A. GEOMETRI BIDANG DATAR
Pengertian Geometri : Geometri dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu ukur) yang ada.
Perkembangan Geometri
Fase I
Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda alam yang berada di sekeliling kita ini). Contoh: batu,batako,kayu,besi,dll. Mengamati benda-benda yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd objek yang ada). Setelah menggunakan metode impiris, diproleh rumus dengan menggunakan metode induksi.
Setiap hari, para siswa akan melihat, bekerja, dan mengotak-atik benda-benda yang berbentuk bangun-bangun geometris seperti: permukaan kertas, permukaan meja, bola, tempat kapur, dos,tempat es-krim, maupun topi ulang tahun; bermain di lapangan petak umpet, lapangan bola;bekerja/bermain dengan buku, pensil, penghapus, papan tulis, meja, kursi, mobil-mobilan.Travers dkk (1987:6) menyatakan bahwa: “Geometry is the study of the relationships among points,lines, angles, surfaces, and solids”. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antaratitik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Ada dua macam geometri , yaitu geometridatar dan geometri ruang. Geometri Bidang (G Datar atau G Dimensi Dua) membicarakanbangun-bangun datar; sedangkan G Ruang membicarakan bangun-bangun ruang dan bangunbangundatar yang merupakan bagian dari bangun ruang. Suatu bangun disebut bangun datar apabila keseluruhan bangun itu terletak pada satu bidang. Suatu bangun disebut bangun ruang apabila titik-titik yang membentuk bangun itu tidak semuanya terletak pada satu bidang yang sama. Yang akan dibahas sekarang adalah Geometri Dimensi Dua, dimulai dengan sudut.
KONSEP BANGUN DATAR
A. Segiempat dan Lingkaran 1. Segiempat
semua sisinya tidak sama panjang, ruas garis-ruas garis yang membentuk segiempat dinamakan sisi, perpotongan ruas garis-ruas garis disebut titik sudut, sudut dibentuk oleh dua ruas garis yang bertumpu pada satu ttik yang sama, segiempat diberinama menurut titik-titik sudutnya secara berurutan.
Adapun bangun segiempat sebarang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
titik sudut titik sudut sisi
sudut
sudut
sisi Daerah
segiempat
sudut sisi
sudut
titik sudut sisi
2. Macam-macam segiempat
Ada bermacam-macam segiempat berdasar unsur-unsurnya, diantaranya adalah sebagai berikut:
a. Persegi adalah segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku, atau persegi adalah belahketupat yang salah satu sudutnya siku-siku, atau persegi adalah persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan sama
b. Persegipanjang adalah segiempat yang keempat sudutnya siku-siku atau jajargenjang yang
salah satu sudutnya siku-siku.
Sifat-sifat persegipanjang ABCD, C D AD //
c. Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar , atau segiempat
yang memiliki tepat dua pasang sisi yang sejajar.
d. Belahketupat adalah segiempat yang keempat sisi-sisinya sama panjang, atau
belahketupat adalah jajargenjang yang dua sisinya yang berdekatan sama panjang, atau belahketupat
adalah layang-layang yang keempat sisi-sisinya sama panjang. B Sifat-sifat belahketupat ABCD, sedangkan kedua sisi yang lain juga sama panjang.
Sifat-sifat layang-layang ABCD, B AB = BC ; AD = DC .
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar. A C
ACB = CAB BAD = BCD ACD = CAD D
f. Trapesium adalah segiempat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi yang lainnya tidak sejajar.
Sifat-sifat trapesium ABCD, D C
AB // DC
Pada umumnya ada dua macam trapesium:
1) Trapesium samakaki adalah trapesium yang kedua sisinya sejajar dan kedua
kakinya atau sisi tegaknya sama panjang, serta sudut-sudutnya tidak ada yang siku-siku.
2) Trapesium siku-siku: adalah trapesium yang salah satu sudutnya siku-siku. D C Sifat-sifat trapesium siku-siku:
DC // AB DAB 90
A B
Adapun bentuk-bentuk segiempat tersebut dapat juga diperkenalkan kepada siswa melalui peragaan dengan menggunakan:
Model-model bangun datar yang relevan.
papan berpaku dengan kelengkapannya berupa karet gelang. kertas berpetak.
kertas bertitik.
Dengan menggunakan papan berpaku diharapkan siswa dapat berlatih untuk menunjukkan pelbagai macam bentuk segiempat, bahkan bangun datar yang lain yang sisinya berupa garis lurus. Untuk siswa secara perorangan dapat melaksanakannya pada
sehelai kertas berpetak atau kertas bertitik.
karet gelang Papan berpaku
A. Jajaran Genjang
Definisi : Jajaran genjang adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya sejajar
Dalil-dalil :
ABCD adalah jajaran genjang jika dan hanya jika sisi-sisi yang berhadapan adalah sama panjang.
ABCD adalah jajaran genjang jika dan hanya jika kedua diagonalnya berpotongan membagi dua sama panjang.
B. Persegi Panjang
Definisi : Persegi panjang adalah jajaran genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Dalil-dalil :
Diagonal-diagonal persegi panjang adalah sama panjang.
Jika diagonal-diagonal jajaran genjang adalah sama panjang maka jajaran genjang tersebut merupakan persegi panjang.
C. Belah Ketupat
Definisi : Belah ketupat adalah jajaran genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang.
Dalil-dalil :
Diagonal-diagonal belah ketupat membagi sudut-sudut sama besar.
Jika diagoal-diagonal jajaran genjang membagi dua sudut sama besar, maka jajaran genjang tersebut merupakan belah ketupat.
Jika diagoal-diagonal jajaran genjang berpotongan tegak lurus, maka jajaran genjang tersebut merupakan belah ketupat.
D. Bujur Sangkar
Definisi : Bujur sangkar adalah belah ketupat yang satu sudutnya sudut siku-siku
Dari definisi tersebut maka sifat-sifat: jajaran genjang, persegi panjang, dan belah ketupat merupakan sifat-sifat bujur sangkar.
E. Trapesium
Definisi : Trapesium adalah segi empat yang dua buah sisinya sejajar.
Jika sisi-sisi tegaknya sama panjang, maka disebut trapesium sama kaki.
Jika salah satu sudutnya siku-siku, m
Dalil-dalil :
ABCD trapesium sama kaki jika dan hanya jika sudut-sudut alasnya sama besar.
Trapesium sama kaki jika dan hanya jika diagonal-diagonalnya sama panjang.
B. SUDUT ANTARA GARIS DAN BANGUN
Pada dasarnya sudut dibentuk oleh dua buah sinar yang memiliki titik ujung yang sama. Besar sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang.
Penyelesaian:
1. Jika antara garis dan bidang belum berpotongan, geserlah salah satu dari mereka agar berpotongan.
2. Setelah berpotongan tentukan proyeksi garis tersebut terhadap bidang. 3. Buatlah segitiga dari garis dan proyeksi garis di atas.
4. Gunakan aturan kosinus untuk mencari sudutnya. Contoh Soal:
1. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak √3 cm. Nilai tangen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah...
A. 1/
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah
sudut antara garis AD dengan garis AH. Tentukan nilai tan α dan α
Pembahasan
Ambil segitiga ADH dengan siku-sikunya di titik D
tan α = sisi depan : sisi samping = DH : AD tan α = 8 cm : 8 cm = 1
Sudut dengan nilai tan sama dengan satu adalah 45°
2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah sudut antara garis AD
dengan garis diagonal ruang HB. Tentukan nilai tan α, sin α dan cos α
Pembahasan
sama dengan sudut antara garis BC dengan HB. Tambahkan garis bantu agar terbentuk suatu segitiga dengan siku di titik C.
Dengan demikian tan α, sin α dan cos α berturut-turut adalah
3. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ....
A. 1/ 2 √2
B. 1/ 2 √3
C. 1/ 3 √3
D. 2/ 3 √2
E. 3/ 4 √3
(UN Matematika 2012) Pembahasan
Ambil segitiga AEP dengan siku di titik E.
Sinus sudut α dengan demikian adalah
4. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 12 cm.
Tentukan kosinus sudut antara bidang TAB dengan bidang CAB! Pembahasan
Perhatikan cara pengambilan sudutnya seperti ini:
- Cari garis potong kedua bidang, disini garisnya yang warna biru atau garis AB.
Tinggal menghitung sudutnya dengan aturan cosinus, dengan TC = 12 cm, TP dihitung dulu:
CP panjangnya sama dengan TP, CP = 6√3 cm juga.
5. Limas T.ABCD dengan alas persegipanjang ditunjukkan gambar berikut.
Tentukan kosinus sudut yang terbentuk oleh bidang TBC dan bidang ABCD! Pembahasan
Ambil segitiga FTE
C. Sifat-Sifat Bangun Datar
Bangun datar merupakan bangun dua demensi yang hanya memiliki panjang dan lebar, yang dibatasi oleh garis lurus atau lengkung. Bangun datar terdiri dari persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, belahketupat, jajargenjang, layang-layang, dan lingkaran. Sifat-sifat bangun datar adalah sebagai berikut.
Persegi Panjang Sifat - sifat :
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
Memiliki 2 pasang sisi sejajar, berhadapan dan sama panjang Memiliki 4 sudut yang besarnya 90 derajat
Keempat sudutnya siku-siku
Memiliki 2 diagonal yang sama panjang Memiliki 2 simetri lipat
Memiliki Simetri putar tingkat 2 Luas = p x l
Keliling = 2(p+l) Persegi
Sifat - sifat :
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang Keempat sisinya sama panjang
Keempat Sudutnya sama besar yaitu 90 derajat (siku-siku) Memiliki 4 simetri lipat
Memiliki simetri putar tingkat 4 Luas = s x s
Keliling = 4 x s Jajar Genjang Sifat-sifat :
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip
Keliling = AB + BC + CD + AD Belah Ketupat
Sifat - sifat :
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut Keempat sisinya sama panjang
Memiliki 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar Diagonalnya berpotongan tegak lurus
Memiliki 2 simetri lipat
Memiliki simetri putar tingkat 2 Luas = ½ AC x BD
Keliling = AB + BC + CD + AD Layang- layang
Sifat - sifat :
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
Memiliki 2 pasang sisi yang sama panjang Memiliki 2 sudut yang sama besar
Diagonalnya berpotongan tegak lurus
Salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang Memiliki 1 simetri lipat.
Luas = ½ x AC x BD
Keliling = AB + BC + CD + AD Trapesium
Sifat -sifat
Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
Memiliki sepasang sisi yang sejajar tetapi tidak sama panjang Sudut - sudut diantara sisi sejajar besarnya 180 derajat Luas = (a+b) x t/2
Keliling = AB + BC + CD + AD
Trapesium dibedakan menjadi 3 yaitu :
Trapesium sama kaki : Sisi diantara sisi sejajar sama panjang. Memiliki 2 pasang sudut yang sama besar, diagonalnya sama panjang, Memiliki 1 simetri lipat.
Trapesium siku-siku : Memiliki 2 sudut siku-siku. Diagonalnya tidak sama panjang. Tidak memiliki simetri lipat.
Trapesium sembarang : Keempat sisinya tidak sama panjang, Keempat sudutnya tidak sama besar. Diagonalnya tidak sama panjang, Tidak memiliki simetri lipat.
Segitiga Sifat-sifat
Jumlah ketiga sudutnya 180 derajat Luas = ½ x a x t
Keliling = AB + BC + AC
Berdasarkan panjang sisinya segitiga dibagi menjadi 4 yaitu : 1. Segitiga samasisi :
Mempunyai 3 buah sisi sama panjang, yaitu AB=BC=CA;
Mempunyai 3 buah sudut yang besar , yaitu <ABC , <BCA, <CAB; Mempunyai 3 sumbu simetri.
Mempunyai 3 simetri putar dan 3 simetri lipat 2. Segitiga samakaki :
Mempunyai 2 buah sisi yang sama panjang, yaitu BC=AC; Mempunyai 2 buah sudut sama besar, yaitu < BAC = <ABC; Mempunyai 1 sumbu simetri;
Dapat menempati bingkainya dalam dua cara 3. Segitiga siku-siku :
Mempunyai 1 buah sudut siku-siku,yaitu <BAC;
Mempunyai 2 buah sisi yang saling tegak lurus, yaitu BA dan AC; Mempunyai 1 buah sisi miring yaitu BC;
Sisi miring selalu terdapat di depan sudut siku-siku. Segitiga siku-siku samakaki memiliki 1 sumbu simetri
4. Segitiga sembarang
Mempunyai 3 buah sisi yang tidak sama panjang; Mempunyai 3 buah sudut yang tidak sama besar.
Lingkaran Sifat-sifat :
Mempunyai 1 sisi;
Memiliki simetri putar dan simetri lipat tak terhingga; Luas = πr2 ;
Keliling = 2πr ;