Pengertian Transformasi
Definisi:
Suatu transformasi pada bidang V merupakan fungsi
bijektif dari V ke V.
Dengan kata lain T: V → V merupakan suatu transformasi jika T merupakan fungsi bijektif, dengan V = {(x,y) | x,y ϵ R}.
Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif dan fungsi
Fungsi
Fungsi Injektif
Fungsi Surjektif
Suatu fungsi f dari himpunan A kedalam
(into) himpunan B, adalah suatu pengawanan yang memasangkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota B. Dengan notasi matematika dapat dituliskan f : A ⟶ B
merupakan fungsi jika a, b di A, a = b maka f(a) = f(b).
Fungsi f : A ⟶ B disebut fungsi injektif (satu-satu), jika untuk sebarang a, b di A dengan f(a) = f(b) maka
Ilustrasi Fungsi
CONTOH
1. I: V ⟶ V yang didefinisikan sebagai I(x,y) = (x,y) untuk setiap (x,y) di V merupakan transformasi, karena I merupakan fungsi bijektif. Selanjutnya I disebut transformasi identitas.
2. Bijektif apabila dia harus surjektif dan injektif.
Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 2, 2𝑦) atau 𝑥′
𝑦′ = 𝑥 + 22𝑦 → 𝑥′, 𝑦′ = (𝑥 + 2, 2𝑦)
sehingga diperoleh 𝑥′ = 𝑥 + 2 dan 𝑦′ = 2𝑦. Misalkan pada titik 𝐴(2,3) →
CONTOH
Perkawanan T: V → V dengan 𝑇 𝑥, 𝑦 = (2𝑥, 𝑥 + 𝑦) untuk setiap (x,y) di V merupakan transformasi, karena:
Perkawanan tersebut merupakan fungsi T: V → V.
Merupakan fungsi Bijektif (Injektif dan Surjektif). Bukti:
Akan dibuktikan bahwa T merupakan fungsi dari V ke V. Jawab:
∃𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉 ∋ 𝐴 = 𝐵, akan dibuktikan T(A) = T(B).
Misal 𝐴 = {𝑥, 𝑦} dan 𝐵 = {𝑢, 𝑣} dengan 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.
Karena 𝐴 = 𝐵 maka x = u dan y = v s.d.h. 2𝑥 = 2𝑢 dan 𝑥 + 𝑦 = 𝑢 + 𝑣. Berakibat 𝑇 𝐴 = 2𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2𝑢, 𝑢 + 𝑣 = 𝑇(𝐵).
CONTOH
Akan dibuktikan bahwa T fungsi satu-satu (Fs. Injektif). Bukti:
LATIHAN
Diketahui 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2,2𝑦 . Tentukanlah: a. Apakah f merupakan transformasi?
b. Gunakan rumus f (x,y) pada titik P (-3,2).
c. Gunakan rumus f (x,y) pada garis 2x – y – 2 = 0.
ISTILAH DALAM TRANSFORMASI
1. Unsur Tetap1. UNSUR TETAP
Definisi:
Suatu titik A di V disebut titik tetap dari transformasi T jika T(A)=A. Kemudian suatu garis
g disebut garis tetap dari transformasi T jika T(g) =
g.
Contoh:
Apakah T(x,y) = (x + 4, y – 3) memiliki titik tetap? Jawab:
Misalkan P (x,y) adalah titik tetap. Maka T(P) = (x + 4, y – 3) = P = (x,y) x + 4 = x → 4 = 0
y – 3 = y → -3 = 0
Jadi T tidak punya titik tetap.
Soal Latihan:
2. Kolineasi
Suatu transformasi T disebut punya sifat kolineasi jika t memetakan garis menjadi garis lagi.
Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi.
Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan berupa garis lagi.
2. Kolineasi
(cont’d)
T : (x,0) →(x,x + 1)
Rumus transformasinya adalah 𝑥′
𝑦′ = 𝑥 + 1𝑥 . Apakah 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑥 + 2𝑦)
3. Identitas
Definisi:
4. Isometri
Definisi:
Transformasi T disebut Isometri, jika untuk setiap A,B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)| (jika
T(A)=A’ dan T(B)=B’). Dalam istilah lain, seringkali suatu transformasi disebut isometri jika mempertahankan jarak.
Def: T Isometri jika |AB|=|T(A)T(B)| = |A’B’|
Contoh:
Diketahui T(x,y) = (y,4x). Apakah T Isometri? Bukti:
4. Isometri
(cont’d)
Soal:
5. Involusi
Definisi:
Suatu transformasi V merupakan involusi, jika V tidak sama dengan I dan berlaku V2=I. Ini berarti V=V-1.
Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi.
Contoh:
Diketahui T(x,y) = (-x, kx+y). Tunjukkan T involusi? Bukti:
Dengan cara komposisi
T(x,y) = (-x, kx+y)
Teorema 1:
Misal T suatu transformasi. Jika T isometri maka T kolineasi.
Bukti:
∃𝑔 ∈ 𝑉, ambil dua titik A dan B di 𝑔 dimana 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉.
Misal 𝐴′ = 𝑇 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑇 𝐵 . Lalu l merupakan garis yang melalui A’ dan B’. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa T(g) = l atau g = l (pembuktian dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa T(g) ⊆ l dan l ⊆ T(g) ).
1. Akan dibuktikan bahwa l ⊆ T(g).
Timbul kontradiksi, maka pengandaian bahwa D’ diluar salah. Berarti D’ pada l dan A’ – D’ – B’. Terbukti
T(g) ⊆ l.
2. Akan dibuktikan bahwa T(g) ⊆ l.
Bukti:
Misal ∃ 𝑄′ pada l.
Karena T bijektif maka terdapat Q dengan T(Q) = Q’.
Misalkan Q diluar g, dengan ketidaksamaan segitiga dibuktikan bahwa Q harus pada g, sehingga Q’ = T(Q) harus pada l = T(g).
Teorema 2:
Isometri mempertahankan besar sudut.
Bukti:
Ambil sebarang sudut < ABC di V dengan m(<ABC) = γ.
Akan dibuktikan peta dari sudut <ABC berupa sudut dan besarnya sama. Misalkan berturut-turut A’=T(A), B’=T(B) dan C’=T(C).
Berdasarkan definisi Isometri < ABC dan < A’B’C’ kongruen. Akibatnya
m(<ABC)=m(<A’B’C’)=γ.
Teorema 3:
Isometri mempertahankan kesejajaran. Misal T isometri, missal g || l, maka T(g) || T(l).
Bukti:
Ambil sebarang garis g dan l.
Misal g’=T(g) dan l’=T(l).
Akan dibuktikan g’//l’.
Andaikan g’ tidak sejajar l’.
Akibatnya g’ dan l’ berpotongan. Sehingga terdapat titik Q di V sedemikian sehingga T(P)=Q. Dan karena Q=(g’, l’) maka P=(g,l).
Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa g//l.
Akibat dari ketiga teorema tersebut
:
Isometri adalah suatu kolineasi yang
mempertahankan keantaraan, ruas garis, sinar
garis, sudut, besar sudut, ketegaklurusan,
Komposisi (Hasil Kali) Dua Transformasi
Definisi:
Jika V dan W merupakan transformasi, berkenaan dengan sifat V dan W sebagai fungsi, maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi dari V∘W, W dikerjakan dahulu baru V.
Jadi V ∘ W(A) = V(W(A)).
Teorema:
Hasil kali dua transformasi merupakan transformasi.
Contoh:
Diberikan dua transformasi U dan W dengan aturan U((x,y))=(x+2, -y) dan W((x,y))=(x, 2y). a. Tulis rumus WU
Tugas
1. Diketahui f(x,y) = (2x, 3-2y). Buktikanlah: a. Apakah f merupakan transformasi?
b. Gunakan rumus f(x,y) pada titik P(-3,2).
c. Gunakan rumus f(x,y) pada garis 2x – y + 2 = 0.
d. Gambar ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐴′𝐵′𝐶′ jika titik A(3,1), B(0,-2), C(-2,1) dan 𝑇 ∆𝐴𝐵𝐶 =
𝐴′𝐵′𝐶′.
e. Apakah memiliki titik tetap?
