G
EOMETRI PADAB
IDANG:
V
EKTORA. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik: ( )
x f t , y f t( ) t dalam interval I dengan f dan g kontinu pada interval I.
Secara umum, kurva dengan persamaan parametrik di atas mempunyai titik awal ( ( ), ( ))f a g a dan titik akhir ( ( ), ( ))f b g b dengan a t b.
Untuk mengenali suatu kurva jika diketahui persamaan parametriknya, hal yang dapat dilakukan adalah dengan mengeliminasi parameternya. Perhatikan contoh berikut.
>> Contoh 1
Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut
2 2 x t t , y t 3 a t b Jawab: 3 3 y t t y 2 2 2 2 ( 3) 2( 3) 8 15 x t t y y y y Persamaan 2 8 15
x y y merupakan persamaan parabola dengan titik puncak ( 1, 4) dan terbuka ke kanan.
>> Contoh 2
Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut cos x t , ysint 0 t 2 Jawab: Perhatikan bahwa 2 2 2 2 cos sin 1 x y t t Jadi, titik ( , )x y bergerak pada lingkaran satuan x2 y2 1.
Perhatikan pula bahwa parameter t dapat ditafsirkan sebagai sudut (dalam radian). Bila t bergerak dari 0 ke 2 , titik ( , )x y (cos ,sin )t t bergerak sekali mengelilingi lingkaran dengan arah yang berlawanan arah jarum jam dan mulai dari titik (1, 0).
Teorema 1
Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu dengan f t'( )0 pada a t b. Maka, persamaan parametrik
( )
x f t , y f t( )
dapat didefinisikan dengan y sebagai suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, dan /
/ dy dy dt dx dx dt
>> Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik: 5cos
x t , y4sint 0 t 3 dan hitunglah nilainya saat t/ 6.
Jawab: / 4 cos 4 cot / 5sin 5 dy dy dt t t dx dx dt t Saat t / 6, 4 4 4 3 cot 3 5 6 5 5 dy dx >> Contoh 4 Hitunglah 3 1 y dx
jika x 2t 1 dan y t2 2. Jawab: Dari x 2t 1, didapat dx2dt. Saat x1: x 2t 1 1 2t 1 2t2 t1 Saat x3: x 2t 1 3 2t 1 2t4 t2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 8 1 13 26 ( 2) 2 2 ( 2) 2 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 t y dx t dt t dt t
B. Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Geometri
Vektor dapat dinyatakan secara geometri sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi n. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Ekor anak panah disebut titik awal, dan ujung anak panah disebut titik akhir. Secara simbolis, vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal (misalnya a, b, v, w) atau dengan huruf kecil yang disertai setengah anak anah pada bagian atasnya (misalnya 𝑎 , 𝑏 , 𝑣 , 𝑤 ).
Jika titik awal suatu vektor a adalah P dan titik akhirnya adalah Q, maka vektor a dapat ditulis sebagai berikut: a = PQ.
Vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama disebut ekuivalen. Jika a dan b ekuivalen, maka dapat ditulis sebagai berikut: a = b .
Penjumlahan vektor dengan hukum jajargenjang:
Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga posisi dari titik-titik awal mereka seletak, maka kedua vektor tersebut membentuk sisi yang berdekatan dari suatu jajargenjang, dan jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v dan w menuju titik yang ada di seberangnya.
Penjumlahan vektor dengan hukum segitiga:
Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga titik awal w merupakan titik akhir v, maka jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v menuju titik akhir w.
>> Contoh 5
a) b)
C. Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Aljabar
Vektor dimensi-dua adalah pasangan terurut bilangan riil a = a a1, 2 . Bilangan a1 dan a2 merupakan komponen-komponen dari a.
C.1
Diberikan titik P( ,x y1 1) dan Q( ,x y2 2) vektor a dengan representasi PQ adalah: a = x2x y1, 2 y1
>> Contoh 6
Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis lurus dengan titik awal A(2, 3) dan B( 2,1) . Jawab:
a = AB
= 2 2,1 ( 3) = 4, 4 C.2 Panjang Vektor
Panjang vektor dimensi-dua a = a a1, 2 adalah: |a| = a12a22 C.3
Vektor nol (dalam hal ini vektor nol dimensi-dua 0 = 0, 0 ) merupakan satu-satunya vektor yang panjangnya nol. Selain itu, vektor ini juga merupakan satu-satunya vektor yang tidak memiliki arah yang tertentu.
Jika a adalah vektor taknol sebarang, maka –a adalah bentuk negatif dari a yang didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan a, tetapi memiliki arah yang berlawanan.
C.4 Penjumlahan Vektor
Jika a = a a1, 2 dan b = b b1, 2 , maka:
a + b = a1b a1, 2b2 C.5 Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika c adalah skalar dan a = a a1, 2 , maka:
C.6 Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1.
Jika a adalah vektor dimensi-dua taknol sebarang dengan a = a a1, 2 , maka:
𝒖 = 𝒂 |𝒂| C.7 Vektor Basis Baku
Vektor basis baku dimensi-dua adalah:
i = 1, 0 dan j = 0,1 Vektor basis baku memiliki panjang sama dengan 1.
Sebarang vektor a = dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu: a = a a1, 2 = a1 1, 0 a2 0,1 = a1 i + a2 j
Teorema 2 Sifat-Sifat Vektor
Jika a, b, dan c adalah vektor di Vn, dan d serta e adalah skalar, maka: 1) a + b = b + a 5) d (a + b) = d a + d b 2) a + (b + c) = (a + b) + c 6) (d + e) a = d a + e a 3) a + 0 = a 7) (de) a = d (e a) 4) a + (–a) = 0 8) 1 a = a
>> Contoh 7
Jika a = 2i – 3j dan b = i + 5j, carilah |a|, a – b, dan 3a + 4b. Jawab:
|a| = 22 ( 3)2 4 9 13
a – b = (2 – 1) i + (–3 – 5) j = i + (–8) j = i – 8j
3a + 4b.= 3(2i – 3j) + 4(i + 5j) = (6i – 9j) + (4i + 20j) = (6 + 4) i + (–9 + 20) j = 10i + 11j C.8 Hasil Kali Titik (Dot Product)
Jika a = a a1, 2 dan b = b b1, 2 , maka:
a b = a b1 1a b2 2
Hasil dari hasil kali titik ini bukanlah vektor, melainkan berupa bilangan riil, yakni skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik kadang-kadang disebut hasil kali skalar atau hasil kali dalam.
Teorema 3 Sifat Hasil Kali Titik
Jika a, b, dan c adalah vektor di Vn, dan d adalah skalar, maka:
1) a a = |a|2 4) (c a) b = c (a b) = a (c b) 2) a b = b a 5) 0 a = 0
3) a (b + c) = a b + a c
1, 2 a a
Teorema 4
Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor a dan b, maka:
a b = |a| |b| cos 𝜃 Akibatnya,
cos 𝜃 = 𝒂𝒃 𝒂 |𝒃| dengan syarat a dan b bukanlah vektor nol.
Teorema 5
Misalkan a dan b adalah vektor-vektor taknol pada Vn. 0 < 𝜃 <𝜋2 jika dan hanya jika a b > 0.
𝜋
2 < 𝜃 < 𝜋 jika dan hanya jika a b < 0.
𝜃 =𝜋2 jika dan hanya jika a b = 0. Dengan kata lain, a dan b ortogonal.
>> Contoh 8
Jika vektor a dan b mempunyai panjang 4 dan 6, serta sudut kedua vektor tersebut adalah / 6 , carilah a b. Jawab: a b = 4 6 cos 6 = 4 6 1 3 2 = 12 3
D. Fungsi (Bernilai) Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva
Fungsi (bernilai) vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan riil dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.
Jika f t( ) dan g t( ) adalah komponen dari fungsi vektor r (t) = f t g t( ), ( ) , maka f t( ) dan g t( ) adalah fungsi bernilai riil yang disebut fungsi komponen dari r (t), dan dapat dituliskan sebagai berikut:
r (t) = f t g t( ), ( ) = f t( ) i + g t( ) j
>> Contoh 9
Jika r (t) = ln(3t), t , tentukanlah daerah asal dari r. Jawab:
Fungsi komponennya adalah:
( ) ln(3 )
f t t , g t( ) t
Daerah asal dari r terdiri atas semua nilai t sedemikian rupa sehingga r (t) terdefinisi. ( ) ln(3 )
f t t terdefinisi saat 3 t 0 sedemikian sehingga didapat t3. ( )
g t t terdefinisi saat t0.
Dengan demikian, daerah asal dari r adalah:
| 0 3 ;
D t t t
Selanjutnya, akan dipelajari bentuk limit, turunan, dan integral dari suatu fungsi vektor. D.1 Limit Fungsi Vektor
Jika r (t) = f t g t( ), ( ) = f t( ) i + g t( ) j, maka: lim
ta r (t) = lim ( ), lim ( )ta f t ta g t = lim ( )ta f t i + lim ( )tag t j asalkan limit dari masing-masing fungsi komponen ada.
>> Contoh 10 Carilah 0 lim t r (t) dengan r (t) = t te i + sint t j. Jawab: 0 lim t r (t) = lim0 t t te i + 0 sin lim t t t j = 0 i + 1 j = j Teorema 6 Sifat Limit
Misalkan u dan v adalah fungsi vektor yang mempunyai limit pada saat ta, dan misalkan pula c adalah konstanta.
1) lim ta [u (t) + v (t)] = limta u (t) + limta v (t) 2) lim ta c . u (t) = c . limta u (t) 3) lim ta [u (t) v (t)] = limta u (t) . limta v (t) D.2 Turunan Fungsi Vektor
Turunan r ′ dari fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut: 𝑑𝒓
𝑑𝑟 = 𝒓 ′ 𝑡 = lim→0
𝒓 𝑡 + − 𝒓 𝑡
D.3 Vektor Singgung Satuan
𝑻 𝑡 = 𝒓 ′ 𝑡 𝒓 ′ 𝑡
Teorema berikut memberikan sebuah metode yang tepat untuk menghitung turunan dari suatu fungsi vektor r ; diferensialkan saja masing-masing fungsi komponen dari r.
Teorema 7 Sifat Turunan
Jika 𝒓 (t) = = f t( ) i + g t( ) j, dengan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka:
𝒓′(t) = f t g t( ), ( ) = f t( ) i + g t( ) j
( ), ( ) f t g t
Teorema selanjutnya memperlihatkan bahwa rumus diferensiai untuk fungsi bernilai riil mempunyai rumus-rumus rekanannya untuk fungsi bernilai vektor.
Teorema 8 Aturan Diferensiasi
Misalkan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c adalah suatu skalar, dan f adalah fungsi bernilai riil, maka:
1) d dt [u (t) + v (t)] = 𝒖 ′(t) + 𝒗 ′(t) 2) d dt [ c . u (t)] = c . 𝒖 ′(t) 3) d dt [f (t) . u (t)] = f t( ) . 𝒖 (t) + f (t) . 𝒖 ′(t) 4) d dt [u (t) v (t)] = 𝒖 ′(t) 𝒗 (t) + 𝒗 ′(t) 𝒖 (t) 5) d dt [u
f t( )
] = f t( ) . 𝒖 ′
f t( )
(aturan rantai)D.4 Integral Fungsi Vektor Jika r (t) = f t( ) i + g t( ) j, maka:
𝒓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝒋 + 𝒄 dengan 𝒄 merupakan konstanta pengintegralan vektor.
Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu 𝒓(t) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai riil, kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Integral dari r dapat dinyatakan dalam bentuk integral dari fungsi-fungsi komponennya.
Teorema 9 Integral Tentu Jika 𝒓(t) = f t( ) i + g t( ) j, maka: 𝒓 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝒊 + 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝒋 >> Contoh 11 Jika 𝒓(t) = t2i + etj, tentukanlah: a. Dt[t3.𝒓(t)] b. 1 0
𝒓(t) dt Jawab:a. Dengan menggunakan Teorema 8 nomor 3, maka didapat:
D𝑡 𝑡3. 𝒓 𝑡 = 3𝑡2 𝑡2𝒊 + 𝑒−𝑡𝒋 + 𝑡3 2𝑡 𝒊 − 𝑒−𝑡𝒋 = 5𝑡4 𝒊 + 3𝑡2 − 𝑡3 𝑒−𝑡𝒋
b. Dengan menggunakan Teorema 9, maka didapat: 𝒓 𝑡 𝑑𝑡 1 0 = 𝑡2𝑑𝑡 1 0 𝒊 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 1 0 𝒋 = 1 3 𝒊 + 1 − 𝑒−𝑡 𝒋
Selanjutnya, akan diperkenalkan mengenai vektor posisi, vektor kecepatan, kelajuan, dan juga vektor percepatan.
D.5 Gerak Sepanjang Kurva
Diberikan 𝒓(t) = f t( ) i + g t( ) j. Misalkan 𝒓 ′(t) ada dan kontinu serta 𝒓 ′(t) ≠ 0. Maka, vektor kecepatan, kelajuan, dan vektor kelajuan didefinisikan sebagai berikut:
Kecepatan : 𝒗 (t) = 𝒓 ′(t) Kelajuan : ds dt = | 𝒓 ′(t) | = | 𝒗 (t) | Turunan kelajuan : 2 2 d s dt = d dt | 𝒓 ′(t) | = d dt | 𝒗 (t) | Percepatan : 𝒂 (t) = 𝒗 ′(t) = 𝒓 ′′(t) >> Contoh 12
Vektor posisi dari suatu benda yang bergerak pada bidang diberikan oleh 𝒓(t) = t3i + t2j, dengan t ≥ 0. Carilah kecepatan, kelajuan, dan percepatan ketika t = 1.
Jawab:
Kecepatan dan percepatan pada saat t adalah:
𝒗 𝑡 = 𝒓 ′ 𝑡 = 3𝑡2 𝒊 + 2𝑡 𝒋
𝒂 𝑡 = 𝒓 ′′ 𝑡 = 6𝑡 𝒊 + 2 𝒋
dan, laju pada saat t adalah: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝒗(𝑡) = 3𝑡2 2+ 2𝑡 2 = 9𝑡4+ 4𝑡2 Ketika t = 1, maka: 𝒗 1 = 3 𝒊 + 2 𝒋 𝒂 1 = 6 𝒊 + 2 𝒋 𝒗(1) = 13
E. Kelengkungan dan Percepatan
Jika C adalah kurva mulus yang didefinisikan oleh fungsi vektor 𝒓(t), maka turunannya tidak sama dengan vektor nol [𝒓 ′(t) ≠ 0]. Kelengkungan C pada suatu titik yang diberikan
adalah ukuran seberapa cepat kurva berubah arah di titik tersebut. Secara khusus, didefinisikan kelengkungan sebagai besarnya laju perubahan vektor singgung satuan berdasarkan panjang busur.
Kelengkungan sebuah kurva adalah:
𝜅 = 𝑑𝑻 𝑑𝑠 dengan 𝑻 adalah vektor singgung satuan.
Ingat kembali mengenai vektor singgung satuan pada D.3 dan kelajuan pada D.5, sehingga kelengkungan sebuah kurva dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜅 = 𝑻 ′(𝑡) 𝒓 ′(𝑡) =
𝑻 ′(𝑡)
𝒗(𝑡) >> Contoh 13
Hitunglah kelengkungan sebuah lingkaran yang berjari-jari a. Jawab:
Misalkan saja ada suatu lingkaran yang berpusat di titik asal (0,0) dan berjari-jari a. Maka, persamaan vektor posisinya dapat dituliskan sebagai berikut:
𝒓 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡 𝒊 + 𝑎 sin 𝑡 𝒋 Maka, 𝒗 𝑡 = −𝑎 sin 𝑡 𝒊 + 𝑎 cos 𝑡 𝒋 𝒗 𝑡 = −𝑎 sin 𝑡 2+ 𝑎 cos 𝑡 2 = 𝑎 𝑻 𝑡 = 𝒓 ′ 𝑡 𝒓 ′ 𝑡 = 𝒗(𝑡) 𝒗(𝑡) = −𝑎 sin 𝑡 𝒊 + 𝑎 cos 𝑡 𝒋 𝑎 = − sin 𝑡 𝒊 + cos 𝑡 𝒋 𝑻 ′ 𝑡 = − cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑗 𝑻 ′(𝑡) = − cos 𝑡 2+ − sin 𝑡 2 = 1 Dengan demikian, 𝜅 = 𝑻 ′(𝑡) 𝒗(𝑡) = 1 𝑎
Berdasarkan Contoh 13, oleh karena didapat 𝜅 adalah kebalikan dari jari-jari pada suatu lingkaran, semakin besar lingkarannya, maka semakin kecillah kelengkungan pada lingkaran tersebut.
Berikut adalah teorema yang penting mengenai kelengkungan sebuah kurva.
Teorema 10 Kelengkungan Kurva pada Bidang
1) Misalkan diketahui kurva parametrik bidang x f t( ) dan yg t( ) sedemikian sehingga r(t) = f t g t( ), ( ) , maka:
𝜅 = 𝑥
′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′
𝑥′ 2+ 𝑦′ 2 3/2
2) Jika kurva bidangnya memiliki persamaan y f x( ) sehingga r(t) = x f x, ( ) , maka:
𝜅 = 𝑓
′′(𝑥)
1 + 𝑓′(𝑥) 2 3/2
>> Contoh 14
Hitunglah kelengkungan pada elips
3cos
x t, y2sint pada titik 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 𝜋/2.
Jawab:
Cari terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari x dan juga y. ' 3sin
x t y'2cost
'' 3cos
Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 10 nomor 1, 𝜅 = 𝑥′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′ 𝑥′ 2+ 𝑦′ 2 3/2 = 6 sin2𝑡 + 6 cos2𝑡 9 sin2𝑡 + 4 cos2𝑡 3/2 = 6 9 sin2𝑡 + 4 cos2𝑡 3/2 Dengan demikian, 𝜅 0 = 6 43/2 = 3 4 𝜅 𝜋 2 = 6 93/2= 2 9
Di suatu titik pada suatu kurva yang mulus r (t), terdapat banyak vektor yang ortogonal terhadap vektor singgung satuan T(t), salah satunya adalah vektor normal satuan.
E.1 Vektor Normal Satuan
𝑵 𝑡 = 𝑻 ′ 𝑡 𝑻 ′ 𝑡
Ketika mempelajari gerak partikel, seringkali bermanfaat apabila percepatan diuraikan ke dalam dua komponen; satu dalam arah singgung (percepatan tangensial), dan yang lainnya dalam arah normal (percepatan normal).
E.2
Vektor percepatan dapat diekspresikan dalam bentuk: 𝒂 = 𝑎𝑇 . 𝑻 + 𝑎𝑁 . 𝑵
dengan 𝑻 adalah vektor singgung satuan dan 𝑵 adalah vektor normal satuan.
Berdasarkan E.2, dapat dilihat bahwa vektor percepatan dapat diuraikan dalam komponen tangensial (𝑎𝑇) dan komponen normal (𝑎𝑁).
Teorema 11 Percepatan Tangensial dan Percepatan Normal
2 2 T d s a dt = d dt | 𝒓 ′ (t) | = d dt | v (t) | N a = 𝜅 2 ds dt = 𝜅 | 𝒓 ′ (t) | 2 = | v (t) | 2 >> Contoh 15
Suatu partikel bergerak dengan vektor posisi r (t) = t2i + 1 3
3t j, dengan t0. Ekspresikan vektor percepatannya dalam bentuk 𝑻 dan 𝑵.
Jawab: 𝒗 𝑡 = 2𝑡 𝒊 + 𝑡2𝒋 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝒗(𝑡) = 2𝑡 2+ 𝑡2 2 = 4𝑡2+ 𝑡4 = 𝑡 4 + 𝑡2 𝑎𝑇 = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝒗(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 4 + 𝑡2 = 4 + 2𝑡2 4 + 𝑡2
𝑎𝑁 = 𝜅 𝑑𝑠 𝑑𝑡 2 = 𝑥 ′𝑦′′ − 𝑦′𝑥′′ 𝑥′ 2+ 𝑦′ 2 3/2 . 𝑡 4 + 𝑡2 2 = 4𝑡 2 − 2𝑡2 4𝑡2+ 𝑡4 3/2 . 4𝑡2+ 𝑡4 = 2𝑡 4 + 𝑡2
Karena telah diketahui 𝑎𝑇 dan 𝑎𝑁, maka:
𝒂 = 𝑎𝑇 . 𝑻 + 𝑎𝑁 . 𝑵
𝒂 =4 + 2𝑡2
4 + 𝑡2 𝑻 +
2𝑡 4 + 𝑡2 𝑵
Perlu diingat kembali bahwa vektor normal satuan merupakan vektor yang ortogonal dengan vektor singgung satuan, sehingga terbentuklah Teorema 12 berikut ini.
Teorema 12
Jika 𝒂 merupakan vektor percepatan, maka: 𝒂 2 = 𝑎
𝑇 2+ 𝑎𝑁 2
>> Contoh 16
Tanpa menghitung 𝜅, ekspresikanlah vektor percepatan dari suatu partikel dalam bentuk 𝑻 dan 𝑵 jika vektor posisinya diberikan seperti pada Contoh 15.
Jawab: 𝒗 𝑡 = 2𝑡 𝒊 + 𝑡2𝒋 𝒂 𝑡 = 2 𝒊 + 2𝑡 𝒋 𝒂(𝑡) = 2 2+ 2𝑡 2 = 4 + 4𝑡2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝒗(𝑡) = 2𝑡 2+ 𝑡2 2 = 4𝑡2+ 𝑡4 = 𝑡 4 + 𝑡2 𝑎𝑇 = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝒗(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 4 + 𝑡2 = 4 + 2𝑡2 4 + 𝑡2
Dengan menggunakan Teorema 12, maka: 𝒂 2 = 𝑎 𝑇 2+ 𝑎𝑁 2 𝑎𝑁 2 = 𝒂 2− 𝑎𝑇 2 = 4 + 4𝑡2 2 − 4 + 2𝑡 2 4 + 𝑡2 2 = 4 + 4𝑡2− 4 + 2𝑡2 2 4 + 𝑡2 = 4𝑡2 4 + 𝑡2 𝑎𝑁 = 4𝑡2 4 + 𝑡2 = 2𝑡 4 + 𝑡2
Karena telah diketahui 𝑎𝑇 dan 𝑎𝑁, maka:
𝒂 = 𝑎𝑇 . 𝑻 + 𝑎𝑁 . 𝑵 𝒂 =4 + 2𝑡2
4 + 𝑡2 𝑻 +
2𝑡 4 + 𝑡2 𝑵
L A T I H A N
1. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik: 2 3 x t , y2t3 ; t0 2. Hitunglah 1 2 0 (x 4 )y dx
jika x t 1 dan y t3 4. 3. Misalkan: a 2, 5 ; b 1,1 ; c 6, 0 . Tentukan: a. 3a – 2b b. a (b + c) c. |c| c b4. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh a dan b jika: a. a = 3i +2j ; b = – i + 4j
b. a 7, 0 ; b 5,1
5. Tentukanlah nilai x sehingga a 8, 6 dan b 3,x saling tegak lurus. 6. Tentukan 𝒓 ′(t) dan 𝒓 ′′(t) jika 𝒓(t) sin , cos 2t t .
7. Hitunglah:
a. 𝒓 𝑡 𝑑𝑡 jika 𝒓 𝑡 cost, sint
b. 0𝜋/4𝒓(𝑡)𝑑𝑡 jika 𝒓 𝑡 = cos 2𝑡 i + sin 2𝑡 j
8. Suatu partikel bergerak memulai pergerakannya dari posisi awal r(0) 1, 0 dengan kecepatan awal v(0) = i – j. Percepatannya adalah a(t) = 4ti + 6tj. Carilah kecepatan dan posisi partikel tersebut pada saat t.
9. Hitunglah kelengkungan 𝜅 dari titik P jika: a. yx2 x saat P (1,0)
b. r(t) = (tt3)i + (tt2)j saat P (2,2)
10. Hitunglah percepatan tangensial (aT) dan percepatan normal (aN) dari suatu gerakan benda dengan:
a. r(t) = 2
t i + tj saat t = 1
