geometri datar dra kusni m si

(1)

BUKU AJAR

GEOM ET RI

Penulis

Dra. Kusni, M.Si

J U RU SAN M AT EM AT I K A

FAK U LT AS M I PA

(2)

KATA PENGANTAR

Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat -sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran. Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya. Contoh : kalkulus..

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta pelatihan diharapkan :

1. Memahami konsep Geometri

2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat Geometri 3. Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas Geometri 4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan Geometri

Dengan segala keterbatasannya, penulis tetap berharap buku ajar ini dapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan diskusi.

(3)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN SAMPUL …... ……….. 1

HALAMAN FRANCIS ………. 2

KATA PENGANTAR ………. 3

DAFTAR ISI ………. 4

PETA KOMPETENSI ………. 6

BAB I PENDAHULUAN ………. 7

A. Deskripsi B. Prasyarat C. Petunjuk Belajar D. Kompetensi dan Indikator BAB II SAMA DAN SEBANGUN PADA SEGITIGA ……… 9

A. Kompetensi dan Indikator B. Uraian Materi C. Latihan D. Lembar Kegiatan Mahsiswa E. Rangkuman F. Tes Formatif BAB III SEGI EMPAT ………. 15

A. Kompetensi dan Indikator B. Uraian Materi C. Latihan D. Lembar kegiatan Mahsiswa E. Rangkuman F. Tes Formatif BAB IV PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN ……….. 29

A. Kompetensi dan Indikator B. Uraian Materi C. Latihan D. Lembar Kegiatan Mahsiswa E. Rangkuman F. Tes Formatif BAB V BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA ……… 38

A. Kompetensi dan Indikator B. Uraian Materi

C. Latihan

(4)

F. Tes Formatif

BAB VI BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN ……… 41 A. Kompetensi dan Indikator

B. Uraian Materi C. Latihan

D. Lembar Kegiatan Mahsiswa E. Rangkuman

F. Tes Formatif

(5)

PETA KOMPETENSI BUKU AJAR

SAMA DAN SEBANGUN SEGI EMPAT

KONGRUENSI * SIFAT

* LUAS

TEOREMA PERBANDINGAN SEHARGA PYTHAGORAS

MENELAOS GARIS

CEVA KESEBANGUNAN

TEOREMA PROYEKSI

STEWART

TEO. GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA

(6)

BAB I

PENDAHULUAN

Deskripsi

Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan relasi yang ada diantara unsure tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian bru sebelumnya.

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema yang ada sebelumnya.

Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat -sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran. Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya. Contoh : kalkulus.

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta pelatihan diharapkan :

1. Memahami konsep geometri

2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri 3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri 4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Prasyarat

Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada materi lain.

Petunjuk Belajar

Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal. Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;

1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu menggambar

(7)

penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja.

Pada saat menyelesaikan persoalan :

1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan. Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.

2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita tinjau itu kita selidiki sendiri.

Kompetensi dan Indikator

Kompetensi:

1. Memahami konsep geometri

2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri 3 .Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas geometri 4 .Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Indikator:

1. Memahami tentang kongruensi dan mengembangkannya

2. Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras. 3. Memahami perbandingan seharga garis-garis dan kesebangunan 4. Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada segitiga 5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran

(8)

BAB II

SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR

KOMPETENSI :

1.Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi

INDIKATOR :

1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen

2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya.

B. URAIAN MATERI

SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA

DEFINISI

Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun () atau kongruen bila segitiga yang satu dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya.

TEOREMA

Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s. sd. s)

Diketahui:

 ABC dan  PQR AC = PR

 C =  R CB = PQ

Buktikan  ABC   PQR Bukti:

Letakkan A pada P dan C pada R.

Karena  C =  R maka kaki CB menutupi RQ Dan karena CB = RQ maka B berada di Q. Jadi  ABC menutupi  PQR dengan tepat atau  ABC   PQR

Akibatnya semua unsur yang seletak sama.

TEOREMA

 Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi iyu sama (

sd. s. sd )

x

B A

C

x

Q P

(9)

 Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu sama dan sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd )

 Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s)

 Dua segitiga siku-siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisi

siku-siku sama.

TEOREMA

Pada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar.

Diketahui :

 ABC samakaki. CA = CB Buktikan :  A =  B Bukti:

Tarik garis bagi CD dan tinjau  ACD dan  BCD AC = BC (diketahui)

 C1=  C2(CD garis bagi) CD = CD (berimpit)

Jadi  ACD   BCD (s.sd.s) ak:  A =  B Perhatikan semua unsur yang seletak akan sama

yaitu AD = BD  D1=  D2  AD garis berat Juga didapat sifat bahwa pada segitiga samakaki

garis bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD )

Karena  D1=  D2 dan  D1+  D2 = 1800maka  D1= D2= 900. Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena  D1=  D2= 900)

KESIMPULAN:

Pada  samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik dari puncak, dan sumbu alas berimpit.

TEOREMA

Jika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri).

C. LATIHAN

1. Buktikan teorem berikut.

Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengan sisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD di E, jika diketahui  ABC siku-siku ( A = 900) dan AD garis berat ke sisi miring).

2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut, merupakan garis bagi suatu sudut.

A _D B

C

2 1

(10)

3. Diketahui  ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehingga BEAD. F pada AD sehingga CF AD. Buktikan CE = BF

4. Diketahui  ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan h adalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis k memotong BC di L. Buktikan AK=CL.

5. Diketahui  ABC,  A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini, sehingga CE dan BFgaris bagi ini.

Buktikan : CE + BF =

2 1

(AB + AC).

6. Diketahui  ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E pada CD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan  ACF  CBE!

D. LEMBAR KEGIATAN

1.Alat dan Bahan

Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku, kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri

B

A

C

F E D

A _B D

E F

(11)

2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja

Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain, sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta pelatihan yang lain.

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut

4.Langkah Kegiatan Kegiatan Awal

 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan garis dan sudut.

 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dan sudutnya(dengan menggunakan alat peraga).

Kegiatan Inti

 Menjelaskan definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua segitiga,dan memberikan contohnya.

 Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi

 Diskusi kelas. Kegiatan Akhir

 Kesimpulan

 Penilaian

 Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu. 5.Hasil

Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga dan teorema dasar tentang segitiga samakaki.

E. Rangkuman

1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganya sehingga mereka dapat disusun tepat sama.

2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syarat berikut :

a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang (s,s,s).

b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s)

c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang diapitnya sama panjang (sd,s,sd)

d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama juga.

3. Pada segitiga sama kaki mempunya sudut alas sama besar.

(12)

berimpit.

F. Tes Formatif 1

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Pada ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE. Maka:

a. AD = BE b. CD = CE

c. CED = CDE d. Semua jawaban salah.

2. Pada ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE yangberpotongan di T. Maka :

a. TD  TE b. AT = TB c. AT = TC d. BT = CT

3. Pada  ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah : a. Sudut alasnya sama besar

b. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpit c. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpit d. Ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit.

4. Pada  ABC siku-siku (A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjang garis berat dari A adalah :

a. 8 cm b. 6 cm c. 4 cm d. 3 cm

5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataan yang salah adalah :

a. AC = BD b. A = B c. ABC  ABD

d. ABP   CDP ( P perpotongan AC dengan BD)

(13)

a. (s,s,sd) b. (sd,s,s) c. (s,sd,s) d. (s,s,s)

7.Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, maka AB =

a. 3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 7V3 cm

8.Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, maka BC =

a. 8/3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 7V3 cm

II. Kerjakan semua soal dibawah ini :

1. Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika C = 300, buktikan bahwa BC = 2AB.

2. Diketahui  ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Q dan R pada BC dan AC sehingga PQ  BC dan PR AC. Buktikan : PQ + PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga).

(14)

BAB III

SEGIEMPAT

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR

KOMPETENSI :

1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema Pythagoras

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas, dan teorema Pythagoras

INDIKATOR :

1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium.

2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium.

3. Memahami tentang teorema Pythagoras

Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dan keempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat. Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empat sembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium, dan segi empat layang-layang.

Beberapa batasan:

1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.

2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.

3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 900.

4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang.

5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. 6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.

7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

(15)

Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan sebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat itu adalah jajar genjang.

Diketahui : ABCD jajar genjang. Buktikan :  A =  C

Bukti : Tarik diagonal BD

Sebaliknya:  A =  C

 B =  D

  A +  B =  C +  D = 1800atau AD // BC dan AB // DC atau ABCD jajaran genjang.

TEOREMA

Dalam jajaran genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama panjang, maka segi empat itu adalah jajaran genjang.

Diketahui : ABCD jajaran genjang. Buktikan : AB = DC dan AD = BC. Bukti : tarik diagonal BD, maka :

Sebaliknya tetap berlaku, yaitu:

(16)



Kedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengah-tengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnya potong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajaran genjang.

Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S. Buktikan : AS = CS dan BS = DS.

Buktikan :  ABS   CDS, sebab:

Sebaliknya:  ABS dan  CDS tetap sama dan sebangun, sebab:

)

Dari (1) dan (2)  ABCD jajaran genjang

(17)

Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan sejajar, maka segi empat itu adlah jajaran genjang.

Diketahui : AB // DC

Buktikan : ABCD jajaran genjang. Bukti : Tarik diagonal BD

 ABD   CDB, sebab:

Persegi panajng, adalah jajaran genajng yang salah satu sudutnya 900. TEOREMA

Dalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dan sebaliknya bila dalam jajaran genjang kedua diagonalnya sama panjang, maka jajaran genjang itu adalah persegi panjang.

Diketahui : ABCD persegi panjang. Buktikan : AC = BD

Belah ketupat, adalah jajaran genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.

(18)

TEOREMA

Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnya menjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegak lurus.

Diketahui : ABCD belah ketupat. Buktikan : a.  A1=  A2

b.  B1=  B2 c. AC  BD

Bukti :  ABS   ADS, sebab :

AB = AD

AS = AS

BS = DS

  A1=  A2dan  S1=  S2

Karena  S1,2= 1800, maka  S1= S2 = 900

AC  BD

 ABS   CBS, sebab : AB = CB

SB = SB

AS = SC

  B1=  B2

TEOREMA

Bila dalam jajaran genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2 bagian yang sama, maka jajaran genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajaran genjang dan  A1=  A2 Buktikan : ABCD belah ketupat.

Bukti :  ABC   ADC, sebab :

 A1=  A2 AC = AC

 C1=  C2

2 1

A B

C D

S

A

C

B D

1 2

(19)

 AB  AD  ABCD belah ketupat.

TEOREMA

Bila dalam jajaran genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, maka jajaran genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajaran genjang dan AC  BD. Buktikan : ABCD belah ketupat.

Bukti :  ABS   CBS, sebab:

AS = CS

 S1=  S2= 900 BS = BS

 AB = CB  ABCD belah ketupat

Persegi (bujur sangkar), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.

TEOREMA

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akan sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yang ketiga itu.

Diketahui :  ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC. Buktikan : DE // AB dan DE =

2 1

AB.

Bukti : Sambung DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF. A

C

2 1

B D

(20)

DBFC jajaran genjang, sebab: DE = EF; CE = EB.

Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajaran genjang sehingga AB // DE.

AB = DF  AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE =

2 1

AB.

DE disebutparalel tengahsegitiga ABC.

TEOREMA

Garis berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miring itu.

Diketahui :  ABC siku-siku.

 A = 900, AM garis berat. Buktikan : AM =

2 1

BC.

Bukti : Sambung AM dengan MN = MA, maka ABNC jajaran genjang, tetapi  A = 900

ABNC persegi panjang. AN = BC atau AM =

2 1

BC.

Trapesium, adalah segi empat yang sepasang sisinya yang berhadapan sejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesium siku-siku, dan trapesium sama kaki.

TEOREMA

Dalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudut-sudut alas sama besar.

Diketahui : ABCD trapesium samakaki. Buktikan :  A =  B dan AC = BD. Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajaran Genjang, AD = CE, AD = BC

A B

B

D E F

A B

C N

M

2 1

(21)

Jadi CE = BC atau  BCE samakaki

E = B;  E =  A (sehadap)

  A =  B.

 ABC   BAD, sebab

AB = AB ; BC = AD;  A =  B.

 AC = BD.

TEOREMA

Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatu trapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengah jumlah sisi yang sejajar.

Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC. Buktikan : a. EF // AB // DC.

b. EF =

2 1

(AB + DC).

Bukti : sambung DF dan AB hingga berpotongan di G.

BGF   CDF, sebab:

BF = CF;  F1= F2;  D1=  G1

DC = BG dan DF = FG

Atau EF paralel tengah  AGD sehingga EF // AG dan EF =

2 1

AG

Atau EF // AB // DC dan EF =

2 1

(AB + DC).

LUAS

TEOREMA

Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebar

TEOREMA

Luas jajaran genjang sama dengan alas dikali tingginya.

TEOREMA

A B

C D

E F

G

1

1 2

l

A B

C D

p

C D

t

A E B F

(22)

Luas segitiga sama dengan setengah dari alas dikali tingginya.

TEOREMA

Luas trapesium sama dengan jumlah sisi-sisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.

TEOREMA

Luas segiempat yang

diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya.

Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c1, c2, dan c3pada garis tersebut.

Maka luas ABC1 = luas ABC2 = luas

ABC3 karena mempunyai garis tinggi yang sam dan satu sisi persekutuan.

TEOREMA PYTAGHORAS

A B

C D

G

F

t t

D

A

B

C

E

c3 c2 c c1

B I

K

H C

D

E

M

(23)

Dengan menggunkan gambar diatas buktikan teorema pytaghoras.

C. LATIHAN

1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB = 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisih luas bangun yang diarsir.

I

II

III

III IV

IV

V

G

E C

B

(24)

2. Dalam  ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a dan CA dengan AE = b. Buktikan luas  DEF = 7 x luas  ABC.

3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yang diketahui

4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik ini dihubungkan dengan titik sudut.

Buktikan : Luas  PAB – luas  PCB = luas  PAD – luas PCD. 5. AB adalah alas  ABC

Pada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjang ACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P. Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dan disudahkan dengan jajar genjang BAHK.

Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG

6. Kubus ABCD. EFGH. CB diperpanjang dengan BP = CB, buktikan  PFD adalah siku-siku.

A B

(25)

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi

 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan kongruensi.

 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensi Kegiatan Inti

 Menjelaskan definisi jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,serta memberikan contoh dan bukan contoh.

 Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya.

 Kesimpulan

 Penilaian

 Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu. 5.Hasil

 Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,serta dapat memberikan contoh dan bukan contoh.

 Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya

E. Rangkuman

1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.

2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.

3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 900.

4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang.

5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. 6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.

7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

(26)

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang sisi yang sejajar, kecuali

a. jajargenjang b. persegipanjang c. belahketupat d. layang-layang

2. Dalam suatu belah ketupat ABCD garis tegaklurus dari B pada sisi AD membagi dua sama panjang. Maka besar A :

a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450

3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC= 3 cm. Maka besar A :

a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450

4.Pertengahan-pertengahan sisi-sisi trapezium sama kaki merupakan titik-titik sudut suatu :

a. jajargenjang b. persegi

c. persegipanjang d. belahketupat.

5.Diagonal laying-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan ABD = 300.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD =

a. 100

b. 100(1 + V3) c. 100V3 d. 300

6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD  BC,maka luas jajargenjang ABCD adalah :

a. 48 cm2 b. 60 cm2 c. 80 cm2 d. 86 cm2

7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD  BC, maka panjang jarak AB dan CD adalah :

(27)

b. 6 cm c. 8 cm d. 8,6 cm

8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah : a. 50 cm2

b. 100 cm2 c. 600 cm2 d. 1200 cm2

II. Kerjakan semua soal dibawah ini

1. Dalam persegi panjang ABCD terdapat titik P. Buktikan bahwa : PA2+ PC2 = PB2+ PD2

2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam A dan D berpotongan di E. AE = 16, DE = 12.Hitung luas ABCD.

(28)

BAB IV

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN

A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi

1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun

2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan seharga garis dan kesebangunan

Indikator

1. Memahami perbandingan seharga garis.

2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun.

TEOREMA

Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potongan -potongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF. Bukti :

Tarik dari D (lihat gambar) garis // l, memotong garis b di G dan tarik dari E garis EH sejajarl, maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC = DG = EH.

 DGE   EHF sebab DG = EH; G1= H1= B1= C1, dan E1=

F1 jadi DE = EF.

a

b

c

l m

A

B

C

G

D

E

F H

1

1 1

(29)

TEOREMA

Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas perbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l atas perbandingan 2 : 3, maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga. Bukti :

Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N pada garis m maka : AG = GB= BH = HK = KC,

Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga.

BEBERAPA BATASAN :

 bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k, maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusat perkalian (pusat dilatasi).

 bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik,

hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kali panjang garis semula.

Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatif hasilnya sejajar berlawanan arah.

 dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat

didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang lain.

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila sisi-sisi segitiga yang satu sebanding dengan sisi-sisi segitiga yang lain.

c b a

l m

A

B

C

D

E

F G

H

K N

(30)

Diketahui : ABC dan PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RP Buktikan : ABC  PQR

Bukti : Kalikan ABC terhadap O dengan faktor

AB PQ

k  maka didapat

A1B1C1

A1B1 AB PQ

AB PQ



 . , begitu juga B1C1=QR dan C1A1=RP

A1B1C1 PQR atau ABC  PQR

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar.

Diketahui : ABC dan PQR dengan AP;BQ

Buktikan : ABC  PQR Bukti :

Kalikan ABC dengan

AB PQ

k maka A1B1 AB PQ

AB PQ

  . 

    

A A1; B B1 A1 P dan B1 Q

A1B1C1 PQR atau ABC  PQR

O

A

B C

C1

B1

A1

R

P

Q

A

B C

C1

B1

A1

R

P

(31)

TEOREMA

Dua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisi yang mengapit sebanding.

Diketahui : ABC dan PQR dengan APdan AB : AC = PQ : PR Buktikan : ABC  PQR

Bukti :

Kalikan ABC dengan

AB PQ

k maka A1B1 AB PQ

AB PQ



 . dan

A1C1 AC PR

AC PR



 . sebab

AC PR AB PQ



A1B1C1 PQR atau ABC  PQR

Dalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikan sudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding.

TEOREMA

Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.

Diketahui : ABC dan PQR dan AB = PQ Buktikan :

2 1

t t PQR Luas

ABC Luas

  

A

B C

C1

B1

A1

R

P

Q O

P S Q

R

t2

A D B

C

(32)

Bukti :

Sebaliknya jika t1=t2maka

2 berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

Diketahui : ABC dan PQR dengan AP

Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya

(33)

TEOREMA

Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.

Diketahui : ABC  PQR

Buktikan : ₂

2

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua

segitiga akan sama dengan ₂

2 Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t!

(34)

5. Pada sebuah  dengan sudut 900 dan 600 ditarik garis tinggi pada sisi miring dan garis bagi sudut lancip yang besar. Buktikan garis yang menghubungkan titik ujung garis-garis itu membagi segitiga itu menjadi dua bagian sama besar.

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran

 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan kesejajaran.

 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran Kegiatan Inti

 Menjelaskan tentang perbandingan seharga garis-garis

 Menjelaskan tentang kesebangunan dan aplikasinya.

 Kesimpulan

 Penilaian

 Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.

5. Hasil

* Peserta pelatihan memahami tentang perbandingan seharga garis. * Peserta pelatihan memahami tentang bangun yang sebangun.

E. Rangkuman

 Dua bangun disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang lain.

(35)

* Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.

F. Tes Formatif

I Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Diketahui jajar genjang ABCD. E pada AC, sehingga AE : EC = 1 :3 ditarikdari E garis sejajar AB memotong BD di F. Jika AB = 24 , maka EF =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

2. Persegi ABCD diketahui panjang sisinya =8. P pada AD dan Q pada AB sehingga DP = AQ = 6. CP dan DQ berpotongan di R. Maka panjang DR =

a. 6 b. 4,8 c. 4 d. 3,8

3. Diketahui  ABC . AB = 24. Pada AB terletak titik P sehingga AP = 2/3 AB. Q pada CP hingga CQ : QP = 3 : 1.Perpanjangan AQ memotong BC di R. Diarik dari R garis sejajar AB dan memotong CP di S. Panjang RS = a. 8

b. 6 c. 5 1/3 d. 5

4. Pada jajargenjang ABCD diketahui P pada DC. Garis yang melalui A dan P memotong BD dan perpanjangan BC di Q dan R. Jika AQ = 12 dan PR = 10. Maka PQ =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

5. Diketahui ABC. AB = 28, P pada AB sehingga AP = 12. Q pada BC dan PQ//AC. R pada AC dan PR//BC. S pada BC dan RS//AB. PQ dan RS berpotongan di T. Bila QS = 4, maka PR =

(36)

6. Diketahui ABC. D dan E di tengah-tengah AB dan AC. Sebuah garis melalui E memotong CD dan CB di F dan G. Jika BG = 16 dan EF : FG = 3 : 2, maka CG =

a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

7. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S. Maka : AS : SD =

a. 2 : 3 b. 3 : 4 c. 4 : 5

d. semua jawaban salah

8. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S. Maka : CS : SE =

a. 2 : 3 b. 3 : 4 c. 4 : 5

d. semua jawaban salah

1. Diketahui panjang ruas garis a ,b,dan c. Lukiskanlah ruas garis x dan y, jika

x + y = a dan

y x

=

c b

2. Diketahui ABC siku-siku (A = 900),B = 600 Buktikanlh bahwa garis tinggi ke hypotenuse memotong garis bagi B di tengah-tengah.

(37)

BAB V

BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA

1. Memahami tentang beberapa teorema pada garis-garis istimewa segitiga 2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema

-teorema pada garis-garis istimewa segitiga

Indikator

1. Memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.

2. Memahami tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul 3. Memahami tentang teorema Stewart

4. Memahami tentang teorema garis bagi pqda segitiga 5. Memahami tentang teorema garis berat pqda segitiga. 6. Memahami tentang teorema garis tinggi pqda segitiga 7. Memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva

Beberapa teorema dan Garis Istimewa Pada Segitiga 1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-siku

Lihat Gambar

P disebut proyeksi sisi siku-siku c pada sisi a. q disebut proyeksi sisi siku-siku b pada sisi a.

TEOREMA

C

A D

B b

a

c q

t _p

Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke sisi miring dan sisi miring sendiri.

Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali bagian sisi miring.

Hasil kali sisi siku-siku sama dengan hasil kali sisi miring dan garis tinggi ke sisi miring itu.

(38)

Buktinya sebagai berikut.

Diketahui : ABC, A= , AD BC Buktikan :

1. 2. 3. 4.

Buktinya adalah sebagai berikut.

1. Lihat Lihat

maka maka

2. Lihat

maka 3. Karena

Maka

4. Dari hasil No. 1 :

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip / Tumpul

Buktinya sebagai berikut.

Diketahui :

q proyeksi a pada c

Buktikan :

C

A D

B b

a

c q

t _p

1 1

2 2

+

C

D

A B

b _t a

p q

(39)

Bukti : Pada ; dan pada

Jika tumpul maka buktikan bahwa .

Bukti :

;

TEOREMA

TEOREMA STEWART Teorema Stewart

Diketahui :

dengan dan

Buktikan : Bukti :

Tarik garis CE AB, misal DE = m maka

1. Pada (lancip) 2. Pada (

Dari (1) dan (2) didapat :

Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama

Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam

dan maka

B D

C

A p t

a b

c

D

A B

E C

a

m x b

c2

(40)

GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA

TEOREMA

Diketahui :

Berpotongan di Z

Buktikan : AZ = ZD = BZ : ZE = 2 : 1 Bukti :

Hubungkan D dengan E maka DE // AB. Karena E dan D berturut-turut

tengah-tengah AC dan BC maka ED =

2 1

AB (AB : DE = 2 : 1).

Lihat dan : ZED (dalam bersebrangan)

DZE (bertolak belakang)

Jadi AZ : ZD = BZ : ZE = AB : DE = 2 : 1

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk garis berat melalui titik C.

TEOREMA

Diketahui : garis berat (AD = ) Buktikan :

Bukti : Menurut Teorema Stewart

Dengan cara yang sama untuk dan .

TEOREMA

Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagian yang perbandingannya 2 : 1.

A

Z

B C

E _D

Jika , dan berturut-turut garis berat ke sisi a, b, dan c maka

Garis yang membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.

B

A

C D

b c

(41)

Diketahui : garis bagi dan

Buktikan : : = c : b Bukti :

Tarik garis DE AB den DF AC, maka DE = DF (

Lihat i. Luas

ii. Jika garis tinggi dari A adalah maka :

Luas

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

Rumus itu juga berlaku untuk garis bagi luar, buktinya sbb :

Diketahui : garis bagi luar DA = p dan DB = q

Buktikan : p : q = b : a Bukti :

Tarik garis DE BC dan DF AC, maka DE =

DF ( )

Lihat

i. Luas ii. Luas

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

TEOREMA

Diketahui : garis bagi dalam AD = p dan DB = q

Buktikan : Bukti :

CD garis bagi maka a : b = q : p atau ap = bq

Menurut teorema Stewart :

B A

C

D

E F

b

c



Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangi hasil kali bagian sisi di hadapannya.

E

D _A

C

B a

b c p

q

D B

A

C

b a

(42)

Untuk garis bagi luar, . Buktinya sebagai berikut.

Diketahui : garis bagi luar AD = p dan BD = q

Buktikan : Bukti :

Menurut teorema Stewart :

TEOREMA

Diketahui :

garis tinggi pada sisi a garis tinggi pada sisi b Buktikan : t_a :t_bb:a

Bukti :

b t ABC luas a t ABC

Luas 1₂ a ;  1₂ b

Sehingga didapat :

a b t t

b t a t

b a

  

  

   1₂ 2

1

Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik terbalik dengan sisinya

A B

C

D _p

q c

a b

b a

A B

C

tb

(43)

(44)

)

Dibuat garis l melalui C dan sejajar AB.

1

Jika sebuah transversal ABCmemotong sisi-sisi Ab, BC, dan CA berturut-turut di titik-titik P, Q, dan R maka

Dalam ABCdibuat tiga transversal sudut yang memotong Ab, BC, CA berturut-turut di P, Q, dan R, jika ketiga transversal sudut tadi melalui satu titik (konruen) maka (ABP)(BCQ)CAR)

(45)

C. LATIHAN

1. Diketahui jajar genjang ABCD. AD = 14, E pada AD sehingga AE = 2 ED. BE dan AC berpotongan di F. g titik tengah FC atau FG : GC = 1 : 1. EG memotong BC di H. Hitung CH.

2. Diketahui : ABC

Pada AB terletak titik D sehingga AD =

2 1

DB dan pada AC terletak titik E

sehingga AE = 3 EC. BE dan CD berpotongan di F. Hitung CF : FD dan BF : FE.

3. Pada ABC, D dan E ditengah BC dan AB. g pada AC dan Dg memotong CE di F sehingga DF : FG = 2 : 3. Luas CgF= 56. Hitung luas ABC. 4. Pada ABC, AC = 4 dan BC = 5 CD garis bagi, AE garis berat dan luas

ADEC =

2 1

6 . Hitung luas BDE.

5. Pada ABC ( A= tumpul ) ditarik garis tinggi AD dan BE. Buktikan

EC BC DC

AC  dan DECB.

6. Garis-garis tinggi AD dan BE sebuah ABC berpotongan di titik T.

Buktikanlah 2

AB BE BT AT

AD    . (Gunakan teorema Stewart).

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran dan kesebangunan

 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan kesejajaran dan kesebangunan

 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran dan kesebangunan

Kegiatan Inti

(46)

 Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul

 Menjelaskan tentang teorema Stewart

 Menjelaskan tentang teorema garis bagi pqda segitiga

 Menjelaskan tentang teorema garis berat pqda segitiga

 Menjelaskan tentang teorema garis tinggi pqda segitiga

 Menjelaskan tentang teorema Menelalos dan Ceva

 Kesimpulan

 Penilaian

5. Hasil

* Peserta pelatihan memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku. * Peserta pelatihan memahami tentang teorema proyeksi pada segitiga

lancip dan tumpul

* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Stewart

* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis bagi pada segitiga * Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis berat pada segitiga. * Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis tinggi pada segitiga * Peserta pelatihan memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva

.

E. Rangkuman

* Teorema Proyeksi pada segitiga lancip/tumpul

Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama

* Teoreme Stewart:

Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam dan maka

F. Tes Formatif

1.Diketahui ABC siku-siku. A = 900. P pada AC dan Q pada BC sehingga PQ //AB. PQ = PA = 8. PQB = 1350. R pada BC sehingga QR = 4 (R diantra B dan Q). Perpanjangan AR memotongperpanjangan PQ di S. AR = a. 12

b. 10 c. 8 d. 6

(47)

a.2 b. 22 c. 22 + 1 d. 16/7(22 + 1)

3.Diketahui ABC CF garis berat. BZ CF( Z titik berat) D pada BZ sehingga BD = DZ. Panjang FD = 62. Maka panjang BC =

a.2 b. 122 c. 142 d. 242

4. Diketahui ABC. AB = 46 dan BC = 26. Jika B = 2 A,maka panjang AC =

a. 123 b. 103 c. 83 d. 8

5. Diketahui  ABC. AD, BE, dan CF adalah garis berat. AD= 6; BE = 9 dan AB = 8. Panjang CF =

a. 6 b. 8 c. 9 d. 310

6.Dari trapezium ABCD (AB//DC),AB = 30, CD = 18, BC = 10, dan AD = 8. Panjang garis tegaklurus dri pertengahan BC ke AD =

a. 71/27 b. 7 c. 8 d. 6

7.Diketahui  ABC siku-siku di C. Z adalah titik berat. CZ = 12dan BZ  CD.Panjang AB, BC dan AC adalah :

a. 36,123, dan 291 b. 36, 12, dan 91 c. 12, 123, dan 912 d. 123,36, dan 291

8. Dari trapezium ABCD (AB//DC), AC  BD.AB = 2CD; AD = 8 dan BC = 11.Panjang AB =

(48)

d. 237

1. Lukis  ABC jika diketahui panjang ketiga garis berat AD = 6 cm; BE = 9 cm dan CF = 310cm.

2. Buktikanlah, bahwa jumlah kuadrat kedua diagonal sebuah jajar genjang = jumlah kuadrat keempat sisinya.

(49)

BAB VI

BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN

1. Memahami tentang beberapa teorema pada lingkaran

2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -teorema pada lingkaran

Indikator

1. Memahami teorema tentang perbandingan seharga garis-garis dalam lingkaran.

2. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran luarnya. 3. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran dalamnya 4. Memahami tentang teorema lingkaran singgung

5. Memahami tentang teorema segiempat talibusur. 6. Memahami tentang teorema segiempat garis singgung

PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARAN TEOREMA

Diketahui : (M, R)

AB garis tengah

CD  AB

Buktikanlah CD2ADAB

Bukti : Pada ABCC90

Maka AD : CD = CD : BD (teorema) atau CD2ADAB

TEOREMA

Garis tegak lurus dari sebuah titik lingkaran ke garis tengahnya ialah pembanding tengah antara bagian-bagian garis tengah itu.

.

Jika dari sebuah titik lingkaran ditarik sebuah tali busur dan sebuah garis tengah, maka tali busur ini pembanding tengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini.

A

D C

(50)

Diketahui : (M, R)

AB garis tengah

CD  AB

Buktikanlah CD2ADAB (Buktikan sendiri)

TEOREMA

Diketahui : (M, R)

AB dan CD berpotongan di P Buktikan : PA X PB = PC X PD

(Buktikan Sendiri!)

TEOREMA

Diketahui : (M, R)

P di luar lingkaran Buktikan : PA X PB = PC X PD.

(Buktikan Sendiri!)

TEOREMA

.

A

D C

B M

Jika dua buah tali busur berpotongan di dalamlingkaran, maka perkalian kedua bagian pada tali busur yang pertama sama dengan perkalian bagian-bagian pada tali busur yang kedua.

.

A

B C

D M

P

Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik 2 garis potong maka perkalian bagian-bagian garis potong yang pertama = perkalian bagian-bagian garis potong yang kedua.

.

A B

C D

P M

(51)

C Diketahui : (M, R)

B P di luar lingkaran

Buktikan :PA2PBPC

P (Buktikan sendiri!)

A

CATATAN :

1. Ketiga teorema terakhir di atas dapat juga dikatakan sebagai berikut : hasil perbanyakan jarak-jarak P ke titik potong-titik potong A dan B dari suatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran, mempunyai harga konstan.

2. Jika hasil perbanyakan PA x PB diberi tanda positif atau negative, maka hasil perbanyakan dianggap positif jika P di luar lingkaran, dan negative jika P di dalam lingkaran.

Hasil perbanyakan tadi ditulis PA PB .

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang melalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, nol jika P pada lingkaran dan negatif jika P terletak di dalam lingkaran.

TEOREMA

Yang disebut Kuasa (P,L)dari suatu titik P terhadap lingkaran L

ialah hasil perbanyakan PA PB .

Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M,r) = 2 2

(52)

LINGKARAN LUAR TEOREMA

Diketahui : ABC dengan lingkaran luar O. AB = c, AC = b, BC = a.

Bukti : Dari titik B telah kita tarik garis tinggi BD =

b

t dan garis tengah BE = 2R.E dihubungkan dengan C. Dari kesebangunan ini diperoleh :

a

Titik pusat lingkaran dalam sebuah  kita namakan I dan jari-jari lingkaran dalam = r.

TEOREMA

Diketahui : ABC Buktikan :

Jari-jari R lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan perkalian sisi-sisinya dibagi oleh 4 kali luas segitiga itu,

atau

Jari-jari R lingkaran dalam sebuah = Luas  dibagi

(53)

Luas ABC =

Jika dari sebuah ABC diketahui alas c, sudut puncak C, dan jari-jari lingkaran dalam R, maka dapat kita lukiskan AIB, karena dari segitiga ini diketahui; alas sudut puncak dan tingginya (mengapa?). Setelah AIB dilukiskan, maka lukisan ABC mudah sekali. (Bagaimana?).

LINGKARAN SINGGUNG

Lingkaran singgung suatu segitiga ialah lingkaran yang menyinggung pada sisi segitiga itu dan pada kepanjangan-kepanjangan kedua sisi yang lain.

Sudah jelas bahwa sebuah segi tiga mempunyai tiga buah lingkaran singgung.

1. Lingkaran I_ayang menyinggung pada BC dan mempunyai jari-jari r_a.

2. Lingkaran I_byang menyinggung pada AC dan mempunyai jari-jari r_b.

3. Lingkaran I_cyang menyinggung pada AB dan mempunyai jari-jari r_c.

c

(54)

A B

terletak pada tk sekalian titik yang sama jauh letaknya dari kaki-kaki

ABQ dan itu ialah garis bagi luar B.

Telah kita buktikan,bahwa

2

Lihat gambar, kemudian jawablah pertanyaan berikut Mengapa CD = CE ?

Mengapa CD + CE = AC + BC + AB ? Mengapa CD =sdan AD = s –b? Berapakah panjang AF, BF, dan BE ?

Nyatakanlah AK, AL, CK, CG, BG, dan BH dengan sisi-sisi ABC.

AI_cB = 180-  I_cAB - ABI_c

Karena dari segi tiga itu sekarang diketahui alas, sudut puncak dan tingginya.

(55)

KESIMPULAN : , ,

Jika O pusat lingkaran luar ABC, I pusat lingkaran dalam danI_a,I_b, I_c pusat lingkaran singgung, maka :

SEGIEMPAT TALI BUSUR DEFINISI

TEOREMA

Diketahui : ABCD segiempat tali busur. Buktikan : A +  C =180

AKIBAT: Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur = sudut

dalam berhadapan (mengapa?) . A = C₁.

TEOREMA

Diketahui : B + D = 180

Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaran. Bukti :

Melalui A, B, dan C senantiasa dapat digambarkan sebuah lingkaran.

Segiempat tali busur ialah sebuah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Dalam segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan berpelurus sesamanya. segiempat berpelurus sesamanya maka segiempat itu ialah sebuah segiempat tali busur.

A B

C

(56)

Kita umpamakan bahwa titik D tidak terletak pada lingkaran ini, maka lingkaran ini memotong garis AD di P.

Akan tetapi tentu B + P = 180. Sedangkan diketahui bahwa B +

D = 180

Jadi ini akan mengakibatkan, bahwa P =D. Akan tetapi P = C₁ +

D

(mengapa?)

Perandaian bahwa D tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah, jadi D harus terletak pada lingkaran; dengan perkataan lain ABCD ialah segiempat tali busur.

TEOREMA PTOLEMEUS

Diketahui : ABCD segiempat tali busur. Buktikan : AC x BD = AB x DC + BC x AD Bukti : Kita lukiskan CDE = ADB. Maka DEC ~ DAB,

Karena ABD = ACD =

2

1 _{AD dan} _{ADB =}

EDC Akibat :

EC : AB = DC : DB

EC x DB = AB x DC ...(i)

ADE ~ BDC, karena ADE = BDC (mengapa?) dan DAE =DBC =

2

1 _{DC. Dari kesebangunan ini diperoleh : AE : BC = AD :BD}

atau AE x BD = BC x AD...(ii) Jika (i) dan (ii) dijumlahkan maka diperoleh :

EC x BD = AB x DC AE x BD = BC x AD

(AE + EC) x BD = AB x DC + BC x AD atau AC x BD = AB x DC + BC x AD.

PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALI BUSUR

a. menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan dengan sisi segiempat tali busur adalah a, b, c, dan d.

Pada gambar BCE = A (mengapa?). E = E. Jadi ADE ~ CBE. Akibat :

x: (a+ y) =b:dataudx = ab + by(1) juga y: (c+ x) =b:dataudy = bc + by (2) Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnya sama dengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan

+ A

B

C D

E

1 2 3

A _B

C D

a b c d

x

(57)

Ini adalah dua persamaan dengan dua variabel

Dari sebuah segiempat tali busur sisi-sisinya ialah AB = 52, BC = 25, CD = 39 dan AD = 60. Hitunglah BE dan CE.

b. Juga dapat kita hitung perbandingan diagonal-diagonal.

Dari gambar mudah dapat dibuktikan, bahwa DBE ~ACE (mengapa?) Jadi : AC : DB = CE : BE atau

AC : DB =x:y = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat pada a) c. Perhitungan diagonal-diagonal.

Sekarang kita ketahui perbandingan diagonal-diagonal dan dengan pertolongan dalil (pendirian) Ptolemeus juga kita ketahui, perkaliannya. Jadi dapat kita hitung diagonal-diagonal itu.

AC : DB = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat di atas) ...(1)

Hitunglah diagonal-diagonal sebuah segiempat tali busur ABCD jika AB = 16, BC = 25, CD = 33, dan AD = 60.

d. Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar sebuah segiempat tali busur, kita bekerja sebagai berikut. Hitunglah sebuah diagonal ump. AC. Hitunglah sekarang jari-jari lingkaran luar ADC dengan pertolongan rumus

L abc R

4

 . Ini juga jari-jari lingkaran luar segiempat tali busur itu.

e. Bila kita harus membuktikan suatu segiempat adalah segiempat tali busur, perhatikan gambar-gambar di bawah ini; segiempat ABCD adalah

segiempat tali busur, jika memenuhi salah satu :

(58)

SEGIEMPAT GARIS SINGGUNG DEFINISI

TEOREMA

Diketahui : ABCD segiempat garis singgung. Buktikan : AB + CD = AD + BC.

Bukti : Untuk membuktikan ini kita pergunakan teorema yang menyatakan, bahwa garis-garis singgung yang ditarik dari sebuah titik pada sebuah lingkaran, sama panjangnya.

Jadi : AE = AH BE = BF CG = CF DG = HD

( AE + BE ) + (CG + DG ) = ( AH + HD ) + (BF+CF)

atau AB + CD = AD + BC

TEOREMA

A

D

C B

B = D = 90

D A

B

C

p q r

s

p x q = r x s

D A

B

C

p q

r

s

pq = rs

Sebuah segiempat, yang sisi-sisinya menyinggung sebuah lingkaran yang dapat dilukiskan dalam segiempat itu, namanya segiempat garis singgung

Jumlah dua buah sisi yang berhadapan sebuah segiempat garis singgung sama dengan kedua sisi yang lain.

+

Jika pada segiempat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sama, maka segiempat itu ialah sebuah segiempat garis singgung.

B

A D

C F

E

H

(59)

C. LATIHAN

1. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan x + y = p

xy = q2

Lukislah x dan y.

2. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan x – y = p

xy = q2

lukislah x dan y.

3. Lukis _x4 _p4 _q4 _{p dan q ruas garis yang diketahui}

4. Lukis ABC jika diketahui: C, c, dan r (jari-jari lingkaran dalam 5.

6. Dalam trapesium ABCD (AB = alas) ditarik garis AEBC dan BFAD buktikan F, D, C, dan E terletak pada sebuah lingkaran.

7. Pada trapesium ABCD mempunyai lingkaran singgung dan lingkaran luar. Jika AB = 28, CD = 8. tentukan diagonal trapesium tersebut

3.Prasyarat

Peserta pelatihan telah menguasai tentang sifat sederhana pada lingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.

C D

B A

7 cm

12 cm

(60)

Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan sifat sederhana pada lingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.

Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan sifat sederhana pada lingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.

Kegiatan Inti

 Menjelaskan tentang teorema perbandingan seharga garis-garis dalam lingkaran.

 Menjelaskan tentang teorema segitiga dan lingkaran luarnya.

 Menjelaskan tentang teorema lingkaran dalam segitiga.

 Menjelaskan tentang teorema lingkaran singgung

 Menjelaskan tentang teorema segiempat talibusur

 Menjelaskan tentang teorema segiempat garissinggung

 Kesimpulan

 Penilaian

5. Hasil

 Peserta pelatihan memahami teorema. perbandingan seharga garis-garis dalam lingkaran.

 Peserta pelatihan memahami tentang teorema segitiga dan lingkaran Luarnya.

 Peserta pelatihan memahami tentang teorema lingkaran dalam segitiga

 Peserta pelatihan memahami tentang teorema lingkaran singgung

 Peserta pelatihan memahami tentang teorema segiempat talibusur.

 Peserta pelatihan memahami tentang teorema segiempat garissinggung .

E. Rangkuman

* Yang disebut Kuasa (P,L)dari suatu titik P terhadap lingkaran Lialah

hasil perbanyakan PA PB . * Teorema Ptelemeus :

Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnya sama dengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan

* Teorema pada segi empat garis singgung:

Jumlah dua buah sisi yang berhadapan sebuah segiempat garis singgung sama dengan kedua sisi yang lain.

(61)

1. Dari P di luar lingkaran M ditarik sebuah garis singgung PA = 6,garis potong PC memotong lingkran itu menurut talibusur BC yang 12 cm panjangnya. Panjang PB =

a. 10 b. 8 c. 6 d. 4

2. Dari P diluar lingkaran M ditarik dua garis potong PAB dan PCD. PA = 3,AB = 29. PC dan CD berbanding sebagai 1 dan 5.Panjang PC dan PD =

a. 4 dan 24 b. 8 dan 24 c. 4 dan 20

d. Semua jawaban salah

3.Dalam sebuah segitiga yang mempunyai besar dua sudutnya adalah 750 dan 400, digambarkan lingkaran yng menyinggung sisi segitiga tsb., di D,E,dan F. Besar sudut-sudut  DEF adalah :

a. 50,50, 770, dan 52,50 b. 57,50, 700, dan 52,50 c. 57,50, 710, dan 51,50 d. Semua jawaban salah

4. Dari  siku-siku ABC ssi miringnya AB = c. I adalah pusat lingkaran dalam dan ICpusat lingkaran singgung pada sisi miring. Panjang IIC=

a. c b. c3 c. c2 d. c5

5.Diketahui  ABC, alas AB = 7, BC = 6 dan AC = 8.Garis yang menghubungkan C dengan pusat lingkaran singgung pada sisi a Ia memotong perpanjangan AB di D. Panjang DIa=

a. 4 2/3 b. 5 c. 415 d. 4 2/315

6.Lingkaran dengan jari-jari R dan garis tengah AB, dibuat  ABC siku-siku dan ABD siku-siku dengan salah satu sudut lancipnya 300 . C dan D terletak pada pihak yang sama terhadap AB. Panjang CD dinyatakan dengan R adalah :

(62)

c. ½ R6 d. ½ R2

7.Trapesium ABCD merupakan segiempat garis singgung dan segiempat talibusur. AB = 28 dan CD = 8. Panjang diagonal AC =

a. 137 b. 2137 c.137

8. Tiga lingkaran dengan jari-jari R saling bersinggungan. Maka luas daerah “Segitiga” yang dibatasi oleh ketiga lingkaran tsb. adalah :

a. 1/7 R2(73 – 11) b. 1/7 R23

c. 11/7 R2

1. Dua lingkaran yang berpusat di M dengan jari-jari 3a dan N berjari-jari a bersinggungan di A. Dilukiskan garis singgung dalam persekutuan dan garis singgung luar persekutuan BC yang berpotongan di D .Buktikan bahwa AD garis berat dan tentukan luas ABC.

2.Melalui P pada talibusur persekutuan 2 lingkaran M danN yang berpotongan, ditarik dalam masing-masing lingkaran sebuah taliusur, yang berturut-turut

 pada MP dan NP. Buktikan kedua talibusur itu sama panjang.

(63)

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

KEGIATAN BELAJAR 1

I . 1.a 2.b 3.a 4.c 5.d 6.d 7.a 8.c

II 1.Menggunakan teorema : pada segitiga siku maka panjang garis berat kesisi miring = ½ panjang sisi miring ( bobot 3)

2.Menggunakan sifat persegi panjang ( bobot 1) Menggunakan kongruensi (bobot 2)

3.Buat garis pertolongan dengan cara : buat sudut 600dari BC.(bobot 1) Lihat keistimewaan y ang terjadi (bobot 1)

Gunakan kongruensi (bobot 2)

KEGIATAN BELAJAR 2

I 1.d

2.c 3.c 4.d 5.b 6.a 7.a 8.c

II 1. Dengan menggunakan teorema Pythagoras ( bobot 3) 2. Dengan menggunakan sifat belah ketupat ( bobot 3)

3. Buat diagonal AC dan BD yang berpotongan di E (bobot 1) Gunakan sifat jajar tengah (bobot 3)

KEGIATAN BELAJAR 3

I 1.a

(64)

II 1.Dari persamaan yang ke 2 substutusikan ke persamaan yang 1 (bobot3) 2.Gunakan keistimewaan sudut. (bobot 3)

3.Sebelum melukis analysa dahulu

Gunakan teorema : Besar sudut luar = 2 sudut dalam yang lain(bobot 1) Selanjutnya dapat dilukis (bobot 3)

KEGIATAN BELAJAR 4

I 1.a

2.d 3.b 4.a 5.d 6.a 7.a 8.d

II 1.Dengan menggunakan teorema garis berat, panjang alas AB dapat. Se-Lanjutnya segitiga dapa dilukis.(bobot 3)

2.Dengan menggunakan teorem Pythagoras (bobot 3) 3.Gunakan teorema proyeksi (bobot 1)

Gunakan teorem:perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun (bobot3)

KEGIATAN BELAJAR 5

I 1.c

2.a 3.b 4.c 5.d 6.a 7.b 8.a

II. 1.Dengan menggunakan teorem bahwa panjang garis singgung dari suatu Titik adalah sama (bobot 1)

Dengan menggunakan Pythagoras, dan rumus luas. (bobot 2) 2.Dengan menggunakan kuasa (bobot 3)

(65)

GLOSARIUM

A

Aksioma : pernyataanyang tidak perlu dibuktikan lagi kebenarannya. Apotema : ruas garis yang ditarik dari pusat lingkaran tali busur. B

Bangun- bangun kongruen : bangun-bangun yang sama dan sebangun

C

Ceva : (teorema)

D

Diameter: garis tengah

G

Garis bagi sudut : T.K titik yang berjarak sama kekaki-kaki sudut tsb.

H

Hipotenusa : sisi miring suatu segitiga siku-siku

K

Kolinear : 3 titik kolinear berarti 3 titik tsb. terletak pada sebuh garis

M

Menelaos ; (teorema)

P

Parallelogram : jajargenjang

Postulat : pernyataan yng harus kita anggap atau terima sebagai kebenaran agar Kita bisa mereduksi pernyataan yang lain

Pythagoras: (teorema) Ptelemeus : (teorema) Proyeksi : (teorema)

R

Rectangle : persegipanjang Rhombus : belahketupat

S

Square : persegi Stewart : (teorema)

T

(66)

DAFTAR PUSTAKA

1.Ahsanul In,am, 2003, Pengantar Geometri.Bayu media Malang

2 Barnett Rich, 2005, Geometry. The MCGRaw-Hill Companies

3 Kurniawan,2007,Olympiade Matematika. Penerbit Erlangga Jakarta

4 Kusni, 2003, Geometri. Penerbit : unnes

5 Kristianto, 2002,Kapita Selekta. Penerbit : Erlangga Jakarta

6.Wijdenes, 1959, Planimetri .Noordhoff- Kolff N.V. Jakarta

7.Wono Setya Budhi, Ph.D. 2003, Matematika Untuk SLTP Jilid IA,IB,IIA,IIB,IIIA.

Penerbit ; Erlangga Jakarta.