MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA TE

(1)

MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

TENTANG TRIGONOMETRI

RAHMAT HIDAYAT (09320114)

MATEMATIKA DAN KOMPUTASI

(2)

DAFTAR ISI

Pendahuluan...1

Daftar isi ...2

Kata pengantar ...3

Isi ...4

a. Ukuran sudut ...4

 Ukuran sudut dalam derajat, dan ...4

 Ukuran sudut dalam radian ...6

b. Perbandingan-perbandingan trigonometri ...8

c. Kesamaan ...11

d.

Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ...12

e. Fungsi Trigonometri ...15

f. Menggambar grafik trigonometri ...18

(3)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kami berbagai macam nikmat kapada kami, di antaranya nikmat iman, nikamt islam, nikmat umur, terlebih – lebih lagi nikmat kesempatan sehingga kami masih dapat menyelesaikan makalah ini

sebagaimana yang di harapakan.

Shalawat serta salam kami curahkan kepada junjungan kami, nabi Muhammadin SAW, yaitu nabi yang mengajarkan kepada kami bahwa yang hak itu banar dan yang bhatil itu salah, semoga prinsip semacam ini dapat kita realisasikan dalam kehidupan nyata sehari-hari

Selanjutnya saran serta kritik sangat kami harapkan dari berbagai pihak, terutama kapada dosen pembimbing kapita selekta matematika serta teman-teman sekalian yang kami banggakan, untuk perbaikan-perbaikan pembuatan makalah untuk nkedepannya sehingga pembuatan

makalah ke depannya sesuai yang di harapkan.

Pada kesempatan ini, kami mohon maaf yang sebesar-besarnya kepada dosen

pembimbing, karena sangat kami sadari bahwa pembuatan makalah ini, sangat jauh dari harapan bapak / ibu dosen pembimbing, dan masih banyak kekurangan-kekurangan serta kesalahan-kesalahan yang kami lakukan dalam pembuatan makalah ini

(4)

TRIGONOMETRI A. Ukuran sudut

Sebelum mengkai masalah perbandingan dan fungsi trigonometri perlu di pahamiterlebih dahulu suatu besaran yang menunjukkan ukuran bagi suatu sudut. Dalam trigonometri,dad dua macam ukuran sudut yang sering di gunakan, yaitu :

1) Ukuran sudut dalam derajat, dan

2) Ukuran sudut dalam radian.

a Ukuran sudut dalam derajat

Besar sudut dalam ukuran derajat dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep sudut sebagai jarak putar.

Pada gambar dibawah ini (gambar a)di perlihatkan sebuah jarum jam yang dapat berputar bebas terhadap titik pangkal jarum . Titik pangkal ini di beri nama titik O dan titik O terletak pada garis mendatar OX.misalkan titik ujung jarum mula-mula berada pada titik A (A terdapat pada garis OX) sehingga sudut yang di bentuk oleh jarum terhadap garis OX sama dengan (0o_{).kemudian jarum di putar berlawanan arah dengan arah gerak jarum jam biasa sehingga hasil}

(5)

r= jari-jari

Gerak jarum jam dalam ekspresi di atas dapat di tuliskan oleh gerak dari jari-jari lingkaran seperti yang di perlihatkan oleh gambar B, sehingga ukuran besar sudut di tentukan oleh jarak putar jari-jari lingkaran terhadap garis OX. Sekarang jika jarum di gerakkan ke A, aka di katakana jarum inibergerak dalam satu putaran. Panjang lintasan dilalui oleh titik ujung jarum sama dengan keliling lingkaran dan besar sudutnya adalah 3600

Berdasarkan deskripsi di atas, ukuran sudut dalam derajat dapat I definisikan sbb :

Definisi ukuran sudut dalam derajat

Satu derajat (di tulis 10_{) di definisikan sebagai ukuran besar sudut yang di sapu oleh}

jari-jari lingkararan dalam jarak putar sejauh putaran.

10_{= putaran}

Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, di nyatakan dalam ukuran

menit dan ukuran detik. Ukuran –ukuran sudut dalam derajat, menit, dan detik meengikuti

aturan sbb :

a. 1derajat = 60 menit atau 1 menit = derajat

Di tulis : 10_{= 60’} _atau _{1’ =}

(6)

Di tulis : 1’ = 60’’ atau 1’’ =

Conoth soal :

Diketahui besar sudut

a) Nyatakan besar sudut itu dalam notasi decimal.

b) Hitunglah (Nyatakan hasilnya dalam ukuran derajat, menit, dan detik).

(i)

Berdasarkan gambar 2a di bawah ini, tampak bahwa juring atau sektor P’MQ’ di peroleh dari juring PMQ sebagai akibat perbesaran (dilatasi) yang berpusat di M. oleh karena itu, juring PMQ sebangun dengan juring P’MQ’. Kesebangunan ini mengkasilkan hubungan

Nilai perbandingan merupakan ukuran sudut PMQ yang di nyatakan dalam ukuran

radian.

(7)

Q

Sekarang perhatikan gambar 2b misalkan panjang busur PQ = jari-jari lingkaran = r atau panjang busur PQ =MP = r, maka nilai perbandingan

Dalam hal ini di katakn bahwa besar sudut PMQ sama dengan 1radian. Definisi : ukuran sudut dalam Radian

Satu Radian (ditulis 1rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan sebaliknya

1800

r

Berdasarkan gambar 3 dapat di tetapkan sbb :

 Besar sudut PMQ dalam ukuran derajat

Q M P sudut setengah putaran penuh.

 Besar sudut PMQ dalam ukuran radian

, sebab pnjang busur PQ = setengah keliling lingkaran

Oleh karena itu 1800 _{= , amaka di peroleh :}

a. 10₌

(8)

Dalam beberapa perhitungan, sering kali di gunakan nilai pendekatan untuk , sehingga hubungan dalam persamaan di atas dapat di tuliskan sbb :

a) 10₌

B. Perbandingan-Perbandingan Trigonometri

a) Perbandingan-Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku-siku

Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan titik sudut di C pada gambar 4 di bawah ini. Panjang sisi (dalam satuan panjang) di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah

(9)

Dari tiga besaran panjang sisi segitiga siku-siku ABC tersebut (yaitu a, b, c), dapat di tentukan enam buah perbandingan, yang di sebut Perbandingan-Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku-siku.

Definisi : Perbandingan-Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku-siku

a.

Berdasarkan definisi di atas, dapat di turunkan hbungan-hubungan matematika yang disebut rumus kebalikan dan rumus perbandingan sbb :

1. Rumus Kebalikan

Segitiga siku-siku ABC mempunyai panjang sisi a = dan b = 1 Carilah nilai dari keenam perbandingan trignometri untuk sudut a0

a = c

jawab :

nilia c di hitung terlebih dahulu dengan memakai phytagoras C b=1 A c = = = = 2

(10)

b.

c.

d.

e.

(11)

(12)

 Cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x

D.

Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat perbandingan trigonometri. Contoh

 sin x = 0,5

 cos x = sin

 tan 2x =

 cot x = sin

suatu persamaan trigonometri dapat di selesaikan dengan cara menentukan nilai

pengganti variabel yang dapat memenuhi persamaan trigonometri tersebut disebut penyelesaian dari persamaan trigonometri

1. Penyelesaian persamaan trigonometri sin x = a,

Persamaan trigonometriyang berbentuk sinx=adapat diselesaikandengan cara mengubah untuk persamaan tersebut menjadi persamaan trigonometri dasar.

Jika sin atau x =( 1800_+k.

Contoh.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin x = ,00

Penyelesaian Sin x= Sin x = sin 600

X=600 _{atau (180-60)}0₊

Untuk k = 0 600 _{atau 120}0

Jadi, himpunan penyelesaian adalah =

(13)

Jika cos x = cos , maka

X = + k . 3600_{atau X = + k . 360}0_{, k bilangan bulat}

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan cos 3x = , 0 x 3600

Penyelesaian

Jadi, himpunan penyelesaiannya adala =

3. Penyelesaian persamaan trigonometri tan x = a

Jika tan x =tanmaka

x = + k.1800_{,k bilangan bulat}

con toh

tentukan himpunan penyelesaian persamaan tan 2x= , 00 _{x 360}0

(14)

Untuk k = 2 300 _{+ 2. 90}0 ₌₃₀0 _{+ 180}0 ₌

Untuk k = 3 300 _{+ 3. 90}0 ₌₃₀0 _{+ 270}0 ₌

Jadi himpunan penyelesaian

2. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat

diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan

- Grafik fungsi trigonometri

E. Fungsi Trigonometri

Hubungan Fungsi Trigonometri :

Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih

(15)

F. grafik fungsi trigonometri

Fungsi-fungsi trigonometri f(x0_{) = sin x}0_{, f(x}0_{) = cos x}0_{, f(x}0_{) = tan x}0 _{, mempunyai}

persamaan grafik berturut-turut adalah y = sin x0_{, y = cos x}0_{, y = tan x}0_{. Untuk menggambar}

grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan table di perlukan langkah-langkah sbb :

Langkah 1

Butlah table yang menyatakan hubungan antar x dengan y = f(x0_{). Pilihlah nilai sudut sehingga}

nilai y = f(x0_{)dengan mudah dapat di tentukan.}

Langkah 2

Titik-titik (x,y) yang di perolehpada langkah 1 di gambar pada bidangcartesius. Agar skala pada sumbu Xdan pada sumbu Y sama, maka nilai 360pada sumbu X di buat mendekati 6,28 satuan, karena misalkan skala pada sumbu Y ditetapkan 1 cm maka nilai 360 pada sumbu X dibuat medekati nilai 6,28 cm.

Langkah 3

Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang cartesius pada langkah 2 tersebut dengan kurvayang mulus sehingga di peroleh sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x0_).

Berikut ini dijelskan cara membuat sketsa grafik fungsi trigonometri y = sin x0_{, y = cos} x0_{, dan y = tan x}0_{dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dibicarakan di atas.}

1. Grafik Fungsi y = sin x0(0)

Pilihlah sudut-sudut x : 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360;

Kemudian dicari nilai y = sin x0_{. Hubungan antara x dan y = sin x}0_{dibuat tabel seperti di bawah}

Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurvayang mulus sehingga di peroleh grafik fungsi y = sin x0_.

(30, 1/2) (60, ) (90,1) (120,) (150,) (180,0)

1

0,87

(16)

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

Catatan : untuk selamanya diadakan pendekatan nilai dengan 0,87

2. Grafik Fungsi y = cos x0(0 )

Sudut-sudut yang dipilih seperti pada grafik y = sin x0_{. Hubungan antara x dan y = cos x}0_di

perlihatkan pada tabel di bawah ini.

X 0 30 60 90 120 150 18

Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurvayang mulus sehingga di peroleh grafik fungsi y = cos x0_.

(17)

3. Grafik Fungsi y = tan x0(0 )

Pilihlah sudut-sudut x : 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360; kemudian di cari nilai y = tan x0_.

Hubungan antara x dan y = tan x0_{di perlihatkan pada tabel di bawah ini}

X 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y = tan x0 ₀ ₁ _- _-1 ₀ ₁ _- _-1 ₀

Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu di hubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan x0_.

(45, 1) (225, 1)

1

(360, 0) 0 45 90 135 180 225 270 315 360 X

-1

(135, -1) (315, -1)

Berdasarkan grafik fungsi sinus y = sin x0_{, grafik fungsi y = cos x}0_{, grafik fungsi y = tan x}0_{, dapat}

disimpulkan bberapa hal sbb :

1. Fungsi-fungsi trigonometri sinus, cosinus, tangent, merupakan fungsi periodik atau fungsi

berkala.

(18)

b. Fungsi tangent y = tan x0 mempunyai periode 1800

2. Fungsi sinus y = sin x0 dan fungsi kosinus y = cos x0 mempunyai nilai minimum -1 dan

maksimum 1, sedangkan fungsi tangent y = tan x0_{tidak mempunyai nilai minimum ataupun nilai}

maksimum

3. Khusus untuk fungsi tangen y = tan x0.

a. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan , nilai tan x0 menuju ke negatif tak-terhingga .

b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri , nilai tan x0 menuju ke positif tak-terhingga.

c. Garis-garis x = 90 atau x = 270 di sebut garis asimtut

d. Fungsi tangent y = tan x0 dikatakan diskontinu atau tak-sinambung di x = 90 dan x = 270.

DAFTAR PUSTAKA

Frank. Aires, J. R.,Plane and Spherical Trigonometry, Mc. Graw-HillBook Company, New York, 1954

Koesmoronto, dkk. Modul Matematika, Penerbit ITB, Bandung, 1977