G. Faktor Koreksi untuk populasi terbatas
Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil dugaan parameter dan diterapkan
jika rasio n/N lebih besar dari 0,05. faktor koreksi terhadap standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
√
BAB 8 HIPOTESIS A. Hipotesis
Hipotesa adalah suatu pernyataan mengenai nilai suatu parameter populasi yang dimaksudkan untuk pengujian dan berguna untuk pengambilan keputusan. Hipotesa sebenarnya disusun berdasarkan data, akan tetapi karena data tersebut dihasilkan dari sample yang mempunyai probabilitas, sehingga hasilnya bisa saja benar dan mungkin saja salah. Oleh sebab itu sebuah hipotesa sebelum menjadi keputusan haruslah diuji terlebih dahulu dengan menggunakan data observasi.
Menurut Nasir (1988) hipotesa yang baik mempunyai ciri-ciri: a. menyatakan hubungan
b. sesuai dengan fakta c. sederhana dan dapat diuji
d. dapat menerangkan fakta dengan baik B. Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak.
C. Jenis Kesalahan Dalam Hipotesis
Ada dua jenis kesalahan yang bias terjadi di dalam pengujian hipotesis. Kesalahan bisa terjadi karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar atau menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar disebut kesalahan jenis pertama atau type 1 error. Sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesis nol padahal hipotesis itu salah disebut kesalahan jenis 2 atau type 2 error.
Tabel 8.1 Jenis kesalahan hipotesis
PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II
Situasi
Keputusan H0 Benar H0 Salah
Terima H0 Keputusan tepat (1 – α) Kesalahan Jenis II (β) Tolak H0 Kesalahan Jenis I (α) Keputusan tepat (1 – β)
D. Prosedur Pengujian Hipotesa
Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))
Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa)
Langkah 3. Menentukan Uji statistik (Alat uji statistik, uji Z, t, F, χ2 dan lain-lain)
Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))
Langkah 5. Mengambil Keputusan
Menerima H0 Menerima H1, Menolak H0
Langkah 1 Merumuskan Hipotesis
Perumusan hipotesa dikembangkan oleh Fisher yang dikenal sebagai Bapak Stastistik, yang membedakan hipotesa menjadi nol dan hipotesa alternative.
Hipotesa nol (H0)
Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi Hipotesa alternative (H1)
Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah
Contoh:
1. Rata-rata penyebaran penyakit flu singapura tidak sama dengan 13,17%, maka H0 : μ = 13,17%
H1 : μ≠ 13,17%
2. Rata-rata IPK mahasiswa diatas 3 H0 : IPK = 3
H1 : IPK > 3
Langkah 2. menentukan taraf nyata
Taraf nyata adalah Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar. Taraf nyata adalah nilai kritis yang digunakan sebagai dasar untuk menerima atau menolak hipotesa nol. Taraf nyata dilambangkan dengan α, dimana α = 1 – C. C adalah tingkat keyakinan, apabila C = 0,95 maka taraf nyata 0,05. semakin tinggi tingkat keyakinan maka semakin kecil taraf nyata. Kebiasaan yang sering digunakan untuk penelitian sosial dan ekonomi adalah taraf nyata 5% atau tingkat keyakinan 95%.
Langkah 3. menentukan Uji Statistik
Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa. Pada bagain ini akan dibahas uji Z, yang diperoleh dari rumus berikut:
dimana :
z = Nilai Z
x = Rata -rata hitung sampel μ = Rata - rata hitung populasi
Langkah 4. Menentukan daerah Keputusan
Gambar 8.1 Daerah keputusan Pengujian satu arah
Adalah daerah penolakan H0 hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja
atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za.
Sedangkan pengujian dua arah
Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½α, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½α.
Langkah 5. mengambil Keputusan
Keputusan ditentukan dengan melihat nilai Z, apabila terletak pada daerah yang menerima H0 maka hipotesa dapat diterima atau sebaliknya apabila nilai Z tidak
terletak pada daerah penerimaan H0 maka hipotesa ditolak
Contoh :
Waktu rata-rata yang diperlukan permahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil di suatu perguruan tinggi adalah 20 menit dengan simpangan baku 5 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin antrian sedang dicoba. Bila sample 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 8 menit dengan simpangan baku 3,2 menit dengan system baru tersebut, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-ratanya sekarang tidak sama dengan 20 menit. Gunakan α = 5%.
BAB 9
MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
CONTOH PENGUJIAN DUA ARAH
1. Ujilah nilai rata-rata sama dengan 15,17%. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut:
H0 : µ = 15,17%.
H1 : µ ≠15,17%.
2. Ujilah nilai koefisien untuk b sama dengan 0. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut:
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0.
Gambar 9.1 Daerah keputusan
MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA DAN PROPORSI SAMPLE BESAR
Ada Tiga hal yang terkait dengan pengujian hipotesa rata-rata dan porposi sample besar yaitu:
a. Proses pengujian hipotesa, dimana pengujiannya tetap mengikuti 5 langkah b. Yang diuji dalam hal ini adalah rata-rata populasi dan proporsi dari populasi c. Sample besar. Sample besar adalh sample yang berjumlah 30 atau lebih.
Dengan menggunakan sample besar diharapkan akan mendekati distribusi normal sehingga dapat digunakan nilai dan uji Z.
CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
Dinas Kesehatan menyatakan bahwa penyebaran penyakit flu singapura rata-rata mencapai 13,17% untuk setiap daerah di wilayah kerjanya. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan YESS mengadakan penelitian pada 36 daerah di wilayah kerja Dinas Kesehatan dan didapatkan hasil bahwa rata-rata penyebaran flu singapura tiap daerah adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan Dinas Kesehatan tersebut benar dengan taraf nyata 5%.
Langkah 1
Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata penyebaran penyakit flu singapura sama dengan 13,17% merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya
adalah rata-rata penyebaran penyakit flu singapura tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
H0 : µ = 13,17%.
H1 : µ ≠ 13,17%.
Langkah 2
Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Zα/2 = α/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96.
Langkah 3
Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata- rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah Sx = s/√n sehingga nilai Z adalah
Langkah 4
Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96 Langkah 5
Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z
= –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan
13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.
Gambar 9.2 Daerah keputusan MENGUJI HIPOTESIS PROPORSI SAMPEL BESAR Rumus uji Z untuk proporsi adalah
